1、青島科技大學(xué) 1 1使學(xué)生初步掌握數(shù)列極限這一重要概念使學(xué)生初步掌握數(shù)列極限這一重要概念 的內(nèi)涵與外延；的內(nèi)涵與外延；2 2使學(xué)生學(xué)會(huì)用定義證明極限的基本方法使學(xué)生學(xué)會(huì)用定義證明極限的基本方法3 3通過知識(shí)學(xué)習(xí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性特通過知識(shí)學(xué)習(xí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性特 點(diǎn)的認(rèn)識(shí)；體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成的抽象化思點(diǎn)的認(rèn)識(shí)；體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成的抽象化思 維方法；體驗(yàn)數(shù)學(xué)維方法；體驗(yàn)數(shù)學(xué)“符號(hào)化符號(hào)化”的意義及的意義及“數(shù)數(shù) 形結(jié)合形結(jié)合”方法；方法；4 4了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家關(guān)于極限思想的論了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家關(guān)于極限思想的論 述，增強(qiáng)愛國(guó)主義觀念。述，增強(qiáng)愛國(guó)主義觀念。第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)教學(xué)目

2、標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：青島科技大學(xué)v1. 1. 數(shù)列極限和無(wú)窮大數(shù)列極限和無(wú)窮大v2. 2. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限v3. 3. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) v4. 4. 無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的階無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的階主要內(nèi)容1. 1. 數(shù)列的極限和無(wú)窮大量數(shù)列的極限和無(wú)窮大量一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的性質(zhì)二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、數(shù)列極限的運(yùn)算三、數(shù)列極限的運(yùn)算四、單調(diào)有界數(shù)列四、單調(diào)有界數(shù)列五、無(wú)窮大量的定義五、無(wú)窮大量的定義六、無(wú)窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算六、無(wú)窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算青島科技大學(xué)青島科技大學(xué)我們已經(jīng)有了函數(shù)的概念，但如果我們只停留在函數(shù)概念本身去研究運(yùn)動(dòng)，即如果僅僅把運(yùn)動(dòng)看成物體在某一

3、時(shí)刻在某一地方，那我們就還沒有達(dá)到揭示變量變化的內(nèi)部規(guī)律的目的，我們就事實(shí)上還沒有脫離初等數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，只有我們用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)揭示出函數(shù)yf（x）所確定的兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系時(shí)，我們才算真正開始進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域。極限是進(jìn)入高等數(shù)學(xué)是鑰匙和工具。我們從最簡(jiǎn)單的也是最基本的數(shù)列極限開始研究。 數(shù)列極限的概念引入數(shù)列極限的概念引入 課題引入 1預(yù)備知識(shí)：數(shù)列的定義、記法、通項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等有關(guān)概念。 青島科技大學(xué)2數(shù)列極限來自實(shí)踐，它有豐富的實(shí)際背景。我們的祖先很早就對(duì)數(shù)列進(jìn)行了研究，早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就有了極限的概念 例 1 戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的莊子。天下篇引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭

4、。”也就是說一根一尺 長(zhǎng)的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以一直無(wú)限制的進(jìn)行下去。將每天截后的木棒排成一 列 ,如圖所示其長(zhǎng)度組成的數(shù)列為 n21, n=10; x=0:n; y=1./2.x; x1=0:n; y1=1./2.x; line(x1;x1,0*x1;y1,linewidth,5) axis(-1,n+1,0,1.1) 青島科技大學(xué)024681000.20.40.60.81分析： 1、n21隨 n 增大而 減 小，且無(wú)限接近于常數(shù) 0； 2數(shù) 軸上描點(diǎn)，將其形象 表示： 1 0 1/2 1/4 -1 青島科技大學(xué)EBanan+1AD例例 三國(guó)時(shí)期，我國(guó)科學(xué)家 劉徽就提出了“割圓求

5、周”的思想: 用直徑為1 的圓周分成六等份，量得圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，再平分各弧量出內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)，這樣無(wú)限制的分割下去， 就得到一個(gè)（內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)組成的）數(shù)列. 青島科技大學(xué)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽青島科技大學(xué)割圓術(shù)：割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽青島科技大學(xué)割圓術(shù)：割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少

6、，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽青島科技大學(xué)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽青島科技大學(xué)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽青島科技大學(xué)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割

