1、基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理(1)大學物理資料基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理1.起于正電荷（或無限遠處），終于負電荷（或無起于正電荷（或無限遠處），終于負電荷（或無限遠處），無電荷處不中斷。限遠處），無電荷處不中斷。由上面幾種電荷的電場線分布可以看出：由上面幾種電荷的電場線分布可以看出：2.電場線不能形成閉合曲線。電場線不能形成閉合曲線。3.任何兩條電場線不會相交。任何兩條電場線不會相交。基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理S S1.1.電通量定義：電

2、通量定義：電場中通過某一曲面（平面）電場中通過某一曲面（平面） 的電場線條數稱的電場線條數稱通過該曲面（平面）的電通量。通過該曲面（平面）的電通量。2.2.電通量單位：電通量單位：N mN m2 2/C/C 3. 3.均勻電場中垂直通過平面均勻電場中垂直通過平面 S S 的電場強度通量的電場強度通量. .ESF=基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理S4.4.均勻電場中斜通過平面均勻電場中斜通過平面 S S 的電場強度通量的電場強度通量: :5.5.非均勻電場通過曲面非均勻電場通過曲面 S S 的電場強度通量的電場強度通量: :EdSenS SSencose

3、ESE SFq=rrdeSE sF=蝌rr基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理6.6.面元法向規定面元法向規定: :非封閉曲面面法向正向可任意取非封閉曲面面法向正向可任意取封閉曲面指外法向。封閉曲面指外法向。電通量是標量但有正負，電通量是標量但有正負，當電場線從曲面內向外穿出是正值當電場線從曲面內向外穿出是正值e en n1 12 2e en n當當電場線從曲面外向內穿入電場線從曲面外向內穿入是負值是負值注意：注意：基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理7.7.非均勻電場通過封閉曲面非均勻電場通過封閉曲面 S S 的電場

4、強度通量的電場強度通量 : :注意注意: :通過封閉曲面通過封閉曲面 S 的電通量等于凈穿出該封的電通量等于凈穿出該封閉曲面的電場線總條數。閉曲面的電場線總條數。e en n1 12 2e en nd0eSE SF= =蝌rr課堂練習 P83 3.4基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理高斯高斯eSE dS C.F. Gauss是是 德國著名數學家、物理學德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。他有數家、天文學家、大地測量學家。他有數學王子的美譽，并被譽為歷史上偉大的學王子的美譽，并被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓、歐拉數學家之一，和

5、阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名。同享盛名。 用用電通量電通量表示電場和場源電荷關系的定理，給出通過任表示電場和場源電荷關系的定理，給出通過任一一封閉曲面的電通量封閉曲面的電通量與與封閉曲面內所包圍電荷封閉曲面內所包圍電荷的關系。的關系。基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理高斯高斯+q201d4eSSqE dSSr Srqd4S2022044rrq0qe=一點電荷在一虛擬的閉合球面（高斯面）中心一點電荷在一虛擬的閉合球面（高斯面）中心SdEr基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理0eqFe=可見，電通量與所選取球可見，電通量

6、與所選取球面半徑無關，面半徑無關，由由閉合面內為點電荷系的情況：閉合面內為點電荷系的情況：1q3q4q2qnqnEEEE21即使點電荷不在球面中的中心，即使點電荷不在球面中的中心，即使球面畸變，這一結果仍是即使球面畸變，這一結果仍是一樣的，這由圖也可看出一樣的，這由圖也可看出.基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理此時通過閉合面的電通量是：此時通過閉合面的電通量是：deSESF=蝌rr12dddnSSSESESES= + +蝌蝌蝌rrrrrrL乙12000nqqqniiq10閉合面內無電荷的情形：閉合面內無電荷的情形：d0SES =蝌rrq基礎物理學主講：張

7、國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理deS ES1.1 1.1 當點電荷在閉合球面球心時當點電荷在閉合球面球心時0q0q1.2 1.2 任一閉合曲面任一閉合曲面S包圍點電荷包圍點電荷q q時時deS ES1.3 1.3 閉合曲面閉合曲面S不包圍該電荷不包圍該電荷0 deS ES0 內Siq1.4 1.4 閉合曲面閉合曲面S包圍多個電荷包圍多個電荷q1-qk，同時面外也有多，同時面外也有多個電荷個電荷qk+1-qndeS ES綜合以上討論，可得如下的結論：綜合以上討論，可得如下的結論：基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理高斯定理高斯定理:

8、 : 討論：討論：01deiSSESq 內在靜電場中，通過任意閉合曲面的電通量，等于該在靜電場中，通過任意閉合曲面的電通量，等于該曲面內電荷量代數和除以真空介電常數。曲面內電荷量代數和除以真空介電常數。1.1.當閉合曲面內凈電荷為正時當閉合曲面內凈電荷為正時, , e 0, ,表示有電場線表示有電場線從曲面內穿出從曲面內穿出, ,正電荷稱為靜電場的源頭正電荷稱為靜電場的源頭; ;2.2.當閉合曲面內凈電荷為負時當閉合曲面內凈電荷為負時, , e0）的電荷，求整個空間的電場分布？的電荷，求整個空間的電場分布？解：解： 電荷及場分布特點電荷及場分布特點: :球對稱。球對稱。+q高斯面高斯面+q高斯

