1、第七章 習題解答1設（X，d）為一度量空間，令 問的閉包是否等于？ 解 不一定。例如離散空間（X，d）。=，而=X。 因此當X多于兩點時，的閉包不等于。2. 設 是區間上無限次可微函數的全體，定義證明按成度量空間。證明 （1）若=0，則=0，即f=g（2）=d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空間。3 設B是度量空間X中的閉集，證明必有一列開集包含B，而且。證明 令是開集：設，則存在，使。設則易驗證，這就證明了是 開集 顯然。若則對每一個n，有使，因此。因B是閉集，必有，所以。4. 設d（x，y）為空間X上的距離，證明是X上的距離。證明 （1）若則，必有x=y （2）因而在上是單增函數，于是

2、=。5. 證明點列按習題2中距離收斂與的充要條件為的各階導數在a，b上一致收斂于f的各階導數。證明 若按習題2中距離收斂與，即 >0 因此對每個r，>0 ，這樣>0 ，即在 a，b 上一致收斂于。 反之，若的（t）各階導數在a，b上一致收斂于f（t），則任意，存在，使；存在，使當時，max ，取N=max ，當n>N時，即>0 。6. 設，證明度量空間中的集f|當tB時f（t）=0為中的閉集，而集A=f|當tB時，|f（t）|a（a0）為開集的充要條件是B為閉集。證明 記E=f|當tB時f（t）=0。設，按中度量收斂于f，即在a，b上一致收斂于f（t）。設，則，所

3、以f E，這就證明了E為閉集 充分性。當B是閉集時，設f A。因f在B上連續而B是有界閉集，必有，使。設 。我們證明必有。設，則若，必有，于是，所以，這樣就證明了A是開集 必要性。設A是開集，要證明B是閉集，只要證明對任意若，必有。倘若，則定義。于是對任意，因此由于A是開集，必有，當Ca，b且時，。定義，n=1，2。則因此當時，。但是，此與的必要條件：對 任意，有矛盾 因此必有。7. 設E及F是度量空間中的兩個集，如果，證明必有不相交開集O及G分別包含E及F。證明 設。令 則且，事實上，若，則有，所以存在E中的點x使，F中點y使，于是，此與矛盾。8. 設 Ba，b表示a，b上實有界函數全體，對

4、Ba，b中任意兩元素f，g Ba，b，規定距離為。證明Ba，b不是可分空間。證明 對任意a，b，定義則Ba，b，且若， 。 倘若Ba，b是不可分的，則有可數稠密子集，對任意a，b，必有某，即。由于a，b上的點的全體是不可數集。這樣必有某，使，于是此與矛盾，因此Ba，b不是可分空間。9. 設X是可分距離空間，為X的一個開覆蓋，即是一族開集，使得對每個，有中的開集O，使得，證明必可從中選出可數個集組成X的一個開覆蓋。證明 若，必有，使，因是開集，必有某自然數n，使。設是X的可數稠密子集，于是在中必有某，且。事實上，若，則所以。這樣我們就證明了對任意，存在k，n使且存在 任取覆蓋的O，記為是X的可數

5、覆蓋。10. X為距離空間，A為X中子集，令證明是X上連續函數。證明 若對任意，存在，使。取。則當時，因此。由于x與對稱性，還可得。于是。這就證明了是X上連續函數。11. 設 X為距離空間，是X中不相交的閉集，證明存在開集使得。證明 若，則由于，為閉集，必有，使，令，類似，其中，顯然是開集，且。 倘若，則必有，使。設。不妨設，則因此，此與矛盾。這就證明 了。12 . 設 X，Y，Z為三個度量空間，f是X到Y中的連續映射，g是Y到Z中的連續映射，證明復合映射是X到Z中的連續映射。證明 設 G是Z中開集，因g是Y到Z中的連續映射，所以是Y中開集。又f是X到Y中的連續映射，故是X中 的開集。這樣是X

6、中 的開集，這就證明了g。f是X到Z的連續映射。13. X是度量空間，證明f是連續映射的充要條件是對每個實數c，集合和集合都是閉集。證明 設 f是X上連續的實函數，又對每一實數c，G=（c，）是開集，于是 是開集。這樣= 是閉集。同理是閉集。 反之，若對每個實數c，和都是閉集，則和都是開集。設G是直線上的開集，則或，其中是G的構成區間。不妨設于是是開集。因此f是連續的實函數。14. 證明柯西點列是有界點列。證明 設 是X中的柯西點列。對1>0，存在N，使當n，m時，令則對任意有。因此 是有界點列。15. 證明第一節中空間S，B（A），以及離散的度量空間都是完備的度量空間。證明 （1）S是