7、圓術(shù)：劉徽劉徽青島科技大學(xué)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽青島科技大學(xué)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽青島科技大學(xué)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽青島科技大學(xué)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，

8、以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：劉徽劉徽青島科技大學(xué)1 1、 數(shù)列與數(shù)列極限定義：數(shù)列與數(shù)列極限定義：按自然數(shù)按自然數(shù)1,2,3,編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù)例如：例如：，稱為數(shù)列的，其中稱為通通項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)列列nnxxxx,21.nx記作記作:1n,1,31,21, 1n3,63,52,41 nn, 9 , 4 , 12n1, 1, 1, 1 :3 nn:2n:)1(n 定義定義1 1數(shù)列：數(shù)列：一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義青島科技大學(xué)序關(guān)系；所以重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)看成是同一個(gè)元素，而在序關(guān)系；所以重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)看成是同一

9、個(gè)元素，而在注意：注意： 數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別：在數(shù)集中元素之間沒有次數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別：在數(shù)集中元素之間沒有次數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù)數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù)數(shù)列中數(shù)列中,每一個(gè)數(shù)都有確定的編號(hào)每一個(gè)數(shù)都有確定的編號(hào),前后次序不能顛倒前后次序不能顛倒.)(nfxn 數(shù)列極限：數(shù)列極限：:,)1(11的變化趨勢(shì)當(dāng)時(shí)觀察數(shù)列nnn問題：?jiǎn)栴}：當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， 是否無(wú)限接近于某一確定是否無(wú)限接近于某一確定nx的數(shù)值？如果是，如何確定？的數(shù)值？如果是，如何確定？如如n)1(青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn播放播放請(qǐng)觀察請(qǐng)觀察青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的

10、變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)

11、時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué).)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn青島科技大學(xué) 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察：通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察：. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題問題:“無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味

12、著什么? ?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它它. . 1nxnnn11)1(1 ,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000 時(shí)時(shí)只只要要 n,100011 nx有有,1001給定給定青島科技大學(xué)定量分析定量分析： 無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于1是指：是指：當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)充分大時(shí), 能任意小，并保持任意小。能任意小，并保持任意小。1)1(11 nn nn1)1(1例如：例如：,101對(duì)對(duì).10 n只只須須,1011)1(11 nn要要使使即即 自然數(shù)自然數(shù)10，當(dāng)，

13、當(dāng)n10時(shí)，有時(shí)，有.1011)1(11 nn ,10001對(duì)對(duì).1000 n只只須須,100011)1(11 nn要要使使,10000001對(duì)對(duì).1000000 n只只須須,100000011)1(11 nn要要使使 青島科技大學(xué)由不等式有由不等式有 ，故只須，故只須 即可。即可。 以上還不能說明以上還不能說明 任意小，并保持任意小，畢任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù)。竟它們都還是確定的數(shù)。1)1(11 nn,0 對(duì)對(duì).1)1(11才才行行要要使使 nn n1 1 n 自然數(shù)自然數(shù) ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，便有時(shí)，便有 , 0 即即對(duì)對(duì)1 1 n.1)1(11 nn定義：定義：則稱數(shù)則稱數(shù)

14、1是是 的極限。的極限。有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)總總?cè)羧魧?duì)對(duì)，Nn，N 1, 0 .1)1(11 nn nn1)1(1青島科技大學(xué)例如：例如：,)1(,51,41,31,21, 1:)1(nnnn ,25,16,9,4,1:22nn,) 1(1 ,511 ,411 ,311 ,211 , 2:) 1(111nnnn ,0,2,0,2:)1(11n01擺動(dòng)！擺動(dòng)！無(wú)限增大無(wú)限增大!青島科技大學(xué), 0N總存在自然數(shù)總存在自然數(shù)如果對(duì)于給定的如果對(duì)于給定的 定義定義2 2axn于于則稱數(shù)列則稱數(shù)列收斂收斂. )(lim naxaxnnn或或記為記為時(shí)，時(shí)，使得當(dāng)使得當(dāng)Nn , axn成立成立，的是數(shù)列或)(極極

