1、【A級(jí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練1(x·高考重慶卷)設(shè)xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，則|ab|()A.BC2 5010解析：ab，x20，x2.|ab|.故選B.答案：B2(x·天門(mén)模擬)已知非零向量a，b，c滿足abc0.向量a，b的夾角為60°，且|b|a|，則向量a與c的夾角為()A60° B30°Cx0° D150°解析：由abc0得cab，|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60°3|a|2，|c|a|，又a·ca·(ab)|a|2a·b|a|2|a|b|c

2、os 60°|a|2.設(shè)a與c的夾角為，則cos ，0°180°，150°.答案：D3(x·高考湖北卷)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. BC D解析：首先求出，的坐標(biāo)，然后根據(jù)投影的定義進(jìn)行計(jì)算由已知得(2,1)，(5,5)，因此在方向上的投影為.答案：A4(x·高考全國(guó)新課標(biāo)卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，cta(1t)b，若b·c0，則t_.解析：直接利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解|a|b|1，a，b60°.cta(1t)b，b&#

3、183;cta·b(1t)b2t×1×1×(1t)×11t1.b·c0，10，t2.答案：25已知向量a，b滿足(a2b)·(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_(kāi)解析：(a2b)·(ab)6，a2a·b2b26，1a·b2×46，a·b1.cosa，b，a，b.答案：6(x·x質(zhì)檢)已知非零向量，和滿足·0，且·，則ABC為_(kāi)三角形解析：·0，cos Bcos C.ABC為等腰三角形又·，cos·.&#

4、183;ACB60°，ABC為等邊三角形答案：等邊7已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|和|ab|.解：(1)(2a3b)·(2ab)61，解得a·b6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22a·bb213，|ab|.|ab|2a22a·bb237.|ab|.8已知ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p (b2，a2)(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp邊長(zhǎng)c2，角C，求ABC的面積解：(1)證明：mn

5、，asin Absin B，即a·b·，其中R是三角形ABC外接圓半徑，ab.ABC為等腰三角形(2)由題意可知m·p0，即a (b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，Sabsin C×4×sin.【B級(jí)】能力提升1(x·廈門(mén)質(zhì)檢)已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在的平面內(nèi)，且|，0，···，則點(diǎn)O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心 D外心、重心、內(nèi)心解析：因?yàn)閨，所以點(diǎn)O到三角

6、形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為三角形ABC的外心；由0，得，由中線的性質(zhì)可知點(diǎn)N在三角形AB邊的中線上，同理可得點(diǎn)N在其他邊的中線上，所以點(diǎn)N為三角形ABC的重心；由···，得···0，則點(diǎn)P在AC邊的垂線上，同理可得點(diǎn)P在其他邊的垂線上，所以點(diǎn)P為三角形ABC的垂心答案：C2(x·高考江西卷)在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則()A2 B4C5 D10解析：解法一：以C為原點(diǎn)，CA，CB所在直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則D，P.從而|PA|2|PB|2(a2

7、b2)10|PC|2，故選D.解法二：因?yàn)椋?，兩式平方相加得22222424242202，故選D.解法三：由平行四邊形性質(zhì)得2(22)2(2)24242202，故選D.答案：D3(x·高考x卷)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義·.若兩個(gè)非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角，且a·b和b·a都在集合中，則a·b()A. BC1 D解析：a·bcos cos ，b·acos ，因?yàn)閨a|>0，|b|>0,0<cos <，且a·b、b·a，所以cos ，cos ，其中m，nN，兩式相

8、乘，得cos2，因?yàn)?<cos <，所以0<cos2<，得到0<m·n<2，故mn1，即a·b.答案：D4(x·高考x卷)如圖在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·，則·的值是_解析：解法一：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)F(x，2)，(x,2)，(，0)，·x，F(xiàn)(1,2)，·.解法二：·|cosBAF，|cosBAF1，即|1，|1，·()·()····

9、83;·×(1)×(1)1×2×1.答案：5(x·江西省七校聯(lián)考)已知a(3,2)，b(2，1)，若向量ab與ab的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析：依題意，(ab)·(ab)a2b2(21)a·b0，即421840，由此解得或.注意到當(dāng)ab與ab同向共線時(shí)，1，(ab)·(ab)0.因此，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是或且1.答案：或且16(x·高考x卷)已知向量與的夾角為x0°，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)解析：把轉(zhuǎn)化為，再通過(guò)·0求解，·0.又，()()0