7、完備的度量空間設 是S中的柯西點列，對每一個固定的i，由于，因此對任意存在，當時，對此，存在n，m時，因此，從而。這樣對固定的i，是柯西點列。設。令，故有，且對任意給定，存在，使。存在使時，。于是當時， +所以按S的距離收斂于x（2）B（A）是完備的度量空間設是B（A）中的柯西點列，任意，存在N，使當n，m時。這樣對任意，。因此對固定的t， 是柯西點列。設，由于n，m時，令，得，這樣，于是故x （A），且nN時，。這就證明了按B（A）中距離收斂于x。（3）離散的度量空間（X，d）是完備的度量空間設是X中柯西點列，則對>0,存在N，當n，m是。特別對一切n>N, ,于是n>N是

8、。因此，即（X，d）是完備的度量空間。 16. 證明 與C（0，1的一個子空間等距同構。 證明 若 ，定義，若，則因此T到到（0，1的子空間的一個同構映射，即到（0，1的一個子空間等距同構。17. 設F是n維歐幾里得空間的有界閉集，A是F到自身中的映射，并且適合下列條件：對任何，有。 證明映射A在F中存在唯一的不動點。證明 定義F上的函數f（x）=d（Ax，x）。由于因此f是F上的連續映射，因F是有界閉集，必有，使。我們先證明，若，則。記，則，于是此與是f的最小值矛盾。故即=若是A的另一個不動點，則，矛盾。18. 設X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記 若，則映射A有唯一不動點。證明 因，

9、則必有N，使。這樣對任意x, X,若x,則這樣由壓縮映射原理有不動點，即=。由于=A=A, A也是的不動點。的不動點是唯一的，因此= A，即是A的不動點。 若x是A的任意一個不動點，即A x= x。于是x=x= A x= x。這樣x也是的不動點，由于的不動點是唯一的，因此= x。即A的不動點也是唯一的。19. 設A為從完備度量空間X到X中映射，若在開球內適合又A在閉球上連續，并且證明：A在中有不動點。證明 設=，。則 任給0，存在N，使，這樣若且，有 因此是柯西列。設，因 因此。這樣。因為A在上連續。，即是A在中的不動點。A的不動點不一定是唯一的。例如X是離散的度量空間。A是X中的恒等映射。在

10、開球內只有一點，自然滿足條件。而，也滿足。但X中每一點皆為A的不動點。20. 設 為一組實數，適合條件，其中當j=k時為1 ，否則為0。證明：代數方程組 對任意一組固定的，必有唯一的解，。 證明 記定義到內的映射T：TX= -AX+X+b。設X 則 由于<1,于是T有唯一不動點，即，因此有唯一解。21. 設表示上右連續的有界變差函數全體，其線性運算為通常函數空間中的運算。在中定義范數=,證明是Banach空間。證明 顯然是線性空間。下證是賦范線性空間。1 若，顯然0。若=0，則=0，即=0，且=0。由=0可知在上為常值函數，于是2 若，3 若，其中的理由如下：對任意分劃 因此再證是完備的

11、。設為中柯西列，對任意，存在，當時，。于是，。而對任意，從而這就證明了是上一致收斂的函數列。設一致收斂于。由于是上右連續的函數，于是對任意，因為在上一致收斂于。因此即亦在上右連續。對任意，存在，當時，= 對上的任一分劃，有令， （*） 因此，從而由（*）式及分點的任意性知，從而 即按中范數收斂于。這樣我們就證明了是完備的賦范線性空間，即空間。22設是一列空間， 是一列元素，其中，并且這種元素列的全體記成，類似通常數列的加法和數乘，在X中引入線性運算。若令 證明：當時，X是空間。證明 X顯然是線性空間。 先證X是賦范線性空間。1 若顯然。若，則即對任意，。于是，從而。2 若， 3 若，則再證X是

12、完備的。設是X中柯西列，其中 對任意存在，使當時，即于是對每一個固定的是中的柯西列。設令，由于，因此對任意，令得 再令得 因此從而，且由知按X的范數收斂于。由以上證明可知X是空間。證畢。23設X是賦范線性空間，X*X為兩個X的笛卡兒乘積空間，對每個定義 則X*X成為賦范線性空間。證明X*X到X的映射是連續映射。 證明 設則 于是所以，這就證明了是連續映射。24 設是實（復）數域，為賦范線性空間，對每個，定義證明：為到中的連續映射。證明 設同第23題一樣可證 由于收斂，必有，使則因此映射是連續的。25. 為一切收斂數列所成的空間，其中的線性運算與通常序列空間相同。在中令證明：是可分的空間。證明