15、限限nxa如果不存在實(shí)數(shù)如果不存在實(shí)數(shù)a,.,發(fā)散發(fā)散nnxax則稱數(shù)列則稱數(shù)列收斂于收斂于使使注意：注意：;的的無(wú)無(wú)限限接接近近與與刻刻劃劃了了1 1. .不不等等式式axaxnn有有關(guān)關(guān). .與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)2 2. .N.，不不影影響響數(shù)數(shù)列列的的收收斂斂性性改改變變數(shù)數(shù)列列前前面面的的有有限限項(xiàng)項(xiàng)3 3青島科技大學(xué) axnnlim:定義定義N ., 0 axNnNn恒有恒有時(shí)時(shí)使使., 0,0000axNnNRaxnn有有對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)發(fā)發(fā)散散青島科技大學(xué)x1x2x2 Nx1 Nx3x數(shù)列極限的幾何解釋數(shù)列極限的幾何解釋: a aa.)(;, ),(),(,21落在其外落在其

16、外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)全位于這個(gè)鄰域內(nèi)全位于這個(gè)鄰域內(nèi)項(xiàng)以后的所有項(xiàng)項(xiàng)以后的所有項(xiàng)第第總存在項(xiàng)總存在項(xiàng)鄰域鄰域?qū)θ我饨o定的對(duì)任意給定的NxxN，xaaaONNN . axa，axnn得得由由定定義義3 Nx青島科技大學(xué)（2）N的存在性與非唯一性，且的存在性與非唯一性，且N僅與僅與 有關(guān)而有關(guān)而 與與n無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。（1）正數(shù)）正數(shù) 的任意性和相對(duì)固定性。的任意性和相對(duì)固定性。 是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量有有時(shí)時(shí)使使對(duì)對(duì)是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量0)(limlim., 0axaxaxxNnNxnnnnnnn 關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點(diǎn)理解關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點(diǎn)理解 （3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，即以零為極

17、限的數(shù)列時(shí)，即以零為極限的數(shù)列稱為無(wú)窮小量。稱為無(wú)窮小量。0 a無(wú)窮小量不是很小的量。無(wú)窮小量不是很小的量。青島科技大學(xué).,)(,2 , 0)4(2起著同樣的作用起著同樣的作用但在本質(zhì)上都與但在本質(zhì)上都與形式上有差異形式上有差異在在雖與雖與等等正常數(shù)正常數(shù)對(duì)對(duì) ，MM ., 0lim MaxNnNaxnnn 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)谋容^的比較與與axaxnnnn limlim)5(., 0lim axNnNaxnnn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)., 0lim0000axNnNaxnnn有有某某個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)某某個(gè)個(gè)青島科技大學(xué). 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 ,1 n只要只要,

18、1 n或或所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即例例1 1 要使要使,1 nx青島科技大學(xué)例例2 2.lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,0成成立立 , 0 任任給給所以所以,有有對(duì)對(duì)于于一一切切自自然然數(shù)數(shù),n.limCxnn 小結(jié)小結(jié): :用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定關(guān)鍵是任意給定, 0 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.青島科技大學(xué)例例3).1( ,0lim qqnn證證明明證證:, 0 對(duì)對(duì), nq由由,lnln qn即即.lnlnqN 取取,

19、 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 方法：方法：直接解不等式直接解不等式 ，求，求N. axn.為為無(wú)無(wú)窮窮小小量量即即nq數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：注意：(不妨設(shè)不妨設(shè) )q 青島科技大學(xué),0 nnqx,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 10 q若若,lnlnqn 極限為極限為0的數(shù)列稱為的數(shù)列稱為無(wú)窮小量無(wú)窮小量 .定義定義3 3.lim是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量axaxnnn ,lnln qn例如例如： .1是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量時(shí)，時(shí)，nnqq 青島科技大學(xué)例例

20、4.318232lim22 nnnnn證明證明證：證：. 0145 , 0823, 42 nnnn有有先先限限定定!)823(3145318232:222相相當(dāng)當(dāng)困困難難直直接接解解分分析析 nnnnnnn)823(3145318232, 0222 nnnnnnn由由對(duì)對(duì) ,32962 nnn.32 , 4max.32 Nn取取得得青島科技大學(xué)證明：分三種情況證明證明：分三種情況證明.由由對(duì)對(duì)則則時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0.1,1)1( naa 111nnaaor,11 na),1ln(ln1 an即即.)1ln(ln an解解得得.)1ln(ln aN取取法一法一例例5 5 .1lim,0nxaa證明設(shè)青

