1、第三章 流體的運動習題解答1 應用連續性方程的條件是什么？答：不可壓縮的流體作定常流動。2在推導伯努利方程的過程中，用過哪些條件？伯努利方程的物理意義是什么？答：在推導伯努利方程的過程中，用過條件是不可壓縮、無內摩擦力的流體（即理想流體）作定常流動。方程的物理意義是理想流體作定常流動時，同一流管的不同截面處，單位體積流體的動能、勢能與該處壓強之和都是相等的。3兩條木船朝同一方向并進時，會彼此靠攏甚至導致船體相撞。試解釋產生這一現象的原因。答：因為當兩條木船朝同一方向并進時，兩船之間水的流速增加，根據伯努利方程可知，它們間的壓強會減小，每一條船受到外側水的壓力大，因此兩船會彼此靠攏甚至導致船體相

2、撞。4冷卻器由19根20×2mm（即管的外直徑為20mm，壁厚為2mm）的列管組成，冷卻水由54×2mm的導管流入列管中，已知導管中水的流速為1.4m/s，求列管中水流的速度。解：已知120×2mm，d1=202×2=16mm，n1=19，254×2mm，d2=542×2=50mm，v2=1.4m/s，根據連續性方程知：S0v0= S1v1+S2v2 +Snvn，則 m/s5水管上端的截面積為4.0×104m2，水的流速為5.0 m/s，水管下端比上端低10m，下端的截面積為8.0×104m2。(a)求水在下端的流

3、速；(b)如果水在上端的壓強為1.5×105Pa，求下端的壓強。解：(a)已知S1=4.0×104m2，v1=5.0 m/s，h1=10m，S2=8.0×104m2，=1.5×105Pa ，根據連續性方程：S1v1=S2v2 知：( m/s）(b) 根據伯努利方程知：，h2=0，=1.0×103 kg/m3 6水平的自來水管粗處的直徑是細處的兩倍。如果水在粗處的流速和壓強分別是1.00 m/s和1.96×105Pa，那么水在細處的流速和壓強各是多少？解：(a)已知d1=2 d2，v1=1.00m/s，=1.96×105Pa，

4、根據連續性方程知：S1v1=S2v2(m/s)(b) 根據伯努利方程知（水平管）：(Pa)7利用壓縮空氣，把水從一密封的筒內通過一根管以1.2 m/s的流速壓出。當管的出口處高于筒內液面0.60m時，問筒內空氣的壓強比大氣壓高多少？解：已知v1=1.2m/s，h1=0.60m，=，根據伯努利方程知： 由于S1<< S2，則v2=0，因此 (Pa)8汾丘里流速計主管的直徑為0.25m，細頸處的直徑為0.10m，如果水在主管的壓強為5.5×104Pa，在細頸處的壓強為4.1×104Pa，求水的流量是多少？解：已知d1=0.25m，d2=0.10m，=5.5×

5、;104Pa，=4.1×104Pa，根據汾丘里流速計公式知：9一水平管道內直徑從200mm均勻地縮小到100mm，現于管道中通以甲烷（密度=0.645 kg/m3），并在管道的1、2兩處分別裝上壓強計（如圖3-1），壓強計的工作液體是水。設1處U形管壓強計中水面高度差h1=40mm，2處壓強計中水面高度差h2=-98mm（負號表示開管液面低于閉管液面），求甲烷的體積流量Q。解：已知d1=200mm=0.200m，d2=100mm=0.100m，=0.645kg/m3，=1.0×103kg/m3，h1=40mm=0.040m，h2=-98mm=-0.098m，根據汾丘里流速計

6、公式知：10將皮托管插入河水中測量水速，測得其兩管中水柱上升的高度各為0.5cm和5.4cm，求水速。解：已知h1=5.4cm=0.054m，h2=0.5cm=0.005m，根據比托管流速計公式知：(m/s)11如果圖3-2所示的裝置是一采氣管，采集CO2氣體，如果壓強計的水柱差是2.0cm，采氣管的橫截面積為10cm2。求5分鐘所采集的CO2的量是多少m3？已知CO2的密度為2kg/m3。解：已知h=2.0cm=0.02m，S=10cm2，t=5min，=2kg/m3，=1.0×03kg/m3，根據比托管流速計公式知：(m/s)所以5min采集的CO2為： (L)12水桶底部有一小

7、孔，桶中水深h=0.3m。試求在下列情況下，從小孔流出的水相對于桶的速度：(a)桶是靜止的；(b)桶勻速上升。解：(a)已知h1=0.30m，S1>> S2，桶是靜止時，根據伯努利方程知： ，由于S1>> S2，則v1=0，因此 (m/s)(b)桶勻速上升時，v2=2.42 (m/s)13注射器的活塞截面積S1=1.2cm2，而注射器針孔的截面積S2=0.25mm2。當注射器水平放置時，用f=4.9N的力壓迫活塞，使之移動l=4cm，問水從注射器中流出需要多少時間？解：已知S1=1.2cm2，S2=0.25mm2，f=4.9N，l=4cm ，作用在活塞上的附加壓強：(p

