1、計算 n 階行列式的若干方法舉例n 階行列式的計算方法很多， 除非零元素較少時可利用定義計算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質計算，特別要注意觀察所求題目的特點，靈活選用方法，值得注意的是，同一個行列式，有時會有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例說明。1利用行列式定義直接計算00100200例計算行列式 Dnn 1000000n解Dn 中不為零的項用一般形式表示為a1n 1a 2n2 an 1a1n n ! . n(n 1)(n 2)該項列標排列的逆序數t（n1 n2 1n）等于2，(n 1)( n 2)故 Dn ( 1)2n!.2 利用行列式的性質計

2、算例：一個 n 階行列式 Dnaij 的元素滿足 aija ji , i , j 1,2, , n, 則稱 Dn為反對稱行列式，證明：奇數階反對稱行列式為零 .證明：由 aija ji 知 aiiaii ，即 aii0,i1,2, ,n0a12a13a1na120a23a2 n故 行 列 式 Dn 可 表 示 為 Dna13a230a3 n ， 由行 列 式 的 性質 AAT ，a1na2na3 n00a12a13a1n0a12a13a1na120a23a2 na120a23a2n( 1)n DnDna13a230a3 n( 1)na13a230a3na1na2na3n0a1na2na3n0當

3、 n 為奇數時，得 Dn =Dn，因而得 Dn = 0.13化為三角形行列式若能把一個行列式經過適當變換化為三角形，其結果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質將行列式化為三角形行列式計算。原則上，每個行列式都可利用行列式的性質化為三角形行列式。但對于階數高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。 因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式

4、。1123133795例 1計算行列式 D204213571464410102解這是一個階數不高的數值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計算r23 r111 23 111 23 11-12-31r32r1r43r1001 02020410204-1r54r102 0 41r2r30 01 02r4r20-10-2D002 15 30 215 3001-12002 220 02 220022-2r4r311231112310304102041r52r30010r52r4001021 2 11612 .2000100001000026000061a1a2a3ana11 a2a3an例2計算

5、n 階行列式 Da1a21 a3an a1a2a31an解這個行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結構相似，因此 n 列之和全同將第 2，3， ，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是12c1ciDi2, nrir1i2, n1a1a2an1a1a2an1a1a2an1a1a2an1a2a3n0101ai001i 1000a2a3an1a2a3an1 a2a3ann1 1 a2a3ana21 a3an1i 1ai 1a21 a3ana2a31 an1a2a31 anan0nn01ai 1 1ai .i1i 11abbbbabb例 3計算 n 階行列式

6、 D bbabbbba解：這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據行列式的性質，把第2，3， ， n列都加到第 1 列上，行列式不變，得a (n 1)b b bb1b bba(n1)babb1abbD a(n1)bbab a (n 1)b 1baba (n 1)b b ba1b ba1bbb0a b00 a (n1)b( ab)n 1 a ( n 1)b 00a b0000ab例 4：浙江大學 2004 年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2 小題（重慶大學2004 年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1 小題）的解答中需要計算如下行列式的值：123n 1n234n1Dn34512

7、n12n2n1 分析 顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質。注意到從第 1 列開始；每一列與它一列中有n-1 個數是差 1 的，根據行列式的性質， 先從第 n-1 列開始乘3以 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以 1 加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：11111111112 1 11 1 n2,10 00nDn3 1 1( i, n)0 0n 01 n 1rir12n 1 n 111n 1 n 00 01n000000n100n( i 2, , n)00n

8、020n01n(n111)r1nn2ri0n00nn2000n000n1n001n(n1)n 1( n 1)( n2)n)( 1)2n2(n1)nn 11n (n1)224降階法（ 按行（列）展開法）降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階。為了使運算更加簡便，往往是根據行列式的特點，先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現，然后再展開。123181920212171819例 1、計算 20 階行列式 D20 321161718201918321 分析 這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個 2 階行列式計算，需進行 20！*20 1

9、 次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的， 更何況是 n 階。但若利用行列式的性質將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算：解：41231819201121212171819c20c19D 20c19c1831321161718c2c1191201918321201111111302222(i2, , 20)40022221(1)20 1rir120000022100000a00010a00000a00例 2計算 n 階行列式 Dn000a01000a1111111111111111111121821218a0000a0

10、00a0000a0解將 Dn 按第 1 行展開Dn a 0 0 a0( 1)n 1000a000a1000an( 1)n 1 ( 1)n an 2anan 2 .a00010a000例3D 00a00計算 n（n2）階行列式1000a5a0000a0000a00a00解 按第一行展開，得 D1 na1000a000a1000再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到D an1nn 1 1an 2anan 2an 2 a2 1 115遞（逆）推公式法遞推法是根據行列式的構造特點，建立起與的遞推關系式， 逐步推下去， 從而求出的值。有時也可以找到與，的遞推關系，最后利用，得到的值。注意用

