1、 維普資訊 第 期 彭聲 羽 ： 線性 方程 組 的正 解 以上過程 由矩陣 化 簡得 ， 由矩 陣 就 一次 性 地 得 到 了合 乎 要 求 的兩 個 極 小 方程 組 ， 可 能 具 這 有 某種偶 然性 面 的解法 顯示 了換 基 迭代 的一 般情 形 ： 下 詈 號 一 號 一 導 。一 一 一 號 號 導 號 一 號 一 一 詈 號 號 導 號 ） ） ） 號 。 一 一 號 一 丟 號 一 從上面第 個矩陣可得到有正解（ ， ， ， ） ， 寺） 極小方程組 一（ ， 寺， 的 ， 其 中 ，。 ，。 。 ， 分別 表 示 的第 列 ， ， 為了求 出第 二個 有 正解 的極 小

2、 方 程組 ， 把換 基 迭 代 法 用 于第 個 矩 陣 ， 試令 變 量 進 基 ， 出基 ， 只要利 用行 的初 等變 換把 所在 列 的數 字 變 為 其 這 ， 余 的數 字變成 行 了 述第 矩 陣是 中 間結果 ， 個 矩 陣 是 整理 后 的結 果 最 后 一 個 矩 陣 容 就 上 個 第 從 易得 到有 正解 （ ， ， ， ） 的另一 個極 小方 程組 。 （ ， ， ， ） ， 其 中 ， ， ， 分別 表 示 的第 列 ， 由此 可見 ， 用換 基 迭代 法求 齊次 線性 方程 組 的正解 是 比較 簡單 直觀 的 容易 看 出 ， 如果 齊 次線性 方 程組 不 存

3、在 正解 ， 可 以根據 定理 用換 基迭 代 法 檢 驗 出來 ， 也 即 驗證 不可 能找 到那 些符 合定 理 條件 的極小 方程 組 不過 這時 要考 察 的所 有不 同基 向量 的組 合 正 解 問題 的若 干 應 用 今 只概略地 討 論線 性方 程組 正解 問題 的三 種 應用 ）求線性 方 程組 的負 解 如果 線性 方程 組 的完全 非零 解 的每 個 分量 都 小 于 零則 稱 之 為線 性 方 程 組 的負 解 然 ， （。， 顯 若 ， ， 是 齊次 線性 方程 組 ） 一 ， 的一個 正解 ， （ 一 ， ， 則 一 ， 一 ） 是它 的一 個負 解 ， 之亦 然 以

4、齊次 線 性 方 程 組 的 正解 和 負解 就 反 所 總是 成對 出現 的 但 是 對于 非齊 次線 性方 程組 來說 ， （。 ， ， 是 若 ） 一 （ ） 的一個 正解 ， 顯然 （ 一 ， ， 是 則 一， ） ： 一 （ ） 的一個 負解 之亦 然 反 因此 為 了求前 者 的負解 ， 只須求 后者 的正解 ， 從而 歸結 到 非齊 次線 性 方程 組 的正 解 問題 ， 由定 理 又 歸結 到齊 次線性 方程 組 的正解 問題 再 ）求 線性 方程 組 的半 正解 定 理 的證 明過 程告 訴 我們 ， 如果 齊次 線性 方 程 組 有 多 于 一 個 的 正解 ， 用 其 中

5、 的方 法 不 ： 則 難求得 方程 組一 系列 的半 正 解 如 例 ， 。 ， 等 包括 定理 中的那 些 極 小方 程 組 的正解 添加 適 當 的零 分量 后也 是 一的半 正解 以 ， 所 如果 齊 次線 性 方 程組 有 多于 一 個 的線 性 無 關 的 正解 ， 么 那 它必 然有 半正 解 之 ， 告訴 我們 ， 有半 正 解 ， 不 一定 有 正解 定 理 又 告 訴 我 們 ， 果 反 例 卻 而 如 有若 干個 半正解 ， 些半 正解 的正分量 所 對應 的列 向量 的并 集 的秩 等 于 的秩 ， 它 一 定 這 則 有正解 齊次線 性 方程組 （） 的某 些 指定

6、分 量 ， ， （ 戶 優） 正值 的半 正 解 問題 ， 相 當于 它 為 就 維普資訊 大 學 數 學 第 卷 的減列 方程組 （ ） 的正解 問題 于齊次 線性 方程 組 ， 可 以仿 照例 的方法 ， 對 也 用換 基迭 代法 求 出方程組 的系數矩陣的一切簡化矩陣（ 對應于基變量的不同組合）再從各個簡化矩 陣求得所含正分量互不相同 ， 的半正 解 ）求 線性不 等式組 的正解 為 了求解 線性 不等 式組 口 口 口 ， 口 口 口 ， （） 口 口 口 ， ， ， ， ， 扎 令 口 口 口 口 ， （） 口 口 口 把 （） 式看作 變量 ， ， ，。 ，的齊次 線性 方 程 組 ， 線 性 不 等式 組 （ ） ， ， ， 則 的解 集 與齊 次 線 性方 程組 （） 的正 解集 合是相 同 的 于是 ， 們就 把求 線 性不 等式組 的正 解 問題 歸 結 到求 齊 次 線 性方 程 我 組 的正解 問題 參 考 文 獻 北京大學數學系幾何與代數教研 室 高等代數 （ 第二版） 北京 ； 高等 教育出版社 ， 彭聲羽 線性代數應用于化學方程式 數學 的實踐 與認識 ， （） ， ： 姜殿玉 非齊次線性方程組 的半正解 工