1、第3章 構件的強度和剛度學習目標 理解各種基本變形的應力概念和分布規律； 掌握虎克定律及材料在拉伸和壓縮時的機械性能指標的含義； 掌握各種基本變形的應力和強度計算方法； 掌握彎曲剛度的基本計算方法； 了解應力集中和交變應力的概念及材料在交變應力作用下的破壞特點。31 分布內力與應力、變形與應變的概念311 分布內力與應力 桿件受力作用時截面上處處有內力。由于假定了材料是均勻、連續的，所以內力在個截面上是連續分布的，稱為分布內力。用截面法所求得的內力是分布內力的合力，它并不能說明截面上任一點處內力的強弱。為了度量截面上任一點處內力的強弱程度，在此引入應力這一重要概念。截面上一點的內力，稱為該點的

2、應力。與截面相垂直的應力稱為正應力，用表示；截面相切的應力稱為切應力，也稱剪應力，用表示。在國際單位制中，應力的基本單位是Nm2，即Pa。工程中常用單位為MPa，GPa，它們的換算為：l MPa=106Pa=1 Nmm2 1 GPa=103MPa=103 Nmm2312應 變在外力的作用下，構件的幾何形狀和尺寸的改變統稱為變形。一般講，構件內各點的變形是不均勻的，某點上的變形程度，稱為應變。 圍繞構件內K點取一微小的正六面單元體，如圖31(a)所示，設其沿軸方向的棱邊長為，變形后的邊長為+，如圖31(b)所示，稱為的線變形。 當趨于無窮小時，比值=表示一點處微小長度的相對變形量，稱為這一點的線

3、應變或正應變，用表示。 一點處微小單元體的直角的改變量圖31(c)，稱為這一點的切應變，用表示。 線應變和切應變是度量構件內一點變形程度的兩個基本量，它們都是無量綱的量。 圖31正應變和切應變32軸向拉伸與壓縮的應力應變及虎克定律321 拉伸與壓縮時橫截面上的應力 拉壓桿，如圖32(a)(b)所示，橫截面上的軸力是橫截面上分布內力的合力，為確定拉壓桿橫截面上各點的應力，需要知道軸力在橫截面上的分布。試驗表明，拉壓桿橫截面上的內力是均勻分布的，且方向垂直于橫截面。因此，拉壓桿橫截面上各點只產生正應力且正應力沿截面均勻分布，如圖32(c)(d)所示。設拉壓桿橫截面面積為A，軸力為FN，則橫截面上各

4、點的正應力為 = (3-1) 正應力的符號規定與軸力相同。即拉應力為正，壓應力為負。例31 如圖33所示圓截面桿，直徑d=40 mm，拉力F=60 kN，試求11，22截面上的正應力。解 (1)計算兩截面上的軸力 FNl=FN2=60 kN (2)計算兩截面上的應力圖32拉伸與壓縮時橫截面上的應力 圖33圓截面桿11截面的面積為 A1= =856 mm222截面的面積為 A2= = l 256 mm211截面上的正應力為 1= = 701 MPa22截面上的正應力為 2= 477 Mpa322拉壓桿的變形和應變桿件在軸向外力作用下，桿的長度和橫向尺寸都將發生改變。桿件沿軸線方向的伸長(或縮短)

5、量，稱為軸向變形或縱向變形，將桿件橫向尺寸的縮短(或伸長)量，稱為橫向變形。 設圓截面等直桿原長為，截面面積為A，在軸向外力F作用下，桿長由變為1，則桿件的軸向變形為=1。桿件拉伸時，為正；壓縮時，為負。為桿件的絕對變形，其大小與原尺寸有關，為了準確地反映桿件的變形情況，消除原尺寸的影響，需要計算單位長度的變形量即相對變形，稱為線應變。對于軸力為常量的等截面直桿，桿的縱向變形沿軸線均勻分布，故其軸向線應變為=。桿件拉伸時，為正；桿件壓縮時，為負值。323虎克定律實驗研究指出：在一定范圍內，桿件的絕對變形與所施加的外力F及桿件長度成正比，而與桿件的橫截面面積A成反比。引入與桿件材料有關的比例系數

6、E，上式可寫為 = (32)這一比例關系，稱為虎克定律。其中F是軸向力，即FN。比例系數E稱為材料的拉壓彈性模量，它表示材料抵抗拉(壓)變形的能力，彈性模量愈大，變形愈小，E的數值與材料有關。常用工程材料的E值，可查閱相關機械設計手冊。從公式(32)還可以看出，分母EA愈大，桿件變形愈小，所以EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度，它表示桿件抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力。將 =代人=，可得虎克定律的另一表達式 =E (33)公式表明，在一定范圍以內，桿件橫截面上的正應力與縱向線應變成正比。例32 求圖34(a)所示桿的軸向變形、最大正應力max及最大線應變max。已知：A1=2A2=100 mm2，E=

