1、 專題五 曲線運動一、運動的合成和分解【題型總結】1速度的合成：（1）運動的合成和分解 （2）相對運動的規律 例：一人騎自行車向東行駛，當車速為4ms時，他感到風從正南方向吹來，當車速增加到7ms時。他感到風從東南方向（東偏南45）吹來，則風對地的速度大小為（ ）A. 7m/s B. 6ms C. 5ms D. 4 msV風對車V風對地V車對地V風對車解析：“他感到風從正南方向（東南方向）吹來” ，即風相對車的方向是正南方向（東南方向）。而風相對地的速度方向不變，由此可聯立求解。解：=45V風對車=7 4=3 ms V風對地= ms答案：C2繩（桿）拉物類問題 繩（桿）上各點在繩（桿）方向上的

2、速度相等 合速度方向：物體實際運動方向分速度方向：沿繩（桿）伸（縮）方向：使繩（桿）伸（縮）垂直于繩（桿）方向：使繩（桿）轉動 例：如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車m沿斜面升高問：當滑輪右側的繩與豎直方向成角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為多少？解：方法一：虛擬重物M在t時間內從A移過h到達的運動，如圖（1）所示，這個運動可設想為兩個分運動所合成，即先隨繩繞滑輪的中心軸O點做圓周運動到B，位移為s1，然后將繩拉過s2到C若t很小趨近于0，那么0，則s10，又OAOB，OBA（180)90亦即s1近似s2，故應有：s2hcos因為cos，所以vvcos方法二：重物M的速度v的

3、方向是合運動的速度方向，這個v產生兩個效果：一是使繩的這一端繞滑輪做順時針方向的圓周運動；二是使繩系著重物的一端沿繩拉力的方向以速率v運動，如圖（2）所示，由圖可知，vvcos （1） （2）練習1：一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，如圖所示，設汽車和重物的速度的大小分別為，則（ ）A、 B、 C、 D、重物B的速度逐漸增大解析：（微元法）設經過t，物體前進，繩子伸長：， ，. ， 練習2：如圖所示，一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B（可視為質點）。將其放在一個直角形光滑槽中，已知當輕桿與槽左壁成角時，A球沿槽下滑的速度為VA，求此時B球的速度VB？VBVB1VB2BAVAVA

4、1VA2解：A球以VA的速度沿斜槽滑下時，可分解為：一個使桿壓縮的分運動，設其速度為VA1；一個使桿繞B點轉動的分運動，設其速度為VA2。而B球沿斜槽上滑的運動為合運動，設其速度為VB，可分解為：一個使桿伸長的分運動，設其速度為VB1，VB1=VA1；一個使桿擺動的分運動設其速度為VB2；由圖可知： 3渡河問題（1）以時間為限制條件：時間最短：使船頭垂直于河岸航行 （d為河寬） （為合速度與水流速度的夾角）普通情況： （為船頭與河岸的夾角）（2）以位移為限制條件： （d為河寬） （為船頭與河岸的夾角） 船的真實方向指的是船的航行方向；船的劃行方向指的是船頭指向。例1：在抗洪搶險中，戰士駕駛摩托

5、艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2,戰士救人的地點A離岸邊最近處O的距離為d，如戰士想在最短時間內將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離O點的距離為() 解析：摩托艇要想在最短時間內到達對岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實際的運動是相對于水的劃行運動和隨水流的運動的合運動，垂直于江岸方向的運動速度為v2，到達江岸所用時間t=；沿江岸方向的運動速度是水速v1在相同的時間內，被水沖下的距離，即為登陸點距離0點距離。 答案：C例2：某人橫渡一河流，船劃行速度和水流動速度一定，此人過河最短時間為了T1；若此船用最短的位移過河，則需時間為T2，若船速大于

6、水速，則船速與水速之比為（ ） (A) (B)(C) (D)解析：設船速為 ，水速為 ，河寬為d ，則由題意可知 ： 當此人用最短位移過河時，即合速度方向應垂直于河岸，如圖所示，則 聯立式可得： ，進一步得 答案：AMm【鞏固練習】1、 一個劈形物體M，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一個光滑小球m，劈形物體由靜止開始釋放，則小球在碰到斜面前的運動軌跡是（ ）A、 沿斜面向下的直線 B、豎直向下的直線 C、無規則的曲線 D、拋物線解析：由于小球初速度為零，所以不可能做曲線運動；又因為小球水平方向不受力，水平方向運動狀態不變，所以只能向下運動。答案：C同類變式1下列說法中符合

7、實際的是：（）A足球沿直線從球門的右上角射入球門B籃球在空中劃出一條規則的圓弧落入籃筐C臺球桌上紅色球沿弧線運動D羽毛球比賽時，打出的羽毛球在對方界內豎直下落。解析：足球在空中向前飛行時，只受重力作用，一定做曲線運動；拋出的籃球，所受重力的方向不可能總與籃球的速度方向垂直，所以不可能是規則的圓??；滾動的臺球所受合力是摩擦力，與運動方向相反，只能做減速直線運動；打出的羽毛球受到重力及較大的空氣阻力作用，其中空氣阻力總與運動方向相反，隨著運動速率減小而減小，二力合力的大小及方向都在不斷變化，所以打出的球較高時有可能豎直下落。答案：D同類變式2勻速上升的載人氣球中，有人水平向右拋出一物體，取豎直向上

