1、解析幾何課件(第四版)第四章第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面第五章第五章 二次曲線的普通實(shí)際二次曲線的普通實(shí)際第一章第一章 向量與坐標(biāo)向量與坐標(biāo)第三章第三章 平面與空間直線平面與空間直線第二章第二章 軌跡與方程軌跡與方程第一章第一章 向量與坐標(biāo)向量與坐標(biāo)1.1 向量的概念向量的概念1.3 數(shù)量乘向量數(shù)量乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解向量的線性關(guān)系與向量的分解1.6 向量在軸上的射影向量在軸上的射影 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)標(biāo)架與坐標(biāo)1.7 兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積1.9 三向量的混合積三向量的混合積1.8 兩向量的向量積兩向量的向

2、量積第二章第二章 軌跡與方程軌跡與方程2.1 平面曲線的方程平面曲線的方程 2.2 曲面的方程曲面的方程2.3 空間曲線的方程空間曲線的方程第三章第三章 平面與空間直線平面與空間直線3.1 平面的方程平面的方程3.3 兩平面的相關(guān)位置兩平面的相關(guān)位置3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置平面與點(diǎn)的相關(guān)位置3.4 空間直線的方程空間直線的方程3.7 空間兩直線的相關(guān)位置空間兩直線的相關(guān)位置 3.5 直線與平面的相關(guān)位置直線與平面的相關(guān)位置3.6 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置第四章第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面 與二次曲面與二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面4.2 錐面

3、錐面 4.4 橢球面橢球面 4.5 雙曲面雙曲面 4.6 拋物面拋物面第五章第五章 二次曲線的普通實(shí)際二次曲線的普通實(shí)際5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置二次曲線與直線的相關(guān)位置 5.3 二次曲線的切線二次曲線的切線5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線二次曲線的漸近方向、中心、漸近線5.4 二次曲線的直徑二次曲線的直徑5.6 二次曲線方程的化簡與分類二次曲線方程的化簡與分類 5.5 二次曲線的主直徑和主方向二次曲線的主直徑和主方向 定義定義1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或稱矢量既有大小又有方向的量叫做向量，或稱矢量.向量既有大小又有方向的量向量既有大小又有方向的量. .向量的幾何

4、表示：向量的幾何表示：|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .或或以以1M為為起起點(diǎn)點(diǎn)，2M為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的有有向向線線段段.a21MM或或兩類量兩類量: 數(shù)量數(shù)量(標(biāo)量標(biāo)量):可用一個(gè)數(shù)值來描畫的量可用一個(gè)數(shù)值來描畫的量;有向線段有向線段有向線段的方向表示向量的方向有向線段的方向表示向量的方向.有向線段的長度表示向量的大小有向線段的長度表示向量的大小,1M2M a1.1 1.1 向量的概念向量的概念前往下一頁一切的零向量都相等一切的零向量都相等. .ab模為模為1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模為模為0 0的向量的向量. .0單位向量：單位向量： 定義定義1.

5、1.2 1.1.2 假設(shè)兩個(gè)向量的模相等且方向一樣，那么叫做相等向量假設(shè)兩個(gè)向量的模相等且方向一樣，那么叫做相等向量. .記為記為ba 定義定義1.1.3 1.1.3 兩個(gè)模相等，方向相反的向量叫做互為反向量兩個(gè)模相等，方向相反的向量叫做互為反向量. .向BAAB量互為反與a向a 量記為的反a a上一頁下一頁前往0a零向量與任何共線的向量組共線零向量與任何共線的向量組共線. . 定義定義1.1.4 1.1.4 平行于同不斷線的一組向量叫做共線向量平行于同不斷線的一組向量叫做共線向量. . 定義定義1.1.5 平行于同一平面的一組向量叫做共面向量平行于同一平面的一組向量叫做共面向量.零向量與任何