7、200 GPa，1=2=400 mm，F=10 kN。解：(1)作軸力圖根據桿所受外力，可作出桿的軸力圖，如圖34(b)所示。 圖34(2)計算桿的軸向變形由軸力圖和桿的結構圖可知，應先分別計算AB段的變形1，和BC段變形2，再求桿的總變形。 AB段： 1=0.2 mm (伸長) BC段： 2= = =04 mm(縮短) 桿的總變形： =1+2=0.2 mm04 mm =02mm (縮短)(3)計算桿的最大正應力max 由軸力圖和桿的結構圖可知，桿的最大正應力發生在BC段，為 max = =200 MPa(壓)(4)計算桿的最大線應變max由=可知，最大線應變與最大正應力相對應，故max也出現

8、在BC段上的各點，為max = =0.001 (壓)33材料在拉伸、壓縮時的力學性能 材料的力學性能是指材料在受力和變形過程中所具有的特性指標。它是材料的固有特性，可以通過實驗獲得。上一節介紹的材料彈性模量E，就是材料重要的力學性能指標。331 材料拉伸時的力學性能 拉伸試驗一般在常溫、靜載荷條件下進行，試驗時采用標準試件。圓截面的標準試件，如圖35所示。 圖35圓截面拉伸試件 試件兩端是夾持部分，中間工作長度和直徑的關系為=l0d或=5d。 試件裝到試驗機上后，緩慢增加拉力F，試件在標距長度內產生變形，將對應的和繪成F一曲線，稱為拉伸圖。一般在試驗機上能自動繪出。1低碳鋼的拉伸試驗 低碳鋼是

9、工程上廣泛使用的材料，在此以低碳鋼Q235為例研究其拉伸時的力學性能。 圖36是低碳鋼的拉伸圖。由于試驗與試件長度和橫截面積A有關，因此，即使同一材料當試件尺寸不同時，拉伸圖也不相同。為消除試件尺寸的影響，將縱坐標F除以試件的橫截面積A得到盯=FA，橫坐標除以試件的長度得到=,即可繪出關系曲線，稱為應力一應變圖，如圖37所示。該圖表示從加載開始到破壞為止應力與應變的對應關系。圖36低碳鋼的拉伸圖 圖37低碳鋼拉伸圖 通過試驗，對照關系曲線，可以看出低碳鋼的拉伸試驗分為4個階段。 (1)彈性階段 在圖37所示應力一應變圖的OA段內，如果卸去外力，試件的變形將全部消失，說明在此階段材料只產生彈性變

10、形，所以OA段稱為彈性階段。彈性階段的最高點A所對應的應力，是材料只發生彈性變形的最大應力，稱為材料的彈性極限，用e表不。 在彈性階段內的OA段，關系曲線為一直線，說明在此階段內與成正比，即符合虎克定律，=E。直線最高點A所對應的應力，是正應力與正應變成正比的最大應力，稱為材料的比例極限，用p表示。直線OA的斜率，數值上等于材料的彈性模量E。 彈性極限e和比例極限p的物理意義并不相同，但兩者數值相近，例如，低碳鋼Q235的e和p都約為200 MPa。因此，實際應用中對兩者通常不作嚴格區分，即認為在彈性階段范圍內材料服從虎克定律。 (2)屈服階段 在應力超過彈性極限e后的關系曲線上，出現一段近似

11、水平的小鋸齒形曲線BC。此時，說明的應力有波動但幾乎未增加，材料卻發生很大的變形。此時，材料失去抵抗變形的能力，這種現象稱為材料的屈服，BC段也被稱為屈服階段。在屈服階段除第一次下降的最小應力外的最低應力稱為屈服極限，用s表示。低碳鋼Q235的s約為235 Mpa。 工程上一般不允許材料發生塑性變形，因此，屈服極限是材料的重要強度指標。 (3)強化階段 屈服階段過后，關系曲線又成為上升的曲線，此時材料恢復抵抗變形的能力，這種現象稱為材料的強化，CD段稱為強化階段。強化階段的最高點D所對應的應力是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限，用b表示。低碳鋼Q235的b約為380 MPa。 強化階段，應

