1、 高考數學母題規劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數學叢書,給您一個智慧的人生！高考數學母題 母題(18-13):坐標系與參數方程下的試題來源(501) 1275 坐標系與參數方程下的試題來源 母題(18-13):(2012年安徽高考試題)在極坐標系中,圓=4sin的圓心到直線=(R)的距離是 .解析:由圓=4sin2=4sinx2+y2=4yx2+(y-2)2=4;直線=y=xtany=x=0;所以,本題的原型題:“圓x2+(y-2)2=4的圓心到直線y=x的距離是 .”;易得距離=.這是一個平凡問題,出自于:(2002年全國高考試題)圓(x-1)2+y2=1的圓心

2、到直線y=x的距離是( ) (A) (B) (C)1 (D)點評:坐標系與參數方程自進入高考考點以來,其題目的類型逐漸增加,題給條件的包裝花樣翻新,設問方式在不斷的創新,在高考試題如此層出不窮的變化中,她們來自于何方？ 子題(1):(2010年安徽高考試題)設曲線C的參數方程為(為參數),直線l的方程為x-3y+2=0,則曲線C到直線l距離為的點的個數為( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由曲線C是圓心為M(2,-1),半徑r=3的圓,所以,本題的實質是:“圓C上到直線l的距離為m的點的個數為 ”;這是高考中的熱點問題,首先出自于:“(1991年全國高考試題)圓x2+2x+y2

3、+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點共有( ) (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個”,我們給出了該問題的母題(385),由此易得安徽高考試題的答案:(B). 注:直角坐標系下的普通方程問題(我們稱為常規問題),通過把普通方程參數化,從而得到參數方程問題;這種手法是“翻譯”,體現了試題來自于以往高考中的常規試題的一種方法. 子題(2):(2014年安徽高考試題)以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數方程是(t為參數),圓C的極坐標方程是=4cos,則直線l被圓C截得的弦長為( ) (A) (B)2 (

4、C) (D)2解析:由直線l:x-y=4,圓C:x2+y2=4x;易得弦長=2.故選(D);本題用參數方程包裝直線,極坐標方程包裝圓,而“(2009年安徽高考試題)以直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的單位長度.己知直線的極坐標方程為=(R),它與曲線(為參數)相交于A和B,則|AB|= .”則用極坐標方程包裝直線,參數方程包裝圓. 注:通過直角坐標系與極坐標系的“重合統一”,可以增加常規問題中曲線方程的“翻譯”、“包裝”方式,使得試題更具包容性和綜合性,同時增加了:“試題來自于以往高考中的常規試題”的可信度. 子題(3):(2004年全國高中數學聯賽湖南初賽試

5、題等價題)在極坐標系中,對任意實數,曲線C:=8cos(-)所掃過的圖形面積是 .解析:由曲線C:=8cos(-)2=8coscos+8sinsinx2+y2=8xcos+8ysin(x-4cos)2+(y-4sin)2=4,即得其原型題:“(2004年全國高中數學聯賽湖南初賽試題)已知點P(x,y)滿足(x-4cos)2+(y-4sin)2=4(R),則點P(x,y)所在區域的面積為 ”; 由(x-4cos)2+(y-4sin)2=4是圓心為M(4cos,4sin),半徑=2的圓,而圓心M(4cos,4sin)又在圓O:x2+y2=16 1276 母題(18-13):坐標系與參數方程下的試題

6、來源(501) 上,所以,點P(x,y)所在區域是圓x2+y2=4與x2+y2=36圍成的圓環,其面積=(36-4)=32. 注:引用、翻譯、引伸常規試題是命制極坐標與參數方程試題的常用手法,極坐標與參數方程試題來自于常規試題,回歸常規是解答極坐標與參數方程試題的通用方法. 子題系列:1.(2009年上海高考試題)在極坐標系中,由三條直線=0,=,cos+sin=1圍成圖形的面積是 .2.(2011年上海高考試題)在極坐標系中,直線(2cos+sin)=1與直線cos=1的夾角的余弦值為 .3.(2014年四川高考試題等價題)在極坐標系中,設mR,過定點A的動直線l1:cos+msin=0和過

7、定點B的動直線l2:(mcos-sin)-m+3=0交于點P,則|PA|+|PB|的取值范圍是( )(A),2 (B),2 (C),4 (D)2,44.(2009年全國高考試題等價題)以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位.若直線m被兩直線l1:(cos-sin)=-1與l2:(t為參數)所截得的線段的長為2,則m的傾斜角可以是:150;300;450;600;750.其中正確答案的序號是 (寫出所有正確答案的序號).5.(2014年安徽高考試題等價題)在極坐標系中,過點P(2,-)的直線l與圓=1有公共點,則直線l的傾斜角的取值范圍是 .

8、6.(1999年全國高考試題等價題)在極坐標系中,直線sin(+)=截圓=2得的劣弧所對的圓心角為 .7.(2010年江蘇高考試題)在極坐標系中,圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切,求實數a的值8.(2014年北京高考試題等價題)在極坐標系中,已知圓C:2+24=2(4sin+3cos)和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圓C上存在點P,使得APB=900,則m的最大值為( ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)49.(2004年全國高考試題等價題)在極坐標系中,與點A(3,0)距離為2,且與點B(4,)距離為3的直線共有( )(A)1條 (B)2條 (C)3

9、條 (D)4條10.(2009年四川高考試題等價題)在極坐標系中,若O:=與O1:2-2mcos+m2=20 (mR)相交于A、B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是 . 子題詳解:1.解:由cos+sin=1,令=0得:1=1,令=得:2=-1面積=12|sin(-0)|=. 2.解:由(2cos+sin)=12x+y=1,cos=1x=1余弦值=. 3.解:由動直線l1過定點A(0,0),動直線l2過定點B(1,3),且兩直線互相垂直點P在以AB為直徑的圓上|PA|+|PB|AB|=,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10|PA|+|PB|=2.故選(B). 4.解:

10、因直線l1與l2的傾斜角均為450,且直線l1與l2距離d=,又直線m被l1與l2所截得的線段的長為2直線m與直線l1的夾角為300m的傾斜角可以是:150;750.故選. 5.解:設直線l:kx-y+k-1=0,由dr10k傾斜角0,. 6.解:由圓心O到直線x+y-2=0的距離d=,半徑為r=2圓心角=600. 7.解:由圓(x-1)2+y2=1與直線3x+4y+a=0相切|a+3|=5a=2,-8. 8.解:由滿足APB=900的點在以AB為直徑的圓O上,圓O的圓心為O,半徑=m,所以,本題等價于圓O與圓C(圓心C(3,4)有交點時,半徑=m的最大值,顯然m=半徑|OC|+1=6.故選(