6、共面的向量組共面零向量與任何共面的向量組共面. .上一頁前往abOAB這種求兩個(gè)向量和的方法叫三角形法那么這種求兩個(gè)向量和的方法叫三角形法那么. .OBOA 、OBOAOC 定理定理1.2.1 1.2.1 假設(shè)把兩個(gè)向量假設(shè)把兩個(gè)向量 為鄰邊組成一個(gè)平行四邊形為鄰邊組成一個(gè)平行四邊形OACBOACB，那么對(duì)角線向量那么對(duì)角線向量 bacba, cOBBOOABbABaOAOba1 . 2 . 1 的和，記做與叫做兩矢量的矢量到另一端點(diǎn)，從折線的端點(diǎn)得一折線，接連作矢量為始點(diǎn)，以空間任意一點(diǎn)、設(shè)已知矢量定義1.2 1.2 向量的加法向量的加法下一頁前往OABC這種求兩個(gè)向量和的方法叫做平行四邊形

7、法那么定理1.2.2 向量的加法滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：1 1交換律：交換律：.abba 2 2結(jié)合律：結(jié)合律：cbacba )().(cba 3. 0)( aa上一頁下一頁前往法法則則推推廣廣求求和和相相加加可可由由矢矢量量的的三三角角形形有有限限個(gè)個(gè)矢矢量量naaa,21.,12112121122111nnnnnnnnAAAAOAOAaaanaOAAAOAaAAaAAaOAO 的的和和，即即個(gè)個(gè)矢矢量量就就是是于于是是矢矢量量由由此此得得一一折折線線開開始始，依依次次引引自自任任意意點(diǎn)點(diǎn)OA1A2A3A4An-1An 這種求和的方法叫做多邊形法那么上一頁下一頁前往abcba cba 1a2an

8、anaaa 21向量減法向量減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab.2 . 2 . 1bacbacacbacb 的的差差，并并記記做做與與叫叫做做矢矢量量時(shí)時(shí)，我我們們把把矢矢量量，即即的的和和等等于于矢矢量量與與矢矢量量當(dāng)當(dāng)矢矢量量定定義義上一頁下一頁前往1,.a bc 例設(shè)互不共線的三矢量與 ，試證明順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形的充要條件是它們的和是零矢量,0,0a b cABCABaBCb CAcABBCCA AAabc 證 必要性 設(shè)三矢量 ，可以構(gòu)成三角形，即有，那么即0,0,.abcABa BCbACabACccACc CAa b cABC

9、充分性 設(shè)，作那么所以從而 是的反矢量，因此 ，所以 ，可構(gòu)成一個(gè)三角形ABC上一頁前往例例2 2 試用向量方法證明：對(duì)角線相互平分的四邊形必是平行四邊形試用向量方法證明：對(duì)角線相互平分的四邊形必是平行四邊形. .證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 1.3.1,00.aaaaaaa定義實(shí)數(shù) 與矢量 的乘積是一個(gè)矢量，記做它的模是；的方向，當(dāng)時(shí)與 相同，當(dāng)時(shí)與相反我們把這種運(yùn)算叫做數(shù)量與矢量

10、的乘法，簡稱為數(shù)乘1.3 1.3 數(shù)乘向量數(shù)乘向量下一頁前往對(duì)于非零向量 總可以作出一個(gè)和它同方向的單位向量 01,|aaa0|aa aa0a定理定理1.3.1 數(shù)與向量的乘積符合以下運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合以下運(yùn)算規(guī)律：1 1結(jié)合律：結(jié)合律：)()(aa a)( 2 2第一分配律：第一分配律：aaa )(baba )(3 3第二分配律：第二分配律：上一頁下一頁前往0.ababa設(shè)向量，那么向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù) ，使定定理理兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系證證充分性顯然；充分性顯然；必要性必要性ab設(shè)設(shè),ab 取取取取正正值值，同同向向時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng) ab取取負(fù)負(fù)值

11、值，反反向向時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng) ab.ab 即有即有.同同向向與與此此時(shí)時(shí)ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又設(shè)又設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即上一頁下一頁前往0 a b當(dāng)或除這些情況外，現(xiàn)分別按下面兩種情況證明中有一個(gè)為零向量時(shí)，顯然成立，1)baba )(2)ab,baba|ba| ba()()(1) abaaaaaaaab和平行可以找到數(shù)使得這只需按與同向或相反，取或abOAB11,OAB和不平行如圖，是以向量為邊的三角形，按類似比為可得出類似且3) a b111,OAOAABABaabb 1.OBOB 1,

