1、數(shù)值計(jì)算試題庫(kù) - 計(jì)算題第一章1、（ 10 分 基礎(chǔ)）設(shè)f ( x)x 33x 24x3，請(qǐng)用秦九韶算法計(jì)算f (2) 。第二章2、（ 12 分 基礎(chǔ)）已知數(shù)值表x0.50.60.7f x0.479430.564640.64422試用二次插值計(jì)算f0.57681 的近似值，計(jì)算過(guò)程保留五位小數(shù)。（要寫(xiě)出二次插值多項(xiàng)式）3、（ 10 分 基礎(chǔ)）用已知函數(shù)表x012y125求拋物插值多項(xiàng)式，并求f ( 1 ) 的近似值。24、（ 12 分 基礎(chǔ)）已知函數(shù) y1的一組數(shù)據(jù)：x21xi012yi10.50.2求分段線性插值函數(shù)，并計(jì)算f 1.5 的近似值 .5、（ 12 分 基礎(chǔ)）依據(jù)如下函數(shù)值表x

2、0124f ( x)19233建立不超過(guò)三次的拉格朗日插值多項(xiàng)式.3196、（ 10 分 難）設(shè) f ( x)x 2, x0, x1 1, x2（ 1）試求在上的三次 Hermite 插值44多項(xiàng)式 H ( x) 使?jié)M足 H ( x j )f (x j), j1,2,H ( x1 ) f ( x1 ) , H (x) 以升冪形式給出。 （2）寫(xiě)出余項(xiàng) R(x) f (x)H (x) 的表達(dá)式7、（ 12 分 中等） 用余弦函數(shù)cos x在 x00, x1, x2三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值寫(xiě)出二次Lagrange 插值42多項(xiàng)式函數(shù) , 并近似計(jì)算cos及其絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差，且與誤差余項(xiàng)估計(jì)值比較。6第三

3、章8、（ 12 分 中等）給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù).9、（ 12 分 中等）某學(xué)生在大學(xué)一二年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)?nèi)缦拢簩W(xué)期（ x ）1234平均成績(jī)（y ）63.270.576.678.4試求出一條最佳的直線以反映其平均成績(jī)的上升趨勢(shì)， 并估計(jì)出他在大學(xué)三四年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)，將表格填完整。10、（ 15 分 基礎(chǔ)）已知函數(shù)表x112f (x)304（ 1）給出 Lagrange 二次插值多項(xiàng)式，并求f (0) 的近似值；（ 2）給出均差意義下的Newton 二次插值多項(xiàng)式，并求f (0) 的近似值；（ 3）給出離

4、散數(shù)據(jù)的線性擬合多項(xiàng)式，并求f ( 0) 的近似值。11、（ 15 分 基礎(chǔ)）利用已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)（2， 4），（ 3，9），（ 5，25），分別1.給出 Lagrange 二次插值多項(xiàng)式，并求f (3.5) 的近似值；2.給出均差意義下的 Newton 二次插值多項(xiàng)式，并求f (3.5) 的近似值；3.給出離散數(shù)據(jù)的線性擬合多項(xiàng)式，并求f (3.5) 的近似值。第四章12、（ 12 分 中等）用緊湊格式解方程組410x11141x23014x31335x11013、（ 12 分 難）用改進(jìn)平方根法求解方程組359x2165917x33014、（ 12 分 中等）用矩陣的直接三角分解法解方程組

5、1020x150101x231243x3170103x472x1x2x3015、（ 12 分 中等）用緊湊格式的三角分解法求解線性方程組: x1x2x33x1x22x3116、（ 12 分 中等）用矩陣的直接三角分解法解方程組2426x1949615x22326918x3226151840x447第五章17、（ 12 分 中等）用高斯賽德?tīng)柕ㄇ蠼饩€性方程組，已知TX 00,0,0,0，求X1 .計(jì)算過(guò)程中保留4 位有效數(shù)字，要求寫(xiě)出迭代格式。18、（ 12 分 中等）已知方程組210x11131x21012x31(1) 證明高斯塞德?tīng)柗ㄊ諗浚?2)寫(xiě)出高斯塞德?tīng)柗ǖ剑?3)取初始值

