1、1.3 度量空間的可分性與完備性在實數空間 R 中，有理數處處稠密， 且全體有理數是可列的， 我們稱此性質為實數空間 R 的可分性同時，實數空間 R 還具有完備性，即 R 中任何基本列必收斂于某實數現在我們 將這些概念推廣到一般度量空間度量空間的可分性定義 設 X 是度量空間， A,B X ，如果 B 中任意點 x B 的任何鄰域 O(x, ) 內都 含有 A的點，則稱 A在 B 中稠密若 A B，通常稱 A是 B的稠密子集 注 1 ： A 在 B 中稠密并不意味著有 A B 例如有理數在無理數中稠密；有理數也在實數 中稠密 無理數在有理數中是稠密的， 無理數在實數中也是稠密的， 說明任何兩個

2、不相等的實 數之間必有無限多個有理數也有無限多個無理數定理 設 (X,d) 是度量空間，下列命題等價：(1)A在 B 中稠密；(2)xB， xnA，使得 limd(xn,x) 0 ； n(3)BA(其中 AAUA ， A為 A的閉包， A 為 A的導集 (聚點集 )；(4)任取0 ，有 BU O(x, )即由以 A 中每一點為中心 為半徑的開球組成的集合 xA覆蓋 B 證明 按照稠密、閉包及聚點等相關定義易得定理 1.3.2稠密集的傳遞性 設 X 是度量空間， A,B,C X ，若 A在B中稠密， B 在C 中稠密，則 A 在 C 中稠密證明 由定理 1.1 知 B A ， C B ，而 B

3、是包含 B 的最小閉集，所以 B B A ，于是 有 C A ，即 A 在 C 中稠密注 2：利用維爾特拉斯定理可證得 定理 (Weierstrass 多項式逼近定理 ) 閉區間 a,b 上 的每一個連續函數都可以表示成某一多項式序列的一致收斂極限 (1) 多項式函數集 Pa,b在連續函數空間 Ca,b 中稠密參考其它資料可知：(2) 連續函數空間 Ca,b 在有界可測函數集 Ba,b 中稠密(3) 有界可測函數集 Ba,b在 p次冪可積函數空間 Lpa,b 中稠密 (1 p ) 利用 稠密集的傳遞性 定理 可得：(4) 連續函數空間 Ca,b在 p次冪可積函數空間 Lpa,b中稠密 (1 p

4、 )因此有 Pa,b Ca,b Ba,b Lpa,b 定義 設 X 是度量空間， A X ，如果存在點列 xn A，且xn在 A中稠密，則稱 A是可分點集 (或稱可析點集 )當 X 本身是可分點集時，稱 X是可分的度量空間注 3 ： X 是可分的度量空間是指在 X 中存在一個稠密的可列子集 例 歐氏空間 Rn是可分的 坐標為有理數的點組成的子集構成Rn 的一個可列稠密子集 證明 設Qn (r1,r2,L ,rn)|ri Q,i 1,2,L ,n為 Rn中的有理數點集， 顯然 Qn是可數集，下 證Qn在 Rn中稠密對于rkx(k數列 rik現證Rn中任意一點 x (x1 , x2 ,L ,xn)

5、 ，尋找Qn中的點列 rk ，其中 rk (r1k,r2k,L ,rnk) ，使得 ) 由于有理數在實數中稠密，所以對于每一個實數 xi(k) .于是得到 Qn中的點列 rk ，其中rk (r1k,r2k,L ,rnk) ， 0 ，由 rikxi (kxi ( i 1,2,L ,n ) ，存在有理k 1,2,L .x(k ) ) 知，KiN，當 k Ki 時，有k| rixi | n ，1,2,L,n取 K maxK1,K2,L ,Kn ，當 k K 時，對于 i1,2,L ,n ，都有k|rikxi |，因此d(rk ,x)|2nk|rixii即 rkx(k ) ，從而知 Qn在 Rn中稠密