12、OBOBabab ().abab由類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系，可以得出而故例例1 1設(shè)設(shè)AMAM是三角形是三角形ABCABC的中線，求證的中線，求證: :證證 1()2AMABAC 如圖如圖 由于 ,AMABBM AMACCM 2()(),AMABACBMCM 所以 但 0,BMCMBMMB 因此 2AMABAC 即 1()2AMABAC ABCM(圖1.11)上一頁下一頁前往例例2 2 用向量方法證明：結(jié)合三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且用向量方法證明：結(jié)合三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半等于第三邊的一半. .證證設(shè)設(shè)ABC兩邊兩邊AB，AC之中點(diǎn)分別為之中點(diǎn)分別為M，

13、N，那么，那么MNANAM 1122ACAB 1()2ACAB 12BC 所以所以/MNBC 且且12MNBC 上一頁前往例例3 3 化簡化簡 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例4 4 試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各邊中點(diǎn)的連線構(gòu)成平行試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各邊中點(diǎn)的連線構(gòu)成平行四邊形四邊形. .證證: 只需證只需證 HGEF 結(jié)論得證結(jié)論得證.ACDCADDGHDHG212121 ACBCABBFEBEF212121 HGEF ABCDEFGH.,1 . 4 . 12122112121的的線線性性組組合合叫叫做做矢矢量量所

14、所組組成成的的矢矢量量與與數(shù)數(shù)量量由由矢矢量量定定義義nnnnnaaaaaaaaaa .,)14 . 1(01 . 4 . 1唯唯一一確確定定被被并并且且系系數(shù)數(shù)，的的線線性性組組合合，即即是是線線性性表表示示，或或者者說說可可以以用用矢矢量量線線的的充充要要條條件件是是共共與與矢矢量量，那那么么矢矢量量如如果果矢矢量量定定理理rexexrererere .共線矢量的基底共線矢量的基底稱為用線性組合來表示稱為用線性組合來表示這時(shí)這時(shí)e1.4 1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解向量的線性關(guān)系與向量的分解下一頁前往.,24.1,2.4.1212121212121獨(dú)一確定獨(dú)一確定被被并且系數(shù)并且系數(shù)

15、的線性組合，即的線性組合，即可以分解成可以分解成或者說向量或者說向量線性表示，線性表示，可以用向量可以用向量共面的充要條件是共面的充要條件是與與不共線，那么向量不共線，那么向量假設(shè)向量假設(shè)向量定理定理reeyxeyexreereereeree .,)34.1(,3.4.1321321321321321獨(dú)一確定獨(dú)一確定被被并且其中系數(shù)并且其中系數(shù)的線性組合，即的線性組合，即可以分解成向量可以分解成向量恣意向量恣意向量線性表示，或說空間線性表示，或說空間可以由向量可以由向量恣意向量恣意向量不共面，那么空間不共面，那么空間假設(shè)向量假設(shè)向量定理定理reeezyxezeyexreeereeereee .

16、,21叫做平面上向量的基底叫做平面上向量的基底這時(shí)這時(shí)ee上一頁下一頁前往 例5 證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，且相互平分.ABCDEFP1e1e2e3.,321叫做空間向量的基底叫做空間向量的基底這時(shí)這時(shí)eee.,.,3211321321321關(guān)系式關(guān)系式線性表示的線性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了三點(diǎn)重合三點(diǎn)重合下只需證下只需證兩組對(duì)邊中點(diǎn)分別為兩組對(duì)邊中點(diǎn)分別為其他其他它的中點(diǎn)為它的中點(diǎn)為線為線為的連的連的中點(diǎn)的中點(diǎn)對(duì)邊對(duì)邊一組一組設(shè)四面體設(shè)四面體證證eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD 上一頁下一頁前往),(211A

