1、8.2 向量的數量積* * *1.1.回顧已學的三種向量的運算及其法則回顧已學的三種向量的運算及其法則, ,介紹本節介紹本節 將要學習向量的第四種運算將要學習向量的第四種運算-(-(數量積數量積). ). * * *情景問題情景問題:-(:-(課本課本P60圖圖8- -6) )* *問題問題: : 在數學中我們如何來定義兩個向量的夾角在數學中我們如何來定義兩個向量的夾角? ?* *感悟感悟: :* *力力 與位移都是向量與位移都是向量; ;那么那么 代表什么呢代表什么呢? ?- 是這兩個向量的夾角是這兩個向量的夾角, ,即是的夾即是的夾角角. .在物理學中在物理學中, ,某物體在力的作用下產生

2、位移某物體在力的作用下產生位移, ,如何計算所做的功如何計算所做的功W? ? cos|b|a|ba 注意：(2)(2)向量的數量積是一個向量的數量積是一個實數實數而不是向量，而不是向量， 符號由符號由 cos cos 決定決定; ; (1)(1)數量積的記法數量積的記法只能只能是是 ，注意不要，注意不要 寫成寫成 或或ba baba ( (平移平移) )( (* *) )請你根據圖形請你根據圖形, ,試著給出兩個向量夾角的概試著給出兩個向量夾角的概念念. .* *問題問題: :* * *(1)(1)兩個向量的夾角的定義兩個向量的夾角的定義: :BAO兩個非零向量的夾角兩個非零向量的夾角 的范圍

3、如何的范圍如何? ?從同一個點出發的兩個非零向量從同一個點出發的兩個非零向量 射線射線OA與與OB的夾角的夾角就叫做向量就叫做向量 的夾角的夾角. .B* *解析解析: :(1)(1)當當 時時, ,B* *記作記作: :* *規定規定: :與其它向量的夾角可視具體情況而定與其它向量的夾角可視具體情況而定. .當兩個向量的夾角當兩個向量的夾角為特殊值時為特殊值時, , 的特殊的特殊位置關系位置關系. .(2)(2)當當 時時, ,(3)(3)當當 時時, ,BAOAOAO如圖如圖,等邊三角形等邊三角形ABC中中,求求 （1）AB與與AC的夾角；的夾角； （2）AB與與BC的夾角。的夾角。ABC

4、 通過平移通過平移變成共起點！變成共起點！12060CD D0120請指出下列各組向量間的夾角.030abbbbbbbbaaaaaa01450120045(1)(4)(5)(7)(2)(6)(3)(8)夾角的范圍：001800顯然：同向同向與與時，時，當當ba00 反向反向與與時，時，當當ba0180 baba 垂直，記作垂直，記作與與時，時，當當090 oAba* *記作記作: : * * *(2)(2)兩個兩個向量的數量積向量的數量積的意義的意義. .( (向量向量 的數量積的數量積) )* *類似地類似地, ,可以給出向量與向量的數量積的概可以給出向量與向量的數量積的概念念. .一般地一

5、般地, ,如果兩個非零向量如果兩個非零向量 的夾角為的夾角為, , 那么我們把那么我們把 叫做向量叫做向量 的數量的數量積積. .(1) (1) 的運算結果是實數而非向量的運算結果是實數而非向量; ; * * *關于關于 的若干說明的若干說明. .(2)(2)注意區別理解兩種不同的運算與結果注意區別理解兩種不同的運算與結果: :(3) (3) 中的運算符號中的運算符號“”不可省略也不可替不可省略也不可替代代; ;(4)(4)根據定義根據定義, ,由于由于: :( (* *) )可記作可記作: : （2）兩向量的）兩向量的數量積數量積是一個是一個數量數量,而不是向而不是向量量,（1）一種新的運算

6、。）一種新的運算。向量的數量積特點：向量的數量積特點： （3） a b不能寫成不能寫成ab ，ab 表示向量表示向量的另一種運算的另一種運算 也不能寫成也不能寫成a b。符號由夾角決定。符號由夾角決定。cos|baba* * *例題例題1:1:在邊長為在邊長為6的正三角形的正三角形ABC中中, ,試計算試計算: :* *感悟感悟: : ABC* *(1)(1)進一步明確兩個向量夾角的實際意義進一步明確兩個向量夾角的實際意義; ;* *(2)(2)題題( (2) )中的兩個向量的夾角應為中的兩個向量的夾角應為: :* * *即為即為: :有向線段有向線段OBOB1 1的值的值. .B1B1* *