21、島科技大學(xué)（法二）（法二）則則令令),0(1 nnna證明：證明： 應(yīng)用二項(xiàng)式公式應(yīng)用二項(xiàng)式公式 ), 2 , 1(0,1 nyyannn令令nnnnnnnnyyynnnyya12)1(1)1(2,1,11, 0 annayann.11,1 naaNnnaNn有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)取取青島科技大學(xué)有有令令時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 11,102 baa）得得證證。由由（已已知知1, 1 nb. 11111 nnnnnbbbba故故對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)）當(dāng)當(dāng)（, 1,13 nana1lim nna.1）（ a有一般地，cxn.limcxnn青島科技大學(xué)證證令令), 2 , 1(0,1nyynnnn應(yīng)用二項(xiàng)式定理應(yīng)用二項(xiàng)式定理22

22、2)1(12)1(1)1(nnnnnnnynnyynnnyyn即得到即得到nynnn21 nnn21例例6求證：求證：1limnnn，解得，解得由由 nhnnn21, 0.2, 2max.222 Nn取取青島科技大學(xué)例例7 7 證：證： ,)72(22721721, 022nnnnnn nnnnnnn428)72(227,62時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).42172122 nnnn時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)Nn .21721lim22 nnnn,4, 6max N取取青島科技大學(xué)例例8, 0lim, 0 axxnnn且且設(shè)設(shè)證：證： .limaxnn 求證求證,1 axNnNn恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng), 0 任給任給,li

23、maxnn axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 .limaxnn 故故數(shù)列數(shù)列 , 9 , 4 , 1:22nn與數(shù)列與數(shù)列, 1 , 1, 1 , 1:)1(n是發(fā)散數(shù)列，是發(fā)散數(shù)列，事實(shí)上事實(shí)上，隨著增加，隨著增加，2nxn無(wú)限增大無(wú)限增大而而nnx)1(不斷在與兩個(gè)數(shù)值上跳躍，不斷在與兩個(gè)數(shù)值上跳躍，青島科技大學(xué)1.lim,lim,nnnnxaybabN定理若且則，.,nnyxNn 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，則則由由證證明明：取取定定正正數(shù)數(shù),21Naxban 當(dāng)當(dāng)由由時(shí)時(shí)，有有,21,;232NbybaxbaNnnn .223bayabNnn 時(shí)時(shí)，有有.,max21得證得證時(shí)時(shí)取

24、取NNN()23ab2ba2babax2ba23ba( )二、數(shù)列極限的性質(zhì)二、數(shù)列極限的性質(zhì)1. 1. 保序性：保序性：青島科技大學(xué)1.lim,lim,nnnnxaybN推論若且，當(dāng).,bayxNnnn ，則則有有時(shí)時(shí)bxNnNaxnnn有時(shí)，當(dāng)且特別,lim,).(.，取則nbyban矛盾！由設(shè)證明：反證法nnyxThba1,如，可能有中在注.,1:bayxCorollarrynn)(nnnnn與，與青島科技大學(xué).lim,(),nnxaababN推論2若且或則，當(dāng).,）（或（或有有時(shí)時(shí)bxbxNnnn .lim), 2 , 1(,1:bynbyThnnn有取中在證明).(類證類證ba ),

25、0(0lim0,aaxbnn或或時(shí)時(shí)，即即若若當(dāng)當(dāng)特特別別地地.).0(0,稱稱為為極極限限保保號(hào)號(hào)性性或或有有充充分分大大時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)nnxxn.,:nNnNn時(shí)的一切當(dāng)充分大的注青島科技大學(xué)定理2. 收斂數(shù)列的極限必是唯一的。收斂數(shù)列的極限必是唯一的。 .,baxn 妨設(shè)妨設(shè)有兩個(gè)相異的極限，不有兩個(gè)相異的極限，不設(shè)設(shè)證明：反證法證明：反證法nTharbrba，當(dāng)，當(dāng)之推論之推論則由則由即即之間一數(shù)之間一數(shù)令任取令任取21, 矛盾！矛盾！及及同時(shí)有同時(shí)有充分大時(shí)充分大時(shí).,rxrxnn 時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)則則與與另證：設(shè)另證：設(shè)NnNbxaxnn , 0,.2 baaabann.2ba 的的