12、變隨應力增加而顯著增大，此時的變形主要是塑性變形。 (4)縮頸階段 應力達到強度極限b時，試件在內部不均勻或有缺陷的薄弱處會出現局部收縮，稱為縮頸現象，即圖示DE段，最后導致試件斷裂。 試件斷裂后，其彈性變形隨著載荷的消失而恢復，剩余塑性變形。斷裂的兩段試件總1。減去原來的長度，再除以原長的百分比，稱為材料的伸長率，用表示，即 = 100 伸長率大的材料，在軋制或冷壓加工成型時不易斷裂，并能承受較大的沖擊載荷。工程中按伸長率的大小將材料分為兩類，5的材料，如結構鋼、鋁材等，稱為塑性材料，低碳鋼Q235的伸長率約為2530，是典型的塑性材料；<5的材料，如鑄鐵、工具鋼、陶瓷等，稱為脆性材料

13、。試件試驗前截面面積為4，斷裂后斷口最小橫截面的面積為A1，則 = ×100 其中，稱為斷面收縮率。低碳鋼Q235的斷面收縮率約為60。 2鑄鐵的拉伸試驗 鑄鐵拉伸時的關系曲線，如圖38所示。圖中沒有明顯的直線，也沒有屈服和縮頸現象，試件是突然斷裂的。鑄鐵斷后伸長率約為0.50.6，是典型的脆性材料。衡量脆性材料強度的唯一指標是強度極限b。 圖38鑄鐵拉伸圖 332材料壓縮時的力學性能為避免試件被壓彎，金屬材料的壓縮試件應為短圓柱形，圓柱的高度一般為直徑的2.53.5倍。 1低碳鋼的壓縮試驗 如圖39所示，實線部分是低碳鋼壓縮時的關系曲線，虛線是低碳鋼拉伸時的關系曲線。由圖可見，在屈

14、服階段以前，壓縮與拉伸的曲線基本相同，說明低碳鋼壓縮與拉伸時的彈性模量E，比例極限p， 彈性極限e和屈服極限s是相同的，只是超過屈服極限s后，由于試件被壓扁，橫截面積不斷增大，抗壓能力不斷提高，試件只會壓扁而不會斷裂，因此，無法得到低碳鋼的抗壓強度極限b。 2鑄鐵的壓縮試驗 如圖310所示，實線部分是鑄鐵壓縮時的關系曲線，虛線是鑄鐵拉伸時的關系曲線。由圖可見，鑄鐵拉伸和壓縮的關系曲線中均沒有明顯的直線部分，材料近似服從虎克定律。鑄鐵壓縮也沒有屈服極限，但鑄鐵壓縮時的強度極限是拉伸時的45倍，所以鑄鐵常用于承受壓力的構件。 鑄鐵在壓縮時，有明顯的變形，試件略呈鼓形。破壞時，端面與軸線大致成50左

15、右。圖39低碳鋼壓縮圖 圖310鑄鐵壓縮圖 工程材料在拉伸和壓縮時的力學性能可查閱相關機械設計手冊。表3l列出了幾種常用的工程材料在拉伸和壓縮時的力學性能和應用，僅供參考。表31常用工程材料在拉伸和壓縮時的力學性能(常溫、靜載)材料名稱 屈服極限強度極限塑性指標應用舉例或牌號 /MPa/MPa/% /%A3鋼（Q235）235 39224一般零件，如拉桿、螺釘、軸等A5鋼（Q275）274 490 6082035號鋼3135292045機器零件45號鋼3535971640灰口鑄鐵拉147372壓 6401300<1軸承蓋、基座、泵體、殼體等球墨鑄鐵294 412392 5881.5 10

16、軋輥、，曲軸、凸輪軸、齒輪、活塞、閥門、底座等34安全系數和許用應力341 極限應力和工作應力 工程上把材料喪失正常工作能力的應力，稱為極限應力或危險應力，以表示。因此，當塑性材料達到屈服極限時，或脆性材料達到強度極限時，材料將產生較大的塑性變形或斷裂。所以，對于塑性材料，=；對于脆性材料，=。 構件工作時，由載荷引起的應力稱為工作應力。桿件受軸向拉伸或壓縮時，要保證構件能夠安全工作，其橫截面上的工作應力<。342安全系數和許用應力 從生產的經濟性考慮問題，為了充分利用材料的強度，理想的情況是最好使構件的工作應力接近于材料的危險應力。但是由于載荷的大小往往估計不準確；構件的材料不可能絕對

17、均勻，不能保證它和標準試件的機械性能完全相同，這樣，構件的實際工作條件比理想情況要偏于不安全的一面。 從確保安全考慮問題，構件材料應有適當的強度儲備。特別是那些一旦破壞會造成停產、人身或設備事故等嚴重后果的重要構件，更應該有較大的強度儲備。為此，可把危險應力。除以大于l的系數n，作為材料的許用應力。許用應力以表示，即， = （34）式中：n安全系數。 塑性材料的許用應力=；脆性材料的許用應力=。ns，nb性材料的屈服極限和脆性材料的強度極限規定的安全系數。 正確地選取安全系數是工程中一件非常重要的事。如果安全系數ns (或nb)偏大，則許用應力低，構件過于安全，但用料過多，會增加設備的質量和體