8、a)，根據水平管的伯努利方程知： 由于，S1>> S2，則v10，因此 (m/s)根據連續性方程知：S1v1=S2v2(m/s)(s)14用一截面為5.0cm2的虹吸管把截面積大的容器中的水吸出。虹吸管最高點在容器的水面上1.20m處，出水口在此水面下0.60m處。求在定常流動條件下，管內最高點的壓強和虹吸管的流量。解：(a)已知SD=5.0cm2=5.0×104m2，hB=1.20m，hD=0.60m，SA>> SD，如圖3-10所示，選取容器內液面A為高度參考點，對于A、D兩處，=1.013×105 Pa，應用伯努利方程，則有： (m/s)B、D

9、兩處（均勻管）應用伯努利方程得： (pa)(b)Q=SDvD= 5.0×104×3.43=1.72×103 (m3/s)15勻速地將水注入一容器中，注入的流量為Q=150 cm3/s，容器的底部有面積S=0.50cm2的小孔，使水不斷流出。求達到穩定狀態時，容器中水的高度。解：已知Q=150 cm3/s=1.5×104m3/s，S2=0.5cm2=5.0×105m2，因為以一定流量為Q勻速地將水注入一容器中，開始水位較低，流出量較少，水位不斷上升，流出量也不斷增加，當流入量等于流出量時，水位就達到穩定，則：和(m)16如圖3-3所示，兩個很大的

10、開口容器B和F，盛有相同的液體。由容器B底部接一水平管子BCD，水平管的較細部分C處連接到一豎直的E管，并使E管下端插入容器F的液體內。假設液流是理想流體作定常流動。如果管的C處的橫截面積是D處的一半。并設管的D處比容器B內的液面低h，問E管中液體上升的高度H是多少？解：已知截面積，由連續性方程得，考慮到A槽中的液面流速相對于出口處的流速很小，由伯努利方程求得對C、D兩點列伯努利方程：因為，所以，即C處的壓強小于，又因為F槽液面的壓強也為，故E管中液柱上升的高度H應滿足： 解得 17使體積為25cm3的水，在均勻的水平管中從壓強為1.3×105Pa的截面移到壓強為1.1×1

11、05Pa的截面時，克服摩擦力做功是多少？解：已知V=25 cm3=2.5×105m3，=1.3×105Pa，=1.1×105Pa，由實際流體運動規律知：(Pa)（水平均勻管）(J)18為什么跳傘員從高空降落時，最后達到一個穩恒的降落速度？答：跳傘員從高空降落時，最后達到一個穩恒降落速度的原因主要是跳傘員的重力、受到浮力和空氣阻力達到平衡，沉降速度恒定。1920的水，在半徑為1.0cm的水平管內流動，如果管中心處的流速是10cm/s。求由于粘性使得管長為2.0m的兩個端面間的壓強差是多少？解：已知R=1.0 cm，vmax=10cm/s=0.10m/s，L=2.0m

12、，t=20，查表知20時水的黏度系數為： Pa×s，由泊肅葉定律的推導知： 當r=0，m/s(Pa)20圖3-3為粘性流體沿水平管流動時，壓強沿管路降低的情況。若圖中h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm。求液體在管路中流動的速度。已知：h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm求：v=?解：由實際流體運動規律知：1，2兩處（水平均勻管）(J/m3) 容器開口液面處與圓管出口處應用實際流體運動規律知：得： (m/s)21直徑為0.01mm的水滴，在速度為2 cm/s的上升氣流中，能否向地面落下？設空氣的=1.8×

13、;105Pa×s。解：已知d=0.01mm=105m，v=2 cm/s=0.02 m/s，=1.8×105Pa×s，水滴受力分析：重力、浮力、粘性阻力，由斯托克斯定律定律知：(N) (N)<故水滴不會落下。22水從一截面為5cm2的水平管A，流入兩根并聯的水平支管B和C，它們的截面積分別為4cm2和3cm2。如果水在管A中的流速為100cm/s，在管C中的流速為50 cm/s。問：(a)水在管B中的流速是多大？(b)B、C兩管中的壓強差是多少？(c)哪根管中的壓強最大？解：(a)已知SA=5cm2，SB=4cm2，SC=3cm2，vA=100cm/s=1.0

14、0m/s，vC=50cm/s=0.50m/s，根據連續性方程知：SAvA= SBvB+SCvC (m/s)(b) 根據伯努利方程知：A、B兩處： A、C兩處： 因此，(Pa)(c)由以上兩個方程可知：則：，即C管壓強最大。23如圖3-4所示，在水箱側面的同一鉛直線的上、下兩處各開一小孔，若從這兩個小孔的射流相交于一點，試證：h1H1=h2H2。證明：根據小孔流速規律知：和再根據平拋運動規律知： x=vt和聯立以上關系式得：由于 x1=x2 所以 h1H1=h2H2 證畢。24在一個頂部開啟高度為0.1m的直立圓柱型水箱內裝滿水，水箱底部開有一小孔，已知小孔的橫截面積是水箱的橫截面積的1/400

