1、華師大版九年級下冊數學知識點總結第二十六章二次函數一、二次函數概念：1、二次函數的概念：一般地，形如yax2bxc（ a ，b ，c 是常數， a0 ）的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a0 ，而 b ，c 可以為零。二次函數的定義域是全體實數。2、二次函數yax 2bxc 的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量x 的二次式，x 的最高次數是2。a ，b，c 是常數， a 是二次項系數，b 是一次項系數，c 是常數項。二、二次函數的基本形式1. 二次函數基本形式：yax2 的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

2、x0 時， y 隨 x 的增大而增大；a0向上0 ，0y 軸x0 時， y 隨 x 的增大而減??；x0 時， y 有最小值 0 。x0 時， y 隨 x 的增大而減??；a0向下0 ，0y 軸x0 時， y 隨 x 的增大而增大；x0 時， y 有最大值 0 。22. yaxc 的性質：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質x0 時， y 隨 x 的增大而增大；a0向上0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而減?。粁0 時， y 有最小值 c 。x0 時， y 隨 x 的增大而減小；a0向下0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而增大；x0 時， y 有最大值 c 。3. ya xh2

3、的性質：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a0向上h ，0X=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大；xh 時， y 隨 x 的增大而減?。粁h 時， y 有最小值 0 。xh 時， y 隨 x 的增大而減??；a0向下h ，0X=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大；xh 時， y 有最大值 0 。4.2ya xhk的性質：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a0向上h ，kX=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大；xh 時， y 隨x 的增大而減小；xh 時， y 有最小值 k 。a0向下h ，kX=hxh 時， y 隨 x 的增大而減??；xh 時， y 隨x 的增大而增大；xh 時，

4、 y 有最大值 k 。三、二次函數圖象的平移1. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉化成頂點式2ya xhk ，確定其頂點坐標h ，k； 保持拋物線yax2 的形狀不變，將其頂點平移到h ，k處，具體平移方法如下：y=ax 2向上(k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個單位y=ax 2+ k向右(h>0) 【或左 (h<0)】平移 |k| 個單位y=a (x-h)2向右(h>0)【或左 (h<0) 】平移 |k| 個單位向上(k>0)【或下 (k<0) 】平移|k|個單位向上( k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位

5、向右(h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 個單位y=a (x-h)2+k2. 平移規律在原有函數的基礎上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移”。概括成八個字“左加右減，上加下減”。方法二： yax 2bxc沿 y 軸平移 : 向上（下）平移m 個單位，yax 2bxc 變成 yax2bxcm （或 yax2bxcm ） yax 2bxc沿軸平移：向左（右）平移m 個單位，yax 2bxc 變成 ya( xm) 2b( xm)c （或 ya(xm) 2b( xm)c ）四、二次函數2ya xhk 與 yax 2bxc 的比較從解析式上看，2yaxhk 與 yax2bxc

6、 是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即2yaxb 2a4acb 4a2，其中 hb4acb2，k。2a4a五、二次函數yax2bxc 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數yax2bxc 化為頂點式ya(xh) 2k ，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標， 然后在對稱軸兩側， 左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、與 y 軸的交點0 ，c、以及0 ，c關于對稱軸對稱的點2h ，c、與 x 軸的交點x1 ，0 ，x2 ，0（若與 x 軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.2畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y 軸的交點 .六、二次函

7、數yaxbxc的性質bb4acb21. 當 a0 時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為2a，。2a4a當 xb 2a2時， y 隨 x 的增大而減小；當xb 時， y 隨 x 的增大而增大；當x 2ab 時， y 有最小值2a4acb。4abb4acb 2b2. 當 a0 時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為2a，。當 x2a4a時， y 隨 x 的2a增大而增大；當xb 時， y 隨 x 的增大而減小；當x 2ab 時， y 有最大值2a24acb。4a七、二次函數解析式的表示方法1. 一般式：yax2bxc （ a ， b ， c 為常數， a0 ）；2. 頂點式：ya( xh