18、積；如果安全系數偏小，則許用應力高，用料少，但構件過于危險。所以，安全系數的確定，是合理解決安全與經濟之間矛盾的關鍵。 各種材料在不同工作條件下的安全系數或許用應力，可從有關規范或設計手冊中查到。35軸向拉伸與壓縮的強度計算 桿件中最大應力所在的橫截面稱為危險截面。為了保證構件具有足夠的強度，必須使危險截面的應力不超過材料的許用應力，即： max= (35)式中：N危險截面的內力，N，拉壓時內力N即為軸力FN； A危險截面的截面積，mm2； max危險截面處的應力，MPa。 此式稱為拉伸或壓縮時的強度條件公式。利用強度條件，可以解決強度校核、設計截面尺寸、計算許用載荷3類強度計算問題。例33

19、空心混凝土柱，如圖311所示，受軸向壓力P=300 kN。已知=125 mm，d=75 mm，材料的許用壓應力=30 MPa，試校核此柱子的抗壓強度。解： A=1l 209 mm2 =2676 MPa 因為<，所以此柱子的抗壓強度足夠。 圖311 圖312例34 氣動夾具，如圖312(a)所示，已知：汽缸內徑D=140 mm，缸內氣壓P=06 MPa，活塞桿材料為20號鋼，=80 MPa，試設計活塞桿的直徑。 解：活塞桿左端承受活塞上的氣體壓力，右端承受工件的阻力，所以活塞桿為軸向拉伸構件，如圖712(b)所示。拉力F可由氣體壓力及活塞面積求得。設活塞桿橫截面面積遠小于活塞面積，在計算氣

20、體壓力作用面的面積時，前者可略去不計。故有 活塞桿的軸力為 F=9.23kN活塞桿的橫截面面積為 A=115 mm2由此求出d121 mm，可取活塞桿的直徑為14 mm。例35 圖313(a)所示為一個鋼木結構的起吊架，其中AB為木桿，其截面面積為AAB=104 mm2，許用壓應力AB=7 MPa；BC為鋼桿，其截面面積為ABC=600 mm。，許用應力BC=160 MPa，試求B處可承受的最大許可載荷。 圖313解：(1)受力分析 用截面法畫受力圖，如圖313(b)所示，由平衡條件可求得各桿軸力NAB和NBC與載荷的關系 =0 即 NBCsin 30=0得 NBC=2 =0 即 NAB=0得

21、 NAB = =2Q·(2)求最大許可載荷由強度條件公式(35)可知，木桿的許可軸力為 即 得 40 415 N=404 kN 鋼桿的許可軸力為 即 得 48 000 N=48 kN 為保證結構安全，B處可吊起的許可載荷應取404 kN，48 kN中的較小值。即 max=404 Kn36剪切和擠壓的實用計算361剪切的實用計算 以鉚釘聯接為例，為了對其進行剪切強度計算，必須先計算剪切面上的內力。應用截面法，用一假想的平面將鉚釘沿剪切面切開，取其下部作為研究對象，如圖29(c)所示。為了保持下段鉚釘的平衡，截面上必有內力存在，這個與截面相切的內力即為剪力FQ。 根據平衡條件，可求得剪力

22、FQ的大小為FQ=F。 與剪力相對應的應力稱為剪應力。由于剪應力在剪切面上的分布情況比較復雜，要從理論上進行計算往往很困難，有時甚至是不可能的，因此，工程上通常采用實用計算法，即假設剪應力均勻地分布在剪切面上，于是，剪應力的計算式可寫為 (36)式中：A剪切面面積。 為了保證鉚釘聯接安全可靠地工作，要求作用于剪切面上的剪應力不超過材料的許用剪應力，因此，剪切強度條件為 (37)式中：材料的許用剪應力。 許用剪應力的大小等于材料的剪切極限應力除以安全系數。剪切極限應力是根據剪切試驗中測得的破壞時的剪力，按平均值計算得到的極限應力；安全系數是根據實踐經驗并針對具體情況確定的。 剪切許用應力可從有關