6、X 00,0,0T，求出X110119、（ 12分 中等）求矩陣A010的譜半徑 .202832x12020、（ 12分 中等）已知方程組4111x2336312x336（ 1） 證明雅可比法收斂（ 2） 寫(xiě)出雅可比迭代公式（ 3）取初值 X0T10,0,0 ，求出 X第六章21、（ 12分 難）用 n114 復(fù)化辛卜公式計(jì)算積分dx ，并估計(jì)誤差。0 1xx22、（ 12分 中等） n4 時(shí)，用復(fù)化梯形與復(fù)化辛卜生公式分別計(jì)算積分1x2dx0423、（ 12112 dx .分 基礎(chǔ)）寫(xiě)出梯形公式、辛卜生公式，并分別用來(lái)計(jì)算積分0 1x24、（ 101f (x) dx A0 f (-1) +

7、A1 f(0) + A2 f(1) 有二次代數(shù)精度，求A0， A1,， A2 。分難）若125、（ 12 分 難）試確定常數(shù)A，B，C 和 ，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問(wèn)所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss 型的？26、（ 12 分 難）對(duì)于求積公式hh f (0) f (h)h2 f (0) f (h)f ( x) d x02（ 1）求待定參數(shù)使得該求積公式代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度；h2 d x 的值。（ 2）用所求公式計(jì)算x0第七章27、（ 12分 中等）用牛頓法求方程 x33x1 0 在 1,2 之間的近似根，計(jì)算保留6 位有效數(shù)字。要

8、求 xn xn 10.00005，取 1 或 2 作為初始值。28、（ 12分 中等）用一般迭代法求方程x 34 x 1 0 在 0,0.5 內(nèi)的根。(1) 對(duì)方程同解變形，并檢驗(yàn)壓縮條件；(2) 寫(xiě)出一般迭代法迭代公式；(3)選初始值 x0 0.5 ，求出 x1 。29、（ 12 分 難） . 若用二分法求f (x) = 0 在 1,2 之間近似根，精確到 0.01，求二分的次數(shù)n+1. . 設(shè) f ( x)x3x 211, 若用牛頓法求解，請(qǐng)指出初值應(yīng)取1 還是 2,為什么？30、（ 12 分 難）已知的( x) 滿足，試問(wèn)如何利用構(gòu)造一個(gè)收斂的簡(jiǎn)單迭代函數(shù)，使0， 1 收斂？31、（ 1

9、0 分 基礎(chǔ)）請(qǐng)用二分法計(jì)算方程f (x) x 33x 24x 30 的近似根， 并進(jìn)行到第3 步為止。32、（ 12 分 中等）設(shè) a0 ，給出用牛頓迭代法計(jì)算1 的公式，并根據(jù)初值x0 1.2345/ 20.61725a來(lái)計(jì)算1的值。（要求迭代 3 次）1.234533、（ 12 分 中等）對(duì)非線性方程f (x)(x 1) 3 ( x2)0 （小數(shù)點(diǎn)后保留5 位）。1.取 x00.9，用牛頓迭代法計(jì)算x1 , x2 ；2.取 x00.9 ，用計(jì)算重根的牛頓迭代格式計(jì)算x1 ,x2 ；3.取 x 00.9 ， x11.1 ，用弦截法計(jì)算 x2 , x3 ；第八章yxy234、（ 12 分 中

10、等）用歐拉法解初值問(wèn)題在 0,1.5 上的數(shù)值解，取h0.5 ，計(jì)算過(guò)程保y 02留 5 位小數(shù)。（要求寫(xiě)出迭代公式）y' 12xy1 x2 0 x 135、（ 12 分 中等）用歐拉預(yù)校公式求解初值問(wèn)題y(0)0要求取步長(zhǎng) h0.5，計(jì)算 y(1) 的近似值。yxy36、（ 8 分 基礎(chǔ)）已知微分方程y(0)1取步長(zhǎng) h=0.1, 試用歐拉法求出滿足已知微分方程和初始條件的函數(shù)y 的前三個(gè)值。計(jì)算題參考答案第一章：1、（ 10 分）設(shè)f ( x)x 33x 24x3 ，請(qǐng)用秦九韶算法計(jì)算f (2) 。解 : 按秦九韶算法列表計(jì)算如下: (2 分 )1-34-3x22-241-121=