8、為y軸正方向，水平向右為x軸正方向，取拋出點為坐標原點，則地面上的人看到的物體運動軌跡是下圖中的： A B C D 解析：物體具有豎直向上的初速度，在空中只受重力作用，所以做斜上拋運動（水平方向作勻速運動、豎直方向做豎直上拋運動。）答案：B2、如圖所示為一空間探測器的示意圖，P1 、P2 、P3 、P4是四個噴氣發動機， P1 、P2的連線與空間一固定坐標系的x軸平行，P3 、P4的連線與y軸平行每臺發動機開動時，都能向探測器提供推力，但不會使探測器轉動開始時，探測器以恒定的速率vo向正x方向平動要使探測器改為向正x偏負y 60 的方向以原來的速率vo平動，則可( ) A先開動P1 適當時間，

9、再開動P4 適當時間 B. 先開動P3 適當時間，再開動P2 適當時間 C. 開動P4 適當時間 D. 先開動P3 適當時間，再開動P4 適當時間解析:火箭、噴氣飛機等是由燃料的反作用力提供動力，所以 P1 、P2 、P3 、P4分別受到向左、上、右、下的作用力。使探測器改為向正x偏負y 60 的方向以原來的速率vo平動，所以水平方向上要減速、豎直方向上要加速。答案：A3、如圖所示，A、B為兩游泳運動員隔著水流湍急的河流站在兩岸邊，A在較下游的位置，且A的游泳成績比B好，現讓兩人同時下水游泳，要求兩人盡快在河中相遇，試問應采用下列哪種方法才能實現？（ ）A. A、B均向對方游（即沿虛線方向）而

10、不考慮水流作用B. B沿虛線向A游且A沿虛線偏向上游方向游C. A沿虛線向B游且B沿虛線偏向上游方向游D. 都應沿虛線偏向下游方向，且B比A更偏向下游解析:游泳運動員在河里游泳時同時參與兩種運動，一是被水沖向下游，二是沿自己劃行方向的劃行運動。游泳的方向是人相對于水的方向。選水為參考系，A、B兩運動員只有一種運動，由于兩點之間直線最短，所以選A。答案：A二、平拋運動【題型總結】1斜面問題：分解速度：例：如圖所示，以水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直撞在傾角為的斜面上，求物體完成這段飛行的時間和位移。解： ， 練習：如圖所示，在傾角為370的斜面底端的正上方H處，平拋一小球，該小球垂直打

11、在斜面上的一點，求小球拋出時的初速度。解：小球水平位移為，豎直位移為由圖可知，又，解之得：.分解位移：例：如圖，在傾角為的斜面頂端A處以速度水平拋出一小球，落在斜面上的某一點B處，設空氣阻力不計，求小球從A運動到B處所需的時間和位移。解：設小球從A處運動到B處所需的時間為t ，則水平位移 ，豎直位移 。 ， 練習1：（求平拋物體的落點）如圖，斜面上有a、b、c、d四個點，ab=bc=cd。從a點正上方的O點以速度v0水平拋出一個小球，它落在斜面上b點。若小球從O點以速度2v0水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的（ ） Ab與c之間某一點Bc點Cc與d之間某一點 Dd點解析：當水平速度變為2

12、v0時，如果作過b點的直線be，小球將落在c的正下方的直線上一點，連接O點和e點的曲線，和斜面相交于bc間的一點，故A對。答案：A練習2：（證明某一夾角為定值）從傾角為的足夠長的A點，先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為v1，球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為，第二次初速度，球落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為，若，試比較的大小。解析： ， 所以。即以不同初速度平拋的物體落在斜面上各點的速度是互相平行的。練習3：（求時間或位移之比）如圖所示，AB為斜面，BC為水平面，從A點以水平初速度v向右拋出一小球，其落點與A的水平距離為s1，從A點以水平初速度2v向

13、右拋出一小球，其落點與A的水平距離為s2，不計空氣阻力，可能為：A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5解析：若兩物體都落在水平面上，則運動時間相等，有，A是可能的。若兩物體都落在斜面上，由公式得，運動時間分別為，。水平位移，C是可能。若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如圖所示），不會小于1：4，但一定小于1：2。故1：3是可能的，1：5不可能。答案：ABC練習4：（斜面上的最值問題）在傾角為的斜面上以初速度v0平拋一物體，經多長時間物體離斜面最遠，離斜面的最大距離是多少？解：方法一：如圖所示，速度方向平行斜面時，離斜面最遠由，則運動時間為，此時橫坐標為。又此時速度方向反向