23、手冊中查得，也可按下列近似經驗公式確定 塑性材料 =(0608) 脆性材料 =(081) 式中：材料的許用拉應力。 和軸向拉伸或壓縮一樣，應用剪切強度條件也可解決工程上剪切變形的三類強度問題。362擠壓的實用計算 仍以鉚釘聯接為例，鉚釘與被聯接的鋼板在一個半圓柱面上互相接觸，產生擠壓作用。通常把兩個接觸面間的壓力稱為擠壓力，以符號表示。由擠壓力引起的應力稱為擠壓應力，以吒表示。由于擠壓應力在擠壓表面上的分布情況也比較復雜，因而和剪切一樣，仍采用實用計算法，即假定擠壓應力在擠壓計算面積上是均勻分布的，故擠壓應力為 (38)式中：Aj擠壓的計算面積。 此面積需根據接觸面的具體情況而定：若接觸面為平

24、面，則接觸面面積即為擠壓計算面積；若接觸面為半圓柱形，則以接觸半圓柱面的直徑投影面積作為擠壓計算面積。為了保證構件不受到擠壓破壞，擠壓的強度條件應為 (39)式中： 材料的許用擠壓應力，可從有關設計手冊中查得。 一般塑性材料 =(1525) 脆性材料 =(0915) 式中： 材料的許用拉應力。 應該注意，如果互相擠壓的材料不同，則應按擠壓許用應力較小的材料進行強度計算。例36 如上一章圖210(a)所示的一拖車掛鉤，用銷釘聯接。已知：掛鉤部分的鋼板厚度8 mm，拖力F=15 kN，銷釘的材料為20號鋼，其許用剪應力=40 MPa，許用擠壓應力=100 MPa，鋼板材料為Q235，許用擠壓應力=

25、90 MPa，試設計銷釘的直徑。解：一般先按剪切強度條件設計銷釘直徑，然后按擠壓強度條件進行校核。若擠壓強度不夠，可增加擠壓面面積，或按擠壓強度條件重新設計銷釘直徑。 (1)按剪切強度條件計算 如圖210(b)所示，銷釘在mm，nn兩個截面上同時承受剪切作用，首先計算剪切面上的剪力FQ。應用截面法，用假想平面將銷釘沿剪切面mm，nn切開，取中段為研究對象，如圖210(c)所示。 由平衡條件可求出剪力 FQ=F2=75 kN 根據剪切強度條件 得 或 故 取 d=16 mm (2)校核擠壓強度 由圖210(c)可知，擠壓力Fj=F； 擠壓計算面積Aj=d×2t 代人擠壓強度條件可得 鋼

26、板可見，銷釘直徑d=16 mm能滿足剪切和擠壓強度的要求。37圓軸扭轉的應力、強度計算371 圓軸扭轉時橫截面上的切應力 圓軸扭轉時各橫截面僅產生繞軸線的轉動，各橫截面之間距離保持不變，沒有縱向變形，因此橫截面上無正應力，只有切應力存在，且與半徑垂直。切應力與切應變成正比，而橫截面上距離圓心越遠的點，剪切變形越大，所以各點切應力的大小與其到圓心的距離成正比，最大切應力發生在圓軸表面，圓心處切應力為零。 根據靜力平衡條件，導出橫截面上任一點的切應力計算公式(公式推證從略) (3l0)式中：橫截面上任一點的切應力，Pa或MPa； T該橫截面上的扭矩，N·m或kN·m，N

27、3;mm； IP橫截面對圓心的極慣性矩，m4或mm4； 橫截面上任一點到圓心的距離，m或mm。 圓軸扭轉時，橫截面邊緣上各點的切應力最大，其數值為 令 WP = (311) 則 (312)式中：抗扭截面系數，m4或mm4。既是圓軸抵抗扭轉破壞能力的幾何參數。 最大應力；與橫截面上的扭矩T成正比，與WP成反比。 工程中軸的橫截面通常采用實心圓和空心圓兩種形狀，其極慣性矩IP。和抗扭截面系數WP的計算公式見表32。 表32圓和圓環橫截面的極慣性矩IP，和抗扭截面系數WP例37 圖314所示為空心圓截面軸，外徑D=40 mm，內徑d=20 mm，扭矩T=1 kN·m，計算=15mm處A點的

28、扭轉切應力，以及截面上的最大和最小扭轉切應力。圖714解：（1）空心軸的極慣性矩為 (2)計算切應力 372 圓軸扭轉時的強度條件 圓軸扭轉時，產生最大切應力的橫截面稱為危險截面，為保證軸的安全工作，要求軸內最大切應力不大于材料的許用切應力。因此圓軸扭轉時的強度條件為 (313)式中：Tmax危險截面的最大扭矩； WP危險截面的抗扭截面系數。 注意：對于階梯軸，因為抗扭截面系數WP不是常量，最大工作應力不一定發生在最大扭矩Tmax，所在的截面處，應該按照(T/ WP)max來確定。 圓軸扭轉時的許用切應力應由扭轉試驗測定，也可以查找機械設計手冊。在靜載荷作用下，許用切應力與拉伸許用應力的關系為