17、FAEAP 銜接AF，由于AP1是AEF 的中線，所以有 又由于AF1是ACD 的中線，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(2121213213211eeeeeeAP 從而得從而得)3 , 2(),(41321 ieeeAPi同同理理可可得得321APAPAP所所以以.,321三點(diǎn)重合，命題得證三點(diǎn)重合，命題得證從而知從而知PPP上一頁下一頁前往.,)44.1,0,)1(2.4.12122112121關(guān)的向量叫做線性無關(guān)關(guān)的向量叫做線性無關(guān)性相性相叫做線性相關(guān)，不是線叫做線性相關(guān)，不是線個(gè)向量個(gè)向量那么那么使得使得個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)在不全為零的在不全

18、為零的，假設(shè)存，假設(shè)存?zhèn)€向量個(gè)向量對(duì)于對(duì)于定義定義nnnnnaaanaaanaaann .0 aa 線性相關(guān)的充要條件為線性相關(guān)的充要條件為一個(gè)向量一個(gè)向量推論推論.線性相關(guān)線性相關(guān)量，那么這組向量必量，那么這組向量必一組向量假設(shè)含有零向一組向量假設(shè)含有零向推論推論.5.4.1相關(guān)相關(guān)那么這一組向量就線性那么這一組向量就線性分向量線性相關(guān)分向量線性相關(guān)假設(shè)一組向量中的一部假設(shè)一組向量中的一部定理定理.,24.4.121組合組合向量是其他向量的線性向量是其他向量的線性充要條件是其中有一個(gè)充要條件是其中有一個(gè)線性相關(guān)的線性相關(guān)的時(shí)，向量時(shí)，向量在在定理定理naaan 上一頁下一頁前往.6.4.1是

19、它們線性相關(guān)是它們線性相關(guān)兩向量共線的充要條件兩向量共線的充要條件定理定理上一頁下一頁前往.7.4.1件是它們線性相關(guān)件是它們線性相關(guān)三個(gè)向量共面的充要條三個(gè)向量共面的充要條定理定理.8.4.1線性相關(guān)線性相關(guān)空間任何四個(gè)向量總是空間任何四個(gè)向量總是定理定理例例6 6 設(shè)設(shè) 為兩不共線向量，證明為兩不共線向量，證明 , a b bbaau11bbaav22共線的充要條件是共線的充要條件是 02121bbaa按照這個(gè)定理，要判別三向量只需判別能否存在不全為零的三個(gè)數(shù)使得能否共面，證證 共線 vu,vu,線性相關(guān)，即存在不全為0的實(shí)數(shù) ,使 0vu即 0)()(2121bbbaaa又由于 不共線

20、, a b , a b 線性無關(guān) 002121bbaa有獨(dú)一零解 02121bbaa上一頁前往 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 1、三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系、三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系. 1.5 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)標(biāo)架與坐標(biāo)下一頁前往xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限2、坐標(biāo)面與卦限、坐標(biāo)面與卦限 上一頁下一頁前往xyzo向徑3、在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

21、:有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzoxyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM xyzoijk以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.rOMr kzj yi xr 稱為向量稱為向量 的坐標(biāo)分解式的坐標(biāo)分解式.rN.,kzORj yOQi xOP 設(shè)設(shè)NMPNO

22、POROQOP4 4、空間向量的坐標(biāo)、空間向量的坐標(biāo) 上一頁下一頁前往顯然，顯然，MOMr kzj yi x ),(zyx向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：,zyx),(zyxr 記記為為.),(OMMzyx，又表示向量，又表示向量既表示點(diǎn)既表示點(diǎn)OMr 向徑：向徑：.,kzj yi x在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：r(點(diǎn)點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O)xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM rN上一頁下一頁前往5、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表

23、達(dá)式),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 上一頁下一頁前往解解),(111zzyyxxOAOMAM ),(222zzyyxxOMOBMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，例例 1 1 設(shè)設(shè)),(111zyxA和和),(222zyxB為兩為兩已知點(diǎn)，而在已知點(diǎn)，而在AB直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)M分有向線段分有向線段AB為兩部分為兩部分AM、MB，使它們的值的比等，