7、結合圖形感悟結合圖形感悟: :BAOBAO( (B1) )BAO的幾何意義是的幾何意義是 在在 的方向上的投影的方向上的投影; ;* *注意理解注意理解: :* * *(3)(3)向量向量 在向量在向量 的方向上的投影的幾何意的方向上的投影的幾何意義義. . * * *(4)(4)介紹向量數量積運算的運算法則介紹向量數量積運算的運算法則. .* *說明說明: : (1)(1)簡單介紹證明的方法簡單介紹證明的方法, ,尤其是尤其是( (4) )的證明的證明; ; (2)(2)應用上述運算法則應用上述運算法則, ,可對一些向量的表達可對一些向量的表達 式進行變形或化簡式進行變形或化簡. . 本例應

8、根據向量的運算法則進行逐步化簡本例應根據向量的運算法則進行逐步化簡. .由結果容易得出由結果容易得出: :向量的和向量的和, ,差差, ,積與數的和積與數的和, ,差差, ,積運算形同而意不同積運算形同而意不同, ,故向量運算可仿效數的運故向量運算可仿效數的運算進行算進行. . * *感悟感悟: : * *感悟感悟: : 利用運算法則利用運算法則 , ,可以把可以把“向量向量的模的平方的模的平方”-這是向量計算中常用的重要的轉化方法這是向量計算中常用的重要的轉化方法. . * * *例題例題2:2: * *求證求證: :* * *例題例題3:3: * *已知已知: :且且 夾角夾角為為試求出試

9、求出: :“向量的平方向量的平方”. .* * *(5)(5)向量夾角的計算公式向量夾角的計算公式-向量垂直的充要條件向量垂直的充要條件. .* *容易得出容易得出: : * *策略策略: : 利用向量垂直的充要條件及其運算法則利用向量垂直的充要條件及其運算法則, ,就可把本題轉化為向量模的關系式就可把本題轉化為向量模的關系式, ,從而解之從而解之. . * * *例題例題4:4:已知已知: :與與 互相垂直互相垂直. .試求實數試求實數k的值的值. .ABC6AB AC AB BC 問題一：已知正三角形邊長為，求：；（2）.（1）ABC06001200cos60AB ACAB AC 解: （

10、1）16 6182 （2）0cos120AB BCAB BC 16 6182 ab00222a b 問題二：已知非零向量 、 ，試完成下表，并 的范圍 的符號討論影響向量的數量積的結果的因素。+0-方向相同垂直方向相反a ba b a ba b 0a b 0a ba b 0a ba b 一個向量在另一個向量的方向上的投影的定義： 在數量積的定義 cosa ba b 中，把 cosb叫做向量 b在向量 a的方向上方向上的投影， 即有向線段有向線段 1OB的值（如圖）。 O1BBA1O BBAO1BBA當02時， 有向線段 1OB值等于 1OB； （1）2時， 有向線段 1OB值等于零； （2）當

11、2時， 有向線段 1OB值等于 （3）當1OB。問題四：證明： 224ababa b . 證明：22ababa abb aba abb ab2222aa bb abaa bb ab 222222aa bbaa bb 4a b abababab問題五：已知 2a ， 3b ，且 a與 b的夾角為 3， 求 232ab. 解：222329124abaa bb 22912cos43aa bb22192122343236326abab，則與2a ， 3b ，若 的夾角為多少？思考：已知 數量積的主要性質及應用：數量積的主要性質及應用：是兩個非零向量是兩個非零向量設設ba, 01 bababababa

12、,反向時反向時與與當向量當向量22(4) 0,0a aaa aaa aa ；可簡記為 ，當且僅當 ;,2bababa 同同向向時時與與當當(3) cosa bab （此性質可以解決幾何中的垂直問題）（此性質可以解決幾何中的垂直問題） （此性質可以解決直線（此性質可以解決直線的平行、點共線、向量的平行、點共線、向量的共線問題）；的共線問題）；（此性質可以解決向量的夾角問題）（此性質可以解決向量的夾角問題） 已知已知 均為非零向量均為非零向量,試判試判斷下列說法是否正確斷下列說法是否正確:cba,00)1( a( ( ) )( () )00)2(abababa|,|)3(則若( )( )22|)4(aaaa( )( ). 0, 0)5(中至少有一個為與則若baba( ( ) )夾角的范圍夾角的范圍運算律運算律性性 質質數量積數量積0(3) (ab) c =acbc aa=|a|2（簡寫 a2 = |a|2） aaa |或五.知識回顧:cos|baba(2)(bababa(1) a