1、第第2 2節(jié)節(jié) 抽樣分布定理抽樣分布定理二、抽樣分布定理二、抽樣分布定理三、小結(jié)三、小結(jié)一、常見(jiàn)分布及其分位數(shù)一、常見(jiàn)分布及其分位數(shù)一、常見(jiàn)分布及其分位數(shù)).(,),(,nnXXXNXXXnn22222221221101記記為為分分布布的的度度為為服服從從自自由由則則稱稱統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量分分布布相相互互獨(dú)獨(dú)立立，同同服服從從、設(shè)設(shè)定定義義.:變變量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)中中右右端端包包含含獨(dú)獨(dú)立立指指自自由由度度222212nXXX分布分布2 1.分布的概率密度為分布的概率密度為)(n2 其它其它00)2(21)(2122xexnxpxnn.)(2圖圖分分布布的的概概率率密密度度曲曲線線如如n 分布的性質(zhì)

2、分布的性質(zhì)2 性質(zhì)性質(zhì)1).(,),(),(2122212,nnYXYXnYnX則則立立獨(dú)獨(dú)并且并且設(shè)設(shè))(2分布的可加性分布的可加性 (此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形).(,),(mmiimiinnnXXXXnX2121212則則獨(dú)立獨(dú)立相互相互并且并且設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)2.2)(,)(),(2222nDnEn 則則若若證明證明),1, 0( NXi因?yàn)橐驗(yàn)? 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(

3、.2n )(2分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布的數(shù)學(xué)期望和方差 性質(zhì)性質(zhì)3dtexnnPxntxnnn22212lim,),(222 有有則則對(duì)對(duì)任任意意設(shè)設(shè)且獨(dú)立同分布因而獨(dú)立且每個(gè)其中由假設(shè)和定義證明,),1 , 0(,2222121122ninniinXXXNXXXXX), 2 , 1(2)(, 1)(22niXDXEii 2lim2xnnPnn 由中心極限定理得由中心極限定理得 xniindtexnnXPt2221lim12).2 ,().1 , 0(2,222nnNNnnnnn近近似似進(jìn)進(jìn)而而近近似似服服從從很很大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)也也即即分分布布分分布布的的極極限限分分布布是是正正態(tài)態(tài)即即 .)(

4、)(,),(,分分布布服服從從使使得得求求樣樣本本的的一一組組為為來(lái)來(lái)自自正正態(tài)態(tài)總總體體設(shè)設(shè)例例2265432221121621101XXXXCXXCYCCNXXX),(),(102202121NXXNXX則則解解),(),(1044065436543NXXXXNXXXX則則同理同理221XX 且且46543XXXX與與相互獨(dú)立相互獨(dú)立2212)(XX 所以所以)()(24226543XXXX.,412121CC則則.,),(分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的分分布布的的上上側(cè)側(cè)為為則則稱稱使使若若存存在在和和給給定定的的對(duì)對(duì)于于總總體體XxxXPxX10u記記為為正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上側(cè)側(cè)分分位位點(diǎn)點(diǎn)xe

5、uXPuNNXuxd21101022 ),(),(滿足分位點(diǎn)的上服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布設(shè)定義定義2 205. 0u025. 0u根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性知根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性知. uu1,645. 1 ,96. 1 1)(u 即.,的值的值由附表可查得由附表可查得給定給定u )(uuXP 11.)()()(, 10,2222分分位位數(shù)數(shù)（分分位位點(diǎn)點(diǎn)）分分布布的的上上為為的的點(diǎn)點(diǎn)稱稱滿滿足足條條件件對(duì)對(duì)于于給給定定的的正正數(shù)數(shù) nnnP.,分位點(diǎn)的值分位點(diǎn)的值得上得上可以通過(guò)查表求可以通過(guò)查表求對(duì)于不同的對(duì)于不同的 n)(22n分布的上側(cè)分位數(shù))8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21