24、使它們的值的比等于某數(shù)于某數(shù))1( ，即，即 MBAM，求分點(diǎn)坐標(biāo)，求分點(diǎn)坐標(biāo). ABMxyzo6、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)上一頁下一頁前往由題意知：由題意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點(diǎn)點(diǎn).M為為中中點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，,221xxx ,221yyy .221zzz 上一頁下一頁前往定理定理1.5.4 知兩個(gè)非零向量知兩個(gè)非零向量7、其它相關(guān)定理、其它相關(guān)定理111 ,a x y z222,b xyz那那

25、么么, a b 共線的充要條件是共線的充要條件是 111222xyzxyz定理定理1.5.6 知三個(gè)非零向量知三個(gè)非零向量111 ,a x y z222,b xyz，那么，那么, ,a b c 共面的充要條件是共面的充要條件是 333,c xy z1112223330 xyzxyzxyz上一頁前往空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影(Projection)u AA 過過點(diǎn)點(diǎn)A作作軸軸 u的的垂垂直直平平面面，交交點(diǎn)點(diǎn)A 即即為為點(diǎn)點(diǎn)A在在軸軸u上上的的投投影影. 1.6 1.6 向量在軸上的射影向量在軸上的射影下一頁前往空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uOMM 向量向量r在軸在

26、軸 u上的投影上的投影. e .軸軸上上的的分分向向量量在在稱稱為為向向量量則則向向量量uOMrMO 為為則則稱稱設(shè)設(shè) , eMO uurrj)(Pr或或記為記為上一頁下一頁前往e為單位向量關(guān)于向量的投影定理關(guān)于向量的投影定理1 1 向量向量AB在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：ABjuPr cos| AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 由此定義，由此定義，則則設(shè)設(shè)),(zyxaaaa ,Prajaxx ,Prajayy .Prajazz 上一頁下一頁前往定理定理1 1的闡明：的闡明：投

27、影為正；投影為正；投影為負(fù)；投影為負(fù)；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 上一頁下一頁前往關(guān)于向量的投影定理關(guān)于向量的投影定理2 2兩兩個(gè)個(gè)向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個(gè)個(gè)向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC 可推行到有限多個(gè)可推行到有限多個(gè)u1a2a上一頁下一頁前往關(guān)于向量的投影定理關(guān)于向量的投影定理3 3 ajajuuPrPr 上一頁下一頁前往 1.6 向量在軸上的射影例例 1 1 設(shè)設(shè)kjim85

28、3 ，kjin742 ，kjip45 ，求向量，求向量pnma 34在在x軸軸上的投影及在上的投影及在y軸上的分向量軸上的分向量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸軸上上的的分分向向量量為為j7.上一頁前往 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點(diǎn)點(diǎn)1M移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn)2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.

29、FM1M2s 1.7 1.7 兩向量的數(shù)性積兩向量的數(shù)性積下一頁前往ab ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積、點(diǎn)積、“內(nèi)積內(nèi)積.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積量的方向上的投影的乘積. .向向量量a與與b的的數(shù)數(shù)量量積積記記為為ba cos|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角) 定義定義上一頁下一頁前往關(guān)于數(shù)量積的闡明：關(guān)于數(shù)量積的闡明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b

30、, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 )0, 0( ba上一頁下一頁前往數(shù)量積符合以下運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合以下運(yùn)算規(guī)律：1 1交換律：交換律：;abba 2 2分配律：分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa 假設(shè)假設(shè) 、 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(baba 3 3假設(shè)假設(shè) 為數(shù)：為數(shù)： 上一頁下一頁前往 1.7 兩向量的數(shù)性積,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1|

