1、第8章 多元函數微分學及其應用上冊中我們所討論的函數都只有一個自變量，這種函數稱為一元函數而在實際問題中，還會遇到多于一個自變量的函數，這就是本章將要討論的多元函數多元函數是一元函數的推廣它的一些基本概念及研究問題的思想方法與一元函數有許多類似之處，但是由于自變量個數的增加，它與一元函數又存在著某些區別，這些區別之處在學習中要加以注意對于多元函數，我們將著重討論二元函數在掌握了二元函數的有關理論與研究方法之后，我們可以把它推廣到一般的多元函數中去§1多元函數的極限與連續一、平面點集與維空間一元函數的定義域是實數軸上的點集，而二元函數的定義域是坐標平面上的點集因此，在討論二元函數之前，

2、有必要先了解有關平面點集的一些基本概念1平面點集由平面解析幾何知道，當在平面上確定了一個直角坐標系后，平面上的點與二元有序實數組之間就建立了一一對應于是，我們常把二元有序實數組與平面上的點看作是等同的這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面二元有序實數組的全體，即就表示坐標平面坐標平面上滿足某種條件的點的集合，稱為平面點集，記作滿足條件例如，平面上以原點為中心，為半徑的圓內所有點的集合是現在，我們引入平面中鄰域的概念設是平面上一點，是一正數與點距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為或，即 不包含點在內的鄰域稱為點的空心鄰域，記為或，即在幾何上，鄰域就是平面上以點為中心，為半徑的圓的內部的點的全體下面

3、利用鄰域來描述點和點集之間的關系任意一點與任意一個點集之間必有以下三種關系之一：（1）內點：若存在點的某個鄰域，使得，則稱點是點集的內點（見圖8-1）（2）外點：如果存在點的某個鄰域，使得，則稱點是點集的外點（見圖8-2）（3）邊界點：如果在點的任何鄰域內既含有屬于的點，又含有不屬于的點，則稱點是點集的邊界點（見圖8-3）的邊界點的全體稱為的邊界,記作圖8-1圖8-2圖8-3的內點必定屬于；的外點必定不屬于；的邊界點可能屬于，也可能不屬于 點和點集還有另外一種關系，這就是下面定義的聚點聚點：若點的任何空心鄰域內總有中的點，則稱為點集的聚點聚點本身可能屬于也可能不屬于顯然，的內點一定是的聚點，的

4、外點一定不是的聚點 例如，點集，滿足的一切點是的內點；滿足的一切點是的邊界點，它們都屬于；滿足的點也是的邊界點，但它們不屬于；點集連同它的外圓邊界上的點都是的聚點根據點集的特征，我們再來定義一些重要的平面點集開集：如果點集的點都是的內點，則稱為開集閉集：如果點集的所有聚點都屬于，則稱為閉集例如，集合是開集；集合是閉集；而集合既非開集，也非閉集此外，還約定全平面和空集既是開集又是閉集連通集：若點集中任意兩點都可以用完全含于的有限條直線段所組成的折線相連接，則稱是連通集區域（開區域）：連通的開集稱為區域或開區域閉區域：開區域連同它的邊界一起組成的集合，稱為閉區域例如，是區域；是閉區域有界集：對于點

5、集，如果能包含在以原點為中心的某個圓內，則稱是有界點集否則稱為無界點集例如是有界閉區域，而是無界的開區域2維空間 稱元有序實數組的全體為維空間，記為中的每個元素稱為維空間中的一個點，稱為該點的第個坐標設點，為中的兩點，我們規定，兩點間的距離為顯然，當時，上式就是解析幾何中在直線、平面、空間中兩點間的距離公式有了兩點間的距離規定之后，就可以把平面點集中的鄰域的概念推廣到中去設，是一正數，那么中的點集就稱為點的鄰域有了鄰域之后，就可以把平面點集中的內點、外點、邊界點、聚點、開集、閉集、區域等概念推廣到維空間去二、二元函數的概念1二元函數的概念 在很多自然現象以及實際問題中，經常會遇到一個變量依賴于

6、多個變量的關系，下面先看幾個例子例1正圓錐體的體積和它的高及底面半徑之間有關系當和在集合內取定一組數時，通過關系式，有唯一確定的值與之對應例2 一定量的理想氣體的壓強、體積和絕對溫度之間有關系，其中為常數當、在集合內取定一組數時，通過關系式，有唯一確定的值與之對應上面兩個例子，雖然來自不同的實際問題，但都說明，在一定的條件下三個變量之間存在著一種依賴關系，這種關系給出了一個變量與另外兩個變量之間的對應法則，依照這個法則，當兩個變量在允許的范圍內取定一組數時，另一個變量有唯一確定的值與之對應由這些共性便可得到以下二元函數的定義定義1設是平面上的一個點集，如果對于內任意一點，變量按照某一對應法則總