29、 塑性材料 =(0506) 脆性材料 =(081) 應用上述公式，可以解決強度校核、截面設計、確定許用載荷3類問題。例38 階梯鋼軸如圖315(a)所示，已知材料的許用切應力=80 MPa，受外力偶矩為：Ml=10 kN·m，M2=7 kN·m，M3=3kN·m，AB段的直徑d1=100 mm ,BC段的直徑為d2=60 mm，試校核該軸的強度。 圖315解：(1)作扭矩圖圖315(b)(2)強度校核AB段： T1=10 kN·m BC段： T2=M3=10 kN·m 經過校核，該軸滿足強度要求。 本例題同時表明，最大切應力發生在了扭矩較小的B

30、C段的橫截面上。例39 如圖316所示，實心軸與空心軸通過牙嵌式離合器聯接傳遞扭矩，已知材料的許用切應力=40 MPa，傳遞的力偶矩T=08 kN·m，空心軸內徑與外徑比，試計算實心軸的直徑D和空心軸的外徑D1。圖316解：根據公式 得 (1)實心軸 帶人數據得 D 453 mm，取D=46 mm (2)空心軸 帶人數據得 D1 463 mm，取D1=48 mm例310 已知空心軸材料的許用切應力=100 MPa，傳遞的力偶矩T=198 kN·m，空心軸外徑D=76 mm，壁厚25 mm，求：校核該軸的強度。如改為實心軸，并保證相同的強度，試設計實心軸的直徑。 解：(1)校

31、核強度，最大切應力在空心軸的外圓處 經過校核，該軸滿足強度要求。 (2)保持強度不變，即實心軸與空心軸的最大切應力相等 帶人數據得 D1=471 mm，取D。=48 mm 在強度相同條件下，兩軸的質量比(質量比等于體積比也等于橫截面積比)為 空心軸的質量僅為實心軸的l3，可見采用空心軸更為合理。 但要注意，過薄的圓筒受扭時筒壁可能發生褶皺，喪失承載能力，同時在加工空心軸時會增加成本，所以不能在任何條件下都采用空心軸。38彎曲的應力、強度和剛度計算 一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩，又有剪力，這種彎曲稱為剪切彎曲。若梁的橫截面上只有彎矩而無剪力，稱為純彎曲。如圖717所示為車軸的計算簡圖，可知A

32、B段的彎矩M= ，剪力FQ=0，屬純彎曲；而CA和BD段為剪切彎曲。381 純彎曲時梁橫截面上的正應力 1純彎曲時橫截面上正應力的分布規律 如圖718所示的矩形截面梁，在發生純彎曲變形后，一邊凹陷，一邊凸出，凹邊的縱向纖維層縮短，凸邊的縱向纖維層伸長。由于梁的變形是連續的，因此其問必有一層既不伸長也不縮短的纖維，這一長度不變的縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，可以證明中性軸通過截面的形心。位于中性層上、下兩側的纖維，一側伸長另一側縮短，引起橫截面繞中性軸的微小轉動。纖維伸長，橫截面上對應各點受拉應力；纖維縮短，橫截面上對應各點受壓應力。所以中性軸是橫截面上拉應力區域與壓應力

33、區域的分界線。正應力的分布規律如圖319所示。 圖317純彎曲和剪切彎曲圖318矩形截面梁純彎曲變形 圖319矩形截面正應力分布2純彎曲時橫截面上正應力的計算公式 式中：橫截面上任一點的彎曲正應力； M橫截面上的彎矩； y欲求應力的點到中性軸的距離； Iz橫截面對中性軸z的慣性矩。 上述正應力的分布規律和計算公式是由純彎曲梁計算所得，但經過驗證，對于剪切彎曲的細長梁(梁的跨度與截面高度比5的梁)，在材料的彈性范圍內，結論和公式依然適用。3橫截面上最大的正應力 當y=ymax時，彎曲正應力達到最大值，由公式(314)可得 (315) (316)可得 (317)式中：W抗彎截面系數，mm3。W是抵

34、抗彎曲破壞能力的幾何參數。 當截面的形狀對稱于中性軸時，如矩形、工字鋼、圓形等，其上、下邊緣距中性軸的距離相等，即y1=y2= ymax,如圖320所示，因而最大拉應力。與最大壓應力；相等。當中性軸不是對稱軸時，如T形截面(圖321)，y1y2，所以最大拉應力和最大壓應力不相等，要分別計算。圖320 對稱截面的應力分布圖321 非對稱截面的應力分布782 簡單截面的慣性矩和抗彎截面系數 軸慣性矩，和抗彎截面系數形是取決于截面形狀、尺寸的物理量。截面的面積分布離中性軸越遠，截面的I和W越大。 常用的I和W計算公式見表73，其他常用型鋼的，和形可查閱機械設計手冊中的型鋼表。表73常用的I和W計算公