10、， 即(1)·220，(1)|cos x0°940.(1)×3×2×940.解得.答案：7(創(chuàng)新題)已知向量a，b，c(1，1)，其中x.(1)求證：(ab)(ab)；(2)設(shè)函數(shù)f(x)(|ac|23)(|bc|23)，求f(x)的最大值和最小值解：(1)證明：ab，ab，(ab)·(ab)22220.(ab)(ab)(2)ac，bc.|ac|232232cosx2sinx.|bc|232232cos2sin.f(x)(|ac|23)(|bc|23)4sinx·cossin4(cos 2xsin x)4(12sin2xsi

11、n x)4(2sin2xsin x1)，當(dāng)sin x時(shí)，y最大值4，當(dāng)sin x1時(shí)，y最小值4(2×111)8. 【A級(jí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練1(x·高考x卷)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()AABBCC DD解析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何表示可求得設(shè)zabi(a，bR)，且a0，b0，則z的共軛復(fù)數(shù)為abi，其中a0，b0，故應(yīng)為B點(diǎn)答案：B2若(2i)·zi，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的()Ax象限 Bx象限Cx象限 D第四象限解析：由zi可知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的x象限答案：C3(x·高考x卷)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的

12、假命題是()A若|z1z2|0，則12B若z12，則1z2C若|z1|z2|，則z1·1z2·2D若|z1|z2|，則zz解析：結(jié)合復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的運(yùn)算等判斷求解A，|z1z2|0z1z20z1z212，真命題；B，z1212z2，真命題；C，|z1|z2|z1|2|z2|2z1·1z2·2，真命題；D，當(dāng)|z1|z2|時(shí)，可取z11，z2i，顯然z1，z1，即zz，假命題答案：D4(x·高考x卷)已知a，bR，i是虛數(shù)單位若(ai)·(1i)bi，則abi_.解析：由復(fù)數(shù)相等的定義求得a，b的值，即得復(fù)數(shù)由(ai)(1i)

13、bi可得(a1)(a1)ibi，因此a10，a1b，解得a1，b2，故abi12i.答案：12i5(x·高考x卷)已知復(fù)數(shù)z(3i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|_.解析：z(3i)296i186i，|z|10.答案：106(x·高考x卷)設(shè)a，bR，abi(i為虛數(shù)單位)，則ab的值為_(kāi)解析：因?yàn)閍bi53i，所以a5，b3，ab8.答案：87計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.8實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m25m6)(m22m15)i(1)與復(fù)數(shù)2xi相等；(2)與復(fù)數(shù)x16i互為共軛復(fù)數(shù)；(3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方；(4)

14、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy50上解：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得解之得m1.(2)根據(jù)互為共軛復(fù)數(shù)的定義得解之得m1.(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方可得m22m15>0，解之得m<3或m>5.(4)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(m25m6，m22m15)在直線xy50上，即(m25m6)(m22m15)50，解得：m或m.【B級(jí)】能力提升1(x·包頭模擬)下面命題：(1)0比i大；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù)時(shí)成立；(3)xyi1i的充要條件為xy1；(4)如果讓實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：(1)中

15、實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大小；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)其和為實(shí)數(shù)，但兩個(gè)復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)時(shí)這兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定是共軛復(fù)數(shù)；(3)xyi1i的充要條件為xy1是錯(cuò)誤的，因?yàn)閤，y未必是實(shí)數(shù)；(4)當(dāng)a0時(shí)，沒(méi)有純虛數(shù)和它對(duì)應(yīng)答案：A2(x·銀川模擬)已知xR，i為虛數(shù)單位，若(12i)(xi)43i，則x的值等于()A6 B2C2 D6解析：依題意(12i)(xi)x2(12x)i43i，則解得x2，故選C.答案：C3虛數(shù)(x2)yi，其中x、y均為實(shí)數(shù)，當(dāng)此虛數(shù)的模為1時(shí)，的取值范圍是()A. BC， D，0)(0， 解析：設(shè)k，則k為過(guò)圓(x2)2y21上點(diǎn)及原點(diǎn)的直線的斜率，如圖，設(shè)圓(