7、有唯一確定的值與之對應，則稱是變量、的二元函數（或稱是點的函數），記作或其中點集稱為函數的定義域，稱為自變量，也稱為因變量，數集稱為該函數的值域是，的函數也可記為按照定義，在例1和例2中，是和的函數，是和的函數，它們的定義域由實際問題來確定當二元函數僅用算式表示而未注明定義域時，約定其定義域為使算式有意義的點的集合例3 求下列函數的定義域（1）； （2）解（1）要使有意義，必須有，所以定義域為（見圖8-4），這是一個無界開區域（2）要使有意義，必須有，所以定義域為（見圖8-5），這是一個有界閉區域設二元函數的定義域為，對任一點，必有唯一的與之對應這樣，以為橫坐標，為縱坐標，為豎坐標在空間就確定

8、一個點當取遍上一切點時，相應地得到一個空間點集，這個點集稱為二元函數的圖形（見圖8-6）通常的圖形是一張曲面，函數的定義域便是該曲面在面上的投影例如，由空間解析幾何知道，的圖形是一張平面，而函數的圖形是旋轉拋物面2元函數的概念定義2 設是中的一個點集，如果對于中任意一點，變量按照某一對應法則總有唯一確定的值與之對應，則稱是定義在上的元函數，記作，或點集稱為函數的定義域，數集稱為該函數的值域在定義2中，分別令和，便得到二元函數和三元函數的定義，二元及二元以上的函數統稱為多元函數三、二元函數的極限設二元函數定義在平面點集上，為點集的聚點，我們來討論當點，即點，時函數的極限這里是指點以任意的方式趨于

9、，亦即兩點與之間的距離趨于零，也就是與一元函數的極限概念類似，如果在的過程中，所對應的函數值無限接近于一個常數，則稱當時，函數以為極限下面用“”語言來描述這個極限的概念定義3設二元函數的定義域為，是的聚點，是一個常數如果對于任意給定的正數，總存在正數，使得當時，恒有成立，則稱當時函數以為極限，記為或，也記作二元函數的極限也稱為二重極限例4設，證明證這里函數的定義域是，點顯然為的聚點由于，可見，對任意給定的，取，則當，即時，恒有，成立，根據二元函數極限的定義，證得我們必須注意，所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時，函數都無限接近于同一個常數因此，當以某種特殊方式趨近于，即使函數無限接近于某一常

10、數，也不能斷定二重極限存在但當以某種特殊方式趨近于時，函數的極限不存在，或者當沿兩個特殊方式趨近于時，函數分別無限接近于兩個不同的常數，則可以斷定二重極限不存在例5 討論當時是否存在極限解 當點沿著直線趨于時，有其值因而異，這與極限定義中當以任何方式趨于時，函數都無限接近于同一個常數的要求相違背，因此當時，的極限不存在 以上關于二元函數極限的有關描述，可相應地推廣到一般的元函數即上去多元函數極限的性質和運算法則與一元函數相仿，這里不再重復例6求解因為，而，利用有界函數與無窮小的乘積是無窮小，即知例7解利用變量替換令，當時，有，因此例8求解利用極坐標變換令，當時，有，因此四、二元函數的連續有了二

11、元函數極限的概念，仿照一元函數連續性的定義，不難得出二元函數連續性的定義定義4設二元函數的定義域為，是的聚點，且，如果 （1）則稱二元函數在點連續 若記，則稱為函數在點的全增量和一元函數一樣，可用增量的形式來描述連續性，即當時，在點連續 若函數在上每一點都連續，則稱在上連續，或稱是上的連續函數若在點不連續，則稱是函數的間斷點當函數在點沒有定義；或雖有定義，但當時函數的極限不存在；或極限雖存在，但極限值不等于該點處的函數值，則都是函數的間斷點例如，考察函數例5中已說明，不存在，所以點是函數的間斷點再如函數在曲線上每一點處都沒有定義，所以曲線上每一點都是該函數的間斷點根據極限的運算法則和多元函數連

12、續性的定義，不難證明多元連續函數的和、差、積、商（分母不等于零）也都是連續函數多元連續函數的復合函數也是連續函數與一元初等函數類似，多元初等函數是指可用一個式子表示的多元函數，這個式子是由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算得到的例如，都是多元初等函數根據連續函數的和、差、積、商的連續性以及連續函數的復合函數的連續性，再利用基本初等函數的連續性，我們進一步可以得出如下結論：多元初等函數在其定義區域內是連續的所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域由多元初等函數的連續性，如果需求極限，而正是初等函數定義區域內的一點，則例9 求解函數是多元初等函數，它的定義域是