6、. 0 ,535.17 ,247. 3 .382.34 2 2分布的雙側(cè)分布的雙側(cè) 分位數(shù)分位數(shù) 把滿足把滿足2222122( )( )2PnPn 的數(shù)的數(shù)22122( ),( )nn 稱為稱為 2分布的分布的雙側(cè)雙側(cè) 分位數(shù)分位數(shù)f(x)xO22( )n 212( )n 2 2 .2)(,2分分位位數(shù)數(shù)是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上其其中中充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uunnnn例如例如64124012012021201200502050.)(.u .5145利用上公式利用上公式,而查詳表可得而查詳表可得.505.67)50(205. 0 .,45 分位點(diǎn)的近似值分位點(diǎn)的近似值上上時(shí)時(shí)可以求

7、得可以求得 n費(fèi)歇爾費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)證明證明:).(,/,),(),(ntTtnnYXTYXnYNX記為記為分布分布的的服從自由度為服從自由度為則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量獨(dú)立獨(dú)立且且設(shè)設(shè)定義定義2103t 分布又稱分布又稱學(xué)生氏學(xué)生氏(Student)分布分布.學(xué)生氏資料學(xué)生氏資料tntnnntfn,1221)(212分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為)(nt分布分布t2.圖圖分分布布的的概概率率密密度度曲曲線線如如t.0對(duì)稱的對(duì)稱的顯然圖形是關(guān)于顯然圖形是關(guān)于 t當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí), 其圖其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖變量概率密度的圖形形.,21)

8、(lim22tnetf因?yàn)?)1 , 0(分布分布分布近似于分布近似于足夠大時(shí)足夠大時(shí)所以當(dāng)所以當(dāng)Ntn.)1 , 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布與與但但對(duì)對(duì)于于較較小小的的Ntnt 分布具有下列性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè) , 則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)有時(shí)有性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè) ， 是是t的分布密度，的分布密度，則則此性質(zhì)說(shuō)明，當(dāng)此性質(zhì)說(shuō)明，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，t分布的極限分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。)(ntT2n0)(TE2)(nnTD)(ntT)(tp2221)(limtnetpn.,),(),(2222的概率分布試求相互獨(dú)立且設(shè)例nYXTYXnYNX由定義得由定義得獨(dú)立獨(dú)立與與則則獨(dú)立

9、獨(dú)立且且又又所以所以因?yàn)橐驗(yàn)榻饨?),(),(),(222210YXYXnYNXNX)(/ )/(/ )(2ntnYXnYXT ).()()()(, 10,或分位點(diǎn)或分位點(diǎn)分位數(shù)分位數(shù)分布的上分布的上為為的點(diǎn)的點(diǎn)稱滿足條件稱滿足條件對(duì)于給定的對(duì)于給定的 ntntnttP.分位數(shù)的值分位數(shù)的值得上得上可以通過(guò)查表求可以通過(guò)查表求 由分布的對(duì)稱性知由分布的對(duì)稱性知).()(1ntnt .)(, untn時(shí)當(dāng)45)(ntt分布的上側(cè)分位數(shù))10(05. 0t,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 但當(dāng)?shù)?dāng)n45時(shí)，如無(wú)詳細(xì)表時(shí)，如無(wú)詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

10、分布代替分布代替t分布查分布查t (n)的值的值. 即即t (n)u ， n45. 一般的一般的t分布臨界值表中，詳列至分布臨界值表中，詳列至n=30，當(dāng)，當(dāng)n30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)來(lái)近似來(lái)近似.t/2-t/2/2/2()2/2/2)(tTPtTP()()2281. 2)10(05. 02281. 2025. 02281. 2025. 0tTPTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t t分布的雙側(cè)分布的雙側(cè) 分位數(shù)分位數(shù) ).,(,),(/,),(),(21212122124nnFFFnnnYnXFYXnYnX記為記為分布分布的的服

