1、目錄必修5知識點總結- 2 -含參不等式- 9 -一元二次不等式- 12 -均值不等式- 16 -整式不等式（高次不等式）- 23 -分式不等式- 24 -絕對值不等式- 25 -不等式關系- 27 -線性歸納- 27 -必修5知識點總結1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，為的外接圓的半徑，則有2、正弦定理的變形公式：，；，；（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數形結合思

2、想DbsinAAbaC畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡以AD有無交點：當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當a<bsinA，則B無解當bsinA<ab,則B有兩解當a=bsinA或a>b時，B有一解注：當A為鈍角或是直角時以此類推既可。3、三角形面積公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推論：，(余弦定理主要解決的問題：1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已知三邊求角)6、如何判斷三角形的形狀：設、是的角、的對邊，則：若，則；CABD若，則；若，則正余弦定理的綜合應用：如圖所示：隔河看兩

3、目標A、B,但不能到達，在岸邊選取相距千米的C、D兩點，并測得ACB=75O, BCD=45O, ADC=30O, ADB=45O(A、B、C、D在同一平面內)，求兩目標A、B之間的距離。本題解答過程略附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點. 外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點. 垂心：三角形三邊上的高相交于一點.7、數列：按照一定順序排列著的一列數8、數列的項：數列中的每一個數9、有窮數列：項數有限的數列10、無窮數列：項數無限的數列11、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：an+1>an）12、遞減數列：從第2項

4、起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：an+1<an）13、常數列：各項相等的數列（即：an+1=an）14、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列15、數列的通項公式：表示數列的第項與序號之間的關系的公式16、數列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系的公式17、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差符號表示:。注：看數列是不是等差數列有以下三種方法： 2() (為常數18、由三個數，組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為與的等差中項若，則稱為與的等差中項

5、19、若等差數列的首項是，公差是，則20、通項公式的變形：；21、若是等差數列，且（、），則；若是等差數列，且（、），則22、等差數列的前項和的公式：；23、等差數列的前項和的性質：若項數為，則，且，若項數為，則，且，（其中，）24、如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比符號表示：（注：等比數列中不會出現值為0的項；同號位上的值同號）注：看數列是不是等比數列有以下四種方法： (，)(為非零常數).正數列成等比的充要條件是數列（）成等比數列.25、在與中間插入一個數，使，成等比數列，則稱為與的等比中項若，則稱為與的等比中項（

6、注：由不能得出，成等比，由，）26、若等比數列的首項是，公比是，則27、通項公式的變形：；28、若是等比數列，且（、），則；若是等比數列，且（、），則29、等比數列的前項和的公式：30、對任意的數列的前項和與通項的關系：注： （可為零也可不為零為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）若不為0，則是等差數列充分條件）.等差前n項和 可以為零也可不為零為等差的充要條件若為零，則是等差數列的充分條件；若不為零，則是等差數列的充分條件. 非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）附：幾種常見的數列的思想方法：等差數列的前項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的

7、值，有兩種方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函數的性質求的值.數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：數列通項公式對應函數等差數列（時為一次函數）等比數列（指數型函數）數列前n項和公式對應函數等差數列（時為二次函數）等比數列（指數型函數）我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數列中，則 .分析：因為是等差數列，所以是關于n的一次函數，一次函數圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上）例題：2、等差數列中

8、，前n項和為，若，n為何值時最大？分析：等差數列前n項和可以看成關于n的二次函數=，是拋物線=上的離散點，根據題意，則因為欲求最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為，即當時，最大。如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差的最小公倍數.2. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n2的任意自然數,驗證為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。3.

9、在等差數列中,有關Sn 的最值問題：(1)當>0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值. (2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。數列求和的常用方法1. 公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。2.裂項相消法:適用于其中 是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。例題：已知數列an的通項為an=,求這個數列的前n項和Sn.解：觀察后發現：an= 3.錯位相減法:適用于其中 是等差數列，是各項不為0的等比數列。例題：已知數列an的通項公式為，求這個數列的前n項之和。解：由題

10、設得： =即= 把式兩邊同乘2后得= 用-，即：= = 得4.倒序相加法: 類似于等差數列前n項和公式的推導方法.5.常用結論1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 含參不等式一、判別式法：若所求問題可轉化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數,有1）對恒成立；2）對恒成立 。例1已知函數的定義域為R，求實數的取值范圍。解：由題設可將問題轉化為不等式對恒成立，即有解得。所以實數的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例2設，當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：設，則當時，恒成立當時，顯

11、然成立；Oxyx-1當時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數的取值范圍為。二、最值法將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：設，則由題可知對任意恒成立令，得而，即實數的取值范圍為。例4已知函數，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。

12、這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立實際上，上題就可利用此法解決。略解：在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數在上的最大值為，所以。 例5已知函數時恒成立，求實數的取值范圍。解： 將問題轉化為對恒成立，令，則由可知在上為減函數，故即的取值范圍為。注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例6對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉化為一次不等式在

13、上恒成立的問題。解：令，則原問題轉化為恒成立（）。當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數在上恒有的充要條件為。五、數形結合法數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數圖象和不等式有著密切的聯系：1）函數圖象恒在函數圖象上方；2）函數圖象恒在函數圖象下上方。例7設 , ,若恒有成立,求實數的取值范圍. x-2-4yO-4解：在同一直角坐標系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足 ，解得（舍去)由上可見

