1、第四章晶體衍射中的數學處理4.1 取向關系的轉換矩陣4.1.1 基體仔意位向下兩相取向花樣的建潴4.1.2 晶住在丕同坐標E的曲向和曲面指數的轉換矩售4，晶體間的重位點陣山£?品去統鬟換矩隹4.2 取向關系的理論預測42.1 原理和判據422 HCP/BCC整系423 HCP/FCC體系43S體對稱性弓聞睬統汕t型1對稱元索及我對應操作的矩陣4J2宏觀對稱元素的組合規律7EJ章晶體衍射中的數學處理4.33點群的掛號和轉換矩陣43.4點群、星系和布拉菲點陣之間的關系4JJ空回越型的光婆感|近景皿等效點系437二維點陣、平面點群和平而加4J4電f折射花樣的對稱性4 Jl«晶體對

2、稱拄在空物分折中的應用舉例第四章晶體衍射中的數學處3本章要點L電子衍射花樣的研究中，最經常涉及取向關系的轉換矩 陣，它包括兩相取向美系、同一晶體的晶面和晶向在不同 坐標中的表述、晶體間的重位點陣關系以及攣晶取向關系:2 .兩相取向關系的理論預測有多種方法，本書介紹最近發展 起來的邊邊匹配方法，該方法物理概念簡單，處理方便；3 .晶體的宏觀對稱性和微觀對稱性將會引起系統消光,這對于 也子衍射花樣的分析是極其重要的，因此掌握系統消光規律 對于研究晶體結構是必需的。zt_4.1取向關系的轉換矩陣 4.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測、兩相正空間和倒空間底矢關系的轉換設加體的正空間坐標基矢為劣,

3、“),，記作”相應的倒空間 玨矢為記作4；。第二相的正空間坐標基矢為,，a；,。；，記作"；，相應的倒空間 基矢為記作“;°一體和第二相正空間坐標矢址以矩陣$相關聯,即4.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測基體和第二相在倒空間坐標矢量以 矩陣B相關聯，即a '*=B a *i i a *=B -1a '*i i 可以證明：S和B T互為逆矩陣，即S -1=B T , B T -1=SB -1=S T , S T -1=B (4.2(4.34.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測證明如設玨體on和第二相取向關系發達式為 SNjjjgkQu(4.4)式中E

4、23& F面將找出可描述上述雙向關系的轉換矩陣.兩相的hW晶面法線方向分別為兩相的倒易矢點g*和備/的方向，分 別各向除以它們的模，則成為電位長度矢巾.故兩百矢出平仃就變為不僅 平行而且相等1則得k ii'1 +*川 +.； =上配 + 此A +4。將gj移項后.再對y.5)式改用成短葬我達；4.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測? ' ' '*? h 1k ' 1l 1? a 1?' 1? ? h ' ' ' '*? ? ? h 12k 2l ? 22=? d 1/dd 2/d'2?h 2?h

5、 ' ' ' ?a '*?3k3l 3?a 3 d ' 3/d3? ?h 3h' a i '*=D h a i *a -1i '*=h' D h a i *和（4.2）式比較，得到轉換規律:B = h -1D h （4.9k *1l 1 ?a1? k *?2l 2? 2k l ?a *? 3(4.7 (4.8(4.6上式可簡寫為所以4.1.1 基體任意位向下兩相取向花樣的預測?二、兩相平行晶面和平行晶向指數的轉換矩陣1 .兩相平行晶面的轉換矩陣設兩相正空間基矢a i '和a i存在以下關系：a 1' =s

6、11a 1+s 12a 2+s 13a 3a 2' =s 21a 1+s 22a 2+s 23a 3a 3' =s 31a 1+s 32a 2+s 33a 3用矩陣表示：?' ?a 1?s 12s 13? a ' ?s 112s s? ? 2223? ? =? s ?a 1? ? ?a ' 3?21?s 31s 32s ?a 233? ? ? ?a 3? ?(4.10(4.11簡寫為a i ' =S a i 而由(4.2)式可知:(4.12?a?a? a?a?a? a?'*1,*2,*3?a?=Ba?a?1*2*3(4.13上式兩邊轉置，

7、將（4.11）式左乘上式，即'1' 2' 3?a 1? ?*T ?'*'*'*a a a S a a a a B =1232123?根據倒易基矢的性質：當i =ja *ia j =1；當i ? 100? 100?即? 010? ? 001? =S ? 010? B T ? 001? ?所以SB T =I ,即 B =S -1T , S =B T -1這證明（4.3）式中S和B之間的關系。w j a *ia j =0（4.144.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測設兩相對應指數的倒易矢量相等，則有 g h' k' l'