16、x2)2y21的圓心過(guò)M，過(guò)原點(diǎn)作圓M的切線OA，則sin AOM.AOM.ktan.又y0，k0.由對(duì)稱性可知選B.答案：B41ii2i3i2 015_.解析：原式0.答案：05(x·長(zhǎng)治模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1i與13i分別對(duì)應(yīng)向量和，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|_.解析：由題意知A(1,1)，B(1,3)，故|2.答案：26 (x·九江模擬)設(shè)z1是復(fù)數(shù)，z2z1i1(其中1表示z1的共軛復(fù)數(shù))，已知z2的實(shí)部是1，則z2的虛部為_(kāi)解析：設(shè)z1xyi(x，yR)，則z2xyii(xyi)(xy)(yx)i，故有xy1，yx1.答案：17(創(chuàng)新題)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z和滿足

17、z2iz2i10.(1)若z和滿足z2i，求z和的值；(2)求證：如果|z|，那么|4i|的值是一個(gè)常數(shù)，并求這個(gè)常數(shù)解：(1)z2i，z2i.代入z2iz2i10，得(2i)(2i)2i10，4i2i50.設(shè)xyi(x，yR)，則上式可變?yōu)?xyi)(xyi)4i(xyi)2i(xyi)50.x2y26y52xi0.或i，zi或5i，z3i.(2)證明：由z2iz2i10，得z(2i)2i1，|z|2i|2i1|.設(shè)xyi(x，yR)，則|2i|x(y2)i|.|2i1|(2y1)2xi|.又|z|，可化為3(x2y24y4)4x24y24y1.x2y28yx.|4i|x(y4)i|3.|4

18、i|的值是常數(shù)，且等于3. 【A級(jí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練1(x·高考大綱全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1Bn1C.n1 D解析：當(dāng)n1時(shí)，a11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12an12an，解得3an2an1，an，Sn1n1.答案：B2數(shù)列an的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n2時(shí)，an的通項(xiàng)公式為()Aan2n1Bann2Can Dan解析：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則Tnn2，當(dāng)n2時(shí)，an.答案：D3(x·西安模擬)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，SnSn1an1(nN)，則此數(shù)列是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D擺動(dòng)數(shù)列解析：SnSn1

19、an1，當(dāng)n2時(shí)，Sn1Snan，兩式相減得anan1an1an，an0(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1(a1a2)a2，a10，an0(nN)，故選C.答案：C4(創(chuàng)新題) 數(shù)學(xué)拓展課上，老師定義了一種運(yùn)算“*”，對(duì)于nN*，滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：（1）.2*2=1，（2）（2n+2）*2=3（2n*2），則2n*2用含n的代數(shù)式表示為 ：解析：根據(jù)：22=1；（2n+2）2=3（2n2），判斷數(shù)列（2n2）是等比數(shù)列，即可求得其通項(xiàng)公式22=1，（2n+2）2=3（2n2），2（n+1）2÷（2n2）=3 （2n2）是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，第n項(xiàng)是：3n-1答案：3n15已知數(shù)列an

20、的前n項(xiàng)和Sn2n3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：當(dāng)n1時(shí)，a1S12131，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2n12n1，an.答案：an6我們可以利用數(shù)列an的遞推公式an(nN)求出這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值，使得這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是奇數(shù)，則a24a25_；研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的奇數(shù)都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，那么第8個(gè)5是該數(shù)列的第_項(xiàng)解析：a24a25ax25a625a32532528；5a5a10a20a40a80a160a320a640.答案：286407(x·漢中調(diào)研)已知數(shù)列an中，an1(nN，aR，且a0)(1)若a7，求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的nN，都有ana6

21、成立，求a的取值范圍解析：(1)an1(nN，aR，且a0)，a7，an1.結(jié)合函數(shù)f(x1的單調(diào)性可知1>a1>a2>a3>a4；a5>a6>a7>>an>1(nN)數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a52，最小項(xiàng)為a40.(2)an11.對(duì)任意的nN，都有ana6成立，并結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，5<<6，10<a<8.8已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，數(shù)列bn滿足bn，且前n項(xiàng)和為T(mén)n，設(shè)cnT2n1Tn.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列cn的增減性解：(1)a12，anSnSn12n1(n2)，bn(2)cn