11、此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難找出遞推關系式，從而不能使用此方法。000100例 1 計算行列式D n0100.0000001解：將行列式按第 n 列展開 , 有 D n() D n 1D n 2 ,DnDn 1(Dn 1Dn 2 ), DnDn 1(Dn 1Dn 2 ),得DnD n 12 (Dn 2Dn 3 )n 2 (D2D1 )n 。( n1) n ,;同理得DnDn 1n ,Dnn 1n 1,.axxxyaxx例 2計算 D n yyaxyyya解6ayxxxyxxx0axxyaxxD n0yaxyyax0yyay yya10001a x00( a

12、y) D n 1y 1y xa x01yxyxa x(ay) D n 1y( ax) n 1同理 Dn(a x)Dn 1x(a y)n 1x(any(ax)n聯立解得 Dn）,(xy)yxy當 xy 時 ,Dn(ax) Dn 1x(ax) n 1(ax) 2 Dn 22x(ax)n1(ax) n 2 D2(n2) x( a x)n 1(ax) n 1a (n 1)xx10000x100例 300x00計算 n 階行列式 Dn000x1anan 1an 2a2a1 x解首先建立遞推關系式按第一列展開，得：x1000100000x100x100000x00n 100xDn 1n 11n 1Dn x

13、1 an 0 x 11 anxDn 1 an，000x1000x1an 1an 2an 3a2a1x這里 Dn 1 與 Dn 有相同的結構，但階數是n1的行列式現在，利用遞推關系式計算結果對此，只需反復進行代換，得：Dx xDaax2 Da xax2 xDaax axn 1Da xn 2ax2a x a ，nn 2n 1nn 2n 1nn 3n 2n 1n12n 2n 1n因 D1xa1xa1，故 Dnxna1xn 1an 1 xan 7最后，用數學歸納法證明這樣得到的結果是正確的當 n1 時，顯然成立設對n1階的情形結果正確，往證對n 階的情形也正確由Dn xDn 1 an x xn 1a1

14、 xn 2an 2 x an 1 an xna1 xn 1an 1 x an ，、可知，對 n 階的行列式結果也成立根據歸納法原理，對任意的正整數n，結論成立210000例4121000證明 n 階行列式D nn 1000121000012210000100000121000121000證明按第一列展開，得 Dn 2000121000121000012000012其中，等號右邊的第一個行列式是與Dn 有相同結構但階數為 n1的行列式，記作 Dn 1 ；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到一個也與Dn 有相同結構但階數為 n 2 的行列式，記作 Dn 2 這樣，就有遞推關系式：Dn2Dn 1D

15、n2 因為已將原行列式的結果給出，我們可根據得到的遞推關系式來證明這個結果是正確的當 n 1 時， D1 2 ，結論正確當 n2時， D22113 ，結論正確2設對 k n1的情形結論正確，往證 kn 時結論也正確由 Dn 2Dn1Dn 22nn 1n1可知，對 n 階行列式結果也成立根據歸納法原理，對任意的正整數n，結論成立例 5、 2003 年福州大學研究生入學考試試題第二大題第10 小題要證如下行列式等式：000100D n01000001n 1n 1證明 ： Dn, 其中（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析 此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素

16、外，其余的元素都為零，1這種行列式稱 “三對角”行列式。從行列式的左上方往右下方看，即知 Dn-1 與 Dn 具有相同的結構。證明： Dn 按第 1 列展開，再將展開后的第二項中n-1 階行列式按第一行展開有：8Dn（）DD 2n1n這是由 Dn-1 和 Dn-2表示 Dn 的遞推關系式。若由上面的遞推關系式從n 階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關系式是由n-1 階和 n-2 階行列式表示 n 階行列式，因此，可考慮將其變形為：D D D D（DD ）nn 1n 1n 2n 1n 2或 D D D D（D D ）nn 1n 1n 2n 1n 2現可反復用低階代替高階，有：23D n

17、 Dn1（ Dn1 Dn 2） （ Dn2 Dn3） （ Dn3 D n4）n2n2)2()n(1)（D2 D1）=(同樣有：23Dn Dn1 （ Dn1 Dn2） （ Dn 2 D n3） （D n3 D n4）n2n2()2()n(2)（D2 D1）=因此當時n 1n 1由（ 1）（2）式可解得： Dn，證畢。6利用范德蒙行列式根據行列式的特點，適當變形（利用行列式的性質如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當的數加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或簡單的形式。其中范德蒙行列式就是一種。這種變形法是計算行列式最常用的方法。111例 1x11x21xn1計算行列式 Dx1

18、2x1x22x2xn2xnx1n 1x1n 2x2n 1x2n 2xnn 1xnn 2解把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第2 行的 1 倍加到第 3 行，以此類推直到把新的第 n1 行的 1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式111x1x2xnDx12x22xn2( xi x j )ni j 1x1n 1x2n 1xnn 19a1na1n 1b1a1n 2b12a1b1n 1b1n例 2計算 n1階行列式 Da2na2n 1b2a2n 2b22a2b2n 1b2n其中 a1a2an 10 ann 1 ann 11bn 1ann 12bn2 1an 1bnn 11bnn 1解這個行列