8、=g hk式中倒空間基矢為 a 1, a2, a3基體的晶面指數為hkl ,第二相晶面指數為h' k',故h' a +k' a +l' a =h a +k a +l a將上式分別乘（4.10）式中的三式，得'*1'*2'*3*1*2*3? h ' ? ?s 11? k ' ?=?s ?21?' l ?s 31s 12s 22s 32s 13? h ?s 23? ?k ?s 33? l ?（4.15上式簡寫為：h' =S h （4.16式中的S矩陣就是兩相晶面平行的轉換矩陣。4.1.1基體任意位向下兩

9、相取向花樣的預測2.兩相中平行品向指數的轉換矩陣設兩相的某晶向矢量相等，即：丫 u' v冰碗丫 uvw,式中u' v'和uvw分別為 第二相和基體的晶向指數，它們的基矢為 a 1' a 2'租金'1 a 2 a 3故? u ' ?a 1' a 2' a 3' ? v ' ? =a 1a 2?' w ?將（4.12）式轉置并代入上式得?u ?a 3? v ?w ? u ?a 3? v ?w ? ?a 1a 2?u ' ?T ?a 3S ? v ' ?=a 1a 2? w ' ?

10、u' ?u ?由此可得：？T ? , u =S u'T(4.17或? v =S ? v' ?w ? w' ? u' ? u ? v' ?=S T -1 ? v ? w',u'=S T -1u (4.18歸納上述的結果:a i ' =S a i （4.19（4.20（4.21h ' =S h u' =S u T -1由此表明（4.20）式中晶面指數的變換與（4.19）式中基矢的變換完全相同, 而（4.21）式中晶向指數的變換矩陣則為基矢轉換矩陣的轉置逆陣。又根據S =B ,而B為倒易基矢的轉換矩陣，得T -1

11、a '= Ba *1*1（4.22（4.23（4.24h ' = BT-1h u ' =B u 由上可知：（4.24）式中倒易平面指數的變換與（4.22）式中倒易基矢的變換 完全相同，而（4.23）式中倒易矢量指數的轉換矩陣為倒易基矢轉換矩陣的轉置逆 陣。4.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測三、正、倒點陣的指數轉換在立方晶體中（hkl ）晶面的法線方向的指數就是與晶面同指數的晶向hkl ,但在非立方晶體中就不滿足上述關系。為了求非立方晶體中晶面所對應的法向的品 向指數，就需要知道正、倒點陣的指數轉換。設正空間品向為 uvw ,與它平行并 相等的倒易矢量指數是hkl

12、 ,即為（hkl晶面法向，可得ab? u ?*c ? v ?=a ?w ?b*? h ?*?c ? k ?l ?(4.254.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測對(4.25)式兩邊左乘a bc T ,則?h ? ? ? ? aa ab aC? ? u ?u ?k =? ba ? ? ? bb bc ? cc ?v ? ? =G ? v ? l ? ? ? ? ca cb ?w ? ?w ?根據圖4.1中基矢間夾角的定義，式中? aa ab? a 2ab cos 丫G =? ac ? ba bb bc ? ? ? ? =? ab cos y?)?2ca cb cc? ? ? ? ac cos

13、 Bbc cos a圖4.1坐標中基矢間夾角的定義ac cos ? Bbc cos ? ac 2?對（4.25）式兩邊左乘a *b *c *,則式中：T?u ? h?v ?=G -1 ? k ?l ?*a *b *c?G -1=? a a? b *a*b *b *b *c *? ?c *a *c *bc *c *常用品系的坐標變換矩陣正交四方?2?a ?0?0?2?a?0?000? b 20? ?0c 2?00? a 20? 0c 2?2? 1/a? 0? ? 0? 2? 1/a ?0?0G -10/b 20/a 200? 0? ? /c 2?0?0?/c 2?(4.26(4.27G11114

14、.1 J基體任意位向下兩相取向花樣的預測常用品系的坐標變換斑陣a- 00立方 0個° 00 £L工a 02六方 一Q "000，/a2000 l/u: 000l/c?2(4.28)(4 29)4.1.1 基體任意位向下兩相取向花樣的預測 四、取向關系轉換用陣的應川舉例Inconel 718合金基體T和一一心立方結構七從基體中析出的尸相 是有序面心立方結構，尸,相姑體心四方結構.而方相是1E交結植U它 們的點陣常數和結構如表4所示。去4.1點陣常政與結構相嫡構點畔常數ran心以粘體）%0附6 rLu0 360 5Y''D©n0 6210 7