8、)2k （ a ， h ， k 為常數， a0 ）；3. 兩根式：ya( xx1)( xx2 ) （ a0 ， x1 ， x2 是拋物線與x 軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即形式可以互化 .2b4ac0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示。二次函數解析式的這三種八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系21. 二次項系數a二次函數yaxbxc 中， a 作為二次項系數，顯然a 0 。 當 a0 時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a 的值越小，開口越大； 當 a0 時，拋物線開

9、口向下，a 的值越小，開口越小，反之a 的值越大，開口越大。總結起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向，a 的大小決定開口的大小。2. 一次項系數b在二次項系數a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸。 在 a0 的前提下，當 b 0 時， 當 b 0 時， 當 b 0 時，b 0 ，即拋物線的對稱軸在y 軸左側；2ab0 ，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2ab0 ，即拋物線對稱軸在y 軸的右側。2a 在 a0 的前提下，結論剛好與上述相反，即當 b 0 時， 當 b 0 時， 當 b 0 時，b0 ，即拋物線的對稱軸在y 軸右側；2ab0 ，即拋物線的對稱軸就是y 軸

10、；2ab0 ，即拋物線對稱軸在y 軸的左側。2a總結起來，在a 確定的前提下，b 決定了拋物線對稱軸的位置。ab 的符號的判定：對稱軸x同右異” 總結：3. 常數項 cb 在 y 軸左邊則 ab2a0 ，在 y 軸的右側則ab0 ，概括的說就是“左 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為正； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為0 ； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為負。總結起來，c 決定了拋物線與y 軸交點的位置?？傊?，只要a，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一

11、確定的。二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法。用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便。一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與x 軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式。九、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關于 x 軸對稱yax 2bxc 關于 x 軸對稱后，得到的解析式是yax 2bxc ；2yaxhk 關于

12、x 軸對稱后，得到的解析式是2ya xhk ；2. 關于 y 軸對稱2yaxbxc 關于 y 軸對稱后，得到的解析式是yaxbxc；2yaxhk 關于 y 軸對稱后，得到的解析式是22ya xhk ；3. 關于原點對稱yax 2bxc 關于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；2yaxhk 關于原點對稱后，得到的解析式是2ya xhk ；24. 關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）2yax 2bxc 關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxbxcb；2yaxhk 關于頂點對稱后，得到的解析式是2a2ya xhk 。5. 關于點m，n 對稱2ya xhk 關于點m ，n對稱后

13、，得到的解析式是2ya xh2m2nk根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此a 永遠不變。求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式。十、二次函數與一元二次方程：1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x 軸交點情況）：2一元二次方程axbxc0 是二次函數yax2bxc 當函數值y0 時的特殊情況.121212圖象與 x 軸的交點個數：2 當b4ac0 時，圖象與x 軸交于兩點A

14、 x ，0，B x ，0( xx) ，其中的x ，x是一元二次方程2axbxc0 a0的兩根。這兩點間的距離ABx2x1b4ac2.a 當0 時，圖象與x 軸只有一個交點； 當0 時，圖象與x 軸沒有交點 .1'當 a0 時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數，都有y0 ；2' 當 a0 時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數，都有y0 。2. 拋物線yax2bxc 的圖象與y 軸一定相交，交點坐標為(0 ， c) ；3. 二次函數常用解題方法總結： 求二次函數的圖象與x 軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；2 求二次函數的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮涤梢话?/p>

15、式轉化為頂點式； 根據圖象的位置判斷二次函數yaxbxc 中 a ， b ， c 的符號，或由二次函數中a ， b ， c 的符號判斷圖象的位置，要數形結合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x 軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式ax2bxc(a0) 本身就是所含字母x 的二次函數；下面以 a0 時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：0拋物線與x 軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根0拋物線與x 軸只二次三項式的值為非負一元二次方程

16、有兩個相等的實數根有一個交點0拋物線與x 軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根.二 次 函數 圖 像參考：y=2x 2y=x 2y=3(x+4) 2y=3x 2y=3(x-2) 2y=2x 2y=2(x-4) 2x 2y=2y=2(x-4) 2-3十一、函數的 應y=2 x 2 +2y=2 x 2用二 次 函 數 應用y=2 x 2 -4x2y= -2y= -x 2y=-2x 2y=-2(x+3) 2y=-2x 2y=-2(x-3) 2剎車距離何時獲得最大利潤最大面積是多少第二十七章：圓一、知識回顧圓的周長 ： C=2 r 或 C= d、圓的面積 ： S= r 2圓環面積計算方法：