14、延長線交橫軸于處： 。方法二：建立如圖所示坐標系把運動看成是沿x方向初速度為，加速度為的勻加速運動和沿y方向的初速度為，加速度為的勻減速運動的合運動。最遠處，所以，2類平拋運動：例：如圖所示，光滑斜面長為 ，寬為 ，傾角為 ，一物體從斜面右上方P點水平射入，而從斜面左下方頂點Q離開斜面，求入射初速度。解：物體在光滑斜面上只受重力和斜面對物體的支持力，因此物體所受到的合力大小為F，方向沿斜面向下；根據牛頓第二定律，則物體沿斜面方向的加速度應為a加，又由于物體的初速度與a加垂直，所以物體的運動可分解為兩個方向的運動，即水平方向是速度為v0的勻速直線運動，沿斜面向下的是初速度為零的勻加速直線運動。在

15、水平方向上有 b= v0 t，沿斜面向下的方向上有aa加t2。練習：如圖所示，有一個很深的豎直井，井的橫截面為一個圓，半徑為，且井壁光滑，有一個小球從井口的一側以水平速度拋出與井壁發生碰撞，撞后以原速率被反彈，求小球與井壁發生第次碰撞處的深度。解：由于小球與井壁相碰時，小球的速率不變，因此在水平方向上小球一直是勻速率運動，當小球與井壁相碰n次時，小球在水平方向上通過的路程： ，所以用的時間 ，由于小球在豎直方向上做的是自由落體運動，因此小球在豎直方向上的位移即小球與井壁發生第n次碰撞時的深度為3相對運動中的平拋運動：例：正沿平直軌道以速度v勻速行駛的車廂內，前面高h的支架上放著一個小球，如圖所

16、示，若車廂突然改以加速度a ，做勻加速運動，小球落下，則小球在車廂底板上的落點到架子的水平距離為多少？解：方法一：小球水平運動，小車水平運動 方法二：， 同類變式若人在車廂上觀察小球，則小球運動軌跡為 直線 （填“直線”或“曲線”）qO因為，所以運動軌跡為直線。練習：沿水平直路向右行駛的車內懸一小球，懸線與豎直線之間夾一大小恒定的角，如圖所示，已知小球在水平底板上的投影為O點，小球距O點的距離為h.，若燒斷懸線，則小球在底板上的落點P應在O點的_側；P點與O點的距離為_。解：燒斷懸線前，懸線與豎直方向的夾角，解析小球的受力可知小球所受合力 ，根據牛頓第二定律知，車與球沿水平向右做勻加速運動，其

17、加速度為 （題設隱含條件）燒斷懸線后，小球將做平拋運動，設運動時間為t ，則有 對小球： 對小車：球對車的水平位移，負號表示落點應在O點的左側，距離OP為htan ?！眷柟叹毩暋?、如圖所示，房間里距地面H高的A點處有一盞白熾燈（可視為點光源），一小球以初速度從A點沿水平方向垂直于墻壁拋出，恰好落在墻角B處，那么，小球拋出后，它的影點在墻上的運動情況是（ ）A勻速運動 B勻加速運動 C變速運動 D無法判斷解析：由相似三角形可知：由平拋規律可得：EP=gt2,AE=v0t,AF=v0。小球剛好落在墻角處，則有：s=FQ =EP=（v0 t由此可知：小球影子以速度v=沿墻向下做勻速運動.答案：A同

18、類變式如圖所示，從地面上方D點沿相同方向水平拋出的三個小球分別擊中對面墻上的A、B、C三點，圖中0點與D點在同一水平線上，知O、A、B、C四點在同一豎直線上，且OA=AB=BC，三球的水平速度之比為：=_。解析：由和設OA=AB=BC=h ，則，；整理得：=； ： =答案： ； 2、把物體甲從高H處以速度平拋，同時把物體乙從距物體甲水平方向距離為s處由地面以速度豎直上拋，不計空氣阻力，兩個物體在空中某處相遇，下列敘述中正確的是（ ）A、 從拋出到相遇所用的時間是B、 如果相遇發生在乙上升的過程中，則C、 如果相遇發生在乙下降的過程中，則D、 若相遇點離地面的高度為 ，則解析：對A選項：； 對B

19、、C選項： 在上升過程中相遇：在下降過程中相遇： 對D選項：答案：ABD同類變式2如圖所示，P、Q兩點在同一豎直平面內，且P點比Q點高，從P、Q兩點同時相向水平拋出兩個物體，不計空氣阻力，則（ ）A. 一定會在空中某點相遇 B. 根本不可能在空中相遇C. 有可能在空中相遇D. 無法確定能否在空中相遇解析：P、Q在豎直方向上都是做自由落體運動，在相等時間內通過的豎直位移相等。由于P點比Q點高，所以P點總在Q點上方。答案：B同類變式2如圖所示，質量均為m的 A、B兩個彈性小球，用長為2l的不可伸長的輕繩連接?，F把A、B兩球置于距地面高H處（H足夠大），間距為l。當A球自由下落的同時，B球以速度v0