11、從自由度為服從自由度為稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量則則獨(dú)立獨(dú)立且且設(shè)設(shè)定義定義分分布布F3.分布的概率密度為分布的概率密度為),(21nnF 其它其它, 00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnynnnn 圖圖分分布布的的概概率率密密度度曲曲線線如如F分分布布有有以以下下性性質(zhì)質(zhì)F).,(1),(1221nnFFnnFF則則若若(1)(,)()()()(),(,)(4422222222212122222nnnnnnnFDnnnFE(2)這說(shuō)明這說(shuō)明F分布極限分布也是正態(tài)分布分布極限分布也是正態(tài)分布.dtexFDFEFPxnnnFFtxn22121)()(lim,4),(

12、221有有對(duì)對(duì)任任意意時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)(3).,),(21可通過(guò)查表完成可通過(guò)查表完成的值的值求求nnF )7 , 8(025. 0F)14,30(05. 0F,90. 4 .31. 2 .),(),(),(, 10,212121分位數(shù)分位數(shù)分布的上分布的上為為的點(diǎn)的點(diǎn)稱滿足條件稱滿足條件對(duì)于給定的對(duì)于給定的 nnFnnFnnFFP),(21nnFF分布的上側(cè)分位數(shù):分位點(diǎn)具有如下性質(zhì)分位點(diǎn)具有如下性質(zhì)分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 證明證明),(1 211nnFFP 所以所以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFF

13、P ),(21nnFF因?yàn)橐驗(yàn)?),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因?yàn)橐驗(yàn)?),(1 12 nnFFP所以所以, ),(),(11221-1nnFnnF 比較后得比較后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 8 . 21 .357. 0 . 分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的一一些些上上用用來(lái)來(lái)求求分分布布表表中中未未列列出出 ),(),(1n1F14222FTnFnYXT分布的性質(zhì)知分布的性質(zhì)知由由有有由定義由定義,),(,),(),(),(獨(dú)獨(dú)立立與與且且那那么么獨(dú)獨(dú)立立且且其其中中有有由由定定義義因因?yàn)闉樽C證明明Y

14、XXYXnYNXnYXTntT22221103)., 1(),(32nFTntT試證試證已知已知例例二、抽樣分布定理二、抽樣分布定理 定理定理1 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 引理引理 若若X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則則f( X )與與f( Y )也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.證明證明由已知，有由已知，有XiN( ， 2)且且X1，X2，Xn相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則則(0,1)iXN 且各且各iX 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，2221212()( ).nniiiiXXn 定理定理2 2 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體

15、為來(lái)自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(2) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； X222122()() 11(niiXnSXn (3)定理定理1 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn ).,().1 (2nNX定理定理3設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體為來(lái)自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量的樣本，則統(tǒng)計(jì)量 (1)XTt nSn 證證由于由于與與S 2相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 X(0,1),XUNn 222(1)(1)nSn 由定義得由定義得22 (1)(

16、1)(1)XnXTt nSnnSn 證:樣本.且X與Y相互獨(dú)立,則定理4設(shè) 與 分別是來(lái)21( ,)XN 自正態(tài)總體22(,)YN 與的nXXX,21mYYY,21),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii),(2221mnNYX2) 1() 1(11)()(222121mnSmSnmnYX) 2(mnt) 1() 1() 1() 1(22222221mSmnSn222221) 1() 1(SmSn) 2(2mn與相互獨(dú)立YX 222221) 1() 1(SmSn) 1 , 0()()(2221NmnYX2) 1() 1()()(2222212221mnSmSnmnYX2)

17、1() 1(11)()(222121mnSmSnmnYX) 2(mnt定理5證證: :令相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.設(shè)與分別是來(lái)自正態(tài)總體與的nXXX,21mYYY,21),(21NX),(22NYniiniiXXnSXnX12211)(111mjjmjjYYmSYmY12221)(111則) 1, 1(2221 mnFSS則) 1() 1() 1() 1(22222221mSmnSn) 1, 1(222221 mnFSS則) 1, 1(2221 mnFSS例例1 1 設(shè)r.v. X 與Y 相互獨(dú)立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與Y1, Y2 , Y16 分