31、 kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式上一頁下一頁前往xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR),(zyxM rNOMr 由勾股定理由勾股定理OMr 222OROQOP.,kzORj yOQi xOP 由由,zORyOQxOP 有有222zyxr 向量模的坐標(biāo)表示式向量模的坐標(biāo)表示式OROQOP向量的模與空間兩點(diǎn)間間隔公式向量的模與空間兩點(diǎn)間間隔公式上一頁下一頁前往xyzo),(222zyxB),(111zyxA),(111zyxA設(shè)設(shè)),(222zyxB為空間兩點(diǎn)為空間兩點(diǎn). . ? ABdOAOBAB 由

32、由),(),(111222zyxzyx ),(121212zzyyxx 212212212zzyyxxAB 空間兩點(diǎn)間間隔公式空間兩點(diǎn)間間隔公式ABd 上一頁下一頁前往解解設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x因因?yàn)闉镻在在x軸軸上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zz

33、yyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為：由此可知兩向量垂直的充要條件為：上一頁下一頁前往解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 上一頁下一頁前往證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(上一頁下一頁前往空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角

34、. 特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與與 之間恣意取值之間恣意取值. 0() 方向角與方向余弦的坐標(biāo)表示式上一頁下一頁前往非零向量非零向量 的方向角：的方向角：r非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo M 上一頁下一頁前往由圖分析可知由圖分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .),(zyxOMr 設(shè)設(shè)xyzo ),(zyxM 上

35、一頁下一頁前往0222 zyx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式上一頁下一頁前往1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0r|rr ).cos,cos,(cos 上式闡明，以向量上式闡明，以向量 的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與 同方向的單同方向的單位向量位向量 rr rzryrx,上一頁前往0r1. 引例引例 設(shè)設(shè)O點(diǎn)為一杠桿的支點(diǎn)點(diǎn)為一杠桿的支點(diǎn), ,力力F作用于杠桿上作用于杠桿上點(diǎn)點(diǎn)P處處, ,求力求力 F對(duì)支點(diǎn)對(duì)支點(diǎn)O的力矩的力矩. . 根據(jù)物理學(xué)

36、知識(shí)根據(jù)物理學(xué)知識(shí), ,力力F對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn) O的力矩是向量的力矩是向量M, ,其大其大小為小為 |sinMdOP FF|sinF dFOP . . 其中其中d為支點(diǎn)為支點(diǎn)O到力到力F的作用線距的作用線距離離, ,為矢量為矢量F與與OP 的夾角的夾角. .力矩力矩M的方向規(guī)定為：的方向規(guī)定為：OP , ,F, ,M依次符合依次符合右手螺旋法則右手螺旋法則. . O F d P 1.8 1.8 兩向量的矢性積兩向量的矢性積下一頁前往因此因此, ,力矩力矩 M是一個(gè)與向量是一個(gè)與向量OP和向量和向量 F有關(guān)的有關(guān)的向量向量, ,其大小為其大小為|sinOPF, ,其方向滿足： （其方向滿足： （1 1）

37、同時(shí)垂）同時(shí)垂直于向量直于向量OP和和 F； （； （2 2） 向量） 向量 OP, , F, , M依次符合右依次符合右手螺旋法則手螺旋法則. . 2 2 向量積的定義向量積的定義 定義定義2 2 兩個(gè)向量兩個(gè)向量a和和b的叉積 （也稱為向量積）的叉積 （也稱為向量積）是一個(gè)向量是一個(gè)向量, ,記作記作 a b, ,并由下述規(guī)則確定：并由下述規(guī)則確定： （1 1） sin( , )a ba ba b （2 2）a b的方向規(guī)定為的方向規(guī)定為: : 注：注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于b, ,并且按順序并且按順序 , ,a b a b符符 合右手螺旋法則合右手螺旋法則. . b

38、 a c=a b 上一頁下一頁前往若把若把a(bǔ), ,b的起點(diǎn)放在一起的起點(diǎn)放在一起, ,并以并以a, ,b為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形, ,則向量則向量a與與b叉積的模叉積的模 sina ba b 即為該平行四邊形的面積即為該平行四邊形的面積. . （1 1）a bb a （反交換律）（反交換律）; ; （2 2）()abca ba c （左分配律）（左分配律）; ; （3 3）()bcab aca （右分配律）（右分配律）; ; （4 4）000()bcab aca 向量向量積的運(yùn)算規(guī)律：積的運(yùn)算規(guī)律： a b a b 上一頁下一頁前往上一頁前往例例 試證試證: : 0i ijjkka