14、，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉化，抓住了這點，才能以“不變應萬變”，當然這需要我們不斷的去領悟、體會和總結。一元二次不等式一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的不等式 二次函數（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根 無實根 R 解一元二次不等式的步驟： 將二次項系數化為“+”：A=>0(或<0)(a>0) 計算判別式，分析不等式的解的情況：.>0時，求根<，.=0時，求根，.<0時，方程無解， 寫出解集.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數圖像來

15、分析：設ax2+bx+c=0的兩根為，f(x)=ax2+bx+c,那么：對稱軸x=yox若兩根都大于0，即，則有對稱軸x=oxy若兩根都小于0，即，則有oyx若兩根有一根小于0一根大于0，即，則有X=nxmoy若兩根在兩實數m,n之間，即，則有 X=yomtnx若兩個根在三個實數之間，即，則有常由根的分布情況來求解出現在a、b、c位置上的參數例如：若方程有兩個正實數根，求的取值范圍。解：由型得所以方程有兩個正實數根時，。又如：方程的一根大于1，另一根小于1，求的范圍。解：因為有兩個不同的根，所以由訓練：二次方程的兩根為，且，那么的解集為（ C ）.（A） （B）（C） （D）練習：1.下列不等

16、式：；.其中是一元二次不等式的有（ C ）個.（A） （B） （C） （D）2.不等式的解集為（ C ）.(A) (B) （C） （D）3.已知，則的取值范圍是（ C ）.(A) (B)R （C） （D）4.已知二次不等式的解集為，則的值為（ D ）.（A）（B）（C） （D）5.若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是（ B ）.(A) (B) （C） （D） 6若集合，則.7.函數的定義域是.8.方程有兩不等個實根，則實數的取值范圍是 .9.不等式的解集是，試確定的值.【小可愛老師說】注意“三”個二次之間的關系.解：由解集的形式和韋達定理可知 .【小可愛老師說】注意一元二次不等式的解集與

17、一元二次方程根的關系.10.求函數的定義域.【小可愛老師說】以解析式給出的函數的定義域，是使解析式有意義的的集合.解：由函數的解析式有意義，得即 所以函數的定義域為.【小可愛老師說】求定義域的實質就是解不等式組.練習1.若關于的不等式，則實數的取值范圍是 .2.在R上定義運算若不等式對任意實數均成立，則（ C ）.（A） （B）（C） （D）均值不等式設、是兩個正數，則稱為正數、的算術平均數，稱為正數、的幾何平均數1. (1)若，則(2)若，則（當且僅當時取“=”）2. (1)若，則(2)若，則（當且僅當時取“=”）(3)若，則 (當且僅當時取“=”）3.若，則 (當且僅當時取“=”）若，則

18、(當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）4.若，則 (當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）5.若，則（當且僅當時取“=”）ps.(1)當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用均值不等式定理： 若，則，即極值定理：設、都為正數，則有：若（和為定值），則當時，積取得最大值若（積為定值），則當時，和取得最小值例：已知，求函數的最大值。解：，由原式可以化為：

19、當，即時取到“=”號也就是說當時有應用一：求最值例1：求下列函數的值域（1）y3x 2 （2）yx解：(1)y3x 22 值域為，+）(2)當x0時，yx22；當x0時， yx= （ x）2=2值域為（，22，+）解題技巧技巧一：湊項例 已知，求函數的最大值。 解：因，所以首先要“調整”符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數例1. 當時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數

20、即可。當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設，求函數的最大值。解：當且僅當即時等號成立。技巧三： 分離例3. 求的值域。解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當,即時,（當且僅當x1時取“”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當,即t=時,（當t=2即x1時取“”號）。評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒

21、正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函數的單調性。例：求函數的值域。解：令，則因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函數，故。所以，所求函數的值域為。練習求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.（1） （2） (3)2已知，求函數的最大值.；3，求函數的最大值.條件求最值1.若實數滿足，則的最小值是 .分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解： 都是正數，當時等號成立，由及得即當時，的最小值是6變式：若，求的最小值.并求x,y的值

22、技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七已知x，y為正實數，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應化簡中y2前面的系數為 ， xx x·下

23、面將x，分別看成兩個因式：x· 即x·x 技巧八：已知a，b為正實數，2baba30，求函數y的最小值.分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一：a， ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2

24、 30ab2令u則u22u300， 5u33，ab18，y點評：本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發求得的范圍，關鍵是尋找到之間的關系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉換為含的不等式，進而解得的范圍.變式：1.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實數，3x2y10，求函數W的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，本題很簡單 2解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23

25、x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2變式: 求函數的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當且僅當=，即時取等號。 故。評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實數，求證：1）正數a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等

26、式可得三個“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當且僅當時取等號。應用三：均值不等式與恒成立問題例：已知且，求使不等式恒成立的實數的取值范圍。解：令， 。 ，應用四：均值定理在比較大小中的應用：例：若，則的大小關系是 .分析： （ R>Q>P。整式不等式（高次不等式）穿根法（零點分段法）求解不等式：解法：將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數化“+”；(為了統一方便) 求根，并將根按從小到大的在數軸上從左到右的表示出來；由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶次根穿而不過，奇次根一穿而過），經過數軸上表示各根的點（為什么？）；若不等式（x的系數化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區間.+XX1X2X3Xn-2Xn-1Xn+-214x（自右向左正負相間）例題：求不等式的解集。解：將原不等式因式分解為： 由方程：解得 將這三個根按從小到大順序在數軸上標出來，如圖由圖可看出不等式的解集為：例題：求解不等式的解集。分式不等