18、別是取自 X 與 Y 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 求統(tǒng)計(jì)量1292221216XXXZYYY所服從的分布.解解129(0,9 16)XXXN1291() (0,1)3 4XXXN從而16, 2 , 1,)1 , 0(31iNYi)16(3122161iiY2162221921YYYXXX()16314311612921iiYXXX)16( t解解例例2 2 設(shè)總體 的樣本,16,XX為總體 X 試確定常數(shù) c , 使 cY 服從分布.) 1 , 0( NX26542321)()(XXXXXXY2()() 1 , 0 (31,31654321NXXXXXX) 3 , 0 (, ) 3 , 0 (65432

19、1NXXXNXXX故()()265423213131XXXXXX) 2(312Y因此1/3.c例例3 3 設(shè)12(,)nXXX 是來(lái)自N ( , 2 )的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, X是樣本均值,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS則服從自由度為n - 1的t 分布的隨機(jī)變量為1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D() 1 , 0(/NnX) 1()(12122nXXnii1)(1/122nXXnXnii) 1(ntniiXXXnn12)()( ) 1(故應(yīng)選 (B)解解 例例4 設(shè)總體設(shè)總體XN(0,1

20、)， X1，X2，Xn為簡(jiǎn)單為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？22343211212242(1)31(1);(2);(3).iinniiiinXXXnXXXXX 解解 (1)因?yàn)橐驗(yàn)閄iN(0,1)，i=1, 2, , n.所以所以X1- -X2 N(0, 2)，12(0,1),2XXN 22342(2),XX 故故223412XXXX 223412()22XXXX t(2). 例例4 設(shè)總體設(shè)總體XN(0,1)， X1，X2，Xn為簡(jiǎn)單為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？2234321121

21、2242(1)31(1);(2);(3).iinniiiinXXXnXXXXX 續(xù)解續(xù)解 (2)因?yàn)橐驗(yàn)閄1N(0,1)，故故t(n- -1).222(1)niiXn 1221niinXX 122(1)niiXXn 例例4 設(shè)總體設(shè)總體XN(0,1)， X1，X2，Xn為簡(jiǎn)單為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？22343211212242(1)31(1);(2);(3).iinniiiinXXXnXXXXX 續(xù)解續(xù)解 (3) 因?yàn)橐驗(yàn)樗运訤(3，n- -3).3221(3),iiX 224(3),niiXn 32124(1)3iiniinX

22、X 321243(3)iiniiXXn 7072110n 的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例例5 5設(shè) ,為使樣本均值大于70 N(72,100)X解解 設(shè)樣本容量為 n , 則故)100,72(nNX)70(1)70(XPXP()n2 . 0令得()9 . 02 . 0n29. 12 . 0n即所以取6025.41n42n例例6 6 從正態(tài)總體中，抽取了 n = 20的樣本1220(,)X XX(1) 求(2) 求解解 (1)即),(2NX()22012276. 120137. 0iiXXP()22012276. 120137. 0iiXP) 1() 1(222nSn()19(11

23、922012222iiXXS故()22012276. 120137. 0iiXXP()2 .3514 . 720122iiXXP()()2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98. 001. 099. 0查表(2) (2) 故222020117.435.2iiiiXXPP)20(22012iiX()22012276. 120137. 0iiXP2 .354 . 72012iiXP97. 0025. 0995. 0則統(tǒng)計(jì)量的樣本，來(lái)自總體設(shè)例), 0(,724321NXXXX?的分布為的分布為242321XXXXT),(),(10220221221NXXNXX于是于是解解)2(),1 , 0(22242232423 XXNXX于是于是獨(dú)立同分布于獨(dú)立同分布于與與)(22222423221tXXXXt分布的定義分布的定義由由)(2242321tXXXX即即1 給出了總體、個(gè)體、樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念，要 掌握樣本均值和樣本方差的計(jì)算及基本性質(zhì)。2 引進(jìn)了 分布、t分布、F分布的定義，會(huì)查 表計(jì)算。了解分位數(shù)的概念分位數(shù)的概念. .