13、一個區域，而點，所以例10 求解 以上運算的最后一步用到了二元函數在點的連續性類似于閉區間上一元連續函數的性質，在有界閉區域上的多元連續函數具有以下幾個重要性質：性質1（最大值、最小值定理）在有界閉區域上連續的多元函數，在該區域上有最大值與最小值；性質2（有界性定理）在有界閉區域上連續的多元函數，在該區域上有界；性質3（介值定理）在有界閉區域上連續的多元函數，必能取得介于最大值與最小值之間的任何值習題8-11判斷下列平面點集中哪些是開集、閉集、區域、閉區域、有界集、無界集，并指出它們的邊界和聚點（1）；（2）；（3）2求下列函數的定義域，并作出定義域的草圖：（1）； （2）；（3）； （4）3

14、求下列各極限：（1）；（2）；（3）； （4）4證明下列極限不存在：（1）； （2）5求下列函數的間斷點：（1）； （2）§2偏導數與全微分一、偏導數1偏導數定義及其計算在一元函數中，我們通過函數的增量與自變量增量之比的極限引出了導數的概念，這個比值的極限刻畫了函數對于自變量的變化率對于多元函數同樣需要討論它的變化率，由于多元函數的自變量多于一個，使得變化率問題變得較為復雜在這一節里，我們首先考慮多元函數關于其中一個自變量的變化率，即討論只有一個自變量變化，而其余自變量固定不變（視為常量）時函數的變化率定義1設函數在點的某鄰域內有定義，當固定在，而在處有增量時（點（）仍在該鄰域中），

15、相應地函數有增量如果極限存在，則稱此極限為函數在點處對的偏導數，記作，或偏導數記號，也常記作，即 （1）類似地，函數在點處對的偏導數定義為， （2）記作，或由偏導數的定義可知，二元函數在點處對的偏導數，實際上就是把固定在時，一元函數在點的導數；就是一元函數在點的導數如果函數在區域內每一點處對的偏導數都存在，那么這個偏導數就是，的函數，稱它為函數對自變量的偏導函數，記作，或類似地，可以定義函數對自變量的偏導函數，記作，或偏導函數也簡稱為偏導數顯然函數在點處對的偏導數就是偏導函數在點處的函數值；就是偏導函數在點處的函數值至于實際求的偏導數，并不需要用新的方法，因為偏導數的實質就是把一個自變量固定，

16、而將二元函數看成是另一個自變量的一元函數的導數計算時，只要把看作常數，而對求導數；類似地，計算時，只要把看作常數，而對求導數二元以上的函數的偏導數可類似定義例如三元函數在點處對的偏導數可定義為其中是函數的定義域的內點求二元以上函數對某個自變量的偏導數也只需把其余自變量都看作常數而對該自變量求導即可例1求二元函數的偏導數解對求偏導數時，把看作常數，則；對求偏導數時，把看作常數，則例2設，求，解方法一：先求出偏導函數和，再求偏導函數在點的函數值，所以 ， 方法二：將轉化為當時，計算一元函數在處的導數，所以 將轉化為當時，計算一元函數在處的導數，所以 例3已知函數，求證證求時，把和看作常數，則，由于

17、所給函數關于自變量對稱 若函數表達式中任意兩個自變量對調后，仍表示原來的函數，則稱函數關于這兩個自變量對稱，所以，從而有例4 已知理想氣體的狀態方程是（是常數），求證證，故 從例4不難說明偏導數的記號，是一個整體記號，不能像一元函數的導數那樣看成分子與分母之商，否則將導致的錯誤結論2偏導數的幾何意義 在空間直角坐標系中，二元函數的圖像是一個空間曲面根據偏導數的定義，就是把固定在，一元函數在點的導數而在幾何上，一元函數表示曲面與平面的交線，則由一元函數導數的幾何意義知，就是曲線在點處的切線對軸的斜率，即與軸正向所成傾角的正切（見圖8-7）同理，就是曲面與平面的交線在點處的切線對軸的斜率（見圖8-