20、指向A球水平拋出。求：（1）兩球從開始運動到相碰，A球下落的高度。 （2）A、B兩球碰撞（碰撞時無機械能損失）后，各自速度的水平分量。 （3）輕繩拉直過程中，B球受到繩子拉力的沖量大小。 解：（1）設A球下落的高度為h 聯立解得 （2）由水平方向動量守恒得 由機械能守恒得 式中 ， 聯立解得 ， （3）由水平方向動量守恒得 18m3m， 3、如圖所示，排球場總長為18m，設球網高度為2m，運動員站在網前3m處正對球網跳起將球水平擊出。(1)若擊球高度為2.5m，為使球既不觸網又不出界，求水平擊球的速度范圍；(2)當擊球點的高度為何值時，無論水平擊球的速度多大，球不是觸網就是越界？解:(1)排球

21、被水平擊出后，做平拋運動，如圖所示.v0h0H9mx1x2若正好壓在底線上，則球在空中的飛行時間：由此得排球越界的臨界速度.若球恰好觸網，則球在網上方運動的時間:.由此得排球觸網的臨界擊球速度值.使排球既不觸網又不越界，水平擊球速度v的取值范圍為: .v0hHx1x2(2)設擊球點的高度為h，當h較小時，擊球速度過大會出界，擊球速度過小又會觸網，臨界情況是球剛好擦網而過，落地時又恰好壓在底線上，如圖所示，則有:，得.即擊球高度不超過此值時，球不是出界就是觸網.同類變式一位同學將一足球從樓梯頂部以的速度踢出（忽略空氣阻力），若所有臺階都是高0.2m, 寬0.25m，問足球從樓梯頂部踢出后首先撞到

22、哪一級臺階上？解： 方法一：設足球落在第n級臺階上方法二： 落在第三級臺階上方法三：所有臺階的棱角都在同一斜面上，取小球的軌跡與這個斜面的交點為P，此過程小球的水平位移為x，豎直位移為y，則：，由幾何知識可得：由以上各式得， 2n3，小球首先撞到第三級臺階上。三、圓周運動【規律方法】1、 明確研究對象，分析運動狀態：若有某個固定點或固定軸，開始運動瞬間初速度與外力垂直，且外力為變力，物體將做圓周運動。若切線方向有加速度，則物體做非勻速圓周運動；若切線方向無加速度，則物體做勻速圓周運動。例：如圖所示，將完全相同的兩小球A、B用長L0.8 m的細繩懸于以速度v4 m/s向右勻速運動的小車頂部，兩球

23、與小車的前、后壁接觸，由于某種原因，小車突然停止，此時懸線的拉力之比FBFA為（g取10 m/s2）A11 B12 C13 D14解析：小車突然停止，球B也隨之停止，故FBmg球A開始從最低點擺動，則：FAmgm ，FAm（g）3mg 答案： C2、確定圓心與軌道半徑：質點與轉軸的垂點為圓心，垂線為半徑例:如圖所示，豎直放置的光滑圓環，半徑R=20cm，在環上套有一個質量為m的小球，若圓環以w=10 rad/s的角速度轉動（取g=10m/s2），則角的大小為（ ）A30B45C60D9解析：答案：C 3、受力分析，確定向心力的來源；將外力沿切線方向和法線方向正交分解，列式求解：幾種常見的勻速圓

24、周運動的實例圖形受力分析以向心加速度方向建立坐標系利用向心力公式例:如圖所示，半徑為r的圓形轉筒，繞其豎直中心軸oo轉動，小物塊a靠在圓筒的內壁上，它與圓筒間的動摩擦因數為，現要使小物塊不下落，圓筒轉動的角速度至少為：（ C ） A B C D解析：彈力提供向心力，而不是摩擦力，則： 答案：C【題型總結】（一）圓周運動的典型實例：1、傳動問題皮帶傳動：在皮帶不打滑的情況下，皮帶及兩輪邊緣上的點線速度一樣大，對于A、B兩點，其線速度、角速度、周期有以下關系： 齒動傳動：兩齒動邊緣上點的線速度大小均相同，兩齒輪的齒數與半徑成正比，設兩輪的齒數分別為 ，角速度、周期有以下關系： 同軸傳動：兩盤均與轉

25、軸固定在一起，兩盤上各點的角速度、周期均相同，即 ，A、B兩點的線速度關系為：例：如圖所示，是生產流水線上的皮帶傳輸裝置，傳輸帶上等間距地放著很多半成品產品。A輪處裝有光電計數器，它可以記錄通過A處的產品數目。已知測得輪A、B的半徑分別為rA=20cm，rB=l0cm，相鄰兩產品距離為30cm，lmin內有41個產品通過A處，求：（1）產品隨傳輸帶移動的速度大?。唬?）A、B輪輪緣上的兩點P、Q及A輪半徑中點M的線速度和角速度大小，并在圖中畫出線速度方向；（3）如果A輪是通過摩擦帶動C輪轉動，且rC=5 cm，在圖中描出C輪的轉動方向，求出C輪的角速度（假設輪不打滑）。 解：產品與傳送帶保持相