11、f(2)（ 9 分 )所以 f (2)1. (10 分)第二章：2、（ 12 分）過(guò)0.5,0.447943 ， 0.6,0.56464 ， 0.7,0.64422 作二次插值多項(xiàng)式P2xx0.6x0.70.47943x0.5x0.70.50.60.50.60.50.60.564640.70.7x0.5x 0.60.64422（ 4 分）0.70.50.70.6所以f0.57681P20.576810.576810.60.576810.70.50.60.50.70.479430.576810.50.576810.70.60.50.60.70.564640.576810.50.576810.60

12、.70.50.70.60.64422（ 8 分）0.002860.009460.001780.644220.20.479430.10.564640.20.10.10.10.06856 0.534280.05738 0.54546（12 分）3、（ 10 分）作差商表：xiyi一階差商二階差商011212531（5 分）N2 x 1 x 0x 0 x 1 x211N151.25（10 分）f22424、（ 12 分）解 x0,1， Lxx11x00.510.5x （ 4 分）0110x1,2， Lxx20.5x10.20.3 x 0.8 （8 分）1221所以分段線性插值函數(shù)為L(zhǎng)x10.5 xx

13、0,110 分0.80.3xx1,2L1.50.80.31.50.3512 分5、（ 12 分）依據(jù)如下函數(shù)值表建立不超過(guò)三次的牛頓插值多項(xiàng)式.解插值基函數(shù)l 0 ( x)(x 1)( x 2)( x 4)1 x37 x 27 x 1(0 1)(0 2)(0 4)884l1 (x)(x 0)( x 2)( x 4)1 x32x 28 x(10)(12)(14)33l 2 ( x)(x 0)( x 1)( x 4)1 x35 x 2x(2 0)( 2 1)( 2 4)44l 3 (x)(x 0)( x 1)( x 2)1 x 31 x 21 x （ 6 分）(4 0)(4 1)(4 2)2481

14、2拉格朗日插值多項(xiàng)式為3L3 ( x)i 0f ( xi )li ( x)l 0 ( x)9l1 (x)23l 2 ( x)3l 3( x)=11 x345 x21 x 1 （ 12 分）4426、（ 10 分）（ 1） H ( x)14x3263 x 2233 x1（5 分）225450450251 951 )( x 1)2 ( x9 ) ，( x) ( 1 , 9 ) （ 10 分）（ 2） R( x)2 ( x4!1644447、（ 12 分）用余弦函數(shù)cosx 在 x0 0, x14 , x22 三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值寫(xiě)出二次Lagrange 插值多項(xiàng)式函數(shù) , 并近似計(jì)算 cos 6 及其絕

15、對(duì)誤差與相對(duì)誤差，且與誤差余項(xiàng)估計(jì)值比較。解 : 二次 Lagrange 插值多項(xiàng)式函數(shù)為 :L2 ( x)(xx1 )( x x2 ) y0(x x0 )( x x2 ) y1( xx0 )( x x1 ) y2( x0x1 )( x0x2 )( x1x0 )( x1x2 )( x2x0 )( x2x1 )( x4 )( x2 ) 1( x0)( x2 ) y1(x0)( x4 ) 0(6 分)(04 )(02 )( 40)( 42 )( 20)( 24 )(4x)(2x)(8x0)(2x)22122cos 6 的近似值為 :L2( )242242(8 分)9996其絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差分別為

16、:e cos6L2 (6)0.01528,ere / cos60.0176 (10 分 )cos3誤差余項(xiàng)估計(jì)值為R2 ()(0)(4)()640.0239263!6662可以看出 , 誤差余項(xiàng)略大于絕對(duì)誤差. (12 分)第三章8、（ 12 分）給定數(shù)據(jù)表，試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù).解 y( x) cc x cx 2cx301231248501001111010034A 1000 ，ATA034011111003401301248AT y(2.9,4.2,7,14.4)T （ 6 分）法方程AT AcAT y （ 8 分）的解為 c00.4086 ， c10.39167， c2