35、式783梁的正應力強度計算梁的正應力強度條件是：梁的最大彎曲正應力不得超過材料的許用應力，即 (718)最大正應力所在的截面稱為危險截面，最大正應力所在的點稱為危險點。對于塑性材料，由于其抗拉強度與抗壓強度相等，即，其強度條件為 (719)對于胞眭材料，由于其抗拉強度與抗壓強度不相等，即，其強度條件為 (720) (721) 根據上述公式，可以完成梁的強度校核、截面設計、確定許用載荷三類問題的計算。例311 如圖322(a)所示，T形截面對中性軸的，Iz=3×105mm4，F1=3 kN，F2=55 kN，AC=n=02 m，BC=b=04 m，材料的許用拉應力=70 MPa，許用壓

36、應力=150 MPa，試按正應力強度條件校核梁的強度。 圖322解：(1)畫計算簡圖圖322(b)(2)計算截面的彎矩并畫彎矩圖 MA=0 MB =Fl(+b)+ F2 b=3 kN×(0.2 m+0.4 m)+5.5 kN×0.4 m=0.4 kN·m MC =Fl =3 kN×0.2 m=0.6 kN·m梁的彎矩圖如圖322(c)所示。由圖可以得知，C截面的彎矩絕對值最大。(3)校核梁的C截面強度因為該截面彎矩為負值，所以中性軸以下截面為壓應力，以上截面為拉應力。上邊緣的最大拉應力為 下邊緣的最大壓應力為 所以c截面的強度符合要求。 (4)

37、校核梁的B截面強度 因為該截面彎矩為正值，所以中性軸以下截面為拉應力，以上截面為壓應力。 上邊緣的最大壓應力為 下邊緣的最大拉應力為 所以，B截面的強度不符合要求。B截面的下邊緣處將先被破壞。 由此可見，當：材料的許用拉應力和許用壓應力不同，中性軸不是對稱軸，彎矩圖上既有正彎矩也有負彎矩，3個條件同時存在時，既要計算最大正彎矩截面的強度，又要計算最大負彎矩截面的強度。384梁彎曲時的變形和剛度條件 1撓度和轉角 如圖323所示的簡支梁，彎曲變形時，橫截面nn位置，其形心從C點位移到C點。梁的橫截面形心在與原來軸線垂直方向上的位移，稱為該截面的撓度，用符號表示；橫截面相對于原來位置轉過的角度，稱

38、為該截面的轉角，用符號表示。 圖323簡支粱的彎曲變形 彎曲變形后梁的軸線變成一條連續光滑的平面曲線，稱為撓度曲線，簡稱撓曲線。在圖中所示的坐標系中，撓曲線的方程稱為撓度方程，可以表示為 (322) 由于軸線是各截面形心的連線，所以，該方程中的x為變形前截面位置的橫坐標，為變形后該截面的撓度。 由于截面的轉角等于撓度曲線在該截面的切線與軸的夾角，在小變形的情況下，任一截面的轉角都可以表示為 (323) 所以，撓度和轉角的數值可以由撓度方程及其一階導數確定。采用圖323所示的坐標系時，向上的撓度為正，向下的撓度為負；逆時針的轉角為正，順時針的轉角為負。 在一定外力作用下，梁的撓度、轉角都和材料的

39、彈性模量E與截面慣性矩Iz的乘積EIz成反比，EIz越大，撓度和轉角越小，所以EIz稱為梁的抗彎剛度。在機械設計手冊中可以查到各種梁在簡單載荷作用下的撓度方程，以及某些截面的撓度和轉角計算公式。 2梁的剛度條件 受幾種載荷共同作用的梁，利用撓度方程表，先計算每一種載荷單獨作用下的變形，然后將它們進行代數和疊加，這種計算方法稱為疊加法。一般在只有小變形和材料服從虎克定律的前提下，才能使用疊加法計算梁的變形。 機械工程中有剛度要求的梁，有關設計標準和規范規定了許用撓度或許用轉角的數值,分別用和表示。其中許用撓度一般表示為梁的跨度的倍數，如 一般傳動軸 =(0.000 30.000 5) 安裝齒輪或