26、對靜止的條件下，產品速度的大小就等于傳送帶上每一點速度的大小，在傳送帶不打滑的條件下，傳送帶上各點運動速度的大小都等于A、B輪緣上點的線速度的大小。由傳送帶相鄰產品的間距及單位時間內通過A處的產品的個數可以確定出皮帶上點的速度，進而知道A、B輪緣上的兩點P、Q線速度的大小，然后由線速度與角速度的關系，求出A、B兩輪的角速度及A輪半徑中點M的線速度及C輪的角速度.由題意知，1分鐘內有41個產品通過A處，說明1分鐘內傳輸帶上的每點運動的路程為兩產品間距的40倍。設傳輸帶運動速度大小為v，則：（1）v=m/s=0.2m/s（2）vP=vQ=0.2ms。A輪半徑上的M點與P點的角速度相等，故vM=vP

27、=0.2ms=0.1m/sP=M=rads=lrads，Q=2P=2rads（3）C輪的轉動方向如圖所示，如果兩輪間不打滑，則它們的接觸處是相對靜止的，即它們輪緣的線速度大小是相等的，所以CrC=ArA。C輪的角速度C=A=1rads=4rads點評：解決此類問題的關鍵：兩個隱含條件：若皮帶不打滑，兩輪上與皮帶相接觸的輪邊緣處各點的線速度大小相等，同一輪上各點的角速度相等。熟練應用關系進行解析。鏈輪鏈條后輪飛輪踏板練習：某種變速自行車，有六個飛輪和三個鏈條，如圖所示，鏈輪和飛輪的齒數如下表所示，如圖所示，某種變速自行車有六個飛輪和三個鏈輪，鏈輪和飛輪的齒數如下表所示，前后輪直徑為660mm，人

28、騎汽車前進速度為4m/s時，名稱鏈輪飛輪齒數N/個483828151618212428（1）腳踩踏板做勻速圓周運動的角速度最小值為：（ B ） A 1.9rad/s B 3.8rad/s C 6.5rad/s D 7.1rad/s（2）若人以相同的角速度帶動腳踏板，則由于鏈輪和飛輪不同的組合，自行車能得到的最大速度和最小速度之比為多少？解：（1）齒數N與轉速n間的關系，即當物體轉一圈，正好轉過N個齒，故鏈輪和飛輪間的轉速之比為齒數倒數之比。因此腳踏板的最小角速度即是鏈輪的最小角速度因： =2n2/N, 所以鏈: 飛=N飛：N鏈，從式中可知齒數之比要最小，才能使鏈最小鏈: 飛=N飛：N鏈=15:

29、38鏈=飛=3.8rad/s （2）因為V=r; 故V大小取決于。又鏈: 飛=N飛：N鏈，故飛: 鏈 =N鏈：N飛因鏈不變，故當N鏈：N飛最大時，飛即最大；故當N鏈：N飛最小時，飛即最小因此，Vmax:Vmin=：=16：52、子彈問題：例：如圖所示，為測定氣體分子速率的裝置圖，該裝置全部放在高真空容器中，其中A、B是兩圓盤，它們能繞共同軸以相同的角速度轉動，兩盤相距20cm,盤上各開一很窄的細縫,兩盤細縫間成6夾角，現有一定速率的分子垂直板面射向A板細縫,調節圓盤的轉速,使轉速從零逐漸增大,當分子首次垂直通過兩盤的細縫時,測得圓盤轉速為1500r/min, 求（1）此時分子速率多大？（2）若

30、繼續增大圓盤轉速,分子能否通過兩圓盤細縫？若能,求出分子能通過兩圓盤時轉速滿足條件。解：（1）分子通過A、B兩盤所用時間 在這段時間內盤轉過的角度 當首次垂直通過兩盤的細縫時，6，代入式解得： （2）若轉速增大，只要滿足 ，分子就能通過B盤上的細縫（其中）由式得：點評：解決此類問題的關鍵：在一定時間內轉過的角度（通常為始邊與終邊的夾角）=（-）t-2k=0t-2k由于圓周運動的周期性，這類問題往往有多個解，不能忽略。練習1：如圖所示，MN是兩個共軸圓筒的橫截面，外筒半徑為R，內筒半徑比R小得多，可以忽略不計，筒兩端封閉且筒間抽成真空。兩筒以相同的角速度繞其中心軸線（圖中垂直于紙面）做勻速轉動。

31、設從M筒內部可以通過窄縫S（與中心軸線平行）不斷地向外射出兩種不同速率V1，V2的微粒，從S處射出時的初速度方向卻是沿筒的半徑方向，微粒到達N筒后就附著在N筒上。如果R，V1和V2都不變，而取一合適的值，則：（ ）A 有可能使微粒落在N筒上的位置都在處一條與s縫平行的窄條上。B 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如b處一條與S縫平行的窄條上。C 有可能使微粒落在N筒上的位置分別在兩處，如b、c處與S縫平行的窄條上。D 只要時間足夠長，N筒上將到處都落有微粒。解析：由S縫射出的微粒做勻速直線運動；N筒上a、b、c三點隨筒做勻速圓周運動微粒落在N筒上某點，可看成兩個做不同運動的質點相遇的問題由