26、任任意意性性，有有由由2. 2. 唯一性唯一性青島科技大學(xué)3.3.極限的夾逼性：極限的夾逼性：定理定理2.2.4從從某某項(xiàng)項(xiàng)開開始始若若三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列,nnnzyx,limlim,0azxnnzyxnnnnnnn且且成立成立.limaynn 則則證證：可知可知由由axnn lim, 0 .,:,11nnxaaxNnN 從而從而可知可知由由aznn lim.,:,22 azazNnNnn從而從而:,max210NnNNnN取取青島科技大學(xué)., ayazyxannnn即即.limaynn 所以，所以，),(,:ayzzyaNnNCorollarynnnn 或或時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)若若.lim,lim

27、ayaznnnn 則則且且 而且可用極限存在的一種方法，不僅是判斷注nyTh3:此方法求極限。且時(shí)，有當(dāng)若,. 3nnnzyxNnNTh.lim,limlimayazxnnnnnn則則即：青島科技大學(xué)例例9.1的極限的極限求數(shù)列求數(shù)列nn解：解：nnnnnnnn 1)1)(1(1.111nnn nnynzxnnn 1,1, 0取取nnnzyx 則有則有01lim,01limnnnn.0limlim nnnnzx即即.0)1(lim nnn由極限的夾逼性由極限的夾逼性青島科技大學(xué), ),max(lim.10212121aaaaaaaaAknnknnn設(shè)例個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)。是是 kak且且證明：證明：

28、,1nnnnnknnnkAkAaaAA ).( 1 nkn).10(0) 1(lim.11nnn例 1)11 (1)11 () 1(0nnnnnn證證明明：.01lim,111 nnn且且青島科技大學(xué). 2) 1(12111(lim.12222nnnn例, 2112) 1(12112222nnxnnnnn解：解：.12項(xiàng)項(xiàng)）共共有有（nxn青島科技大學(xué) 定理4 當(dāng)，則據(jù)定義，取證明：設(shè),1.lim0Naxnn.2, 111得證得證由注由注，即，即時(shí)，有時(shí)，有axaaxNnnn）得得證證注注由由注注或或.3, 2, 11(axaxaxnnn1,max21axxxMN令令反反之之有有界界數(shù)數(shù)列列不

29、不表表明明收收斂斂數(shù)數(shù)列列必必有有界界，注注：4Th.2011.1）是是發(fā)發(fā)散散的的（如如一一定定收收斂斂nnx 收斂數(shù)列必有界收斂數(shù)列必有界. .4.4.有界性有界性青島科技大學(xué)有界數(shù)列有界數(shù)列，否則，稱之為否則，稱之為無(wú)界數(shù)列無(wú)界數(shù)列. . 有界數(shù)列定義有界數(shù)列定義, 3 , 2 , 1RmxMnn若若的上的上是數(shù)列是數(shù)列則稱則稱界界一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列則稱之為則稱之為. .3 , 2 , 1, 0 nXxXxnn使使有界有界顯然，顯然，MxRMxnn使使若若對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列,既有上界又有下界，既有上界又有下界，nx , 2 , 1的下界的下界是數(shù)列是數(shù)列則稱則稱使使nnxmnmx注：Def:De

30、f: 有有對(duì)對(duì)設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)為為有有界界數(shù)數(shù)列列稱稱nBABAxn ),(,.,.上上界界分分別別為為其其下下界界BABxAn青島科技大學(xué)BBBB, 2, 1,. 1如如上上界界上上、下下界界不不是是唯唯一一的的。注注).0(, 1,);0( AAA下下界界 有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件. .推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .例如，例如，n)1(有界，但發(fā)散有界，但發(fā)散青島科技大學(xué) ), 3 , 2 , 1(.0. 3nMxtsMxnn是有界數(shù)列是有界數(shù)列注注), 0(MO鄰域鄰域 0, 0nMxn 無(wú)界無(wú)界ts.0Mxn )., 0(MOxnn 有有ts. 則