39、a . . 證證 只證只證0aa， 因?yàn)椋?因?yàn)?a與與a平行 （即共線）平行 （即共線） , ,所以其夾角所以其夾角0或或 , ,從而從而sin0, ,因此因此 | |sin0aaaa, , 而模為而模為0的向量為零向量的向量為零向量, ,所以所以 0aa. . 定理定理 兩個(gè)非零向量平行的充分必要條件是它們的兩個(gè)非零向量平行的充分必要條件是它們的向向量量積為零向量積為零向量. . 上一頁下一頁前往定義定義cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式 1.9 1.9 三

40、向量的混合積三向量的混合積下一頁前往1向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關(guān)于混合積的闡明：關(guān)于混合積的闡明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba上一頁下一頁前往解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,1

41、21212zzyyxxAB 上一頁下一頁前往,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負(fù)號(hào)的選擇保證結(jié)果為正式中正負(fù)號(hào)的選擇保證結(jié)果為正.上一頁前往 已知已知2 cba， 計(jì)算計(jì)算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例1上一頁下一頁前往水桶的外表、臺(tái)燈的罩子面等水桶的外表、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾何

42、中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面 S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形 曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例： 2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程下一頁前往以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.例例 1 1 建立球心在點(diǎn)建立球心在點(diǎn)

43、),(0000zyxM、半徑為、半徑為R的球面方程的球面方程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 上一頁下一頁前往得上、下半球面的方程分別是：得上、下半球面的方程分別是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz 2202020Rzzyyxx 由由由上述方程可得球面的普通式方程為：由上述方程可得球面的普通式方程為：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz +

44、 D = 0 *上一頁下一頁前往2220AxByCzDxyEyzFxzGxHyKzL0,0,ABCDEF2222220 xyzgxhykzl 222222()()()xgxhzkghkl2220ghkl 2220ghkl (,);ghk2220ghkl 反過來，對(duì)于三元二次方程 假設(shè)那么可化為配方得 那么當(dāng)時(shí)，(3)式表示一個(gè)實(shí)球面；當(dāng)時(shí)，(3)式表示一個(gè)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，(3)式無圖形(3)習(xí)慣上，把上面的點(diǎn)稱為點(diǎn)球，把無圖形時(shí)稱為虛球面，三種情形統(tǒng)稱為球面因此有：球面的方程是一個(gè)三元二次方程，它的平方項(xiàng)系數(shù)相等，沒有交叉項(xiàng)；反之，一個(gè)三元二次方程，假設(shè)它的平方項(xiàng)系數(shù)相等，沒有交叉項(xiàng)，那么它表示一個(gè)球

45、面，例例 2 2 求與原點(diǎn)求與原點(diǎn)O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為上一頁下一頁前往例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求線段，求線段AB的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx

46、,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解上一頁下一頁前往zxyo例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c以上方法稱為截痕法以上方法稱為截痕法.上一頁下一頁前往以上幾例闡明研討空間曲面有兩個(gè)根本問題：以上幾例闡明研討

47、空間曲面有兩個(gè)根本問題：2 2知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研討曲面外形知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研討曲面外形討論旋轉(zhuǎn)曲面討論旋轉(zhuǎn)曲面討論柱面、二次曲面討論柱面、二次曲面1 1知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程上一頁前往 )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時(shí)時(shí)，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點(diǎn)點(diǎn).空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程一、空間曲線的參數(shù)方程2.3 2.3 空間曲線的方程空間曲線的方程下一頁前往 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的普通方程空間曲線的普通方

48、程 曲線上的點(diǎn)都滿足方程，不在曲曲線上的點(diǎn)都滿足方程，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.xozy1S2SC二、空間曲線二、空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：特點(diǎn)： 2.3 2.3 空間曲線的方程空間曲線的方程下一頁前往例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 632122zxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，632 zx表示平面，表示平面， 632122zxyx交線為橢圓交線為橢圓.上一頁下一頁前往例例2 2 方程組方程組 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(22