17、0.0857 ， c3 0.00833得到三次多項(xiàng)式y(tǒng)( x)0.40860.39167x0.0857x 20.00833x3 （ 12 分）9、（ 12 分）某學(xué)生在大學(xué)一二年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)?nèi)缦拢簩W(xué)期（ x ）1234平均成績(jī)（ y ）63.270.576.678.4試求出一條最佳的直線以反映其平均成績(jī)的上升趨勢(shì)，并估計(jì)出他在大學(xué)三四年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)，將表格填完整。解 : 用最小二乘法求解.設(shè)所求的直線為y abx ,則整體誤差為 :4yi ) 2E(a, b)(abxi(2 分)i 1E4404abxiyia由得關(guān)于 a, b 的線性方程組為 :i 1i14,即E044a xi

18、b xi2xi yibi1i 1i 14a10b289.7,(7分)10a30b747.6解得 a60.75 , b4.67所以所求的直線為y60.754.67 x .(9 分 )將 x5,6,7,8 分別代入y60.754.67 x 后可估計(jì)得出他在大學(xué)三四年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)分別為:y84.1, 88.77 , 93.44, 98.11 。填表。 (12 分 )10、（ 15 分）已知函數(shù)表x112f (x)304（ 1）給出 Lagrange 二次插值多項(xiàng)式，并求f (0) 的近似值；（ 2）給出均差意義下的Newton 二次插值多項(xiàng)式，并求f (0) 的近似值；（ 3）給出離散數(shù)據(jù)的

19、線性擬合多項(xiàng)式，并求f ( 0) 的近似值。解：先作插值多項(xiàng)式P( x) ，用 P( x)f ( x) ，求 P(0)(1)L2 ( x)l 0 ( x) y0l1 ( x) y1l 2 ( x) y2(xx1 )( xx2 )( x0x1 )( x0f ( x0 )x2 )( x1)( x2)( 3)( x( 11)(12)(11( x1)( x2)4( x23(xx0 )( xx2 )f ( x1 )( x1x0 )( x1x2 )( xx0 )( xx1 )f (x2 )( x2x0 )( x2x1 )1)( x2) .0( x1)( x1) .41)(12)(21)(21)1)( x1

20、)5 x 23 x7623f (0) L2 ( 0)1.2472( 1)（5分）33(2) 用 Newton 二次插值f x0, x1f ( x0 ) f ( x1 )3 033x0x11122f x1 , x2f ( x1 )f ( x2 )0 444x1x21 2134f x0 , x1 f x1 , x2 25f x0, x1 , x2 x0x2126P2 ( x)f (x0 )f x0 , x1 ( x x0 )f x0 , x1 , x2 ( x x0 )( x x1 ) （ 10 分）33 (x 1)5 (x 1)( x 1)5 x 23 x726623f (0)P2 (0)335

21、7263(3) 設(shè)擬合多項(xiàng)式為P1 ( x)a0a1 xTT則由法方程A AXA Y 可得：1111a0113111111a11102221432a01解之得： a0831整理可得：6a111,a11427則 P1 ( x)831 x ， f (0)P1 (0)8（15 分）714711、（ 15分）利用已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)（2， 4），（ 3， 9），（ 5， 25），分別1.給出 Lagrange 二次插值多項(xiàng)式，并求f ( 3.5) 的近似值；2.給出均差意義下的Newton 二次插值多項(xiàng)式，并求f ( 3.5) 的近似值；3.給出離散數(shù)據(jù)的線性擬合多項(xiàng)式和均方誤差，并求f (3.5) 的近

22、似值。解1. 以插值點(diǎn)（ 2， 4），（3， 9），（5， 25）代入插值公式，得L(x)( x x1 )( x x2 )(x x0 )( x x2 )( x x0 )( x x1 )(x x2 )( x0 x2 )f (x0 ) +x0 )( x1 x2 )f (x1 ) +f ( x2 )( x1( x2 x0 )( x2x1 )( x3)( x5)( x2)( x5)(x2)( x3)=3)(24(32)(35)92)(525(25)(53)L(x)4 (x 3)( x 5)9 ( x 2)( x 5)25 ( x 2)( x 3) x2326代入可得 f (3.5)L(3.5)12.2