32、于S縫與a、b、c三點的相對位置一定，因而微粒從S縫射出的先后與我們要討論的相遇問題沒有影響，只要對速度為v1和v2的兩個微粒研究即可 a、b、c三點的運動周期為T=2/,兩種微粒勻速運動到N筒的時間分別為：t1= R/v1,t2=R/v2若v1v2（反之也可）,則t1t2微粒若能落在a點，運動時間必須是周期T的整數倍，即t1= kT，t2=NTk的取值為1，2，3，n；（n為正整數），N的取值為k+1，k+2，k+3，k+n顯然，只要取某一適當的值，上述相遇的條件可以滿足。（例如v1 = 2v2，則t2 = 2t1，調整使T= t1，即k=1，則N=2），因此，選項A是正確的。微粒落在b點的

33、條件是：t1= kT+T，t2= NT+T。K取1，2，3，n；N取k+1，k+2，k+3，k+n（n為正整數）。適當調整值，上述條件可以滿足，故選項B也是正確的。（例如v1= 6v2，則t2= 6t1，調整使T= 5t1 / 6，當k取1，N取7時，兩微粒都可打在b處，ab弧長為2R / 5），因此，選項B是正確。 微粒落在b、c兩處的條件是： t1= kT+T1，t2= NT+T2，K取1，2，3，n；N取1，2，3，n（n為正整數），適當調整值，上述條件可以滿足，故選項C也是正確的。微粒只有兩種速率，只選取某一值，不可能在N筒上到處落有微粒，因此選項D是錯誤的。練習2：一個半徑為R的紙質

34、圓筒，繞其中心軸逆時針勻速轉動，角速度為，一顆子彈沿AO方向打進紙筒，從紙筒上的B點穿出，如圖所示。從子彈打入紙筒到穿出紙筒的過程中紙筒未轉夠一周，若AB弧所對的圓心角為，則子彈的速度大小v應是：（ ） A、R B、R/ C、2R/ D、2R/（-）解析：假設紙筒靜止不動，子彈從A點將沿直線轉過2k+，所用時間為2R/V，由于紙筒在勻速轉動，所以實際轉過2k+-。 答案：D練習3：如圖所示，豎直圓筒內壁光滑，半徑為，頂部有一個入口，在的正下方 處有一個出口，一質量為 的小球沿切線方向的水平槽射入圓筒內，要使小球從處飛出，小球射入入口的速度 滿足什么條件?在運動過程中球對筒的壓力多大？解：小球從

35、入口處射入后的運動可分解為一個在水平面內作勻速圓周運動，線速度即入射速度；另一個在豎直方向上作自由落體運動。設小球在圓筒內繞過圈后從處飛出，則：在水平面內小球做圓周運動通過的路程為 豎直方向的位移： 聯立消去解 小球在運動過程中,水平方向上僅受到,充當向心力3、雨滴問題：例：雨傘邊緣的半徑為r，距水平地面的高度為h，現將雨傘以角速度勻速旋轉，使雨滴自傘邊緣甩出，落在地面上成一個大圓圈。求：(1)大圓圈的半徑是多少？ (2)雨滴落到地面時速率是多少？解：（1）雨滴離開雨傘的速度為v0r，雨滴做平拋運動的時間為t雨滴的水平位移為xv0tr雨滴落在地上形成的大圓的半徑為R (2)設雨滴落地時的速率為

36、v，根據機械能守恒定律：解得， 點評：解決此類問題的關鍵：練習：如圖所示，在圓柱形屋頂中心天花板O點，掛一根L=3 m的細繩，繩的下端掛一個質量m為0.5 kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為10 N.小球在水平面內做圓周運動，當速度逐漸增大到繩斷裂后，小球以v=9 m/s的速度落在墻邊.求這個圓柱形房屋的高度H和半徑R.（g取10 m/s2） 解：設繩與豎直方向夾角為，則cos=,所以=60，小球在繩斷時離地高度為：h=H-Lcos 小球做勻速圓周運動的半徑為：r=LsinF向=mmgtanmv2=mg(H-mv02聯立式求得：H=3.3 m,平拋運動時間為：t=0.6 s,水平距離為：s=

37、v0t=m,圓柱半徑為：R=4.8 m.4、碰釘問題：例：在光滑的水平面上相距40 cm的兩個釘子A和B，如圖5-21所示，長1 m的細繩一端系著質量為0.4 kg的小球，另一端固定在釘子A上，開始時，小球和釘子A、B在同一直線上，小球始終以2 m/s的速率在水平面上做勻速圓周運動若細繩能承受的最大拉力是4 N，那么，從開始到細繩斷開所經歷的時間是( )A0.9 sB0.8 sC1.2 s D1.6 s解：當小球繞A以1 m的半徑轉半圈的過程中，拉力F1m0.41.6 N，繩不斷當小球繼續繞B以(10.4)0.6 m的半徑轉半圈的過程中，拉力F2m0.42.67 N，繩不斷當小球再碰到釘子A，