49、2ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？上一頁前往 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時(shí)間，時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn) A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo上一頁下一頁前往螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要性質(zhì)：螺旋線的重要性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺

50、距螺距 ,2 上一頁前往幾何上就是在一張長方形的紙上畫一條斜線，然后把紙卷成圓柱面，該直線可構(gòu)成圓柱螺旋線 解解xozyxozyyx22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面yx22 xy 拋物柱面方程：拋物柱面方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM 2.3 2.3 母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程下一頁前往從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于 z軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線 C:0),( yxF

51、. 其他類推其他類推實(shí)實(shí) 例例12222byax橢圓柱面，橢圓柱面，z12222bzax雙曲柱面雙曲柱面 ，ypxy22拋物柱面，拋物柱面，z母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸上一頁下一頁前往12222 byaxabzxyo橢圓柱面橢圓柱面上一頁下一頁前往zxy = 0y12222 bzaxo 雙曲柱面上一頁下一頁前往pxy22 zxyo拋物柱面拋物柱面上一頁前往xyzo0MM 假設(shè)一非零向量垂直于一平面，這假設(shè)一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量向量就叫做該平面的法線向量法線向量的特征：法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量知知,CBAn

52、),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn 一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程3.1 3.1 平面的方程平面的方程下一頁前往,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 知點(diǎn)知點(diǎn)).,(000zyx上一頁下一頁前往例例 1 1 求求過過三三點(diǎn)點(diǎn))4 , 1

53、, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx上一頁下一頁前往例例 2 2 求過點(diǎn)求過點(diǎn))1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平

54、面方程為解解上一頁下一頁前往由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的普通方程平面的普通方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的普通式方程二、平面的普通式方程？即即 任一平面任一平面表示表示0 DCzByAxA,B,C不同時(shí)為零不同時(shí)為零無妨設(shè)無妨設(shè)0 A，那么，那么 000 zCyBADxA，為一平面，為一平面.上一頁下一頁前往平面普通式方程的幾種特殊情況：平面普通式方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面經(jīng)過平面經(jīng)過 軸；

55、軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 DCzByAx平面的普通方程平面的普通方程, 0)4( DBA., 0面面即即有有xoyz 上一頁下一頁前往例例 3 3 設(shè)設(shè)平平面面過過原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 D由由平平面面過過點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1,

56、 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解上一頁下一頁前往例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解上一頁下一頁前往,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距

57、z軸上截距軸上截距xyzoabc上一頁下一頁前往例例 5 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而與三個(gè)坐而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與知平面平行得由所求平面與知平面平行得,611161cba 向量平行的充要條件向量平行的充要條件解解上一頁下一頁前往,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所

58、求平面方程為所求平面方程為或或. 666 zyx上一頁前往 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一點(diǎn)，求外一點(diǎn)，求0P到平面的距離到平面的距離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P nnePPPPj 0101Pr,10101001zzyyxxPP 解解3.2 3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置平面與點(diǎn)的相關(guān)位置下一頁前往 222222222,CBACCBABCBAAen222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx nnePPPPj 0101Pr上一頁下一頁前往01

59、11 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點(diǎn)到平面間隔公式點(diǎn)到平面間隔公式上一頁下一頁前往間間的的距距離離. .求求兩兩平平面面4363, 121zyxyxz 例例, ,解解)363),121(21 ,n,n( (. .先先判判斷斷兩兩平平面面是是否否平平行行./31623121nn 在第一個(gè)平面內(nèi)任取一點(diǎn)，比如在第一個(gè)平面內(nèi)任取一點(diǎn)，比如0，0，1，.6373634130603222 )(d上一頁前往定義定義通常取銳角通常取銳角1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角兩平面法向量之間的夾角稱為兩

60、平面的夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 3.3 3.3 兩平面的相關(guān)位置兩平面的相關(guān)位置下一頁前往按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 上一頁下一頁前往例例1 1 研討以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研討以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012