6、例 1.3.2 連續函數空間 Ca,b 是可分的 具有有理系數的多項式的全體Poa,b 在Ca,b 中稠密，而 Poa,b 是可列集 證明 顯然 Poa,b 是可列集 x(t) 表示成一致收斂的多項式的極限，即由 Weierstrass 多項式逼近定理知， x(t) 可C a,b ，0 ，存在 ( 實系數 ) 多項式 p (t) ，使得d(x,p) ma at xb | x(t) p (t)| 2 另外，由有理數在實數中的稠密性可知存在有理數多項式p0(t) P0a,b ，使得d(p ,p0) max |p (t) p0(t)|a t b 2因此， d(x,p0) d(x,p ) d(p ,p

7、0)，即 p0(t) O(x, ) ，在 Ca,b 中任意點 x(t )的任意鄰域內必有 Poa,b 中的點，按照定義知 Po a, b 在Ca,b 中稠密例 次冪可積函數空間 Lpa,b 是可分的 證明 由于 Poa,b在Ca,b中稠密，又知 Ca,b在Lpa,b 中稠密，便可知可數集 Poa,b在 Lpa,b 中稠密例次冪可和的數列空間 l p是可分的 證明 取Eo ( r1 , r2 ,L , rn ,0, L ,0,L)|ri Q,n N，顯然 Eo等價于 UQn，可知 Eo可數， n1面證 Eo在lp 中稠密x (x1,x2,L ,xn,L ) lp，有 |xi|p，因此 0， N

8、N，當 n N時，i1p|xi |pn N 12又因 Q在 R 中稠密，對每個 xi (1 iN ) ，存在 riQ，使得| xi rip|p 2N ，(i1,2,3,L ,N)于是得Np| xi ri |pi12令 x0 (r1,r2,L ,rN,0,L ,0,L ) E0 ，則N1ppd(x0 ,x) ( |xiri |p|xii|p)p()i1iN122因此 Eo在 lp中稠密例 設 X 0,1 ，則離散度量空間 (X,d0 )是不可分的證明 假設 (X,d0)是可分的， 則必有可列子集 xn X 在 X 中稠密 又知 X 不是可列集 1所以存在 x* X ， x* xn 取2 ，則有O

9、(x , ) x d0(x,x ) x2即O(x*, )中不含 xn 中的點，與 xn 在 X 中稠密相矛盾思考題 : 離散度量空間 (X,d0) 可分的充要條件為 X 是可列集注意： 十進制小數轉可轉化為二進制數：乘 2 取整法，即乘以 2 取整，順序排列，例如 (0.625) 10=(0.101) 2 0.625 2=1.25 取 1；0.25 2=0.50 取 0； 0.5 2=1.00 取 1 二進制小數可轉化為十進制小數，小數點后第一位為 1 則加上 0.5( 即 1/2) ，第二位為 1 n1則加上 0.25(1/4) ，第三位為 1 則加上 0.125(1/8) 以此類推即 (0

10、.x1x2L xn)2 ( 1i xi)10 ，例i 1 2 如1 11(0.101) 2= (1 1 1 0 1 1)10 (0.625) 10 2 48因此 0,1與子集 A x (x1,x2,L ,xn,L ) xn 0 或 1對等，由 0,1不可數知 A 不可列例 有界數列空間 l 是不可分的l x (x1,x2,L ,xn,L )=( xi ) | x為有界數列 ，對于 x (xi) ， y (yi) l ，距離定義為 d(x,y) sup|xi yi |i1證明 考慮 l 中的子集 A x ( x1, x2 ,L ,xn,L ) xn 0 或 1 ，則當 x,y A, x y 時，

11、有 d(x,y) 1因為 0,1中每一個實數可用二進制表示，所以A 與0,1一一對應，故 A不可列假設 l 可分，即存在一個可列稠密子集A0，以 A0 中每一點為心，以 1 為半徑作開球，所3 有這樣的開球覆蓋 l ，也覆蓋 A 因 A0 可列，而 A 不可列，則必有某開球內含有 A 的不同的 點，設 x與 y是這樣的點，此開球中心為 x0 ，于是1 1 2 1 d(x,y) d(x,x0) d(x0,y)3 3 3矛盾，因此 l 不可分度量空間的完備性實數空間 R 中任何基本列 (Cauchy 列) 必收斂即基本列和收斂列在 R中是等價的，現在 將這些概念推廣到一般的度量空間定義 基本列設