15、，(a)求通過水箱底部的小孔將水箱內的水流盡需要多少時間？(b)欲使水面距小孔的高度始終維持在0.1m，把相同數量的水從這個小孔流出又需要多少時間？并把此結果與(a)的結果進行比較。解：(a)已知h1=0.1m，S2= S1/400，隨著水的流出，水位不斷下降，流速逐漸減小，根據小孔流速規律知在任意水位處水的流速為：，該處厚度為dh 的一薄層從小孔流出時間為：整個水箱的水流盡所需時間為(s) (b) 水面距小孔的高度始終維持在0.1m，則小孔速度始終不變為則相同數量的水從這個小孔流出又需要時間為：(s)比較(a)、(b)知：第四章 振動和波習題解答1一振動的質點沿x軸作簡諧振動，其振幅為5.0

16、×10-2m，頻率2.0Hz，在時間t=0時，經平衡位置處向x軸正方向運動，求運動方程。如該質點在t=0時，經平衡位置處向x軸負方向運動，求運動方程。解：已知,。通解方程式為由t=0時x=0 有速度表達式為根據已給條件 有，考慮。運動方程為2質量為5.0×10-3kg的振子作簡諧振動，其運動方程為式中，x中的單位是m，t的單位是s。試求：(a)角頻率、頻率、周期和振幅；(b)t=0時的位移、速度、加速度和所受的力；(c)t=0時的動能和勢能。解：(a)根據已給條件，。 (b) 將條件t=0帶入方程 (c) 動能 勢能3一輕彈簧受29.43N的作用力時,伸長為9.0×

17、;10-2m,今在彈簧下端懸一重量P=24.5N的重物，求此這重物的振動周期。解：由胡克定律 帶入相關數值 4續上題,若在開始時將重物從平衡位置拉下6.0×10-2m,然后放開任其自由振動,求振動的振幅、初相位、運動方程和振動能量。5經驗證明，當車輛沿豎直方向振動時，如果振動的加速度不超過1.0m/s2，乘客就不會有不舒服的感覺。若車輛豎直的振動頻率為1.5Hz，求車輛振動振幅的最大允許值。解：由加速度有6質量為m、長圓管半徑為r的比重計，浮在密度為的液體中,如果沿豎直方向推動比重計一下,則比重計將上下振動.在不考慮阻力作用的情況下,試證其振動周期為證：設坐標x向下為正。以比重計在水

18、中的平衡位置為坐標零點，比重計被向下壓入水中偏離平衡位置的位移為x，比重計排開水的體積為，其所受浮力為其中負號表示力的方向與位移相反。由牛頓第二定律有整理有 令，方程化為振動方程則 證畢7.當重力加速度g改變dg時,單擺的周期T的變化dT是多少?找出dT/T與dg/g之間的關系式。解：單擺周期與加速度關系為兩邊取微分，則當重力加速度g改變dg時,單擺的周期T的變化dT是dT/T與dg/g之間的關系式8兩個同方向、同周期的簡諧振動的運動方程為x1=4cos(3t+/3)和x2=3cos（3t/6），試求它們的合振動的運動方程。解：由同方向、同周期的簡諧振動合成振幅表達式有合振動方程為：9設某質點

19、的位移可用兩個簡諧振動的疊加來表示，其運動方程為x=Asint+Bsin2t。(a)寫出該質點的速度和加速度表示式；(b)這一運動是否為簡諧振動？ 解：(a)(b)不是簡諧振動10已知平面波源的振動方程為y=6.0×10-2cost（m），并以2.0m/s的速度把振動傳播出去，求：(a)離波源5m處振動的運動方程；(b)這點與波源的相位差。解：(a)由已給方程可直接得到：將x=5m代入波動表達式(b)相位差11一平面簡諧波，沿直徑為0.14m的圓形管中的空氣傳播，波的平均強度為8.5×10-3Js-1m-2 ，頻率為256Hz，波速為340ms-1，問波的平均能量密度和最大

20、能量密度各是多少？每兩個相鄰同相面間的空氣中有多少能量？解：已知D=0.14m，平均強度I=8.5×10-3Js-1m-2，=256Hz,u=840m/s。(a)平均能量密度和最大能量密度(b)兩個相鄰相面間的空氣能量E12為了保持波源的振動不變，需要消耗4.0W的功率，如果波源發出的是球面波，求距波源0.5m和1.00m處的能流密度（設介質不吸收能量）。解：平均能流密度等于單位單位面積上的功率，因此5m處的能流密度為同理有：1m處為0.318Wm-213設平面橫波1沿BP方向傳播，它在B點振動的運動方程為y1=2.0×10-3cos2t，平面橫波2沿CP方向傳播,它在C點

21、振動的運動方程為y2=2.0×10-3cos（2t+），兩式中y的單位是m，t的單位是s。P處與B相距0.40m，與C相距0.50m，波速為0.20m/s，求：(a)兩波傳到P處時的相位差；(b)在P處合振動的振幅。解：(a)求兩波在P點相位差：1點在P點引起的振動為：2點在P點引起的振動為：相位相同，相位差。(b)合振動振幅：由于相位相同，合成波的振幅為兩波振幅相加14平面波斜入射到兩種介質（各向同性）的界面，進入到介質2時將發生折射，設該波在介質1和介質2的波速比為5：3，試用惠更斯原理作圖畫出折射后波的傳播方向。解：注意兩波在不同介質中的波速不一樣。圖4-1以波在介質1中波速快