31、稱則稱時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)若若對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列注注,. 2BxANnNxnn 項(xiàng)之前只有有項(xiàng)之前只有有有界，故在有界，故在往后有界。往后有界必往后有界。往后有界必Nxn設(shè)設(shè)限限,21Nxxx,max,min11NNxxxx , 3 , 2 , 1),max(),min(nBxAn則則青島科技大學(xué) 且且有有也也收收斂斂則則都都收收斂斂若若,. 1nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx ）（.代代數(shù)數(shù)和和仍仍是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量特特別別，兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的 且且有有也也收收斂斂則則都都收收斂斂若若,.2nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx .,lim

32、limconstcxccxnnnn 特特別別，與與積積仍仍是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量。兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的代代數(shù)數(shù)和和三、數(shù)列極限的運(yùn)算三、數(shù)列極限的運(yùn)算青島科技大學(xué)證：證：XxXaxnnn 使得使得可知可知由由, 0,lim,:, 01 axNnNn且且.:,lim22 byNnNbynnn可知可知再由再由:,max21NnNNN取取byaxbayxnnnn )()(.)( .)()()( bXaxbbyxabyxnnnnn abyxbyaxnnnnnnnlim,lim,lim則若青島科技大學(xué) .,. 3是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量為無(wú)窮小量，則為無(wú)窮小量，則有界有界若若nnnnyxyx 也收斂，

33、且也收斂，且則則都收斂，且都收斂，且若若nnnnnnyxyyx, 0lim,. 4.limlimlimnnnnnnnyxyx.lim11lim1:nnnnnyyy收斂且有收斂且有先證先證證明證明時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)設(shè)設(shè)11, 0. 0limNnNbynn .2,2.220bbyNnNbbynn 時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)又取又取青島科技大學(xué)時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)由由2,Nnbybbbyynnn .212bybbynn或時(shí)，有時(shí)，有則當(dāng)則當(dāng)取取NnNNN ),max(21.2112bybbybynnn .lim111limnnnnyby 故故.1limlim1limlim2得證得證，有，有于是，據(jù)于是，據(jù)nnnn

34、nnnnnnyxyxyx 青島科技大學(xué)收收斂斂。都都發(fā)發(fā)散散，但但它它們們的的和和與與 nnnnn2) 1(1) 1(1注注1. 兩數(shù)列收斂?jī)H是極限運(yùn)算成立的充分條件，而非必要兩數(shù)列收斂?jī)H是極限運(yùn)算成立的充分條件，而非必要條件。例如：條件。例如： 收收）（都都發(fā)發(fā)散散，但但它它們們的的積積與與nnn211) 1(1) 1(1 收收斂斂。斂斂于于零零，它它們們的的和和2 都都收收斂斂或或都都發(fā)發(fā)散散。收收斂斂nnnnyxyx, 不不一一定定。與與收收斂斂，則則結(jié)結(jié)論論如如何何？,1nnyxnn青島科技大學(xué)v注注2. 極限運(yùn)算可推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情形，但對(duì)無(wú)窮極限運(yùn)算可推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情形，

35、但對(duì)無(wú)窮多個(gè)卻不成立。多個(gè)卻不成立。, 01limnn例例：.01lim1lim1lim111limnnnnnnnnnnn 個(gè)個(gè).)11lim1lim(nnnn0lim knnp., ）自自然然數(shù)數(shù)（kp 青島科技大學(xué)例例13nnnnn3253)2(5lim1 求極限求極限解：解：.355323525lim3253)2(5lim1 nnnnnnnn青島科技大學(xué)是正整數(shù)，這里求例lkbnbnbananalllkkkn,lim.14110110.0, 0,00banbaii無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的數(shù)數(shù)且且都都是是與與llkklknnbnbbnanaan 1010lim解：原式解：原式 .,000時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)，lk

36、balk. 04265lim,21827154lim42322nnnnnnnnnnn如如：青島科技大學(xué))121sin1(lim.1522nnnnn例 )(0sin1sin1nnnnn有有界界是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量，.21210青島科技大學(xué))1(limlim.16nnnxnnn求例.11111 nnnnxn解解：111111 nn而而).( n于于是是）（故故.111 nn.211111limlim nxnnn青島科技大學(xué)例例17).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnn由極限的夾逼性由極限的夾逼性111lim7 . 2 . 21)11(limnnnn及例

