1、八年級八年級 上冊上冊13.4 課題學習課題學習 最短路徑問題最短路徑問題問題問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：題：從圖中的從圖中的a 地出發，到一條筆直的河邊地出發，到一條筆直的河邊l 飲馬，飲馬，然后到然后到b 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？路線全程最短？bal 本節課以數學史中的一個經典問本節課以數學史中的一個經典問題題“將軍飲馬問題將軍飲馬問

2、題”為載體開為載體開展對展對“最短路徑問題最短路徑問題”的課題研的課題研 究，究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為將線段和最小問題轉化為“兩點之兩點之間，線段最短間，線段最短”（或（或“三角形兩邊三角形兩邊之和大之和大 于第三邊于第三邊”）問題）問題 前面我們研究過一些關于前面我們研究過一些關于“兩點的所有兩點的所有連線中，線連線中，線 段最短段最短”、“連接直線外一連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短最短”等的問題，我們稱它們為最短路等

3、的問題，我們稱它們為最短路徑問徑問 題現實生活中經常涉及到選擇題現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節最短路徑的問題，本節 將利用數學知將利用數學知識探究數學史中著名的識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題將軍飲馬問題” 學習目標：學習目標： 能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想感悟轉化思想 學習重點：學習重點： 利用軸對稱將最短路徑問題轉化為利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩兩點之間，線段最短點之間，線段最短”問題問題 追問追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？這

4、是一個實際問題，你打算首先做什么？ 將將a，b 兩地抽象為兩個點，將兩地抽象為兩個點，將河河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 bal（1）從）從a 地出發，到河邊地出發，到河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到b 地；地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與a， b 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從連接起來的兩條線段的長度之和，就是從a 地地 到飲馬地點，再回到到飲馬地點，再回到b 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數學問題嗎？并把它

5、抽象為數學問題嗎？ 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？并把它抽象為數學問題嗎？ （3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線短的直線l上的點設上的點設c 為直線上的一個動點，上為直線上的一個動點，上 面的問題就轉化為：當點面的問題就轉化為：當點c 在在l 的什么位置時，的什么位置時， ac 與與cb 的和最小（如圖）的和最小（如圖） balc追問追問1對于問題對于問題2，如何，如何將點將點b“移移”到到l 的另一側的另一側b處，滿足直線處，滿足直線l

6、 上的任意一點上的任意一點c，都保持，都保持cb 與與cb的長度的長度相等？相等？ 探索新知探索新知問題問題2 如圖，點如圖，點a，b 在直線在直線l 的同側，點的同側，點c 是直是直 線上的一個動點，當點線上的一個動點，當點c 在在l 的什么位置時，的什么位置時，ac 與與cb 的和最小？的和最小？ bla追問追問2你能利用軸對稱的你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條有關知識，找到上問中符合條件的點件的點b嗎？嗎？ 探索新知探索新知問題問題2 如圖，點如圖，點a，b 在直線在直線l 的同側，點的同側，點c 是直是直線上的一個動點，當點線上的一個動點，當點c 在在l 的什么位置時，的什么

7、位置時，ac 與與cb的和最小？的和最小？ bla作法：作法：（1）作點）作點b 關于直線關于直線l 的對稱的對稱 點點b；（2）連接）連接ab，與直線，與直線l 相交相交 于點于點c 則點則點c 即為所求即為所求 探索新知探索新知問題問題2 如圖，點如圖，點a，b 在直線在直線l 的同側，點的同側，點c 是直是直線上的一個動點，當點線上的一個動點，當點c 在在l 的什么位置時，的什么位置時，ac 與與cb 的和最小？的和最小？ blabc探索新知探索新知問題問題3你能用所學的知識證明你能用所學的知識證明ac + +bc最短嗎？最短嗎？ blabc證明：證明：如圖，在直線如圖，在直線l 上任取

8、一點上任取一點c（與點（與點c 不不重合），連接重合），連接ac，bc，bc 由軸對稱的性質知，由軸對稱的性質知， bc = =bc，bc=bc ac + +bc = = ac + +bc = = ab， ac+ +bc = = ac+ +bc探索新知探索新知問題問題3你能用所學的知識證明你能用所學的知識證明ac + +bc最短嗎？最短嗎？ blabcc探索新知探索新知問題問題3你能用所學的知識證明你能用所學的知識證明ac + +bc最短嗎？最短嗎？ blabcc證明：證明：在在abc中中， abac+ +bc， ac + +bcac+ +bc即即ac + +bc 最短最短若直線若直線l 上任

9、意一點（與點上任意一點（與點c 不重合）與不重合）與a，b 兩點的距離兩點的距離和都大于和都大于ac + +bc，就說明，就說明ac + + bc 最小最小 探索新知探索新知blabcc追問追問1證明證明ac + +bc 最短時，為什么要在直線最短時，為什么要在直線l 上上任取一點任取一點c（與點（與點c 不重合），證明不重合），證明ac + +bc ac+ +bc？這里的？這里的“c”的作用是什么？的作用是什么？ 探索新知探索新知追問追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？過程、借助什么解決問題的？ blabcc上一頁上一頁下

10、一頁下一頁 水泵站修在什么地方？水泵站修在什么地方？如圖所示，水泵站修在如圖所示，水泵站修在 c 點可使所用的水管最短點可使所用的水管最短. 如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水，修在河邊什么地方，可使所用的水管最短？莊送水，修在河邊什么地方，可使所用的水管最短？張村張村李莊李莊abac返回應用新知應用新知運用新知運用新知練習如圖，一個旅游船從大橋練習如圖，一個旅游船從大橋ab 的的p 處前往山處前往山腳下的腳下的q 處接游客，然后將游客送往河岸處接游客，然后將游客送往河岸bc 上，再返上，再返 回回p 處，請畫出旅游船的最短路徑處，請畫出旅游船的最短路徑abcpq山山河岸河岸大橋大橋運用新知運用新知基本思路：基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接由于兩點之間線段最短，所以首先可連接pq，線，線段段pq 為旅游船最短路徑中的必經線路將河岸抽象為為旅游船最短路徑中的必經線路將河岸抽象為一條直線一條直線bc，這樣問題就轉化為，這樣問題就轉化為“點點p，q 在直線在直線bc 的同側，如何