18、8）圖8-8圖8-73偏導數與連續的關系我們知道，若一元函數在點處可導，則必在點處連續但對于二元函數來講，即使在點處的兩個偏導數都存在，也不能保證函數在點處連續這是因為偏導數，存在只能保證一元函數和分別在和處連續，但不能保證以任何方式趨于時，函數都趨于例5求二元函數在點處的偏導數，并討論它在點處的連續性解點是函數的分界點，類似于一元函數，分段函數分界點處的偏導數要用定義去求，又由于函數關于自變量，是對稱的，故我們在第一節已經知道在點處不連續 當然，在點處連續也不能保證在點的偏導數存在例6討論函數在點處的偏導數與連續性解因為是多元初等函數，它的定義域是一個區域，而，因此在點處連續但不存在由函數關

19、于自變量的對稱性知，也不存在4高階偏導數設函數在區域內具有偏導數，一般來講，在內，仍然是，的函數，如果，關于，的偏導數也存在，則稱，的偏導數是函數的二階偏導數按照對兩個自變量求導次序不同，二元函數的二階偏導數有如下四種情形：對的二階偏導數：，先對后對的二階偏導數：，先對后對的二階偏導數：，對的二階偏導數： 二階偏導數記號，也常記作， ， ， 如果二階偏導數的偏導數存在，就稱它們是函數的三階偏導數，例如，等類似地，我們可以定義四階，五階，階偏導數二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數如果高階偏導數中既有對也有對的偏導數，則此高階偏導數稱為混合偏導數，例如，例7 求函數的所有二階偏導數 解 由于，

20、因此有 ， 在此例中，兩個二階混合偏導數相等，即，但這個結論并非對任何函數成立，只有在滿足一定條件時，二階混合偏導數才與求偏導的次序無關對此，我們不加證明地給出下面的定理定理1如果函數的兩個二階混合偏導數及在區域內連續，那么在該區域內這兩個二階混合偏導數相等 換句話說，兩個二階混合偏導數在偏導數連續的條件下與求偏導的次序無關對于二元以上的函數，我們也可以類似地定義高階偏導數而且高階混合偏導數在偏導數連續的條件下也與求偏導的次序無關例8驗證函數滿足拉普拉斯（Laplace）方程證因為，所以利用函數關于自變量的對稱性，在的結果中，將與互換，便得到，因此二、全微分1全微分的定義我們知道一元函數在點可

21、微是指：如果當自變量在處有增量時，函數增量可表示為，其中與無關，是當時較高階的無窮小量，則稱在點可微，并稱為在點處的微分，記為對于二元函數，我們也用類似的方法來定義可微性及全微分定義2設函數在點的某鄰域內有定義，點為該鄰域內任意一點，若函數在點處的全增量可表示為，（3）其中，僅與點有關，而與，無關，是當時較高階的無窮小量，即，則稱函數在點處是可微的，并稱為函數在點處的全微分，記作，即 （4）2可微性條件定理2（可微的必要條件）若在點處可微，則（1）在點處連續；（2）在點處的偏導數存在，且，證（1）設在點處可微，根據可微的定義有，當時，有，于是，從而有所以在點處連續（2）因為在點處可微，則有，上

22、式對任意的，都成立，特別地，當時，則有，等式兩邊同除以，再令，得，即在點處對的偏導數存在，且同理可證在點處對的偏導數也存在，且證畢根據此定理，在點處的全微分可以寫成與一元函數的情形一樣，由于自變量的增量等于自變量的微分，即，所以在點處的全微分又可以寫成 （5）如果函數在區域上每一點都可微，則稱函數在區域上可微，且在上全微分為 （6）在一元函數中，函數在某點可導與可微是等價的，但對于多元函數來說，情形就不同了，函數的偏導數存在，不一定能保證函數可微當偏導數存在時雖然在形式上能寫出，但它與的差不一定是當時較高階的無窮小量，只有當時，即時，才能說函數在該點可微例如本節例5中所討論的函數在點處有，所以

23、如果考慮點按照的方式趨向于點，這時有，即不存在，則由可微性定義有在點處不可微當然由本節例5可知，函數在點處不連續，由定理2知不連續則不可微，因此在點處的不可微此例題說明偏導數存在只是可微的必要條件而不是充分條件但是如果將可偏導的條件加強為偏導數連續，則函數就可微了定理3（可微的充分條件）若函數的偏導數在點的某鄰域內存在，且與在點處連續，則函數在點處可微證函數的全增量可以表示為在第一個方括號中，變量保持不變，因此可以把方括號中的表達式看作是關于的一元函數的增量；在第二個方括號中，變量保持不變，因此可以把方括號中的表達式看作是關于的一元函數的增量對它們分別應用一元函數的拉格朗日中值定理得，（，）