40、滑動軸承處 =0.001 rad 所以梁的剛度條件為 (724) 385提高梁彎曲強度和剛度的主要措施 1提高梁彎曲強度的主要措施 在一般情況下，彎曲正應力是控制梁強度的主要因素。根據彎曲正應力強度條件可知，梁的彎曲強度與橫截面的形狀和尺寸、最大彎矩和材料有關。因此，提高梁的強度可從以下幾個方面考慮： (1)選擇合理的截面形狀 從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀是在截面面積A一定的前提下，使截面具有盡可能大的抗彎截面系數W，截面的比值越大，截面越經濟合理。工程中常見截面的比值如表34所示。表34常用工程材料截面W/A的比值可見，矩形截面優于圓形截面，圓環截面又優于矩形截面，而最合理的為工字形和

41、槽截面。這一結論可以從正應力的分布規律來解釋，彎曲正應力沿截面高度呈線性分布，當離中性軸最遠各點處的正應力達到材料的許用應力時，中性軸附近各點處的正應力仍很小，該處材料的作用未充分發揮。因此，在離中性軸較遠處配置較多的材料可提高材料的利用率。 根據上述原則，對于抗拉與抗壓強度相同的塑性材料梁，宜采用對稱于中性軸的各種截面，如矩形、工字形等截面。對于抗拉強度低于抗壓強度的脆性材料梁，宜采用中性軸偏于受拉一側的截面，如T形、形截面等，最理想的截面是使，如圖321所示。 (2)合理地布置載荷和支座 合理地布置載荷和支座，可以降低梁的最大彎矩，從而提高梁的強度。 如圖324所示，將梁上的集中載荷分散為

42、兩處靠近支座的集中力，梁上的最大彎矩將減小一半。 圖324集中載荷分散為兩處靠近支座的集中力 如圖725所示的受均布載荷的簡支梁，若將兩個支座各向內側適當移動0.2，則其最大彎矩將從0.125q。減小為0.025q。，僅為原來的15。 使集中力盡量靠近支座，也可以降低最大彎矩。如圖326所示的銑床的齒輪軸，若讓齒輪緊靠左邊軸承，而不是位于軸的中問位置，其最大彎矩為，而不再是,，從而使最大彎矩降低了40。因此，機械工程中的齒輪、帶輪等都盡量靠近軸承處，以降低梁的最大彎矩，提高梁的彎曲強度。 (3)采用變截面梁 一般情況下，在梁的不同截面，彎矩值不同。等截面梁的尺寸由最大彎矩確定，因此，除了危險截

43、面的應力達到材料的許用應力外，其他截面的正應力均小于許用應力，材料未充分利用。因而從整體上看，等截面梁不合理，故機械中常采用變截面梁。如鑄鐵托架，搖臂鉆的橫臂AB、魚腹梁、階梯軸等，它們的截面尺寸隨彎矩大小而定，稱為變截面梁。若各截面的最大應力都達到許用值，則稱為等強度梁，如圖327所示。 應該指出，上述措施只是從彎曲強度的角度考慮的，工程實際中，還應結合工藝要求、結構功能等因素，作全面考慮。 (a) (b)圖325受均布載荷的簡支梁支座向內移動 圖326集中力盡量靠近支座 2提高梁彎曲剛度的主要措施 由機械設計手冊查得梁的變形公式可知，梁的變形與載荷(m，P，q)成正比，與梁的跨度f或z的高

44、次冪成正比，與抗彎剛度肼成反比。因此，提高梁剛度的措施為： (1)縮短梁的跨度或增加支座 縮短跨度是提高梁剛度極為有效的措施。在跨度不允許減小的情況下，可以增加中間支座。如切削工件時，卡盤夾緊一端為固定端，在自由端加裝尾架頂針，以降低撓度，使切削工件符合要求。 (a) (b) (c)圖327變截面梁 (2)增大抗彎剛度肼 因為各種鋼材的E值接近，所以選擇慣性矩，較大的截面形狀，是比較經濟的措施，例如采用圓環形、箱形、工字形等截面形狀。 (3)改善加載方式 同強度問題一樣，改善加載方式可以降低彎矩，減小梁的變形。另外，可適當調整載荷方向，使兩種載荷引起的變形能互相抵消一部分，從而達到減小變形的目的。79交變應力與疲勞失效791交變應力的概念 機器中的某些傳動軸常常受到隨時間作周期性變化的應力，這種應力稱為交變應力。例如，圖328(a)所示的火車輪軸，受到載荷FP的作用，當軸轉動時，其橫截面上的彎曲正應力會隨時間作周期性的變化。如中間截面上的C點，每運動一周，其位置由1開始，經2，3，4后又回到l圖328(b)，其應力值變化為：。車軸不停地轉動，該點的應力就不斷地如此反復，所以C點的彎曲正應力為交變應力。若以時間t為橫坐標，彎曲正應力為縱坐標，則C點的應力隨時間的變化曲線如圖328(c)所示。 792交變應力的循環特性 為了清楚地看出交變