19、式的每一行元素的形狀都是an kbk，k 0，1，2， ， n即 a 按降冪排列， biiii按升冪排列，且次數之和都是n，又因 ai0，若在第 i 行（ i1，2， ， n）提出公因子 ain ，則 D可化為一個轉置的范德蒙行列式，即b12b1n1b1a1a1a12n1b2b2b2n1bib jD a1n a2nanna2a 2a2ainbi a jai bj.1a ji 11 j i n 1 ai1 j i n 1bnbn2bnn1111ananan111xyz例 3計算行列式 Dx2y 2z2.yzxzxy解：(3 ) ( y z)(1)xyzx2y2z2Dxyxzyzy2yzxzyzz

20、2xy(3) x(1)xyzx2y2z2x2xyyzxzy2xyyzxzz2xyyzxz(xyyzxz)( yx)( zx)( zy)111x 1x 2x n例 4計算行列式 D nx 12x 22x n2n2n 2n2x 1x 2x nx 1nx 2nx nn解作如下行列式 , 使之配成范德蒙行列式1011x 1x 2x 12x 22P ( y )x 1n2x 2n2x 1n1x 2n1x 1nx 2n易 知 D n等 于 P( y) 中 yn 1n11x nyx n2y 2n=( y xi )(xi x j )x nn2y n2i 11j i nx nn1y n1x nny n的系數的相反

21、數,而 P( y) 中 y n 1的系數為nx k( x ix j ),因此 , D nxk( xix j )k11jink11jin例 5、 計算 n 階行列式(a n 1)n 1(a n 2)n 1( a 1)n 1an 1(a n 1)n 2(a n 2)n 2( a 1)n 2an 2D na n 1a n2a 1a1111解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第 n 行依次與第 n-1 行， n-2 行， ,2 行， 1 行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第 n-1 行， n-2 行， ,2行對換，繼續仿此作法

22、，直到最后將第n 行與第 n-1 行對換，這樣，共經過（ n-1）+（n-2） + +2+1=n（n-1 ） /2 次行對換后，得到1111n( n 1)a n 1a n 2a 1aD n(1) 2(a n 1)n 2( a n 2) n 2(a 1)n 2an 2(a n 1)n 1(a n 2) n 1(a 1)n 1an 1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結果得：n( n 1 )n n ( 1 )Dn ( 1) 2( a n i ) (a n j ) ( 1) 2(i j)1 ji n1 j in7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保

23、持原行列式不變的方法。它要求： 1 保持原行列式的值不變；2 新行列式的值容易計算。根據需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加邊法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分別為 n-1 個元素的倍數的情況。11xa1a2ana1x a2an例 1 計算 n 階行列式 D na1a2ana1a2xan1 aan1a1a 2a n11x000第 i 行減第1 行解： DnDni2, n 1 10x00100xna ja2an1a1najj 1xxn0x001x00x0j1000x1a111111 a211例 2計算 n（ n 2）階行列式 Dn111 a31，其中 a1a

24、2 an 0 1111 an解先將 Dn 添上一行一列，變成下面的 n1階行列式：111101 a111D n 1011 a 21顯然， Dn 1Dn 0111an11111a100將 Dn 1 的第一行乘以 1后加到其余各行， 得 D n 1101 a20100an因 ai 0 ，將上面這個行列式第一列加第 i （ i2 ， ， n1）列的 1倍，得：ai1121111n111111a100i 1ai0a100Dn Dn 110a2000a20100an000ana100n1 0a20ann11aia1 a21i 1i 1 ai00an8數學歸納法當與是同型的行列式時，可考慮用數學歸納法求之

25、。一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值， 再用數學歸納法給出猜想的證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。 （數學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）x1000例 1 計算 n 階行列式 Dn0x100000x1anan 1an 2a2 a1x解：用數學歸納法 . 當 n = 2 時， D2x1x(xa1)a2x2a1 xa2a2xa1假設 n = k 時，有Dkxka1 xk 1a2xk 2ak1 xak則當 n = k+1 時，把 Dk+1 按第一列展開，得Dk 1xDk ak 1x( xka1

26、 xk 1ak 1x ak ) ak 1xk 1a1xkak 1 x2ak x ak 1由此，對任意的正整數n，有 Dnxna1xn 1an2 x2an1xancos1000例 212 cos100.計算行列式012 cos00Dn0002 cos100012cos13解： D1cos,D2cos2, 于是猜想Dncosn.證明：對級數用第二數學歸納法證明.n 1時, 結論成立 . 假設對級數小于 n 時，結論成立 . 將 n 級行列式按第 n 行展開，有cos100012cos100Dn 2 cos Dn 1 ( 1) 2 n 1012 cos000002 cos000011n 12cosD n 1( 1) 2 n 1 Dn 22coscos(n1)( 1) 2 n1 cos(n 2).2coscos(n1)cos(n1) cossin( n 1) sincos(n1)cosn例 3 計算行列式解：猜測：證明（1）n = 1, 2, 3 時，命題成立。假設nk 1 時命題成立 ,考察 n=k 的情形：14故命題對一切 自然數 n 成立。9拆開法拆項法是將給定的行列式的某一行（列）的元素寫成兩數和的形式，再利用