22、bn1bn2b2n1，cn1cn<0，即cn1<cn，cn是遞減數(shù)列【B級(jí)】能力提升1(x·x省高三檢測(cè))已知函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x，y都有f(x·y)f(x)f(y)，若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，則an為()A2n1BnC2n1 D()n1解析：由題意知f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，Sn23an，Sn123an1(n2)，兩式相減得，2an3an1(n2)，又n1時(shí)，S123a1a12，a11，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，an()n1.答案：D2對(duì)于數(shù)列an，

23、“an1>|an|(n1,2)”是“an為遞增數(shù)列”的()A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：由an1>|an|可得an1>an.an是遞增數(shù)列“an1>|an|”是“an為遞增數(shù)列”的充分條件當(dāng)數(shù)列an為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有an1>|an|，如：3，2，1,0,1，.“an1>|an|”不是“an為遞增數(shù)列”的必要條件答案：B3(x·黃岡模擬)數(shù)列an滿足下列條件：a11，且對(duì)于任意的正整數(shù)n(n2，nN)，恒有2an2nan1，則a100的值為()A1 B299C2100 D24 950解析：由2an2nan1

24、可得2n1(n2)，a100×××××a1299×298××22×21×1224 950.答案：D4函數(shù)yx2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak，a)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak1，其中kN.若a116，則a1a3a5的值是_解析：函數(shù)yx2(x>0)在點(diǎn)(a1，a)處(a116)即點(diǎn)(16,256)處的切線方程為y25632(x16)令y0，得a28；同理函數(shù)yx2(x>0)在點(diǎn)(a2，a)處(a28)即點(diǎn)(8,64)處的切線方程為y6416(x8)令y0，得a34，依次同理求

25、得a42，a51.所以a1a3a521.答案：215在數(shù)列an中，若a1，an(n2，nN)，則a2 0x_.解析：a1，an(n2，nN)，a22，a31，a4.an是以3為周期的數(shù)列axa671×31a1.答案：6(x·大連模擬)已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_(kāi)解析：an1an2n，anan12(n1)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n2)(2n4)233n2n33(n2)，又a133適合上式，ann2n33，n1.令f(x)x1(x0)，則f(x)1，令f(x)0得x.當(dāng)0x時(shí)， f(x)0，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，即f(x

26、)在區(qū)間(0，)上遞減；在區(qū)間(，)上遞增又56，且f(5)51，f(6)61，f(5)f(6)，當(dāng)n6時(shí)，有最小值.答案：7(創(chuàng)新題)已知二次函數(shù)f(x)x2axa(a>0，xR)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snf(n)(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn1(nN)，定義所有滿足cm·cm1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)，求數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)解：(1)依題意，a24a0，a0或a4.又由a>0得a4，f(x)x24x4.Snn24n4.當(dāng)n1時(shí)，a1S11441；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n5.an(2)由題設(shè)cn由1可知，當(dāng)n

27、5時(shí)，恒有an>0.又c13，c25，c33，c4，即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，數(shù)列cn的變號(hào)數(shù)為3. 【A級(jí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練1(x·高考x卷)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S84a3，a72，則a9()A6B4C2 D2解析：借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式的性質(zhì)，計(jì)算數(shù)列的公差，進(jìn)而得到a9的值由等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式，得S84(a3a6)4a3，所以a60.又a72，所以公差d2，所以a9a72d6.答案：A2(x·x鄭州三模)已知遞減的等差數(shù)列an滿足aa，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取最大值

28、時(shí)n()A3 B4C4或5 D5或6解析：由已知得aa0，即(a1a9)·(a1a9)0，又a1>a9，a1a90，又a1a92a5，a50，數(shù)列前4項(xiàng)為正值，從第6項(xiàng)起為負(fù)值，S4S5且為最大選C.答案：C3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a7a915，則Sx的值為()A. B50C55 Dx0解析：由等差數(shù)列性質(zhì)得a2a7a93a615，a65，Sxxa655.故選C.答案：C4(x·高考x卷)在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.解析：可以利用通項(xiàng)公式，把a(bǔ)3a8,3a5a7都用a1，d表示出來(lái)，進(jìn)行整體代換；也可以利用anam(nm)d把a(bǔ)3

