1、第二章 連續系統的時域分析 時域分析方法：時域分析方法：即對于給定的激勵，由系統的數學模型（微分方程）求得其響應的方法。 由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間t，故稱為時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。 LTI連續系統的時域分析，歸結為：建立并求解線性微分方程。本章主要內容本章主要內容 2.1 LTI連續系統的響應 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應 2.3 卷積積分 2.4 卷積積分的性質卷積積分的性質2.1 LTI連續系統的響應 一、微分方程的經典解一、微分方程的經典解 二、關于二、關于0-和和0+值值 三、零輸入響應三、零輸入響應 四、

2、零狀態響應四、零狀態響應 五、全響應五、全響應 其經典解：其經典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齊次解) + yp(t)(特解） 齊次解是齊次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。 齊次解yh(t)的函數形式由上述微分方程的特征根確定。y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)一、微分方程的經典解一、微分方程的經典解 表表21 不同特征根所對應的齊次解不同特征根所對應的齊次解特征根齊

3、次解yh(t)單實根et ？ r重實根 (Cr-1 tr-1+ Cr-2 tr-2+ C1 t1+C0) et一對共軛復根1,2=je tCcos(t)+Dsin(t)或Acos(t-)其中A e j =C+jDr重共軛復根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+ Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+ A0 cos(t+0) e t齊次解的函數形式僅與系統本身的特性系統本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數形式無關，稱為系統的固有響應或自由響應； 特解的函數形式由激勵確定，稱為強迫響應。問：若問：若f(t)=c（常數），特解形式？（常數），特解形式？ 解: (1) 特征方程為2 + 5+

4、6 = 0 其特征根1= 2， 2= 3。齊次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t ？ 因為因為f(t) = 2e t，故其特解可設為 yp(t) = Pe t 將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得P=1 于是特解為yp(t) = e t例描述某系統的微分方程為y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（1）當f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1時的全解；（2）當f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。 其中待定常數C1,C2由初始條件確定。 y(0) = C1

5、+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0全解為：全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 注意：注意：自由響應的系數C Cj j由系統的初始狀態和激由系統的初始狀態和激勵信號共同來確定勵信號共同來確定 自由響應強迫響應 解：齊次解同上。解：齊次解同上。由于f(t)=e2t，其指數與特征根之一相重。故其特解可設為yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得P1e-2t = e2t 所以P1= 1 但P

6、0不能求得。全解為全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t= (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 注：注：上式第一項的系數C1+P0= 2，不能區分C1和P0，因而也不能區分自由響應和強迫響應。（2）當f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。二、關于二、關于0-和和0+值值 在t=0-時

7、，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了系統的歷史情況而與激勵無關。稱這些值為初始狀態或起始值。 為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態初始狀態y(j)(0-)設法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。若輸入f(t)是在t=0時接入系統，則確定確定待定系數Ci時用t = 0+時刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統的歷史信息。 解：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 由于上式對于所有t都都成立，等號兩端(t)項的系數應相等。 由于

8、等號右端為由于等號右端為2(t)，故y”(t)應包含沖激函數，從 而y(t)在t= 0處將發生躍變，即y(0+)y(0-)。 但y(t)不含沖激函數，否則y”(t)將含有(t)項。由 于于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0處是連續的。處是連續的。 故y(0+) = y(0-) = 2例：例：描述某系統的微分方程為y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。 由于積分在無窮小區間0-，0+進行的，且y(t)在t=0連續，故對式對式(1)兩端積分有兩端積分有于是由上式得

9、于是由上式得y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2因為y(0+) = y(0-)=2 ，所以y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可見，由上可見，當微分方程等號右端含有沖激函數（及其各階導數）時，響應y(t)及其各階導數中，有些有些在t=0處將發生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變。三、零輸入響應 y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。 零輸入響應，零輸入響應，對應的輸入為零，所以方程為 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)0 若其特征根都為單根，則零輸入響應為：若

10、其特征根都為單根，則零輸入響應為：njtzijzijeCty1)(由于激勵為零，故有由于激勵為零，故有yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-), (j=0,1,n-1)四、零狀態響應 方程仍為方程仍為 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t) 對于零狀態響應，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應有yzs(j)(0-)=0； 若微分方程的特征根均為單根，則其零狀態若微分方程的特征根均為單根，則其零狀態響應為響應為

11、)()(1tyeCtyptnjzsjzsCzsj 為待定系數，為待定系數，yp(t)為方程的特解為方程的特解 解：（1）零輸入響應yzi(t) 激勵為0 ，故yzi(t)滿足yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 該齊次方程的特征根為1， 2，故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t 代入初始值并解得系數為Czi1=4 ,Czi2= 2 ，代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0例：描述某系統的微分方程為y”(t) + 3y(t) +

12、 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求該系統的零輸入響應和零狀態響應。注意此時系數注意此時系數C的求法！的求法！ yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等號右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，從而yzs(t)躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0連續，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得（2）零狀態響應yzs(t) 滿足因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2對t0時，有有y

13、zs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6不難求得其齊次解為Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解為常數3，于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3代入初始值求得yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0五、全響應五、全響應 如果系統的初始狀態不為零，在激勵f(t)的作用下，LTI系統的響應稱為全響應稱為全響應，它是零輸入響應與零狀態響應之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t) 零狀態響應零輸入響應強迫響應自由響應)()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj 雖然自由響應和零輸入響應都是齊