22、為例作圖。15已知飛機馬達的聲強級為120dB，求它的聲強。解：已知聲強級為120dB，由聲強級定義可知 16兩種聲音的聲強級相差1dB，求它們的強度之比。解：設兩種聲音的聲強級分別為A和A+1，導出 消去I0,有17頻率為50000Hz的超聲波在空氣中傳播，設空氣微粒振動的振幅為0.10×10-6m，求其振動的最大加速度和最大速度。解：18裝于海底的超聲波探測器發出一束頻率為30000Hz的超聲波，被迎面駛來的潛水艇反射回來。反射波與原來的波合成后，得到頻率為241Hz的拍。求潛水艇的速率。設超聲波在海水中的傳播速度為1500m/s。解：本題中的潛水艇接收探測器的超聲波然后再反射，

23、所以潛水艇首先是接收者，其次是發射者，這是一個雙向多普樂效應問題。設超聲波波速為u,潛水艇速度為，運用雙向多普樂公式，再根據拍頻的定義有：解出19對遙遠星系發來的光譜分析表明，有一些在實驗室已確認的譜線顯著地移向了長波端，這種現象叫做譜線紅移。譜線紅移可以解釋為由于光源的退行速度所引起的多普勒頻移。例如，鉀光譜中易辨認的一對吸收線K線和H線，在地面實驗室中是出現在395nm附近；在來自牧夫星座一個星云的光中，卻在波長447nm處觀測到了這兩條譜線。試問該星云正以多大的速度離開地球？解：多普樂效應可以應用在光學問題上，但應考慮相對論效應，應用光學多普樂公式對于本題代入公式解出u=0.123c。第

24、五章 分子物理學習題解答1壓強為1.32×107Pa的氧氣瓶,容積是32×10-3m3。為避免混入其他氣體，規定瓶內氧氣壓強降到1.013×106Pa時就應充氣.設每天需用0.4m3、1.013×105Pa的氧，一瓶氧氣能用幾天？解：用可以使用的氣體總量除以每天的使用量即可得到使用的天數。設氣體總量為PV，可以用到的最小數值為P*V*，設每天的使用量為(PV)。則可以使用的天數n為：一瓶氧氣可以使用大約9.6天。2一空氣泡，從3.04×105Pa的湖底升到1.013×105Pa的湖面。湖底溫度為7，湖面溫度為27。氣泡到達湖面時的體積

25、是它在湖底時的多少倍？解：設氣體在湖底時的狀態參量為p1V1T1，在湖面時的狀態參量為p2V2T2，設氣體為理想氣體，滿足理想氣體方程，考慮到氣體總量不變，應有所以 氣體到達湖面時體積擴大為湖底的3.22倍。3兩個盛有壓強分別為p1和p2的同種氣體的容器，容積分別為V1和V2，用一帶有開關的玻璃管連接。打開開關使兩容器連通，并設過程中溫度不變，求容器中的壓強。解：設氣體的摩爾質量為，質量分別為M1和M2，由理想氣體方程有 相通合并后氣體壓強相同，總質量為M1+M2，總體積為V1+V2，應用理想氣體方程有 4在推導理想氣體動理論基本方程時，什么地方用到了平衡態的條件？什么地方用到了理想氣體的假設

26、？什么地方用到了統計平均的概念？簡答：考慮分子速度無宏觀定向運動、運動分組時用到了平衡態的條件，討論容器體積、分子的平均沖量時用到了理想氣體假設（分子自身線度忽略、分子除碰撞瞬間外無相互作用力），對所有分子的集體作用進行疊加時用到了統計平均的概念。5將理想氣體壓縮，使其壓強增加1.013×104Pa,溫度保持在27，問單位體積內的分子數增加多少?解：由理想氣體壓強公式有6一容器貯有壓強為1.33Pa,溫度為27的氣體,(a)氣體分子平均平動動能是多大? (b)1cm3中分子的總平動動能是多少?解：氣體分子的平均平動動能為平均總動能為7大瓶容積為小瓶容積的兩倍，大瓶中理想氣體的壓強為小

27、瓶中同種理想氣體的一半，它們的內能是否相等？為什么？答：理想氣體內能為，將理想氣體方程代入，有pV乘積相等，同種氣體自由度相等，所以內能相等。8一容積V=11.2×10-3m3的真空系統在室溫（23）下已被抽到p1=1.33×10-3Pa。為了提高系統的真空度，將它放在T =573K的烘箱內烘烤，使器壁釋放吸附的氣體分子。如果烘烤后壓強增為p2=1.33Pa,問器壁原來吸附了多少個分子？解：由理想氣體壓強公式 9溫度為27時，1g氫氣、氦氣和水蒸汽的內能各為多少？解：氫氣、氦氣和水蒸汽分別為雙原子、單原子和三原子分子，其自由度分別為5、3、6。根據內能定義有10計算在T=3

28、00K時，氫、氧和水銀蒸汽的最概然速率、平均速率和方均根速率。解：最概然速率，平均速率 ，方均根速率。代入相關數據：11某些恒星的溫度達到108K的數量級，在這溫度下原子已不存在，只有質子存在。試求：(a)質子的平均平動動能是多少電子伏特？(b)質子的方均根速率有多大？解：質子可以看作質點，自由度為3。單個質子的平均平動能為12真空管中氣體的壓強一般約為1.33×10-3Pa。設氣體分子直徑d = 3.0×10-10m。求在27時，單位體積中的分子數及分子的平均自由程。解：由理想氣體壓強公式有13一矩形框被可移動的橫桿分成兩部分，橫桿與框的一對邊平行，長度為10cm。這兩部