29、a8,3a5a7都用a3，d表示出來(lái)，進(jìn)行整體代換方法一：a3a82a19d10,3a5a74a118d2(2a19d)2×1020.方法二：a3a82a35d10,3a5a74a310d2(2a35d)2×1020.答案：205(創(chuàng)新題)在數(shù)列an中，若點(diǎn)(n，an)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,3)的定直線l上，則數(shù)列an的前9項(xiàng)和S9_.解析：點(diǎn)(n，an)在定直線l上，數(shù)列an為等差數(shù)列ana1(n1)d.將(5,3)代入，得3a14da5.S9(a1a9)9a53×927.答案：276已知數(shù)列an中，a11，an1·anan1an，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：由

30、an1·anan1an，得1，即1，又1，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，于是1(n1)×(1)n，an.答案：an7(x·高考x卷)在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解：(1)由題意得，a1·5a3(2a22)2，由a110，an為公差為d的等差數(shù)列得，d23d40，解得d1或d4.所以annx(nN)或an4n6(nN)(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐<0，由(1)得d1，annx，所以當(dāng)nx時(shí)，|a1|a2|a3|an|Snn2

31、n；當(dāng)nx時(shí)，|a1|a2|a3|an|Sn2Sxn2nx0.綜上所述，|a1|a2|a3|an|8(創(chuàng)新題)已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(diǎn)(，an1)(nN)在函數(shù)yx21的圖像上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足b11，bn1bn2an，求證：bn·bn2<b.解：(1)由已知得an1an1，即an1an1，又a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列故an1(n1)×1n.(2)證明：法一：由(1)知：ann，從而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因?yàn)閎n·bn2b

32、(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n22·2n11)2n<0，所以bn·bn2<b.法二：因?yàn)閎11，bn·bn2b(bn12n)(bn12n1)b2n1·bn12n·bn12n·2n12n(bn12n1)2n(bn2n2n1)2n(bn2n)2n(b12)2n<0，所以bn·bn2<b.【B級(jí)】能力提升1(x·x濟(jì)南三模)在等差數(shù)列an中，a12 013，其前n項(xiàng)和為Sn，若2，則S2 013的值等于()A2 0x B2 0xC2 010 D2 013解析：

33、2，2，故axa104，2d4，d2.S2 0132 013a12 013.答案：D2(x·xx二模)若關(guān)于x的方程x2xa0與x2xb0(ab)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則ab的值是()A. BC. D解析：設(shè)四個(gè)方程的根分別為x1、x4和x2、x3.因?yàn)閤1x4x2x31，所以x1，x4，從而x2，x3.則ax1x4，bx2x3，或a，b，ab.答案：D3數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nN)，若b32，b10x，則a8()A.-6 B3C.2 D-2解析：數(shù)列bn的公差d2，首項(xiàng)b1b32×26.則a8a7b7，a7a6b6，a6a5b5，a2

34、a1b1，將以上各式相加得，a8a1b7b6b5b1，bn為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得b7b6b5b17×(6)×20.a8a10，即a8a13.故選B.答案：B4(x·廣州模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a4a7a1017，a4a5a6axa13a1477，且ak13，則k_.解析：a4a7a103a7，a7，a4a14xa9，a97，d，aka9(k9)d,137(k9)×，k18.答案：185(x·x模擬)已知an為等差數(shù)列，公差d0，an的部分項(xiàng)ak1，ak2，akn恰為等比數(shù)列，若k11，k25，k317，則kn_.解析：由

35、題意知a1·a17a，a1(a116d)(a14d)2，得a12d，3，akna13n1a1(kn1)，kn2·3n11.答案：2·3n116(x·高考全國(guó)大綱卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3a，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式解析：設(shè)an的公差為d.由S3a，得3a2a，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比數(shù)列得，SS1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，則d22d2，所以d0，此時(shí)Sn0，不合題意；若a23，則(6d)2(3d)(x2d)，解得d0或d2.因