12、xn 是度量空間 X 中的一個點列，若對任意 0 ，存在 N ，當 m,n N 時，有d(xm,xn) 則稱xn是 X中的一個 基本列(或 Cauchy列)定理 基本列的性質 ) 設 (X,d) 是度量空間，則(1) 如果點列 xn收斂，則 xn 是基本列；(2) 如果點列 xn 是基本列，則 xn 有界；(3) 若基本列含有一收斂子列，則該基本列收斂，且收斂到該子列的極限點證明 (1) 設xn X ，x X ，且 xnx 則從而 n ， m N 時，0， N N ，當n N時，d(xn,x)22 2 d(xn,xm)d(xn, x) d(x,xm)即得 xn 是基本列(2) 設 xn 為一基

13、本列，則對1 ，存在 N ，當 n N 時，有 d(xN 1,xn)1 ，記M maxd(x1, xN 1),d(x2,xN 1),L ,d(xN,xN 1),1 1，那么對任意的 m,n，均有 d(xn,xm) d(xn,xN 1) d(xm,xN 1) M M 2M ， 即xn 有界(3) 設 xn為一基本列，且 xnk 是 xn的收斂子列， xnk x(k ).于是， 0, N1 N ，當 m,n N1時， d(xn,xm) ； N2 N ，當 k N2時， d(xnk,x) 取 N max N1, N2 ，則 2 k 2當n N，k N時， nk k N，從而有d(xn, x) d(x

14、n,xnk ) d(xnk, x)，k k 2 2故 xn x(n ) 注 4：上述定理 表明收斂列一定是基本列 (Cauchy 列) ，那么基本列是收斂列嗎？例 設 X (0,1) ， x,y X ，定義 d(x,y) x y ，那么度量空間 (X,d) 的點列xn1 是 X 的基本列，卻不是n1X 的收斂列證明 對于任意的0 ，存在N N ，使得 N 1 ，那么對于 m N a 及 n N b ，其中 a,b N ，有xn xm11abNb1N a 1(N a 1)(N b 1)max a, bd(xn ,xm )(N a 1)(N b 1)11abNa Nb1，N，即得 xn 是基本列顯

15、然 limnn0 X ，故 xn 不是 X 的收斂列或者利 用 xn 1 是n111于n1m1是可知 xn如果一個空間中的基本列都收斂，上的 基本 列 ，可知0 ， N N ，當 n,m N 時有1 也是 X 上的基本列 n1那么在此空間中不必找出序列的極限， 就可以判斷它是否收斂，哪一類度量空間具有此良好性質呢？是完備的度量空間 定義 完備性如果度量空間 X 中的任何基本列都在 X 中收斂，則稱 X 是完備的度量空間 例 n 維歐氏空間 Rn 是完備的度量空間證明 由 Rn中的點列收斂對應于點的各坐標收斂，以及R 的完備性易得例 連續函數空間 Ca,b 是完備的度量空間(距離的定義： d(f

16、,g) max| f(t) g(t)|)t a,b證明 設xn 是Ca,b中的基本列， 即任給 0, 存在 N，當 m,n N 時，d(xm,xn) 即 tmaa,bx xm(t) xn (t)故對所有的 t a,b, xm(t) xn(t)，由一致收斂的 Cauchy準則，知存在連續函數 x(t) ，使xn(t) 在a,b上一致收斂于 x(t)，即 d(xm,x) 0(n ),且 x Ca,b .因此 C a, b 完備1例 設 X C0,1 ， f(t),g(t) X ，定義 d1(f ,g)| f (t) g(t) |dt ，那么 (X,d1)不是完備的度量空間 (注意到例 結論 (X,

17、d)完備)證明 設00 t121111fn (t) n(t )t22n11 11t2 nfn(t) C0,1 的圖形如圖 1.3.1 所示顯然 fn(t)C0,1 ，n1,2,3, L 因為 d1( fm, fn )是下面右圖fn(t) C0,1 圖像及有關積分示意圖中的三角形面積，所以 0 ， N 1 ，當 m,n N 時，有于是fn是 X 的基本列下面證 fn在 X 中不收斂若存在 f(t) X ，使得d1(fn, f)0(n )1由于 d1(fn,f) 0| fn(t) f(t)|dt1202| f(t)|dt112n12 n| fn(t) f (t)|dt211 1 |1 f (t)

