1、 優(yōu)化與決策多目標(biāo)線性規(guī)劃的若干解法及MATLAB實(shí)現(xiàn)摘要：求解多目標(biāo)線性規(guī)劃的基本思想大都是將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃，本文介紹了理想點(diǎn)法、線性加權(quán)和法、最大最小法、目標(biāo)規(guī)劃法，然后給出多目標(biāo)線性規(guī)劃的模糊數(shù)學(xué)解法，最后舉例進(jìn)行說(shuō)明，并用Matlab軟件加以實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：多目標(biāo)線性規(guī)劃 Matlab 模糊數(shù)學(xué)。注：本文僅供參考，如有疑問(wèn)，還望指正。一引言多目標(biāo)線性規(guī)劃是多目標(biāo)最優(yōu)化理論的重要組成部分，由于多個(gè)目標(biāo)之間的矛盾性和不可公度性,要求使所有目標(biāo)均達(dá)到最優(yōu)解是不可能的,因此多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題往往只是求其有效解(非劣解)。目前求解多目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題有效解的方法,有理想點(diǎn)法、線性加權(quán)和法、最

2、大最小法、目標(biāo)規(guī)劃法。本文也給出多目標(biāo)線性規(guī)劃的模糊數(shù)學(xué)解法。二多目標(biāo)線性規(guī)劃模型 多目標(biāo)線性規(guī)劃有著兩個(gè)和兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù),且目標(biāo)函數(shù)和約束條件全是線性函數(shù),其數(shù)學(xué)模型表示為： （1）約束條件為： （2）若（1）式中只有一個(gè)，則該問(wèn)題為典型的單目標(biāo)線性規(guī)劃。我們記:,，.則上述多目標(biāo)線性規(guī)劃可用矩陣形式表示為: 約束條件： （3）三MATLAB優(yōu)化工具箱常用函數(shù)在MATLAB軟件中，有幾個(gè)專門求解最優(yōu)化問(wèn)題的函數(shù)，如求線性規(guī)劃問(wèn)題的linprog、求有約束非線性函數(shù)的fmincon、求最大最小化問(wèn)題的fminimax、求多目標(biāo)達(dá)到問(wèn)題的fgoalattain等,它們的調(diào)用形式分別為：.x,

3、fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f為目標(biāo)函數(shù)系數(shù),A,b為不等式約束的系數(shù), Aeq,beq為等式約束系數(shù), lb,ub為x的下限和上限, fval求解的x所對(duì)應(yīng)的值。算法原理：?jiǎn)渭冃畏ǖ母倪M(jìn)方法投影法。.x,fval =fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub）fun為目標(biāo)函數(shù)的M函數(shù), x0為初值,A,b為不等式約束的系數(shù), Aeq,beq為等式約束系數(shù), lb,ub為x的下限和上限, fval求解的x所對(duì)應(yīng)的值。算法原理：基于K-T（Kuhn-Tucker）方程解的方法。.x,fval =fminimax(fun,x0,A,b,A

4、eq,beq,lb,ub)fun為目標(biāo)函數(shù)的M函數(shù), x0為初值,A,b為不等式約束的系數(shù), Aeq,beq為等式約束系數(shù), lb,ub為x的下限和上限, fval求解的x所對(duì)應(yīng)的值。算法原理：序列二次規(guī)劃法。.x,fval =fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun為目標(biāo)函數(shù)的M函數(shù), x0為初值,goal變量為目標(biāo)函數(shù)希望達(dá)到的向量值, wight 參數(shù)指定目標(biāo)函數(shù)間的權(quán)重,A,b為不等式約束的系數(shù), Aeq,beq為等式約束系數(shù), lb,ub為x的下限和上限, fval求解的x所對(duì)應(yīng)的值。算法原理：目標(biāo)達(dá)到法。四多目標(biāo)線性規(guī)

5、劃的求解方法及MATLAB實(shí)現(xiàn)4.1理想點(diǎn)法在（3）中，先求解個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題：，設(shè)其最優(yōu)值為，稱為值域中的一個(gè)理想點(diǎn)，因?yàn)橐话愫茈y達(dá)到。于是，在期望的某種度量之下，尋求距離最近的作為近似值。一種最直接的方法是最短距離理想點(diǎn)法，構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)，然后極小化，即求解，并將它的最優(yōu)解作為（3）在這種意義下的“最優(yōu)解”。例1：利用理想點(diǎn)法求解解：先分別對(duì)單目標(biāo)求解：求解最優(yōu)解的MATLAB程序?yàn)?gt;> f=3;-2; A=2,3;2,1; b=18;10; lb=0;0;>> x,fval=linprog(f,A,b,lb)結(jié)果輸出為：x = 0.0000 6.0000fval = -

6、12.0000即最優(yōu)解為12.求解最優(yōu)解的MATLAB程序?yàn)?gt;> f=-4;-3; A=2,3;2,1; b=18;10; lb=0;0;>> x,fval=linprog(f,A,b,lb)結(jié)果輸出為：x =3.0000 4.0000fval =-24.0000即最優(yōu)解為24.于是得到理想點(diǎn)：（12，24）.然后求如下模型的最優(yōu)解MATLAB程序如下：>> A=2,3;2,1; b=18;10; x0=1;1; lb=0;0;>> x=fmincon('(-3*x(1)+2*x(2)-12)2+(4*x(1)+3*x(2)-24)2)(