24、由于與在點處連續，因此有，即 ，其中當，時，從而而 ，所以 ，又由于，由于，所以有，所以，即當時，有于是證明了在點處可微證畢 注意偏導數連續只是函數可微的充分條件，不是必要條件例9證明在點處可微，但在點處偏導數不連續證，由于函數關于自變量是對稱的，則于是所以函數在點處可微當時，由有，當點沿軸趨于時，由于，不存在，所以不存在，即在點處不連續，同理在點處也不連續根據前面的討論，函數連續，偏導數存在，可微的關系可用下圖表示： 偏導數存在偏導數連續可微連續以上關于全微分的定義及可微的必要條件和充分條件可以完全類似地推廣到三元及三元以上的函數例如，若三元函數的三個偏導數都存在且連續，則它的全微分存在，并

25、有例10求函數在點處的全微分解，由于，在點處連續，所以函數在點處可微，且有例11求函數的全微分解，由于，連續，所以函數可微，且有例12求函數在點處，當，時的全微分和全增量解，由于，在點處連續，所以函數在點處可微，且， 此例中與的差僅為0.00243全微分在近似計算中的應用設函數在點處可微，則它在點處的全增量為其中是當時較高階的無窮小量因此，當，都很小時，有近似公式 ，上式有時也寫成 （7）利用上面的近似公式（7）可以計算函數的近似值例13計算的近似值解把看作是函數在，時的函數值取，由于 ，應用近似公式（7）有例14金屬圓錐體受熱變形，底面半徑由增加到，高由減少到，求圓錐體體積變化的近似值解設圓

26、錐體的底面半徑、高和體積依次為、和，則圓錐體體積為記、和的增量依次為、和應用近似公式（7）有將，代入上式，得圓錐體體積變化的近似值即圓錐體的體積約減少了習題 8-21求下列函數的偏導數：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）2設，求3求曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角4求下列函數的二階偏導數：（1）； （2）；（3）； （4）5驗證： （1）滿足方程；（2）滿足方程；（3）滿足方程；（4）滿足方程，其中6設，求，7考察函數在點處的偏導數是否存在8求下列函數的全微分：（1）； （2）；（3）； （4）9求下列函數在指定點的全微分：（1），在點

27、處；（2），在點處10求函數，當，時的全增量和全微分11證明函數在點處連續，且偏導數存在，但在點處不可微12求下列各式的近似值：（1）； （2）13金屬圓柱體受熱變形，半徑由增加到，高由增長到，求圓柱體體積變化的近似值§3多元函數微分法一、復合函數微分法1復合函數微分法在一元函數中，我們介紹了復合函數的求導法則：如果函數在點處可導而在對應點處可導，則復合函數在點處可導，且有現在將這一微分法則推廣到多元復合函數的情形，并按照多元復合函數的不同的復合情形，分三種情況討論（1）復合函數的中間變量均為一元函數的情形定理1設函數，在點處可導，函數在對應點處可微，則復合函數在點處可導，并且有 （

28、1）證給以增量，相應地有增量和，從而函數有增量因為函數在點可微，故有，其中，是當時較高階的無窮小量上式兩端同時除以，得，因為函數，在點處可導，故它們必在點處連續，從而當時有，注意到因為當時有，故有，從而，再由，在點處可導，故當時有，從而有界，所以，于是有即證畢為了便于掌握復合函數的求導法則，我們常用函數結構圖來表示變量之間的復合關系例如定理1的函數結構圖是v 從函數結構圖中可以看到：一方面，從引出兩個箭頭指向中間變量、，表示是、的函數，同理和都是的函數；另一方面，由出發通過中間變量到達的鏈有兩條，這表示對的導數是兩項之和，而每條鏈由兩個箭頭組成，表示每項由兩個導數相乘而得，例如表示，表示，因此

29、注意這里和都是的一元函數，對的導數用記號，表示，是，的二元函數，其對應的導數是偏導數，用記號，表示，函數經過復合之后，最終是的一元函數，故對的導數用記號表示，稱為全導數，公式（1）稱為全導數公式公式（1）可以推廣到復合函數的中間變量多于兩個的情形例如，由，復合而成的復合函數，在與定理1類似的條件下有全導數公式 （2）例1設，求解由全導數公式（1），有例2設，求解函數的結構圖為于是（2）復合函數的中間變量均為多元函數的情形定理2 若，在點處都存在偏導數，在對應點處可微，則復合函數在點處存在偏導數，且有， （3） （4）定理2的函數結構圖為我們可以借助函數結構圖，直接寫出公式（3）和（4），例如到

