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文檔簡介
1、授課主題空間幾何體的表面積與體積教學(xué)目的1 了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的計(jì)算公式2 了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式教學(xué)重點(diǎn)靈活運(yùn)用本節(jié)計(jì)算公式授課日期及時(shí)段2014年08月6日 (8:00- 10:00)第20次課教學(xué)內(nèi)容.1柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺(tái)S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側(cè)ChVSh正棱錐S側(cè)ChVSh正棱臺(tái)S側(cè)(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形
2、、扇環(huán)形;它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和課前檢測1柱體、錐體、臺(tái)體與球的面積(1)圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2S.(×)(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為3a2.(×)2柱體、錐體、臺(tái)體的體積(3)(教材練習(xí)改編)若一個(gè)球的體積為4,則它的表面積為12.()(4)(2013·浙江卷改編)若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于24 cm3.()(5)在ABC中,AB2,BC3,ABC120°,使ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體
3、積為9.(×)3柱體、錐體、臺(tái)體的展開與折疊(6)將圓心角為,面積為3的扇形作為圓錐的側(cè)面,則圓錐的表面積等于4.()(7)(2014·青州模擬改編)將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起,使BDa,則三棱錐DABC的體積為a3.(×)感悟·提升兩點(diǎn)注意一是求幾何體的體積,要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解二是幾何體展開、折疊問題,要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系,找出其中的量的關(guān)系.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例1】 (2014·日照一模)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖,其俯視圖是面積為8的矩形則該幾何體的
4、表面積是()A8 B208 C16 D248解析由已知俯視圖是矩形,則該幾何體為一個(gè)三棱柱,根據(jù)三視圖的性質(zhì),俯視圖的矩形寬為2,由面積8,得長為4,則該幾何體的表面積為S2××2×22×42×2×4208.答案B規(guī)律方法 (1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之
5、和【訓(xùn)練1】 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為_解析如圖所示:該幾何體為長為4,寬為3,高為1的長方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1,高為1的圓柱后剩下的部分S表(4×13×43×1)×22×1×12×1238.答案38考點(diǎn)二空間幾何體的體積【例2】 (1)(2013·新課標(biāo)全國卷)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A168 B88C1616 D816(2) (2014·福州模擬)如圖所示,已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1,且AA1底面ABC則三棱錐B1ABC1的體積為
6、 ()A. B.C. D.解析(1)由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成其中長方體的長、寬、高分別為4,2,2,圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V2×2×4×22××4168.故選A.(2)三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積,三棱錐AB1BC1的高為,底面積為,故其體積為××.答案(1)A(2)A規(guī)律方法 (1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)體積公式求解;(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用等積法、分
7、割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解【訓(xùn)練2】 如圖所示,已知E,F(xiàn)分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A,CC1的中點(diǎn),求四棱錐C1B1EDF的體積解法一連接A1C1,B1D1交于點(diǎn)O1,連接B1D,EF,過O1作O1HB1D于H.EFA1C1,且A1C1平面B1EDF,EF平面B1EDF.A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離平面B1D1D平面B1EDF,且平面B1D1D平面B1EDFB1D,O1H平面B1EDF,即O1H為棱錐的高B1O1HB1DD1,O1Ha.O1H··a·a·aa3.法二連接
8、EF,B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1,D到平面C1EF的距離為h2,則h1h2B1D1a.由題意得,·SC1EF·(h1h2)a3.考點(diǎn)三球與空間幾何體的接、切問題【例3】 (1)(2013·福建卷)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡單組合體,如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是_(2)(2013·遼寧卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB3,AC4,ABAC,AA112,則球O的半徑為()A. B2 C. D3審題路線(1)正方體內(nèi)接于球正方體的體對角線
9、長等于球的直徑求得球的半徑代入球的表面積公式(注意只算球的表面積)(2)BC為過底面ABC的截面圓的直徑取BC中點(diǎn)D,則球心在BC的垂直平分線上,再由對稱性求解解析(1)由三視圖知,棱長為2的正方體內(nèi)接于球,故正方體的體對角線長為2,即為球的直徑所以球的表面積為S4·212.(2)因?yàn)樵谥比庵蠥B3,AC4,AA112,ABAC,所以BC5,且BC為過底面ABC的截面圓的直徑,取BC中點(diǎn)D,則OD底面ABC,則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi),矩形BCC1B1的對角線長即為球的直徑,所以2r13,即r.答案(1)12(2)C規(guī)律方法 解決球與其他幾何體的切、接問題,關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析,
10、弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系),達(dá)到空間問題平面化的目的【訓(xùn)練3】 (2013·新課標(biāo)全國卷)如圖,有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析作出該球的軸截面,如圖所示,依題意BE2 cm,AECE4 cm,設(shè)DEx,故AD2x,因?yàn)锳D2AE2DE2,解得x3(cm),故該球的半徑AD5 cm,所以VR3(cm