37、及例由由1111limlim2 nnnnnn知知11lim2 nnn同理同理. 1)12111(lim222 nnnnn青島科技大學(xué)注：注： 數(shù)列的情況，而不能隨意推廣到無(wú)限個(gè)數(shù)列上去數(shù)列的情況，而不能隨意推廣到無(wú)限個(gè)數(shù)列上去.)12111(lim222nnnnn 例如例如. 01lim21lim11lim222 nnnnnnn數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則只能推廣到數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則只能推廣到有限有限個(gè)個(gè)青島科技大學(xué)例例1818 證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準(zhǔn)則 .nnnnn222121122nn且nn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22

38、212111由青島科技大學(xué)四、四、 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則2 )121nnxxxxMmxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab青島科技大學(xué)DefDef : 的的是是單單調(diào)調(diào)增增加加（或或減減少少）稱稱nx.121 nnxxxx.121）（或（或 nnxxxx若等號(hào)都不成立，則稱它是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。若等號(hào)都不成立，則稱它是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。 n1例例如如：注青島科技大學(xué)例例19 設(shè), ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列nx極限存在 . 證證: 利用二項(xiàng)式公式 ,

39、有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n青島科技大學(xué)11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知青島科技大學(xué)根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列nx記此極限為 e ,ennn)1 (lim1

40、e 為無(wú)理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e即有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n青島科技大學(xué),.2021aaaayaayayn例收收斂斂并并求求其其極極限限。證證明明nya).0( .) 1 (是單調(diào)增加的證明：ny . 121.(2)nnnnnyayyayy有由有界. 12 nnnnyayyay即即有有，于是，于是則則又對(duì)又對(duì)nayaaynnn ,. 1 ayan!之之歸歸納納法法證證可可用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) .收斂故ny12lim) 3(nnnnyayly，則則由由設(shè)設(shè))0.(2141,2lallal得得兩兩邊邊

41、取取極極限限，有有青島科技大學(xué)五、五、 無(wú)窮大量的定義：無(wú)窮大量的定義：n nlim x= nnxlim.:, 0GxNnNGn 若對(duì)于任意給定的若對(duì)于任意給定的G 0，可以找到自然可以找到自然G, nx數(shù)數(shù)N, ,使得當(dāng)使得當(dāng)nN時(shí)，成立時(shí)，成立n則稱數(shù)列則稱數(shù)列x 是是無(wú)窮大量無(wú)窮大量，記為，記為 無(wú)窮大量無(wú)窮大量 從某一項(xiàng)開始都是正的（或負(fù)的從某一項(xiàng)開始都是正的（或負(fù)的),),則稱其為正無(wú)窮大量（或負(fù)無(wú)窮大量），統(tǒng)稱為則稱其為正無(wú)窮大量（或負(fù)無(wú)窮大量），統(tǒng)稱為定號(hào)定號(hào)無(wú)窮大量無(wú)窮大量，分別記為，分別記為nx定義定義 )lim( nnx或或 nnxlim青島科技大學(xué)事事。，與與很很大大的的

42、量量不不是是一一回回）無(wú)無(wú)窮窮大大量量是是一一個(gè)個(gè)變變量量（2：）無(wú)無(wú)窮窮大大量量的的幾幾何何解解釋釋（3Gxn 由由定定義義，Gxn 得得.Gxn or ，與與上上一一節(jié)節(jié)中中的的的的極極限限是是，）注注意意記記號(hào)號(hào)（nnnxxlim1極限含義的差別。注注 在在及及個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)間間即即：對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的兩兩),(,(GG 全全位位項(xiàng)項(xiàng)以以后后的的一一切切項(xiàng)項(xiàng)第第一一項(xiàng)項(xiàng)中中總總,21 NNnnxxNxx).3(Fig于于這這兩兩個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)).O-GGx1Nx2Nx青島科技大學(xué)不不唯唯一一，對(duì)對(duì)固固定定性性。既既具具有有任任意意性性，又又有有相相正正數(shù)數(shù)NG)4(無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)

43、。有有關(guān)關(guān)而而與與僅僅與與且且nGN無(wú)窮大量包含)5( 當(dāng)是無(wú)窮大量，且正無(wú)窮大量：,lim)(Nxxinnn. 0 nxNn時(shí)時(shí)，有有., 0GxNnNGn 時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)有時(shí)當(dāng)負(fù)無(wú)窮大量：, 0lim)(NnNGxiinn.Gxn青島科技大學(xué) .1.21為無(wú)窮大量證例qqn,lnln, 0GqnGqGn ，即即由由證證明明：.lnln.lnln qGNqGqGn取取）（不不妨妨設(shè)設(shè)得得) 1.(lim qqnn故故. 1NGxn，求求直直接接解解不不等等式式方方法法 青島科技大學(xué).445152lim.2223nnnnn證例由由，證證明明：先先限限定定, 0100 Gn,6644515223