30、的鏈有兩條，即為兩項之和，表示，表示，因此公式（3）和（4）可以推廣到中間變量或自變量多于兩個的情形例如，設，在點處都具有偏導數，而函數在對應點可微，則復合函數在點處具有偏導數，且，例3設，求，解令，則，所以，例4設函數，其中可微，證明證 令，則，其函數的結構圖為于是例5設函數，其中可微，證明證綜合應用四則運算與復合函數求導法則，得，（3）復合函數的中間變量既有一元函數又有多元函數的情形定理3 設函數在點處可導，在點處存在偏導數，而在對應點處可微，則復合函數在點處存在偏導數，且有， （5） （6）定理3的函數結構圖為 情形3中有一個特殊情形，復合函數的某些中間變量又是復合函數的自變量定理4 設

31、具有連續偏導數，而具有偏導數，則復合函數在點處存在偏導數，且有， （7） （8）定理4的函數結構圖為 為了避免混淆，公式（7），（8）右端的換成了，要注意和是不同的，是把中的及看成不變而對求偏導數，是把復合函數中的看成不變而對求偏導數例6設，而，求，解，2多元復合函數的高階偏導數在第二節已經給出高階偏導數的定義，這里通過一個具體例子來說明求復合函數高階偏導數的方法例7設，其中具有二階連續偏導數，求，解令，則，于是，再求二階偏導數時注意到及仍是，的函數，而，是，的函數，且函數結構圖為應用多元復合函數的求導法則得這里因為具有二階連續偏導數，故有，因此可以合并為方便起見，有時用自然數1，2的順序分別

32、表示函數中的兩個中間變量，這樣，和分別用，和來表示，則有，3全微分形式不變性我們知道，一元函數的微分具有一階微分形式的不變性，即不論是自變量還是中間變量，對都有多元函數的一階全微分也具有同樣的性質設函數具有連續的偏導數，如果，是自變量，則全微分為如果，是中間變量，且它們具有連續偏導數，則復合函數的全微分為將多元復合函數求導公式（3）和（4）代入上式，則有 （9）注意到，具有連續偏導數，則有， （10）將（10）代入（9）式，得由此可見，無論是自變量，的函數還是中間變量，的函數，其全微分的形式是一樣的，這個性質稱為一階全微分形式的不變性，類似地可以證明三元及三元以上的函數的全微分也具有這一性質關

33、于全微分的運算性質，應用全微分形式的不變性容易證明，它與一元函數微分法則相同，即；利用全微分形式的不變性，可得求復合函數偏導數的另一途徑例8設，利用全微分形式的不變性，求，解由全微分形式的不變性，有，又因為，所以從而，二、隱函數微分法1一個方程所確定的隱函數的微分法在上冊第二章導數與微分中已經提出了隱函數的概念，并且指出在不經過顯式化的情況下，直接由方程求出它所確定的隱函數的導數的方法這里，有些問題尚待解決：在什么條件下，方程可以確定一個隱函數；在什么條件下，方程所確定的隱函數是連續且可導的，下面的定理給出了回答定理5（隱函數存在定理1） 設函數在點的某一鄰域內具有連續的偏導數，且，則方程在點

34、的某一鄰域內能唯一確定一個單值連續且具有連續導數的函數，它滿足條件，并有 （11）定理5的證明略，這里僅對公式（11）作如下推導把函數代入方程中，得恒等式，其左端是的一個復合函數，它的全導數應恒等于右端零的導數，即，由于連續且，所以存在點的某鄰域，在該鄰域內，于是有例9說明由方程在點的某鄰域內能確定一個單值的隱函數，并求出的一階導數解函數在點的某鄰域內具有連續的偏導數，且，即滿足隱函數存在定理1的條件，所以方程在點的某鄰域內能確定一個單值的隱函數，由公式（11）得與定理5一樣，我們同樣可以由三元函數的性質來判斷由方程所確定的二元函數的存在性及求偏導數的公式，這就是下面的定理定理6（隱函數存在定

35、理2） 設函數在點的某一鄰域內具有連續的偏導數且，則方程在點的某一鄰域內能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數，它滿足條件，并有， （12）下面僅對公式（12）作如下推導把函數代入方程中，得恒等式，該式兩端分別對和求偏導數得，由于連續，且，所以存在點的某鄰域，在此鄰域內，于是得，類似地，定理6可推廣到由元方程確定元隱函數的存在性與求偏導數的公式 （）例10 設是由方程確定的隱函數，求，解法1（公式法）設，則，則由公式（12）得，解法2（直接法）在方程兩邊分別對，求偏導數，將看成是，的函數，得，于是，解法3（全微分法）利用全微分形式不變性，在方程兩邊求全微分得，即 ，于是 ，例11 設，求