18、|dt ，顯然上式右邊 2n的三個積分均非負，因此 d1(fn,f) 0時，每個積分均趨于零推得0 t 0, 2f(t) 10 tt (021,12可見 f (t)不連續，故 fn在 X 中不收斂，即 C0,1在距離 d1下不完備度量空間距離可分性n 維歐氏空間(Rn,d)d(x,y)(xiyi)2離散度量空間(X,d0)X 可數0 當 x d0(x, y)當1 當 xy時X 不可數y時×連續函數空間Ca,bd(f,g)tmaa,bx | f(t)t a,bg(t)|表 常用空間的可分性與完備性完備性d1( f,g)ba f(x)g(x)dx×有界數列空間 ld(x,y)s

19、up| xii1yi |×p 次冪可和的數列空間 l pdp(x,y)|xii11p yi |pp 次冪可積函數空間 (Lp a,b,d)d(f,g) ( a,b|f(t)1 g(t)|p dt)p由于有理數系數的多項式函數集 P0a,b是可列的，以及 P0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b 以及 Lpa,b 中稠密，可知閉區間 a,b上多項式函數集 Pa,b、連續函數集 Ca,b、有界可測 函數集 Ba,b 、 p次冪可積函數集 Lpa,b均是可分的 前面的例子說明 n維歐氏空間 Rn 以及 p 次冪可和的數列空間 l p也是可分空間，而有界數列空間 l 和不可數集 X 對應的離

20、散度量空間 (X , d0 )是不可分的從上面的例子及證明可知， n 維歐氏空間 Rn 是完備的度量空間，但是按照歐氏距離X (0,1)卻不是完備的；連續函數空間 Ca,b 是完備的度量空間，但是在積分定義的距離1d1(f,g)|f(t) g(t) |dt下， C0,1卻不完備由于離散度量空間中的任何一個基本列只是同一個元素的無限重復組成的點列， 所以它是完備的 我們還可以證明 p 次冪可和的數列空間 lp 是完備的度量空間， p次冪可積函數空間 Lpa,b( p 1)是完備的度量空間， 有界數列空間的完 備性通常所涉及到的空間可分性與完備性如表 所示在度量空間中也有類似于表示實數完備性的區間

21、套定理，就是下述的閉球套定理定理 閉球套定理 )設 ( X ,d )是完備的度量空間， Bn O(xn, n )是一套閉球：B1 B2 LBn L 如果球的半徑n 0(n ) ，那么存在唯一的點證明 (1) 球心組成的點列x I Bn n1xn 為 X 的基本列當 m n 時，有xm Bm Bn( O(xn, n) ，可得mn0,取N，當 n N時，使得d(xm,xn)于是當 m,n N 時，有(2.4)d(xm ,xn)n ，所以xn為 X 的基本列(2) x 的存在性由于 ( X , d )是完備的度量空間， 所以存在點 x X ，使得 lim xn x 令(2.4)式中的 m ，可得d(

22、x,xn)nBn n1即知 x Bn ， n 1,2,3,L ，因此 x I(3) x的唯一性設還存在 y X，滿足 y I Bn ，那么對于任意的 n N，有 x,y Bn， n1從而 d(x,y) d(x,xn) d(xn,y) 2 n 0 (n ) ，于是 x y注 4：完備度量空間的另一種刻畫：設(X,d)是一度量空間，那么 X 是完備的當且僅當對于 X 中的任何一套閉球：B1 B2 L Bn L ，其中 Bn O(xn, n ) ，當半徑 n 0(n ) ，必存在唯一的點 x I Bn n11大家知道 lim(1 1)n e ，可見有理數空間是不完備的， 但添加一些點以后得到的實數空間 nn是完備的， 而完備的實數空間有著許多有理數空間不可比擬的好的性質與廣泛的應用 對于一 般的度量空間也是一樣， 完備性在許多方面起著重要作用 那么是否對于任一不完備的度量空 間都可以添加一些點使之成為完備的度量空間呢？下面的結論給出了肯定的回答定義 等距映射 設(X,d)，(Y, )是度量空間，如果存 在一一映射T:X Y ，使得 x1,