44、23Gnnnnnnn ).6,100max(.6GNGn 取取得得適適當(dāng)當(dāng)縮縮小小：不不易易求求解解，可可先先將將若若方方法法nnxGx. 2要要求求適適當(dāng)當(dāng)縮縮小小的的求求再再由由.,NGxnnn 必必須須仍仍是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量。n青島科技大學(xué)關(guān)關(guān)系系無(wú)無(wú)窮窮大大量量和和無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的. 1 .1為為無(wú)無(wú)窮窮小小量量為為無(wú)無(wú)窮窮大大量量 nnxx ), 2 , 1(0nxxnn為為無(wú)無(wú)窮窮小小量量，且且反反之之，.1為為無(wú)無(wú)窮窮大大量量 nx定理定理六、無(wú)窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算六、無(wú)窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算青島科技大學(xué)無(wú)無(wú)窮窮大大量量的的運(yùn)運(yùn)算算法法則則. 2 也也量量都都是是正正（或或負(fù)負(fù)）

45、無(wú)無(wú)窮窮大大和和nnnnyxyx) 1 (.是是正正（或或負(fù)負(fù)）無(wú)無(wú)窮窮大大量量與與差差的的極極限限如如何何？注注：兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮大大量量的的和和大大量量，大大量量之之和和可可能能不不是是無(wú)無(wú)窮窮任任何何兩兩個(gè)個(gè)非非同同號(hào)號(hào)的的無(wú)無(wú)窮窮 .大大量量，但但它它們們的的差差必必是是無(wú)無(wú)窮窮和和如如nn. 0111nnnn青島科技大學(xué) 是無(wú)窮大量。是有界的是無(wú)窮大量nnnnyxyx,)2(., 0GxNnNGn 時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)證證明明：,., 0時(shí)時(shí)于于是是當(dāng)當(dāng)，有有對(duì)對(duì)又又NnMynMn . ）（不不妨妨設(shè)設(shè)有有MGMGyxyxnnnn .1sinlim23nnnn如如：.limarctgnnn

46、 NnNyxnn當(dāng)當(dāng)具具有有如如下下特特性性是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量，,:)3( .0是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量時(shí)時(shí)，有有nnnyxy 青島科技大學(xué) 0lim,lim:ayxCorollarynnnn.lim nnnyx時(shí)時(shí)，有有，當(dāng)當(dāng)故故由由證證明明11,lim, 0:NnNxGnn 知知又又由由, 0lim. ayGxnnn. 02lim aaynn）知知：之之）（據(jù)據(jù)極極限限的的保保號(hào)號(hào)性性（推推廣廣21CorollaryTh),max(. 02,2122NNNayNnNn 取取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).2GayxyxNnnnnn 時(shí)時(shí)，有有則則當(dāng)當(dāng)青島科技大學(xué)極極限限量量的的和和、差差、積積、商商的的注注：

47、無(wú)無(wú)窮窮大大量量和和無(wú)無(wú)窮窮小小和和、差差無(wú)無(wú)窮窮大大量量和和無(wú)無(wú)窮窮小小量量的的）如如何何？由由（,2.仍仍是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量 ;12 nnn之之積積和和. 0112 nnn之積之積和和.11122nnnn和和，之之商商之之積積和和青島科技大學(xué)., 0, 0,lim.2300110110lkbabnbnbananalllkkkn求例001010limballlkklknnbbnbbnanaan解解：原原式式. 可可見見 .,0lim00110110klklbaklbnbnbananalllkkkn，)0, 0(00 ba青島科技大學(xué)例如例如： (e )=+ , nlimnn nlim )1ln(nn nlim nnarctan nlim nnsin青島科技大學(xué)附注附注1 1： 柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理柯西審斂原理) 數(shù)列nx極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù) N , 使當(dāng)NnNm,時(shí),mnxx證證: “必要性”.設(shè),limaxnn則,0NnNm,時(shí)