38、將以半徑 (0.60.4)0.2 m做圓周運動，拉力F3m0.48 N繩斷所以，在繩斷之間小球轉過兩個半圈，時間分別為t10.5 s，t20.3 s所以，斷開前總時間是tt1t2(0.50.3)s0.8 s答案：B點評：解決此類問題的關鍵：抓住線速度、軌道半徑的變化。練習： 如圖所示，質量為m的小球用長為L的懸繩固定于O點，在O點的正下方處有一顆釘子，把懸繩拉直與豎直方向成一定角度，由靜止釋放小球，當懸線碰到釘子的時候（ ）A、小球的速度突然變大B、小球的向心加速度突然變大C、小球的角速度突然增大D、懸線的張力突然增大解析：由于慣性，且碰釘瞬間外力與初速度垂直，所以小球的線速度不變，但圓周的半

39、徑突然減小，故變大，變大，故BC正確，A錯；在碰釘時，根據牛頓第二定律，有，可知r減小，F增大。故D正確。答案：BCD（二）圓周運動的臨界問題：1、豎直平面內：（1）、如圖所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面內做圓周運動過最高點的情況：臨界條件：小球達最高點時繩子的拉力（或軌道的彈力）剛好等于零，小球的重力提供其做圓周運動的向心力，即mg= v臨界=（v臨界是小球通過最高點的最小速度，即臨界速度）.能過最高點的條件：vv臨界. 此時小球對軌道有壓力或繩對小球有拉力不能過最高點的條件：vv臨界（實際上小球還沒有到最高點就已脫離了軌道）.（2）、如圖所示，有物體支持的小球在豎直平面內做圓周運動過最

40、高點的情況：臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能達到最高點的臨界速度v臨界=0.圖（a）所示的小球過最高點時，輕桿對小球的彈力情況是：當v=0時，輕桿對小球有豎直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；當0vN0.當v=時，N=0；當v時，桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大.圖（b）所示的小球過最高點時，光滑硬管對小球的彈力情況是：當v=0時，管的下側內壁對小球有豎直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.當0vN0.當v=時，N=0.當v時，管的上側內壁對小球有豎直向下指向圓心的壓力，其大小隨速度的增大而增大.圖(c)的球沿球面運動，軌道對小球只能支

41、撐,而不能產生拉力。在最高點的v臨界=.當v時，小球將脫離軌道做平拋運動。例1: 如圖所示，輕桿長為2L，水平轉軸裝在中點O，兩端分別固定著小球A和B。A球質量為m，B球質量為2m，在豎直平面內做圓周運動。當桿繞O轉動到某一速度時，A球在最高點，如圖所示，此時桿A點恰不受力，求此時O軸的受力大小和方向；保持問中的速度，當B球運動到最高點時，求O軸的受力大小和方向；在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現O軸不受力的情況？請計算說明。解析：對A球：恰好不受力， 對B球：由牛頓第三定律，B球對O軸的拉力，豎直向下。令B球恰好不受力.對A球: 由牛頓第三定律，A球對O軸的拉力，豎直向下。 若B球在上端A

42、球在下端:對B球：對A球：，聯系得。若A球在上端，B球在下端，對A球：對B球： ，聯系得,顯然不成立所以,能出現O軸不受力的情況，此時。例2：如圖所示，在電機距軸O為r處固定一質量為m的鐵塊電機啟動后，鐵塊以角速度繞軸O勻速轉動求電機對地面的最大壓力和最小壓力之差解：鐵塊在豎直面內做勻速圓周運動，其向心力是重力mg與輪對它的力F的合力由圓周運動的規律可知： 當m轉到最低點時F最大，當m轉到最高點時F最小設鐵塊在最高點和最低點時，電機對其做用力分別為F1和F2，且都指向軸心，根據牛頓第二定律有：在最高點：mgF1m2r在最低點：F2mgm2r設電動機的質量為M，對電動機有：在最高點：N1+F1=

43、Mg在最低點：N2=F2+Mg電動機對地面的最大壓力和最小壓力分別出現在鐵塊m位于最低點和最高點時，且壓力差的大小為：FN2-N1=F2F1由上式可解得：F2m2r發散（1）若m在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動? 平拋運動（2）當角速度為何值時，鐵塊在最高點與電機恰無做用力?電機對鐵塊無做用力時，重力提供鐵塊的向心力，則mgm12r即 1（3）如圖所示是一電動打夯機的原理示意圖，電機質量為M，則多大時，電機可以“跳”起來? 鐵塊在最高點時，鐵塊與電動機的相互做用力大小為F1，則F1mgm22rF1Mg即當2時，電動機可以跳起來， （4）如圖所示，在質量為M的電動機上，裝有質量為的偏心輪，

