1、第四章圖形的相似一成比例線段1. 線段的比1. 如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB, CD 的長度分別是m、 n, 那么就說這兩條線段的比 AB:CD=m:n , 或寫成 Am .Bn2. 成比例線段及比例的性質：（1）成比例線段： 四條線段 a、 b、c、d 中 , 如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比 , 即 ac , 那a、 b、 c、 d 叫做成比例線段 , 簡稱比例線段 .bd么這四條線段注意點 :a:b=k, 說明 a 是 b 的 k 倍；由于線段 a、 b 的長度都是正數 , 所以 k 是正數；比與所選線段的長度單位無關, 求出時兩條線段的長度單位要一致.（2）比例的

2、基本性質 : 若 ac,則 ad=bc ； 若 ad=bc,則 ac 或 abbdbdcd合比 性質 :如果 ac ，那么ab cd ；bdbdm a等比性質：如果acm （ bdn 0），那么 acbdnbdnb注意： 若沒有“ b+d+ +n 0 ”這個條件，需分類討論 .二. 平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理: 三條平行線截兩條直線, 所得的對應線段成比例 .如圖 1， l1 /l 2 /ABBCl 3 ，則.DEEF推廣：過一點的一線束被平行線截得的對應線段成比例.定理推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應線段成比例 . 平行于三角形一邊， 并且和其他

3、兩邊相交的直線， 所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例 .三. 黃金分割如圖 , 點 C 把線段 AB 分成兩條線段AC 和 BC,如果 ACBC , 那么稱線段 AB 被點 C 黃金分ABAC割, 點 C 叫做線段 AB 的黃金分割點 ,AC 與 AB 的比叫做黃金比，一條線段有兩個黃金分割點. AC：AB5 10.618:1； BC3 5AB22四相似多邊形一般地 , 形狀相同的圖形稱為相似圖形.1. 概念：對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形. 相似多邊形對應邊的比叫做相似比 .2. 性質：相似多邊形的對應角相等、對應邊成比例；周長等于相似比；面積比等于相似比的平

4、方 .（3）判定：對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形相似. （兩個條件缺一不可）五三角形的相似（ “”不需分類討論， “相似”需分類討論）1. 探索三角形相似的條件相似三角形的判定方法:一般三角形基本定理 : 平行于三角形的一邊且和其他兩邊直角三角形( 或兩邊的延長線) 相交的直線, 所截得的三角形與原三角形相似兩角對應相等；兩邊對應成比例, 且夾角相等；三邊對應成比例.一個銳角對應相等；兩條邊對應成比例；a.兩直角邊對應成比例；b.斜邊和一直角邊對應成比例.2. 相似三角形的判定定理的證明3. 利用相似三角形測高（3 種方法）（1）利用太陽光線平行運用方法 1: 可以把太陽光近似地看成平行

5、光線，計算時還要用到觀測者的身高（2）利用標桿.運用方法2：觀測者的眼睛必須與標桿的頂端和旗桿的頂端“三點共線”，標桿與地面要垂直，在計算時還要用到觀測者的眼睛離地面的高度.（3）利用反射運用方法3：光線的入射角等于反射角.4. 相似三角形的性質（1）對應角相等、 對應邊成比例的三角形叫做相似三角形. 相似三角形對應邊的比叫做相似比.（ 2）全等三角形是相似三角的特例 , 這時相似比等于 1. 注意 : 證兩個相似三角形 , 與證兩個全等三角形一樣 , 應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.（ 3）性質：相似三角形對應角相等，對應邊成比例；相似三角形對應高的比, 對應中線的比與對應角平分線的

6、比都等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方. 5. 圖形的位似：位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點的連線交于一點, 對應邊互相平行或在一條直線上,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形 , 這個點叫做位似中心 . 這時兩個相似圖形的相似比又叫做它們的位似比 .位似圖形的性質：（ 1）位似圖形是相似圖形，具備相似圖形的所有性質；（ 2）位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比；（ 3）位似圖形中的對應線段平行（或在一條直線上）.位似圖形的畫法：（1）畫出基本圖形；（2）選取位似中心；（ 3）根據條件確定對應點，并描出對應點；（ 4）

7、順次連結各對應點，所成的圖形就是所求的圖形.例題： 如圖，已知 ABC和點 O.以 O為位似中心，求作 ABC的位似圖形，并把 ABC的邊長擴大到原來的兩倍 .注意： 給出基本圖形和位似中心，可以做兩個圖形與原圖形位似，分別在位似中心同側和異側各有一個，在具體的題中需根據實際情況作圖.位似變換與坐標在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k 或 -k.例如： 點 A(x,y)的對應點為A，則A點的坐標可以這樣確定xA=xA k，yA=yA k即 A（ kx,ky ）或 xA=xA (-k)，yA=yA(-k)即 A（ -kx,-ky）例題：在平面直角坐標系中,四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),畫出它的一個以原點O為位似中心 , 相似比為1 的位似2圖形 .題： ABC三個頂點坐標分別為A(2,3)，B(2,1)，C(6,2) ，以點 O為位似中心， 相似比為2，將 ABC放大，點 A的對應點 A的坐標為 _總結： 至此，我們學過的圖形變換有：平移，軸對稱，旋轉，位似 .（1）平移：上下移：橫坐標不變，縱坐標隨之平移左右移：縱坐標不變，橫坐標隨之平移（2）軸對稱 :關于 x 軸