7、1/2)',x0,A,b,lb,)結(jié)果輸出為：x = 0.5268 5.6488則對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值分別為,.4.2線性加權(quán)和法在具有多個(gè)指標(biāo)的問(wèn)題中，人們總希望對(duì)那些相對(duì)重要的指標(biāo)給予較大的權(quán)系數(shù)，因而將多目標(biāo)向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所有目標(biāo)的加權(quán)求和的標(biāo)量問(wèn)題，基于這個(gè)現(xiàn)實(shí)，構(gòu)造如下評(píng)價(jià)函數(shù)，即將它的最優(yōu)解作為（3）在線性加權(quán)和意義下的“最優(yōu)解”。（為加權(quán)因子，其選取的方法很多，有專家打分法、容限法和加權(quán)因子分解法等）.例2：對(duì)例1進(jìn)行線性加權(quán)和法求解。（權(quán)系數(shù)分別取，）解：構(gòu)造如下評(píng)價(jià)函數(shù)，即求如下模型的最優(yōu)解。MATLAB程序如下：>> f=-0.5;-2.5; A=2,3;2,1

8、; b=18;10; lb=0;0;>> x=linprog(f,A,b,lb)結(jié)果輸出為：x =0.0000 6.0000則對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值分別為,.4.3最大最小法在決策的時(shí)候，采取保守策略是穩(wěn)妥的，即在最壞的情況下，尋求最好的結(jié)果，按照此想法，可以構(gòu)造如下評(píng)價(jià)函數(shù)，即然后求解： 并將它的最優(yōu)解作為（3）在最大最小意義下的“最優(yōu)解”。例3：對(duì)例1進(jìn)行最大最小法求解：解：MATLAB程序如下，首先編寫(xiě)目標(biāo)函數(shù)的M文件：function f=myfun12(x)f(1)=3*x(1)-2*x(2);f(2)=-4*x(1)-3*x(2);>> x0=1;1;A=2,3;2,

9、1;b=18;10;lb=zeros(2,1);>> x,fval=fminimax('myfun12',x0,A,b,lb,)結(jié)果輸出為：x =0.0000 6.0000fval = -12 -18則對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值分別為,.4.4目標(biāo)規(guī)劃法 （4）并把原多目標(biāo)線性規(guī)劃（3）稱為和目標(biāo)規(guī)劃（4）相對(duì)應(yīng)的多目標(biāo)線性規(guī)劃。為了用數(shù)量來(lái)描述（4），我們?cè)谀繕?biāo)空間中引進(jìn)點(diǎn)之間的某種“距離”這樣（4）便可以用單目標(biāo)來(lái)描述了。例4：對(duì)例1對(duì)進(jìn)行目標(biāo)規(guī)劃法求解：解：MATLAB程序如下，首先編寫(xiě)目標(biāo)函數(shù)的M文件：function f=myfun3(x)f(1)=3*x(1)-2*x

10、(2);f(2)=-4*x(1)-3*x(2);>> goal=18,10; weight=18,10; x0=1,1; A=2,3;2,1; b=18,10; lb=zeros(2,1);>> x,fval=fgoalattain('myfun3',x0,goal,weight,A,b,lb,)結(jié)果輸出為：x = 0.0000 6.0000fval = -12 -18則對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值分別為,.4.5模糊數(shù)學(xué)求解方法 由于多目標(biāo)線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)不止一個(gè),要想求得某一個(gè)點(diǎn)作,使得所有的目標(biāo)函數(shù)都達(dá)到各自的最大值,這樣的絕對(duì)最優(yōu)解通常是不存在的。因此,在具體

11、求解時(shí),需要采取折衷的方案,使各目標(biāo)函數(shù)都盡可能的大。模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃方法可對(duì)其各目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行模糊化處理,將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo),從而求該問(wèn)題的模糊最優(yōu)解。 具體的方法為：先求在約束條件： 下各個(gè)單目標(biāo)的最大值和最小值，伸縮因子為得到 （5）式（5）是一個(gè)簡(jiǎn)單的單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題。最后求得模糊最優(yōu)解為：.利用(5)式來(lái)求解的關(guān)鍵是對(duì)伸縮指標(biāo)的確定,是我們選擇的一些常數(shù),由于在多目標(biāo)線性規(guī)劃中,各子目標(biāo)難以同時(shí)達(dá)到最大值，但是可以確定的是各子目標(biāo)的取值范圍，它滿足：，所以，伸縮因子為可以按如下取值：.例5：對(duì)例1進(jìn)行模糊數(shù)學(xué)方法求解：解：分別求得,在約束條件下的最大值為：.分別求得,在約束條件下的最小值為：.伸縮因子為然后求如下模型的最優(yōu)解：MATLAB程序如下：>>f=0;0;-1; A=3,-2,27;-4,-3,24;2,3,0;2,1,0; b=15;0;18;10; lb=0;0;0>> x,fval=linprog