44、飛輪轉動的角速度為，當飛輪重心在轉軸正上方時，電動機對地面的壓力剛好為零.則飛輪重心離轉軸的距離多大?在轉動過程中，電動機對地面的最大壓力多大? 取整體為研究對象，整體所受合力為（M+m）g，具有向下的加速度2r由牛頓第二定律的拓展公式可知： 當偏心輪的重心轉到軸的正下方時，電動機對地面的壓力最大。整體所受合力為N-（M+m）g，具有向上的加速度2r由牛頓第二定律的拓展公式可知： 2、水平面內：在水平面上做圓周運動的物體，當角速度變化時，判斷物體離心或向心運動（半徑變化）的趨勢，并根據物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在（特別是接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等），以及這個力存在時的方向。（1

45、）拉力：假設法：假設兩繩均受拉力作用，所得值為正，證明繩子拉緊；所得值為負，證明繩子松弛。例:如圖所示，直角架ABC的AB邊為豎直桿，BC邊為水平桿，B點和C點各系一細繩，共同吊著一個質量為1kg的小球于D點，且BDCD，ABD= 30,BD=40cm,當直角架以AB為軸，以10rad/s的角速度轉動時，求細繩BD、CD所受拉力各為多少？（g=9.8m/s2）解： ， ，CD繩已松弛， 極限法：分別求出一繩拉緊且另一繩松弛的臨界條件。例:如圖所示，兩繩系一質量為m=0.1kg的小球，上面繩長L=2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30與45，求：（1）球的角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊？（2）

46、當角速度為3rad/s時，上、下兩繩拉力分別為多大？解：(1)BC恰好拉直，但F2仍然為零，設此時的角速度為1，則有FxF1sin30m12Lsin30FyF1cos30mg0代入已知解得，12.40 rad/s.AC由拉緊轉為恰好拉直，但F1已為零，設此時的角速度為2，則有FxF2sin45m22Lsin30FyF2cos45mg0代入已知解得23.16 rad/s.可見，要使兩繩始終張緊，必須滿足2.40 rad/s3.16 rad/s.（2）由（1）可知，兩繩拉力、都存在。將數據代入兩式解得：，發散解題時注意圓心的位置（半徑的大小）。如果時，則AC與軸的夾角小于。如果，則BC與軸的夾角大

47、于45。練習：如圖所示，為豎直轉動軸，MN為固定在上的水平光滑桿。有兩個質量相等的金屬球A、B套在水平桿上，AC、BC為抗拉能力相同的兩根細繩，C端固定在轉動軸上，當細繩拉直時，A、B兩球轉動半徑之比恒為2：1，當轉軸轉動角速度逐漸增大時，則（ ）A. AC繩先斷B. BC繩先斷C. 兩繩同時斷 D. 不能確定哪根繩先斷解析：兩小球具有相同角速度，繩子拉力的水平分力提供向心力，如圖所示： 因為ACBC，所以，由牛頓第三定律可知，球A對AC繩拉力大于球B對BC繩拉力。故繩AC先斷。 （2）彈力：例:如圖所示，一根水平輕質硬桿以恒定的角速度繞豎直OO轉動，兩個質量均為m的小球能夠沿桿無摩擦運動，兩

48、球之間用勁度系數為k的彈簧連接，彈簧原長為l0，靠近轉軸的球與軸之間也用同樣的彈簧與軸相連如圖所示，求每根彈簧的長度。解：當兩球繞軸OO做勻速圓周運動時，兩球的受力情況如圖所示，分別用l、L表示A、B兩球左側彈簧在做圓周運動時的長度，再列出圓周運動方程： 由、聯解得 （3）支持力：mgNT例：一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為 = 30，如圖104所示。一長為L的繩（質量不計），一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小物體（可看做質點）。物體以速度v繞圓錐體的軸線在水平面內做勻速圓周運動。當v時，求繩對物體的拉力；當v時，求繩對物體的拉力。

49、解：當物體以某一速率繞圓錐體的軸線做水平勻面內的勻速圓周運動時，臨界條件是圓錐體對物體的彈力為零，此時物體剛好與圓錐面接觸但不發生形變。而當速率變大時，物體將脫離圓錐面，從而導致繩對物體的拉力大小和方向都要變化。因此，此題的關鍵是先求出臨界狀態下線速度的值。以小物體為研究對象，假設它與圓錐面接觸，而沒有彈力作用。受力如圖所示，根據運動定律得：Tcos = mg Tsin = 解、得：v = （1）因為v1 =v ，所以物體m與圓錐而接觸且有壓力，受力如圖所示，由運動定律得：T1cos + Nsin = mg T1sinNcos = m 解、得拉力：T1 =(3+ 1) （2）因為v2 =v ，所以物體m脫離圓錐面，設繩子與軸線的夾角為 ，受力如圖所示，由運動定律得：T2sin = m T2cos = mg 解、得繩子拉力：T2 = 2mg（4）摩擦力：例：如圖所示，用細繩一端系著的質量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉盤上，細繩另一端通過轉盤中心的光滑小孔O吊著質量為m=0.3kg的小球B，A的重心到O點的距離為0.2m若A與轉盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉盤繞中心O旋轉的