29、分分別蒙以表面張力系數為40×10-3和70×10-3N/m的液膜，求橫桿所受的力。解：表面張力與表面張力系數關系為，考慮液膜為雙面有，則橫桿所受力為14油與水之間的表面張力系數為18×10-3N/m，現將1g的油在水中分裂成直徑為2×10-4cm的小滴，問所作的功是多少（假設溫度不變，已知油的密度為0.9g/cm3）？解：一個小油滴表面能為分裂過程中質量不變，一個大油滴可以分裂成的小油滴個數所需能量為。由于一個大油滴的表面能遠小于分裂后的表面能，忽略大油滴的表面能，故破碎一個大油滴所需能量為。15在水中浸入同樣粗細的玻璃毛細管，一個是直的，另一個是頂端

30、彎曲的。水在直管中上升的高度比彎管的最高點還要高，那么彎管中是否會有水不斷流出？為什么？答：水與玻璃浸潤產生彎曲液面，此彎曲液面產生的附加壓強使毛細管中液面上升。當水上升到毛細管管口時，彎曲液面的曲率發生改變，附加壓強變小，所以水不會繼續上升或向管口處繼續流動。第六章 靜電場習題解答1真空中在x-y平面上，兩個電量均為10-8C的正電荷分別位于坐標 (0.1, 0) 及(0.1, 0)上，坐標的單位為m。求： (a) 坐標原點處的場強； (b) 點 (0, 0.1) 處的場強。解：設，為兩點電荷產生的場強，其合場強為=+(a) 在原點處，與的大小相等，方向相反，即：E=0故合場強為零。(b)

31、此時 =故合場強的大?。篍=2cos=方向為沿Y軸正方向。2. 設勻強電場的大小為3×105 V/m，方向豎直向下。在該勻強電場中有一個水滴，其上附有10個電子，每個電子帶電量為e =1.6×10-19C。如果該水滴在電場中恰好平衡，求該水滴的重量。解：設水滴重量為G,則由力的平衡得G=qE=3真空中在x-y平面上有一個由三個電量均為q的點電荷所組成的點電荷系，這三個點電荷分別固定于坐標為(a, 0) 、(a, 0)及(0, a)上。(a) 求y軸上坐標為(0, y)點的場強 (ya)；(b) 若ya時，點電荷系在(0, y)點產生的場強等于一個位于坐標原點的等效電荷在該處

32、產生的場強，求該等效電荷的電量。解：(a) 根據電荷分布的對稱性，在點（o,y）處（y>a）的合場強的大小為E=方向沿y方向。(b) 當y>>a時E=故等效電量為3q。4空中均勻帶電直線長為2a，其電荷線密度為，求在帶電直線的垂直平分線上且與帶電直線相距為a的點的場強。解：由對稱性可得令，則可得：E5. 真空中一個半徑為R的均勻帶電圓環，所帶電荷為q。試計算在圓環軸線上且與環心相距為x處的場強。解：圓環電荷線密度為，則，為單位向量，與軸線夾角為，且，由對稱性得合場強方向在軸線方向上，且當為正時，場強由圓心指向該點，反之相反。大小為6. 上題中設均勻帶電圓環的半徑為5.0cm，

33、所帶電荷為5.0×10-9C，計算軸線上離環心的距離為5.0cm處的場強。解：利用上題公式：E，方向沿軸線，由圓心指向該點。7. 真空中長度為l的一段均勻帶電直線，電荷線密度為。求該直線的延長線上，且與該段直線較近一端的距離為d處的場強。 解：長度元上的電荷，它在該點產生的場強為：于是：E8. 真空中兩條無限長均勻帶電平行直線相距10cm，其電荷線密度均為=1.0×10-7C/m。求在與兩條無限長帶電直線垂直的平面上且與兩帶電直線的距離都是10cm處的場強。 解：兩無線長帶電直線在該點產生的場強的大小為：=，方向夾角為，則 E=2=2=方向為在兩線所在平面垂直方向上，并由平

34、面指向該點。9. 真空中兩個均勻帶電同心球面，內球面半徑為0.2m，所帶電量為3.34×10-7C，外球面半徑為0.4m，所帶電量為5.56×10-7C。設r是從待求場強的點到球心的距離，求：(a) r=0.1m； (b) r=0.3m； (c) r=0.5m處的場強。 解：根據高斯定理：(a) =0.1, =0 故E=0(b) =0.8，q/故方向沿半徑指向球心。(c) 0.5，故方向沿半徑指向球外。10. 真空中兩個無限長同軸圓柱面，內圓柱面半徑為R1，每單位長度帶的電荷為，外圓柱面半徑為R2，每單位長度帶的電荷為。求空間各處的場強。 解：取半徑為，長為的同軸圓柱面為高