17、S=R2 - r 2 或 S=（ R2 -r 2 ） (R 是大圓半徑， r 是小圓半徑）二、知識要點一、圓的概念集合形式的概念：1 、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2 、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3 、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；固定的端點O 為圓心。連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點

18、的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；OdC5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關系1、點在圓內dr點 C 在圓內；Ad2、點在圓上dr點 B 在圓上；rB3、點在圓外dr點 A 在圓外；三、直線與圓的位置關系1、直線與圓相離dr無交點；2、直線與圓相切dr有一個交點；3、直線與圓相交dr有兩個交點；四、圓與圓的位置關系外離（圖1）無交點dRr；外切（圖2）有一個交點dRr；相交（圖3）有兩個交點RrdRr ；內切（圖4）有一個交點dRr；內含（圖5）無

19、交點dRr；rdd=rrddddRrRrRr圖 1圖 2圖 3ddRrrR圖4圖 5五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（ 2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（ 3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共 4 個定理， 簡稱 2 推 3 定理： 此定理中共5 個結論中， 只要知道其中2 個即可推出其它3 個結論，即： AB 是直徑 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 個條件推出其他3 個結論。推論 2：圓的兩條平行弦所

20、夾的弧相等。即：在 O中， AB CD弧 AC弧 BD六、圓心角定理頂點到圓心的角，叫圓心角。ACDOOEABCD B圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1 推3 定理，即上述四個結論中，E只要知道其中的1 個相等，則可以推出其它的3 個結論，F即：AOBDOE ； ABDE ；OD OCOF ；弧 BA弧 BDACB七、圓周角定理頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。C1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：AOB 和ACB 是弧 AB 所對的圓心角和圓周角BOAAOB2ACB2、圓周角定理的推論：DC推論

21、1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；BO即：在 O中，C 、D 都是所對的圓周角ACD推論 2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦C是直徑。即：在 O中， AB 是直徑或BAOC90C90 AB 是直徑C推論 3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在ABC 中， OCOAOBBA O ABC 是直角三角形或C90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內接四邊形圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。即：在 O

22、 中，DC四邊形ABCD 是內接四邊形CBAD180BD180DAECBAE九、切線的性質與判定定理（ 1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MNOA且 MN 過半徑 OA外端 MN 是 O 的切線（ 2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論 2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：OMAN即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理：B從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓

23、心的連線平分兩條切線的夾角。OP即： PA 、 PB 是的兩條切線A PAPBPO平分BPA十一、圓冪定理D（ 1） 相交弦定理 ：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。BO P即：在 O中，弦AB 、 CD 相交于點P ，CA PA PBPCPD（ 2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在 O中，直徑ABCD ，CBOEA D CE 2AEBE（ 3）切割線定理 ：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線A與圓交點的兩條線段長的比例中項。DEO即：在 O中， PA 是切線， PB 是割線PCBPA2PCPB（ 4）割線定理 ：從圓外一

24、點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖） 。即：在 O中， PB 、 PE 是割線 PC PBPD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。A如圖：O1O2 垂直平分AB 。O1O2即：O1 、O2 相交于 A 、 B 兩點B O1O2 垂直平分 AB十三、圓的公切線AB兩圓公切線長的計算公式：CO1（ 1）公切線長：RtO O C 中，AB2CO 2O O 2CO 2 ；O2121122（ 2）外公切線長：CO2 是半徑之差；內公切線長：CO2 是半徑之和。十四、圓內正多邊形的計算C（ 1）正三角形O在 O 中 ABC 是正三角形，有關計算在RtBOD 中進行：BDAOD : BD: OBBC1:3 : 2 ；O（ 2）正四邊形同理，四邊形的有關計算在RtOAE 中進行，OE : AE : OA1:1:2 ：AED（ 3）正六邊形同理，六邊形的有關計算在RtOAB 中進行，AB : OB : OAO1:3 : 2 .BA十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式A1、扇形：（ 1）弧長公式：l（ 2）扇形面積公式：nR；180nR21SlR3602OSlBn ：圓心角R：扇