14、次方程的解，雖然自由響應和零輸入響應都是齊次方程的解，但兩者的系數各不相同，但兩者的系數各不相同，c czijzij僅由系統的初始僅由系統的初始狀態所決定，而狀態所決定，而c cj j由系統的初始狀態和激勵信由系統的初始狀態和激勵信號共同來確定。號共同來確定。 也就是說，也就是說，自由響應包含零輸入響應的全部和自由響應包含零輸入響應的全部和零狀態響應的一部分。零狀態響應的一部分。討論討論2.2 沖激響應和階躍響應 一、沖激響應一、沖激響應 由單位沖激函數(t)所引起的零狀態響應零狀態響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應簡稱沖激響應，記為h(t)。h(t)=T0,(t) 例1 描述某系統的微分方程

15、為y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求其沖激響應h(t)。 解：根據h(t)的定義有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 h(t)在t=0連續，即h(0+)=h(0-)。積分得因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數平衡法。，故利用系數平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對對t0時，時，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統的沖激響

16、應為一齊次解。故系統的沖激響應為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統的沖激響應為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 解根據h(t)的定義有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含(t) 故令h(t) = a(t) + p1(t) p1(t) 為不含(t) 的某函數 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”

17、(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式(1)，有例2 描述某系統的微分方程為y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應h(t)。 整理得整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)= ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用(t) 系數匹配，得a =1 ，b = - 3，c = 12 所以h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3

18、(t) （4） 對式(3)從0-到0+積分得h(0+) h(0-) = 3 對式(4)從0-到0+積分得h(0+) h(0-) =12a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) 微分方程的特征根為 2， 3。故系統的沖激響應為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0 代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12 求得C1=3，C2= 6, 所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0 結合式(2)得 h(t)=(t) + (3e2t 6e3t)(t)

19、對對t0時，有時，有h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0故h(0+) = 3， h(0+) =12沖激響應示意圖沖激響應示意圖 x(0)=0二、階躍響應階躍響應示意圖階躍響應示意圖* *階躍響應是激勵為單位階躍函數階躍響應是激勵為單位階躍函數 (t)(t)時，系統的零時，系統的零狀態響應，如下圖所示。狀態響應，如下圖所示。線性非時變系統g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用用g(t)表示階躍響應表示階躍響應 如果描述系統的微分方程是式如果描述系統的微分方程是式 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=

20、f(t) ， 當當f(t)=f(t)= (t)(t)時，有時，有01)(atgp式（式（1 1）的）的特解為特解為) 1 ()()()()()(01)1(1)(ttgatgatgatgnnn其初始值為其初始值為:0)0()0( )0()0()2()1(ggggnn注：注：除g(n)(t)外？y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)若微分方程的特征根若微分方程的特征根i i(i=1(i=1，2 2，n)n)均為單均為單根，則系統的階躍響應的一般形式根，則系統的階躍響應的一

21、般形式(nm)(nm)為為 )()1()(01taectgnitii若描述系統的微分方程是式描述系統的微分方程是式可根據可根據LTI系統的線性性質和系統的線性性質和微積分微積分特性求出階躍響應：特性求出階躍響應：dttdt)()(tdxxt)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()( 解：系統的微分方程解：系統的微分方程 設圖中右端積分器的輸出為x(t)，則其輸入為x(t)，左端積分器的輸入為x(t)。左端加法器的輸出為 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t) 即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)例例2.2-3 如圖如圖2.2-3 所示的所示的LTI系統，求其階

22、躍響應系統，求其階躍響應 y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)右端加法器的輸出為 y(t)=- x(t)+2 x(t)x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t); （1）y(t)=- x(t)+2 x(t) （2）階躍響應若設（1）式所述系統的階躍響應為gx(t),則有 g(t)=- gx(t)+2 gx(t) gx(t)滿足方程 gx(t) +3 gx(t)+2 gx(t) (t) gx(0_) = gx(0_) =0 其特征根11； 22，其特解為0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5) (t) 初始值為gx(0) = gx(0)

23、 =0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0; gx(0) =- C1-2C2=0解得解得 C1-1；C20.5 所以， gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5) (t) 求出 gx(t)，代入g(t)=- gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1) (t) 解法二：由（解法二：由（1）、（）、（2）式求得）式求得系統的微分方程為： y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)當f(t)=(t)時，有)3()(2)( )(2)( 3)( ttththth0)0()0( hh先求h(0+)和h(0+) 令：)6

24、()()()5()()()( )4()()()( )( 210trthtrtathtrtbtath由（由（4）式從）式從0-到到0+積分得積分得5)0( )0( hh將上三式代入（將上三式代入（3）式得）式得)(2)( )(2)(3)(3)()()( 210tttrtrtatrtbta23 ; 1baa5; 1ba5)0( h由（由（5）式從）式從0-到到0+積分得積分得1)0(h可以求得系統的沖激響應為可以求得系統的沖激響應為 h(t)=(3e-t-4e-2t) (t) 0)(2)( 3)( ththth當當t0,有有所以所以ttececth221)(5)0( h1)0(h由由)()123()