15、40 65叫U 5J54。中10 4533種析出相與基體的晶體學取向關系如下丫-'丫 丫- '丫 令100 丫/7 100 1 <100> 丫力 <100>丫 100不，100 1 001 丫“ <100>丫(010 泌111窄100 分<110>丫(4.30由于6 丫相與丫相不同，它們不具有基體高對稱性的面心立方結構，導致在上 述取向關系下的多種變體出現.丫相有3種變體，其定義為：丫相的c軸平行基體相的a軸稱為A變體；平行b軸為B變體；平行c軸為C變體。/目由于對稱性低于丫相：因而有12種變體，詳見書中列出。一幅具有析出相與基體

16、取向關系的復合電子衍射花樣，可以通過兩相一對平行品面及面上一對平行品向來預先畫出.一對平行晶向即為兩相各自衍射花樣的晶帶 軸方向，一對平行晶面即對應于該晶帶花樣中一對平行的衍射斑點。如果設(H 1K 1L 1 / (h 1k 1l 1, (H 2K 2L 2 / (h 2k 2l 2, (H 3K 3L 3 / (h 3k 3l 3, (H i K i Li和(h i k i l i ( i = 1,2, 3分別表示丫和丫的三組晶面，則丫相中UVW 方向 和丫相中uvw 方向具有平行關系的矩陣 R (d可通過兩者取向關系式導出：U V W T = R (d u v w T 式中：? H -11

17、K 1L 1? 00? k 1l 1?R (d =? H K L ? d 1/D 1k ?222? 0d 0? h 12l ?2? H 3L 3?2/D 2? h ?00d 3/D 3? 2? h 3k 3l 3?如果設R (p為(HKL和(hkl晶面平行的轉換矩陣，則有? H ? h ? K ? =R (p ?k ? L ? l ?(4.33為了簡化計算，設兩相的點陣常數有以下關系：a (丫 = a ( T = 0.3616nm = 2曲(4.31,、(4.33和(4.34式可得 丫析出相 3 種變體的R (d和R (p具體表達式；同理，對于 講目12種變體的轉換矩陣，輸入 /目 的點陣常數

18、和3組與基體平行的晶面，由上述參數，可獲得講目12種變體的轉換矩 陣。4.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測我42在幾個塔體品帶中 種"變體和F的取向關系：(£71711 * wvw f f HKL) , H (hkf) f晶帶軸變體A變體日變體c阿LO1O/QQ1X100)(010)WU|.1OOIHOlOr(OOjpn)|. jotJip t io； d io)H0rL一30|/|(0XH3Wll)第1 卜 ll州lU”|iUll 口川1(oo?)世期aML221lOriil li|221i 111110 Ki) 1101；P2JJ1HJKI L0> '

19、;(Hui網口.羊iiq 川ri06|.|SJO|. pJOjiUOi. <00b1叫L：ij.4ii2XiT2)/(in>421 4H21(T1Z) <llT)Ri” ” W i。1 11叱(10/21D(D30)/7(002)CM】 21Ol20i.)? 002>21。，|支卯助(001)忸3p3J； 213XM2 /(111)Gil'HOH23| |21Jlll2k ai 1)圖4.2七種基體低指數晶帶并含有T相的電子衍射花樣示意圖圖4.3七種基體低指數晶帶并含有丫相的電子衍射花樣圖 4.4 Quist等人的所示圖講目和基體丫相的取向關系有12種變體，它們

20、具有同樣的花樣配置，如圖 4.5 所示。Sundararaman用跡線方法確定了 6相析出的慣習面為基體的111面，而 四個111面上存在三個可能的不同變體并沒有實驗證明。我們預測了每個111面上三種變體的合成花樣，它們是相同的，如圖4.6所示的基體111晶帶衍射花樣示意圖。該花樣實際上是三個 6單變體繞基體某一個111方向互相旋轉60。構成 的。圖4.7是Inconel 718合金從丫相中析出的三個變體 講目的復合衍射花樣，由此 可見，預測花樣和實際衍射花樣完全相符。4.1.1基體任意位向下兩相取向花樣的預測圖4.5基體<111>晶帶衍射花樣示意圖4.1.1 基體任意位向下兩相取