36、此an的通項(xiàng)公式為an3或an2n1.7(x·x臨沂二模)在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(3)若an對(duì)任意n2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：(1)證明：將3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得13(n1)3n2，所以an.(3)an對(duì)n2的整數(shù)恒成立，即3n1對(duì)n2的整數(shù)恒成立整理得，令cn，cn1cn.因?yàn)閚2，所以cn1cn>0，即數(shù)列cn為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c2最小，c2.所以的取值范圍為. 【A級(jí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練1(x·遼

37、寧沈陽(yáng)一模)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足2a2a2ax0，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b3bx等于()A16B8C4 D2解析：由等差數(shù)列性質(zhì)得a2ax2a7，所以4a7a0，又a70，所以a74，b74，由等比數(shù)列性質(zhì)得b3bxb16，故選A.答案：A2(x·江西臨川模擬)在等比數(shù)列中，已知a1aa15243，則的值為()A3 B9C 27 D81解析：a1aa15243，a83，又a，9.故選B.答案：B3(x·孝感模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a2a35，a7a8a910，則a4a5a6()A5 B7C6 D4解析：an為等比數(shù)列，(a4a5a

38、6)2(a1a2a3)(a7a8a9)50，an>0，a4a5a65.答案：A4(x·高考x卷)若等比數(shù)列an滿足a2a4，則a1aa5_.解析：由等比數(shù)列性質(zhì)可得aa2a4a1a5，所以a1aa5(a2a4)2.答案：5(x·高考遼寧卷)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列若a1>0，且2(anan2)5an1，則數(shù)列an的公比q_.解析：2(anan2)5an1，2an2anq25anq，化簡(jiǎn)得，2q25q20，即(2q1)(q2)0，由題意知，q>1.q2.答案：26在等差數(shù)列an中，a11，a74，數(shù)列bn是等比數(shù)列，已知b2a3，b3，則滿足bn<的

39、最小自然數(shù)n是_解析：an為等差數(shù)列，a11，a74,6d3，d.an，bn為等比數(shù)列，b22，b3，q.bn6×n1，bn<，即6×n1<，得出32n<34，n>6，又nN，nmin7.答案：77(x·高考全國(guó)新課標(biāo))已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125，且a1，ax，a13成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a4a7a3n2.解：(1)設(shè)an的公差為d，由題意得aa1a13，即(a110d)2a1(a1xd)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1

40、)知a3n26n31，故a3n2是首項(xiàng)為25，公差為6的等差數(shù)列從而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.8(創(chuàng)新題)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2nc.(1)求c的值并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnSn2n1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12c，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2n12n1，an數(shù)列an為等比數(shù)列，a12c1，c1.數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n1.(2)bnSn2n12n2n，Tn(2222n)2(12n)2(2n1)n(n1)2n12n2n.【B級(jí)】能力提升1(x·高考北京卷)已知an為等比數(shù)列下面結(jié)論中正確的是()Aa1a32a

41、2 Baa2aC若a1a3，則a1a2 D若a3>a1，則a4>a2解析：設(shè)出等比數(shù)列an的首項(xiàng)與公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則a2a1q，a3a1q2.a1a3a1(1q2)，又1q22q，當(dāng)a1>0時(shí)，a1(1q2)2a1q，即a1a32a2；當(dāng)a1<0時(shí)，a1(1q2)2a1q，即a1a32a2，故A不正確aaa(1q4)，又1q42q2且a>0，aa2a.故B正確若a1a3，則q21.q±1.當(dāng)q1時(shí)，a1a2；當(dāng)q1時(shí)，a1a2.故C不正確D項(xiàng)中，若q>0，則a3q>a1q，即a4>a2；若q