36、解在方程兩邊分別對求偏導數，并注意是，的函數，得， （13）于是 ， 再對（13）式兩邊對求偏導數，并注意是，的函數，得于是 將的表達式代入上式得2方程組所確定的隱函數的微分法 下面我們將隱函數存在定理作另一方面的推廣，不僅增加方程中變量的個數，而且增加方程的個數定理7（隱函數存在定理3） 設函數在點的某一鄰域內對各個變量具有連續的偏導數，又且偏導數所組成的函數行列式（或稱雅可比行列式）在點不等于零，則方程組在點的某鄰域內能唯一確定一組單值連續且具有連續偏導數的函數，且它們滿足條件 （14） 此處僅對公式（14）作如下推導將，代入方程組 得應用復合函數求導法則，將恒等式兩端分別對求偏導數，得即

37、這是關于，的線性方程組，由定理7的條件可知在點的某鄰域內系數行列式，從而可得到唯一的一組解，同理，可求得，例12 求由方程組確定的函數的偏導數，解此題可直接利用公式（14）求解，但也可依照推導公式（14）的方法求解下面我們用后一種方法將所給方程兩邊對求導，得即當系數行列式時，可解得，習題8-31設，而，求全導數2設，而，求全導數 3設，而，求， 4設，而，求，5求下列函數的一階偏導數，其中具有一階連續偏導數：（1）； （2）；（3）； （4） 6求下列函數的二階偏導數，其中具有二階連續偏導數：（1）； （2）；（3）； （4） 7設，其中為可導函數，驗證：8設，其中，具有二階連續導數，驗證：9

38、利用全微分形式的不變性求函數的全微分，并求，10設，求11設，求，12設，求，13設，求，14設函數由方程所確定，其中都是可微函數，驗證15設函數由方程所確定，其中具有連續偏導數，驗證16設，求17設，求，18設，求19求由下列方程組所確定的函數的導數或偏導數：（1） 求，；（2） 求，§4 方向導數與梯度一、方向導數函數在點的偏導數，分別表示函數在點沿著軸方向與軸方向的變化率，它們只描述了函數沿著坐標軸方向的變化情況，現在要考慮函數在點沿任一方向的變化率，即方向導數圖8-9定義1設在點的某鄰域內有定義從點引射線，的方向角為，（即從，正向到射線的轉角分別為， ），在射線上取一點（圖8

39、-9），若極限存在，其中為兩點和之間的距離，則稱此極限值為函數在點處沿著方向的方向導數，記作，即 由定義可知，當函數在點的偏導數，存在時，則函數在點處沿著軸正向，軸正向的方向導數都存在，且其值依次為，函數在點處沿著軸負向，軸負向的方向導數也都存在，且其值依次為， 沿任一方向的方向導數與偏導數的關系由下述定理給出定理1設函數在點可微，則函數在點處沿任一方向的方向導數都存在，且， （15）其中，為的方向余弦證因為函數在點可微，所以函數在點處的增量可表示為由圖8-9可知，在上，所以有于是有極限這就證明了函數函數在點沿方向的方向導數存在，且其值為證畢需注意在公式（15）中，當，時，當，時，可見當可微時

40、，偏導數是方向導數的特例類似地，可以定義三元函數的方向導數，而且可微的三元函數在點處沿任一方向的方向導數也存在，且有，其中，為的方向余弦例1 求函數在點處沿著從點到點的方向的方向導數解這里方向即向量的方向，因此的方向余弦為，又因為，于是，所以 例2 設，求在點處沿方向的方向導數解的方向余弦為，又因為，所以 二、梯度定義2 設函數在點處存在對所有自變量的偏導數，則稱向量為函數在點處的梯度，記作，即若在點處可微，為方向上的單位向量，則方向導數公式（15）又可寫成 （16）其中是梯度與的夾角由公式（16）可以看出，方向導數就是梯度在方向上的投影，且方向導數還具有下述性質：（1）當與同方向時，方向導數

41、有最大值；（2）當與反方向時，方向導數有最小值； （3）當與垂直時，方向導數為零 因此，函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向是函數在該點的方向導數取得最大值的方向，它的模等于方向導數的最大值類似地，可以定義三元函數在點處的梯度為同樣當在點處可微，為方向上的單位向量時，則有例3求函數在點處的梯度及沿方向的方向導數 解因為，于是，所以又因為的單位向量為，所以習題8-41求函數在點處沿著從點到點的方向的方向導數2求函數在點處沿方向（其方向角分別為，）的方向導數3求函數在點處沿著從點到點的方向導數4求函數在拋物線上點處，沿著這條拋物線在該點處偏向軸正向的切線方向的方向導數5求函數在點處沿與軸正方向