21、向花樣的預測圖4.6相和6析出相具有取向關系花樣示意圖4.7相和三種6變體的復合花樣圖4.1.2 晶體在不同坐標下的晶向和晶面指數的轉換矩陣 工H5和HCP的晶向指數和晶面指數的矩陣變換圖4.8 HSMHCP的幾何關系 小朋出力氟麻，卜力力帙取f數的轉換矩陣HS的a的軸順時針旋轉30°取為HCP的a 0軸,令u ffiu 0分別為HS的晶 向指數和HCP的晶向指數的列矩陣，A是兩者的變換矩陣，A -1是A的逆矩陣， 根據圖4.8所示的幾何關系可導出：u =A 1u 0或u 0=A 1-1u 由上圖中的幾何關系可得a 1 ' =a 1+(a 1+a 2=2a 1+a 2a 2

22、' =a 2a(1=-a 1+a2c 1 ' =c 1(4.37數的轉換矩陣寫成矩陣形式:'?a 1?210?a 1?a 1? ? ' ? ?a ? =S ?a ? =a -1101? 2? ? 2? ? ? ? 2?' ?c 1? 001? ?c 1?c 1? ? ? ? ? ? 210? ? -110S 1 = ? ? 001? ? (4.38)根據晶面指數的變換與基矢的變換完全相同，品向指數的變換矩陣為基矢轉換 矩陣的轉置逆陣。4.1.2晶/二乍不同坐標F的晶向和晶面指數的轉換矩陣故兩者的晶武轉換矩陣為- 2 1 0-用:$尸- 1 1 00 0

23、, 兩擰的品向轉換始陣，I 1 0334=1瓦丁=-1 ； o00 14.1.2晶體在不同坐標下的晶向和晶面指數的轉換矩陣?二、面心立方點陣和其簡單點陣之間晶向指數和晶面指數的矩陣變換圖4.9面心立方晶胞中取出簡單晶胞數的轉換矩陣設面心立方點陣的三個基矢分別為 a , b , c,由面心立方點陣中取出的簡單點 陣的三個基矢分別為A , B , C,則有A =a /2+b 12a =A +B -C B =a /2+c /2b =A -B +C C =b /2+c /2c =-A +B +C4,1,2晶體在不同坐標卜二勺晶向和晶面指數的轉換矩陣所以面心立方點陣與取出的簡單點陣的晶面轉換矩成為1 0

24、2 2匕】1】 N 二：° ；(4 41)oil2 2品向轉換矩陣為 11-VT 二 |t= I-II(442)-1114.1.2晶體在不同坐標下的晶向和晶面指數的轉換矩陣、六方點陣與菱形點陣間晶面和晶向的轉換矩陣俯視圖立體圖圖 4.10六方點陣單胞與菱形點陣單胞的關系4.1.2晶體在不同坐標下的晶向和晶面指數的轉換矩陣設六方點陽單胞城矢為咻、瓦、生,菱形點必曲胞成矢為修、斗，由圖4n可得4.1.2晶體在不同坐標下的晶向和晶面指數的轉換矩陣所以晶面轉換矩陣為211(4.43)-1 1 1-1 -2 1101晶向轉換矩陣為力=51=-1110-114.1.3晶體間的重位點陣品界兩側的晶

25、粒.節一個晶粒的某（力上/）晶面以另一晶粒同指數晶面 的法線方向為軸（/）旋轉某個特殊角度（兩者不僅公共的原點重臺.我 他的某些附點也再合而構成的超點陽就是京位點陣.例如.選擇簡單立方 的兩個晶體.以口io作為旋轉軸,然后個出體之垂直的兩個。ioMA面點陣 圖，如圖4.11所示。4.1.3晶體間的重位點陣簡單立方雙晶（110晶面旋轉70. 53的重位點陣單胞圖 4.114.124.1.3晶體間的重位點陣繞公共軸111旋轉38°的兩個面心立方晶體問晶界的Frank模型圖4.1.3晶體間的重位點陣Warrington等人給出有位點附數學和物理意義的描述.具體如下：令 R是兩立方晶體之間對應的CSL旋轉矩陣，該矩陣的：個列矢限表示月晶體屈矢在4晶體求矢中的坐標。每一個列欠輔必須基矢加.舊，/的形 式，九七/和均是整數，并有"+出+=，或=】.即 每個列矢量指數的模足也一化指數,則旋轉矩陣的形式|示如P:(444)4.1.3晶體間的重位點陣上式中,hhb= h«/Xh岳.當h,k、l和沒有公因f時，則