9、面高斯面: : 球面球面, ,半徑半徑r。2 rr0REE=()20 4qrRrpe0 rR基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+q例例1 1 求電荷呈球對稱分布時所激發的電場強度求電荷呈球對稱分布時所激發的電場強度r R 時，高斯面內無電荷，時，高斯面內無電荷，2d4SESEr0E0inq解：解：204inqErpe=高斯面高斯面電荷及場分布特點電荷及場分布特點: : 球對稱球對稱, ,設球半徑設球半徑R, ,電荷量電荷量為為q高斯面高斯面: : 球面球面, ,半徑半徑r依高斯定律依高斯定律:(1)(1)電荷均勻分布在球面電荷均勻分布在球面: :+q基礎

10、物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+ + + + + + + + + + + + + + + + +q q rR時，高斯面內電荷量即時，高斯面內電荷量即為球面上的全部電荷，為球面上的全部電荷，高斯面高斯面204inqErpe=204qrpe=可見，電荷均勻分布在球面時，可見，電荷均勻分布在球面時，它在球面外的電場就與全部電它在球面外的電場就與全部電荷都集中在球心的點電荷所激荷都集中在球心的點電荷所激發的電場完全相同。發的電場完全相同。（2）電荷分布在整個球體內：）電荷分布在整個球體內：+2 rr0RE均勻帶電球面電場強度曲線如均勻帶電球面電場強度曲線如上圖。

11、上圖。基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+ + + + + + + + + + + + + + + + +q qrR 時，高斯面內電荷量即為球體上的全部電荷，時，高斯面內電荷量即為球體上的全部電荷，球體外電場和電荷均勻分布在球面上時球面外電場球體外電場和電荷均勻分布在球面上時球面外電場完全相同。完全相同。高斯面高斯面204qErpe=+rR 時，時，設電荷體密度為設電荷體密度為334Rq334rqin基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理+ + + + + + + + + + + + + + + + +q q高斯面高斯

12、面+204inqErpe=3230144433qrrRppep=創304Rqr可見，球體內場強隨可見，球體內場強隨r線性增加。線性增加。均勻帶電球體電場強度曲線如均勻帶電球體電場強度曲線如上圖。上圖。r0RE2 r基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理EE例例2 2 均勻帶電無限大平面的電場均勻帶電無限大平面的電場. .電荷及場分布：面對稱性，場方向沿法向。電荷及場分布：面對稱性，場方向沿法向。解：解：高斯面高斯面: :作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。，兩底面到帶電平面距離相同。E

13、SE基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理dd2SEEESSS兩 底圓柱形高斯面內電荷圓柱形高斯面內電荷Sq由高斯定理得由高斯定理得0/2SES 02E可見，無限大均勻帶電可見，無限大均勻帶電平面激發的電場強度與平面激發的電場強度與離面的距離無關，即面離面的距離無關，即面的兩側形成勻強電場。的兩側形成勻強電場。02nEese=rr矢量式為：矢量式為：ESE基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理R例例3 3 求電荷呈無限長圓柱形軸對稱均勻分布時所激發求電荷呈無限長圓柱形軸對稱均勻分布時所激發的電場。圓柱半徑為的電場。圓柱半徑

14、為R R，沿軸線方向單位長度帶電量為，沿軸線方向單位長度帶電量為 。高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱形閉形閉 合面合面, ,高為高為l,半徑為半徑為r電荷及場分布：柱對稱性，場方電荷及場分布：柱對稱性，場方向沿徑向。向沿徑向。ddSEESS側面由高斯定理知由高斯定理知lrqE02解：解：rlE2lr基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理（1 1）當）當rR 時，時，lqrE02均勻帶電圓柱面的電場分布均勻帶電圓柱面的電場分布E Er r 關系曲線關系曲線R02R1rEr0l矢量式為：矢量式為：02rEerlp e=rr基礎物理學主講：

15、張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理（選講）例（選講）例4 4 均勻帶電球體空腔部分的電場，球半徑為均勻帶電球體空腔部分的電場，球半徑為R R， 在球內挖去一個半徑為在球內挖去一個半徑為r（rR）的球體。的球體。試證：空腔部分的電場為勻強電場，并求出該電場。試證：空腔部分的電場為勻強電場，并求出該電場。r證明：證明： 用補缺法證明。用補缺法證明。103O Pre=uuu rvcpo在空腔內任取一點在空腔內任取一點p, ,E設想用一個半徑為設想用一個半徑為r且體電荷密度與大球相且體電荷密度與大球相同的小球將空腔補上后，同的小球將空腔補上后，p p點場強變為點場強變為1E設該點場強為設該點場強為R1E2E小球單獨存在時，小球單獨存在時，p點的場強為點的場強為cpE023 基礎物理學主講：張國才主講：張國才3.2 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理12EEE=+vvvQ12EEE=-vvv03ocre=uu r因為因為oc為常矢