23、5 。5 分2. 做出插值點(diǎn)（ 2, 4）（3, 9）（ 5, 25）的差商表：ix if xi f xi 1, xi f xi 2 , xi 1 , xi 024139(9-4)/(3-2)=52525(25-9)/(5-2)=8(8-5)/(5-2)=1N (x) f x0 f x0 , x1 ( x x0 )f x0 , x1 , x2 ( x x0 )( xx1 )4 5( x2) (x 2)( x 3)x 2代入可得 f (3.5) N (3.5) 12.25 。10 分3. 設(shè)擬合多項(xiàng)式為 P1 (x) a0 a1 x則由法方程ATAXATY 可得：1112a0114131231a

24、1239555125310a038解之得： a07850整理可得：1038a11607, a17則 P(x7850 x， f (3.5)97。15 分1)77P1 (3.5)7第四章12、（ 12 分）解：（1）完成分解ALRr114 ， r121， r130 ，l2110 ， r221151456， l314， r23， l32， r334441515所以矩陣的三角分解 ALR1410A1151 （6分）144415601515（ 2）解方程組（ 3）解方程組LY b ， y11328， y2， y31415RX Y ， x31， x 11， x1222所以 X( 1,1, 1)T （12

25、分）2213、（ 12 分）解由公式計(jì)算得r11a113,r12a123,r13a135;l 21a213a315r111,l31r1133r22a22l21r2151 32,r23a23 l21r13 9 1 5 4l32r234r33a33l31r13l32 r2324 分r222,32再得 y110, y26, y348 分3得 X1,1,2 T12 分14、（ 12 分）用矩陣的直接三角分解法解方程組1020x150101x231243x3170103x47解設(shè)1020110200101l 211u22u23u24（ 2分）1243l 31l 321u33u340103l 41l 42

26、l 431u44由矩陣乘法可求出uij 和 lij11l 21101（4 分）l31l 321121l 41l 42l 43 1010 110201020u22u23u24101u33u34（6 分）21u442解下三角方程組1y1501y23121y317010 1y47有 y15， y23 ， y36 ， y44 。再解上三角方程組（9 分）1 020x15101x2321x362x44得原方程組的解為x11， x21 ， x32 ， x42 。（12 分）2x1x2x3015、（ 12 分）用緊湊格式的三角分解法求解線性方程組: x1x2x33x1x22x31解 :先用緊湊格式的三角分解

27、法計(jì)算分解矩陣:21102110( A b)11131/2 1/2 1/23(4 分)11211/2 1/211/ 2從而有2110100211A 11131/2 100 1/21/2 (6分)11211/2 1/2 10 01因此原方程化為等價(jià)的三角方程組為:211x1001/ 21/ 2 x23(10 分)001x31 / 2回代求解得 :x31/ 2, x211/ 2, x13(12 分 )16、（ 12 分）用矩陣的直接三角分解法解方程組2426x1949615x22326918x3226151840x447解：設(shè)1u11u12u13u14l 211u22u23u24A LUl 321

28、u33（3 分）l31u34l 41l 42l 43 1u44由矩陣的乘積可得：1242621,U123L213（6 分）1633211設(shè) UxY ，則原方程組可以化為L(zhǎng)Yb ，解之得 Y(9,5,3, 1)T ，（10 分）根據(jù) UxY，可得 X(0.5,2,3,1)T（12 分）第五章：17、（ 12 分）迭代格式為：x1 k 10.2x2k0.2x3k0.2 x4k0.8x2k 10.1x1k 10.1x3k0.1x4k1.20,1,2, ··（4 分）x3 k 10.2x1k 10.2 x2k 10.2x4k， k1.6x k 10.1x k 10.1x k 10.1x k13.44123因?yàn)?X00,0,0,0T00， x 00 ， x00 ， x00 ，代入迭代格式，即 x1234求X11，00.20 0.200.200.80.8 （6 分）x1將 x110.8， x200 ， x300， x400 代入迭代式，求x21，x21 0.10.80.100.101.21.12 （ 8 分）將 x10.8， x 11.12 ， x00 ， x 00 ，求 x 1，12343x31 0.20.80.21.120.201.61.664（10 分）11101將 x10.8， x21.12 ， x31.664 ， x40 ，求 x4，x4