11、3答案A考點(diǎn)四幾何體的展開與折疊問題【例4】 (1)如圖所示,在邊長為4的正方形紙片ABCD中,AC與BD相交于O,剪去AOB,將剩余部分沿OC,OD折疊,使OA,OB重合,則以A,B,C,D,O為頂點(diǎn)的四面體的體積為_(2)如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC為直角三角形,ACB90°,AC4,BCCC13.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn),則CPPA1的最小值為_(其中PA1表示P,A1兩點(diǎn)沿棱柱的表面距離)解析(1)折疊后的四面體如圖所示OA,OC,OD兩兩相互垂直,且OAOCOD2,體積V SOCD·OA××(2)3.(2)由題意知,把面BB1C1
12、C沿BB1展開與面AA1B1B在一個(gè)平面上,如圖所示,連接A1C即可則A1、P、C三點(diǎn)共線時(shí),CPPA1最小,ACB90°,AC4,BCC1C3,A1B1AB5,A1C1538,A1C.故CPPA1的最小值為.答案(1)(2)規(guī)律方法 (1)有關(guān)折疊問題,一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系,哪些變,哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題,常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開,轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題【訓(xùn)練4】 如圖為一幾何體的展開圖,其中ABCD是邊長為6的正方形,SDPD6,CRSC,AQAP,點(diǎn)S,D,A,Q共線,點(diǎn)P,D,
13、C,R共線,沿圖中虛線將它們折疊起來,使P,Q,R,S四點(diǎn)重合,則需要_個(gè)這樣的幾何體,可以拼成一個(gè)棱長為6的正方體解析由題意知,將該展開圖沿虛線折疊起來以后,得到一個(gè)四棱錐PABCD(如圖所示),其中PD平面ABCD,因此該四棱錐的體積V×6×6×672,而棱長為6的正方體的體積V6×6×6216,故需要3個(gè)這樣的幾何體,才能拼成一個(gè)棱長為6的正方體答案3 方法優(yōu)化特殊點(diǎn)在求解幾何體的體積中的應(yīng)用【典例】 (2012·山東卷)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E,F(xiàn)分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1EDF的體
14、積為_一般解法 三棱錐D1EDF的體積即為三棱錐FDD1E的體積因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AA1,B1C上的點(diǎn),所以在正方體ABCDA1B1C1D1中EDD1的面積為定值,F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1,所以××1.優(yōu)美解法 E點(diǎn)移到A點(diǎn),F(xiàn)點(diǎn)移到C點(diǎn),則××1×1×1.答案反思感悟 (1)一般解法利用了轉(zhuǎn)化思想,把三棱錐D1EDF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐FDD1E的體積,但這種解法還是難度稍大,不如采用特殊點(diǎn)的解法易理解、也簡單易求(2)在求幾何體體積時(shí)還經(jīng)常用到等積法、割補(bǔ)法【自主體驗(yàn)】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1與側(cè)面BC
15、C1B1的距離為2,側(cè)面BCC1B1的面積為4,此三棱柱ABCA1B1C1的體積為_解析補(bǔ)形法將三棱柱補(bǔ)成四棱柱,如圖所示記A1到平面BCC1B1的距離為d,則d2.則V三棱柱V四棱柱×4×24.答案4 1對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識來解決2求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面,例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面,另一條側(cè)棱作為高來求體積3與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適
16、的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對角線長等于球的直徑.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí):40分鐘)一、選擇題1(2013·廣東卷)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,則該四棱臺(tái)的體積是()A4 B. C. D6解析由四棱臺(tái)的三視圖可知該四棱臺(tái)的上底面是邊長為1的正方形;下底面是邊長為2的正方形,高為2.由棱臺(tái)的體積公式可知該四棱臺(tái)的體積V(1222)×2,故選B.答案B2(2013·湖南卷)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于()A1 B
17、. C. D.解析由俯視圖的面積為1可知,該正方體的放置如圖所示,當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)面垂直時(shí),正視圖的面積最小,其值為1,當(dāng)正視圖的方向與正方體的對角面BDD1B1或ACC1A1垂直時(shí),正視圖的面積最大,其值為,由于正視圖的方向不同,因此正視圖的面積S1,故選C.答案C3(2014·許昌模擬)如圖所示,一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓,那么這個(gè)幾何體的表面積為()A4 B. C3 D2解析由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)圓柱,S表2××2×1×1.答案B4.如圖,在多面體ABCDEF中,已知ABC
18、D是邊長為1的正方形,且ADE,BCF均為正三角形,EFAB,EF2,則該多面體的體積為()A. B. C. D.解析如圖,分別過點(diǎn)A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EGHF,AGGDBHHC,SAGDSBHC××1,VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC×××2×1.故選A.答案A5(2012·新課標(biāo)全國卷)平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為,則此球的體積為()A. B4 C4 D6解析如圖,設(shè)截面圓的圓心為O,M為截面圓上任一點(diǎn),則OO,OM1,OM
19、,即球的半徑為,V()34.答案B二、填空題6(2013·遼寧卷)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱,圓柱底面圓半徑為2,高為4,故體積為16;正四棱柱底面邊長為2,高為4,故體積為16,所以幾何體的體積為1616.答案16167(2013·陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為_解析該幾何體為一個(gè)半圓錐,故其體積為V×××12×22.答案8(2013·江蘇卷)如圖,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐FADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2,則V1V2_.解析設(shè)三棱柱A1B1C1ABC的高為h,底面三角形ABC的面積為S,則V1×S·hShV2,即V1V212
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