35、斯面，根據高斯定理(a) 故E0(b) 故E (c) 故E011. 真空中兩個均勻帶電的同心球面，內球面半徑為R1，外球面半徑為R2，外球面的電荷面密度為，且外球面外各處的場強為零。試求： (a) 內球面上的電荷面密度； (b) 兩球面間離球心為r處的場強； (c) 半徑為R1的內球面內的場強。 解：取半徑為的同心球面為高斯面，根據高斯定理：(a)故（b）（c） 故E012. 設真空中有一半徑為R的均勻帶電球體，所帶總電荷為q，求該球體內、外的場強。 解：均勻帶電球體的電荷密度為，設所求點距球心為，則由對稱性知，與球體同心，半徑為的球面高斯面上的各點的場強大小相等，方向沿著半徑。故(a)當，由

36、高斯定理則，加上方向得，為沿半徑由球心指向球外的單位向量。(b) 當，由高斯定理則，加上方向得，為沿半徑由球心指向球外的單位向量。13. 真空中分別帶有10C和40C的兩個點電荷，相距為40m。求場強為零的點的位置及該點處的電勢。解：(a)設和為兩電荷各個單獨存在時產生的場強，合場強為零。要求：0，即，則場強為零的點，必在連接兩點電荷的直線上，設該點距10C的電荷為，故有：但即：取x<40x13.3 （）根據電勢疊加原理：14. 真空中兩等值異號點電荷相距2m，q1=8.0×10-6C，q2=8.0×10-6C。求在兩點電荷連線上電勢為零的點的位置及該點處的場強。 解

37、：設所求點到兩點電荷的距離為與，則且故即為連線中點該點場強的大小為：，方向為從指向。 15. 如圖6-4所示，已知r=8cm，a=12cm，q1=q2=×10-8C，電荷q0=10-9C，求：(a) q0從A移到B時電場力所作的功； (b) q0從C移到D時電場力所作的功。解：(a) （b） 16. 真空中長為l的均勻帶電直線段，其電荷為q。求其延長線上且距最近端為d的點的電勢。能否通過場強與電勢的梯度關系求出該點處的場強？解：線電荷密度該點電勢：17. 真空中一個半徑為R，均勻帶電的半個圓弧，帶有正電荷q。(a) 求圓心處的場強； (b) 求圓心處的電勢。解：(a)由對稱性可知，兩

38、對稱點的合場強則E的大小為： 方向為垂直于半圓直徑向下。（b）圓心處電勢，小段圓弧在圓心處的電勢為：故由電勢疊加原理，18. 真空中一個半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為。求(a)在圓盤的軸線上距盤心O為x處的電勢；(b) 根據場強與電勢的梯度關系求出該點處的場強。 解：(a)設從左到右各表面面密度為，則，又由于導體內部場強為零，故由此可解得 （b）兩板間電勢差為19. 如圖6-5所示，真空中兩塊面積很大(可視為無限大)的導體平板A、B平行放置，間距為d，每板的厚度為a，板面積為S?，F給A板帶電QA，B板帶電QB。(a) 分別求出兩板表面上的電荷面密度； (b) 求兩板之間的電勢差。 (a)

39、 當球體內部場強為零，故E0當R<r<R+d此時場強為，為沿半徑由球心指向球外的單位向量。當r>Rd此時場強為，為沿半徑由球心指向球外的單位向量。 （b）當當當（c）分別帶入數據，則當當當（d）在rR處，若無電介質，場強為電介質極化電荷產生的場強為，則，在r=R+d處，同理得 20. 如圖6-6所示，一個導體球帶電q =1.00×10-8C，半徑為R =10.0cm，球外有一層相對電容率為=5.00的均勻電介質球殼，其厚度d =10.0cm，電介質球殼外面為真空。 (a) 求離球心O為r處的電位移和電場強度； (b) 求離球心O為r處的電勢； (c) 分別取r =5

40、.0cm、15.0cm、25.0cm，算出相應的場強E和電勢U的量值； (d) 求出電介質表面上的極化電荷面密度。解：設極板上電荷為，則電荷面密度為，第一層電解質中的場強為，第二層電解質中的場強為，則兩極板的電勢差為 21. 平行板電容器的極板面積為S，兩板間的距離為d，極板間充有兩層均勻電介質。第一層電介質厚度為d1，相對電容率為，第二層電介質的相對電容率為，充滿其余空間。設S = 200cm2，d = 5.00mm，d1 = 2.00mm， = 5.00，= 2.00，求(a)該電容器的電容；(b) 如果將380V的電壓加在該電容器的兩個極板上，那么第一層電介質內的場強是多少？ 解：(a)

41、此時電量不變， S為極板，插入電解質后，場強 （b）此時電壓不變，插入電解質后，電容 于是電量 此時場強 ，故場強不變。22. 三個電容器其電容分別為C1=4mF，C2=1mF，C3=0.2mF。C1和C2串聯后再與C3并聯。求(a)總電容C；(b)如果在C3的兩極間接上10V的電壓，求電容器C3中儲存的電場能量。 解：未插入金屬板時的電場能：插入金屬板后，因電量不變，則金屬板間的場強不變，則兩極板間的電勢差為：，則此時 電場能 23. 有一平行板電容器，極板面積為S，極板間的距離為d，極板間的介質為空氣。現將一厚度為d/3的金屬板插入該電容器的兩極板間并保持與極板平行，求(a)此時該電容器的