42、成角的射線方向的方向導數，并問角取何值時，方向導數取：（1）最大值；（2）最小值；（3）零6求函數在點處的梯度7設，都是，的函數，的各偏導數都存在且連續，證明：（1）；（2）；（3），其中，是可微函數8設，試求：（1）；（2）§5多元函數微分學在幾何上的應用一、空間曲線的切線與法平面設空間曲線的參數方程為，其中，存在且不同時為零在曲線上取對應于的一點及對應于的鄰近一點，則曲線圖8-10的割線的方程為，用去除上式各分母，得當點沿著曲線趨于點時，割線的極限位置就是曲線在點處的切線（圖8-10）令（這時），對上式取極限，就得到曲線在點處的切線方程為 （1）這里要求，不全為零，如果有個別為零

43、，則應按照空間解析幾何中有關直線的對稱式方程的說明來理解切線的方向向量稱為曲線的切向量向量就是曲線在點處的一個切向量通過點而與切線垂直的平面稱為曲線在點處的法平面顯然它是通過點且以為法向量的平面，因此法平面的方程為 （2）例1求曲線，在點處的切線方程與法平面方程解 點對應的參數為，又因為，所以曲線在點處的切線方程為，法平面方程為，即 例2 求螺旋線，（其中、為正常數）在對應點處的切線方程與法平面方程解 因為 ，又因為當時，對應點是，因此在處切線方程為，即 法平面方程為，即 如果空間曲線的方程由的形式給出，此時可以把它看成以作為參數的參數方程的形式：設，在處可導，則曲線在點處的切向量為，因此曲線

44、在點處的切線方程為， （3）其中，曲線在點處的法平面方程為 （4）如果空間曲線的方程由 （5）給出，設是曲線上一點，對各變量具有連續的偏導數，且雅可比行列式，則根據隱函數存在定理3，方程組（5）在點的某鄰域內確定了一組可微函數，為了求出曲線在點處的切線方程和法平面方程，只需求出，就行了為此在方程組（5）的兩邊分別對求全導數，注意，是的函數，得即由假設，在點的某鄰域內有，從而可解出，那么，曲線在點處的切向量為或，因此，曲線在點處的切線方程為， （6）法平面為 （7）例3 求曲線在點處的切線方程和法平面方程解 令，則，因此，切線方程為，即 法平面方程為，即 二、曲面的切平面與法線若曲面上過點的所有

45、曲線在點處的切線都在同一平面上，則稱此平面為曲面在點處的切平面設曲面的方程為，是曲面上一點，函數在點處具有一階連續偏導數，且，不同時為零在上述假設下我們證明曲面在點處的切平面存在，并求出切平面方程在曲面上任取一條過的曲線，設其參數方程為， （8）對應于點，且，不同時為零，則曲線在點處的切向量為另一方面，由于曲線在曲面上，所以有恒等式，由全導數公式，得，即 （9）若記向量為，則（9）式可寫成，即與互相垂直因為曲線（8）是曲面上通過點的任意一條曲線，它們在點處的切線都與同一個向量垂直，所以曲面上通過點的一切曲線在點的切線都在同一個平面上該平面就是曲面在點處的切平面切平面方程為 （10）過點且與切平

46、面垂直的直線稱為曲面在該點的法線由解析幾何知法線的方程為 （11）曲面在點的切平面的法向量也稱為曲面在點的法向量向量就是曲面在點處的一個法向量 如果曲面的方程是由顯函數的形式給出，則可令，這時有 ，于是，當函數的偏導數，在點處連續時，則曲面在點的切平面方程為 （12）法線方程為 （13）曲面在點處的一個法向量為如果用，表示曲面的法向量的方向角，并假設法向量與軸正向夾角為銳角（即法向量的方向是向上的），則法向量的方向余弦為，例4 求橢球面在點處的切平面方程與法線方程解設，則，于是，因此切平面方程為，即 ，法線方程為 例5 求旋轉拋物面在點處的切平面方程與法線方程解設，則，因此切平面方程為，即，法線方程為 習題8-51求下列曲線在指定點處的切線方程和法平面方程：（1），在點處；（2），在處；（3），在點處；（4）在點處2在曲線，上求一點，使曲線在該點處的切線平行于平面3求下列曲面在指定點處的切平面方程與法線方程：（1），在點處；（2），在點處4在橢球面上求一點，使曲面在該點處的切平面平行于平面5求曲面的切平面，使它平行于平面6求橢球面的切平面，使該切平面過已知直線§6多元函數的極值與最值在實際問題中，會經常遇到多元函數的最大值、最小值問題與一元函數的情形類似，多元函數的最大值、最小值與極大值、