42、<0，則a3q<a1q，此時(shí)a4<a2，故D不正確答案：B2若數(shù)列an滿足p(p為正常數(shù)，nN)，則稱an為“等方比數(shù)列”甲：數(shù)列an是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列an是等比數(shù)列，則()A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的充要條件C甲是乙的必要條件但不是充分條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：乙甲，但甲/ 乙，如數(shù)列2,2，2，2，2，是等方比數(shù)列，但不是等比數(shù)列答案：C3一個(gè)等比數(shù)列前三項(xiàng)的積為2，最后三項(xiàng)的積為4，且所有項(xiàng)的積為64，則該數(shù)列有()A13項(xiàng) Bx項(xiàng)Cx項(xiàng) D10項(xiàng)解析：設(shè)前三項(xiàng)分別為a1，a1q，a1q2，最后三項(xiàng)分別為a1qn3，a1qn2，

43、a1qn1.所以前三項(xiàng)之積aq32，最后三項(xiàng)之積aq3n64.所以兩式相乘，得aq3(n1)8，即aqn12.又a1·a1q·a1q2··a1qn164，aq64，即(aqn1)n642，即2n642.所以nx.答案：B4(x·高考x卷)設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則a1|a2|a3|a4|_.解析：由首項(xiàng)和公比寫(xiě)出等比數(shù)列的前4項(xiàng)，然后代入代數(shù)式a1|a2|a3|a4|求值也可以構(gòu)造新數(shù)列，利用其前n項(xiàng)和公式求解方法一：a1|a2|a3|a4|1|1×(2)|1×(2)2|1×(2)3|15.方法二

44、：因?yàn)閍1|a2|a3|a4|a1|a2|a3|a4|，數(shù)列|an|是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故所求代數(shù)式的值為15.答案：155(x·高考課標(biāo)全國(guó)卷)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S33S20，則公比q_.解析：由S33S20得4a14a2a30，有44qq20，解得q2.答案：26(x·高考江西卷)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a11，且對(duì)任意的nN都有an2an12an0，則S5_.解析：由an為等比數(shù)列可知an0，又an2an12an0，q2q20，q1(舍)或q2.S5x.答案：x7(創(chuàng)新題)已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)f(x)的最小值為0且有f

45、(1x)f(1x)，直線g(x)4(x1)被函數(shù)f(x)的圖像截得的弦長(zhǎng)為4，數(shù)列an滿足a12，(an1an)g(an)f(an)0(nN)(1)求函數(shù)f(x)；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)bn3f(an)g(an1)，求數(shù)列bn的最值及相應(yīng)的n.解：(1)依題意，設(shè)f(x)a(x1)2(a>0)，則直線g(x)4(x1)與函數(shù)yf(x)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)為(1,0)， 4，a1，f(x)(x1)2.(2)f(an)(an1)2，g(an)4(an1)，(an1an)·4(an1)(an1)20，(an1)(4an13an1)0，a12，an10，4an13an10，an

46、11(an1)，又a111，數(shù)列an1是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，an1n1，ann11.(3)bn3(an1)24(an11)324n，設(shè)bny，un1，則y332.nN，u的值分別為1，經(jīng)比較距最近，當(dāng)n3時(shí)，bn有最小值，當(dāng)n1時(shí)，bn有最大值0. 【A級(jí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練1(x·沈陽(yáng)模擬)設(shè)數(shù)列(1)n的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意正整數(shù)n，Sn()A.BC. D解析：數(shù)列(1)n是首項(xiàng)與公比均為1的等比數(shù)列，Sn.答案：D2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn24n2，則|a1|a2|a10|()A66 B65C61 D56解析：當(dāng)n1時(shí)，a1S11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n24n2(n1

47、)24(n1)22n5.a21，a31，a43，a1015，|a1|a2|a10|1126466.答案：A3若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10()A15 BxCx D15解析：a1a2a3a4a9a103.故a1a2a1015.答案：A4設(shè)Sn，若Sn·Sn1，則n的值為_(kāi)解析：Sn11，Sn·Sn1·，解得n6.答案：65(x·孝感模擬)已知f(3x)4xlog23233，則f(2)f(4)f(8)f(28)的值等于_解析：令3xt，則xlog3tf(t)4log3tlog232334log2t233f(2n)4n233f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)233×82 008.答案：2 0086(x·合肥市高三質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足anan1an2·an324，且a11，a22，a33，則a1a2a3a2 015_.解析：由anan1an2an324可知，an1an2an3an424，得an4an，所以數(shù)列an是周期為4的數(shù)列，再令n1，求得a44，每四個(gè)一組可得(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 0