42、電容；(b) 設該電容器所帶電量q始終保持不變，求插入金屬板前后電場能量的變化。 解：該點場強為 故電場能體密度為24. 一個無限長均勻帶電直線的電荷線密度為=1.67×10-7C/m，被相對電容率=5.00的無限大均勻電介質所包圍，若a點到帶電直線的垂直距離為2m，求該點處的電場能量密度。 解：距球心為r處的場強為該處的電場能體密度則在半徑為厚度為的同心薄球殼中的電場能為：電場中儲存的能量25. 真空中一個導體球的半徑為R，帶有電荷為q，求該導體球儲存的電場能量。解： 本題也可用對電場能量密度積分的方法（方法見下題），結果是一樣的。26. 一個半徑為R的導體球帶電為q，導體球外有一

43、層相對電容率為的均勻電介質球殼，其厚度為d，電介質球殼外面為真空，充滿了其余空間。求(a)該導體球儲存的電場能量；(b)電介質中的電場能量。解：電場能量等于電場能量密度對所考慮空間的積分，題中所給各處電場為：導體內： E=0； 電介質球內：；電介質球外：；(a)：=(b)第七章 直流電路習題解答1把截面相同的銅絲和鋼絲串聯起來，銅的電導率為，鋼的電導率為，橫截面積為，如通以電流強度為的恒定電流，求銅絲和鋼絲中的電場強度。解：銅絲中的電場強度鋼絲中的電場強度2平板電容器的電量為，平板間電介質的相對介電常數為，電導率為，求開始漏電時的電流強度。解：電介質中的場強為則電流密度為：漏電時的電流強度3一

44、個用電阻率為的導電物質制成的空心半球殼，它的內半徑為，外半徑為，求內球面與外球面間的電阻。解：厚為，半徑為的薄同心半球殼的電阻為則所求電阻為4兩同軸圓筒形導體電極，其間充滿電阻率為的均勻電介質，內電極半徑為，外電極半徑為，圓筒長度為。(a)求兩極間的電阻；(b)若兩極間的電壓為，求兩圓筒間的電流強度。解：設內圓筒半徑為，外圓筒半徑為，圓筒長為。電阻率為，則半徑為，長為厚度為的薄同心圓筒的電阻為：電極間的電阻為兩筒間電流強度為5.圖7-3中，求：(a)電路中的電流；(b)a、b、c和d點的電勢；(c)和。解：(a)電路中電流為 (b) 因接地a點電勢為：b點電勢為：c點電勢為：d點電勢為： (c

45、) ，6.圖7-4中，。計算、和。解： 7圖7-5中 ， ，計算、和。解：環路電流，方向逆時針。則 8圖7-6中，求通過電阻、的電流。解：通過的電流為，方向如書中的圖。則由基爾霍夫定律得：則可解得，均為正值，表示電流方向與假設方向相同。9圖7-7中，已知支路電流，。求電動勢，。解：10求圖7-8中的未知電動勢。解：故 又 故 11直流電路如圖7-9所示，求a點與b點間的電壓。解： 12直流電路如圖7-10所示，求各支路的電流。解：設左右側電池電動勢分別為，則由基爾霍夫定律得：則可得13在圖7-11中，要使，試問的值應為多少？證明：根據基爾霍夫定律，由以上各式得(a) 當，即(b) 當，則14蓄

46、電池和電阻為的用電器并聯后接到發電機的兩端，如圖7-12所示，箭頭表示各支路中的電流方向。已知，試確定蓄電池是在充電還是在放電？并計算、和的值。解：根據基爾霍夫第二定律又，故15圖7-13的電路中含三個電阻，一個電容，和三個電動勢，。求：(a)所標示的未知電流；(b)電容器兩端的電勢差和電容器所帶的電量。解：(a)由基爾霍夫定律得則可得回路中存在電容器相當于斷路，故(b) 電容器兩端電壓則所帶電量為16溫差電偶與一固定電阻和電流計串聯，用來測量一種合金的熔點，電偶的冷接頭放在正溶解的冰內，當電偶的熱接頭相繼地放入在的沸水和的熔化的鉛中，電流計的偏轉分別為和分度，如果將熱接頭放在正熔化的該合金中

47、，則電流計偏轉為分度。設溫差電動勢和溫度的關系遵守求該合金的熔點。解：不論熱接頭處于何種溫度下，熱電偶電路中的電阻值不變，則可設，而為偏轉分度。即為常數。則原方程可寫成帶入數值，得解得故當M175時，解得 （舍去）17當冷熱接頭的溫度分別為及時，康銅與銅所構成的溫差電偶的溫差電動勢可以用下式表示：今將溫差電偶的一接頭插入爐中，另一接頭的溫度保持，此時獲得溫差電動勢為，求電爐的溫度。解：將已知值帶入方程，得解得 （另一值為負值，舍去）18使電路中的電容器充電，試問要使這個電容器上的電荷達到比其平衡電荷（即時電容器上的電荷）小的數值，必須經過多少個時間常量的時間？解：由及得：=0.01故需經4.6

48、個時間常數的時間。第八章 磁場習題解答1. 一個速度為的電子，在地磁場中垂直地面通過某處時，受到方向向西的洛侖茲力作用，大小為。試求該處地磁場的磁感應強度。 解： 電子電量大小為1.6×10-19C，該處磁感應強度大小為 因電子帶負電垂直向下運動，所以B的方向向北。2. 幾種載流導線在平面內分布(圖8-1)，電流均為I，求他們在O點的磁感應強度。解： (a) O點的磁感應強度等于載流圓環與無限長直載流導線在O點所產生的磁感應強度的矢量和。載流圓環在圓心O處的磁感應強度：, 方向為垂直圖面指向外；無限長直導線在圓心O處的磁感應強度：，方向為垂直圖面指向外。故：，方向為垂直圖面指向外。(

49、b) O點的磁感應強度等于兩段半無限長直載流導線與1/4載流圓環在O點所產生的磁感應強度的矢量和。由于O點在其中一段半無限長直載流導線的延長線上，所以該半無限長直載流導線在O點產生的磁感應強度；另一段半無限長直載流導線在O點產生的磁感應強度：，方向為垂直圖面向外；1/4載流圓環在O點產生的磁感應強度：，方向為垂直圖面指向外。故：，方向為垂直圖面指向外。(c) O點的磁感應強度等于兩段半無限長直載流導線與1/2載流圓環在O點所產生的磁感應強度的矢量和。上半無限長直載流導線在O點產生的磁感應強度：，方向為垂直圖面向外；下半無限長直載流導線在O點產生的磁感應強度：，方向為垂直圖面向外；1/2載流圓環

50、在O點產生的磁感應強度：，方向為垂直圖面指向外。故：，方向為垂直圖面指向外。3. 將通有電流強度I的導線彎成如圖8-2所示的形狀，組成3/4的圓 (半徑為a ) 和3/4 的正方形 (邊長為b )。求圓心O處的磁感應強度。解：O點的磁感應強度等于3/4載流圓環與四段有限長直載流導線在O點所產生的磁感應強度的矢量和。由于O點在兩段有限長直載流導線的延長線上，故它們在O點所產生的磁感應強度均為零，即。另兩段有限長直載流導線在O點所產生的磁感應強度的方向均為垂直圖面指向外，大小分別為：，。3/4載流圓環在O點所產生的磁感應強度：，方向為垂直圖面指向外。故：，方向為垂直圖面指向外。 4. 兩根長直導線

51、互相平行地放置在真空中，如圖8-3所示 ，其中通以同方向的電流I1 = I2 = 10 A。已知r = 1.0 m。求圖中M、N點的磁感應強度。解：（1）I1在M處產生的磁感應強度：，方向沿I2M由M點指向外； I2在M處產生的磁感應強度： ，方向由M點指向I1。B1、B2大小相等，方向夾角為，故M處的磁感應強度為 ，方向為水平向左。 （2）I1在N處產生的磁感應強度：，方向由N點指向M點； I2在N處產生的磁感應強度：，方向沿MN由N點指向外。B1、B2大小相等，方向相反，故N處的磁感應強度，。5. 有一無限長直導線，載有5.0 A電流，試用安培環路定理計算與此導線相距 10 cm 的P點的

52、磁感應強度。解：選過P點作半徑為R的圓環為積分路徑，積分路徑的繞行方向與電流方向成右手螺旋，根據安培環路定理：根據右手螺旋法則可知電流與磁感應線成右手螺旋，P點的磁感應強度方向為磁感應線在該點的切線方向。6. 已知一螺線管的直徑為 2.0 cm，長為100 cm，匝數為 1000，通過螺線管的電流強度為 5 .0A。求通過螺線管每一匝的磁通量。解：通電螺線管內磁場可看視為均強磁場，螺線管軸線上的磁感應強度：，方向為沿軸線方向。通過螺線管每一匝的磁通量：7. 兩平行長直導線相距 40 cm (圖8-5) ，每條導線載有電流I1 = I2 = 20 A，求：(a) 兩導線所在平面內與兩導線等距的一

53、點A處的磁感應強度大小和方向；(b) 通過圖中斜線所示面積的磁通量。解：(a)兩長直導線到A點的距離相等，故電流I1、I2產生的磁感應強度在A點大小相等，方向相同。， ，方向垂直圖面指向外。(b) 因長直導線在其周圍產生的磁場為非均勻磁場，故在距長直導線為x處的矩形面積中取一小面積元 ，在此處的磁感應強度為。，同理， 因電流I1、I2在此處產生的磁感應強度方向相同。所以有8. 一長直導線載有電流30A，離導線30cm處有一電子以速率運動，求以下三種情況作用在電子上的洛侖茲力。（1）電子的速度v平行于導線；（2）速度v垂直于導線并指向導線；（3）速度v垂直于導線和電子所構成的平面。解：長直載流導線周圍的磁感應強度大小為，方向與電流的方向成右手螺旋關系。運動電子在磁場中所受的洛侖茲力：（1）v平行于導線，則v與B垂直 方向：若v與I同向，則F垂直于導線指向外面；若v與I反向，則F垂直指向導線。（2） 此時v與B互相垂直，所以洛侖茲力大小同上，方向與電流的方向相同。（3）此時v與B同向，洛侖茲力。9. 電量為、質量為 的帶電粒子，在磁感應強度為的勻強磁場中運動，其初速度為，方向與磁場成 30°，求其螺旋線軌道的半徑是多少？解：螺旋線軌道的半徑為： 10. 電子在磁