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文檔簡介

1、初三初三數學數學復習十復習十 圓圓江蘇科技版江蘇科技版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學內容:復習十 圓二. 教學目標(1)掌握圓的有關概念和計算知道圓由圓心與半徑確定,了解圓的對稱性通過圖形直觀識別圓的弦、弧、圓心角等基本元素利用圓的對稱性探索弧、弦、圓心角之間的關系,并會進行簡單計算和說理探索并了解圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征掌握垂徑定理及其推論,并能進行計算和說理了解三角形外心、三角形外接圓和圓內接三角形的概念掌握圓內接四邊形的性質(2)點與圓的位置關系能根據點到圓心的距離和半徑的大小關系確定點與圓的位置關系知道“不在同一直線上的三個點確定一個圓”并會作圖(3)直線與圓

2、的位置關系能根據圓心到直線的距離和半徑的大小關系確定直線與圓的位置關系了解切線的概念能運用切線的性質進行簡單計算和說理掌握切線的識別方法了解三角形內心、三角形內切圓和圓的外切三角形的概念能過圓上一點畫圓的切線并能利用切線長定理進行簡單的切線計算(4)圓與圓的位置關系 了解圓與圓的五種位置關系及相應的數量關系能根據兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的數量關系判定兩圓的位置關系掌握兩圓公切線的定義并能進行簡單計算(5)圓中的計算問題掌握弧長的計算公式,由弧長、半徑、圓心角中已知兩個量求第三個量掌握求扇形面積的兩個計算公式,并靈活運用了解圓錐的高、母線等概念結合生活中的實例(模型)了解圓柱、圓錐的側面展開

3、圖會求圓柱、圓錐的側面積、全面積,并能結合實際問題加以應用能綜合運用基本圖形的面積公式求陰影部分面積三. 教學難點與重點:與圓的性質有關的計算、開放題以及與圓和多邊形結合的探索題是本單元的重點也是難點課堂教學(一)知識要點知識點 1:知識點之間的關系 圓 切線長 切線 圓與圓的位置關系圓的切線 直線與圓的 位置關系 點與圓的位置關系 垂徑定理及其推論 圓周角、同弧上圓周角的關系 弧、弦與圓心角 與圓有關的位置關系 圓的基本性質 圓的對稱性 兩圓公切線 與圓有關的計算 弧長和扇形的面積 圓錐的側面積和全面積 知識點 2:圓的有關性質和計算弧、弦、圓心角之間的關系:在同圓或等圓中,如果兩條劣弧(優

4、弧) 、兩個圓心角中有一組量對應相等,那么它們所對應的其余各組量也分別對應相等垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧垂徑定理的推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧在同一圓內,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于該弧所對的圓心角的一半圓內接四邊形的性質:圓的內接四邊形對角互補,并且任何一個外角等于它的內對角知識點 3:點與圓的位置關系設點與圓心的距離為,圓的半徑為,dr則點在圓外; 點在圓上; 點在圓內drdrdr過不在同一直線上的三點有且只有一

5、個圓 一個三角形有且只有一個外接圓三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等知識點 4:直線與圓的位置關系設圓心到直線 的距離為,圓的半徑為,ldr則直線與圓相離;直線與圓相切;直線與圓相交drdrdr切線的性質:與圓只有一個公共點;圓心到切線的距離等于半徑;圓的切線垂直于過切點的半徑切線的識別:如果一條直線與圓只有一個公共點,那么這條直線是圓的切線到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點三角形的內心到三角形三邊的距離相等切線長:圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到

6、圓的切線長切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角知識點 5:圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種:外離、外切、相交、內切、內含 設兩圓心的距離為,兩圓的半徑為,則兩圓外離d12rr、12drr 兩圓外切12drr 兩圓相交1212rrdrr 兩圓內切12drr 兩圓內含 12drr兩個圓構成軸對稱圖形,連心線(經過兩圓圓心的直線)是對稱軸由對稱性知:兩圓相切,連心線經過切點兩圓相交,連心線垂直平分公共弦兩圓公切線的定義:和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線兩個圓在公切線同旁時,這樣的公切線叫做外公切線兩個圓在公切線兩旁時,這樣的公切線叫做

7、內公切線公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長 知識點 6:與圓有關的計算弧長公式: 扇形面積公式:180n rl213602n rSlr扇形(其中為圓心角的度數,為半徑)nr圓柱的側面展開圖是矩形圓柱體也可以看成是一個矩形以矩形的一邊為軸旋轉而形成的幾何體圓柱的側面積底面周長高 圓柱的全面積側面積2底面積圓錐的側面展開圖是扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長圓錐體可以看成是由一個直角三角形以一條直角邊為軸旋轉而成的幾何體圓錐的側面積底面周長母線;圓錐的全面積側面積底面積12【典型例題典型例題】例 1. ABC 中,AC6,BC8,C90,以點 C 為圓心,CA 為

8、半徑的圓與 AB 交于點 D,求 AD 的長【分析分析】圓中有關弦的計算問題通常利用垂徑定理構造直角三角形求解,所以作CHAB,這只要求出 AH 的長就能得出 AD 的長【解解】作 CHAB,垂足為 HC90,AC6,BC8AB10C90,CHABABAHAC2又AC6, AB10AH3.6CHABAD2AH AD7.2答:AD 的長為 7.2. 【說明說明】解決與弦有關的問題,往往需要構造垂徑定理的基本圖形由半徑、弦心距、弦的一半構成的直角三角形,它是解決此類問題的關鍵定理的應用必須與所對應的基本圖形相結合,同學們在復習時要特別注重基本圖形的掌握例 2. (1)如圖,ABC 內接于O,AB

9、為直徑,CAEB,試說明 AE 與O 相切于點 A(2)在(1)中,若 AB 為非直徑的弦,CAEB,AE 還與O 相切于點 A 嗎?請說明理由【分析分析】第(1)小題中,因為 AB 為直徑,只要再說明BAE 為直角即可第(2)小題中,AB 為非直徑的弦,但可以轉化為第(1)小題的情形【解解】 (1)AB 是O 的直徑C90BACB90又CAEBBACCAE 90即BAE 90AE 與O 相切于點 A.(2)連結 AO 并延長交O 于 D,連結 CD.AD 是O 的直徑ACD90DCAD90又DB BCAD90又CAE B CAECAD90即EAD 90 AE 仍然與O 相切于點 A. 【說明

10、說明】本題主要考查切線的識別方法滲透了“由特殊到一般”的數學思想方法,這對于學生的探索能力的培養非常重要例 3. 如圖,已知O 的直徑 AB 垂直于弦 CD 于 E,連結 AD、BD、OC、OD,且OD5(1)若,求 CD 的長sinBAD 35(2)若ADO:EDO4:1,求扇形 OAC(陰影部分)的面積(結果保留) 【分析分析】圖形中有 “直徑對直角” ,這樣就出現了“直角三角形及斜邊上的高”的基本圖形,求 CD 的長就轉化為求 DE 的長第(2)小題求扇形 OAC 的面積其關鍵是求AOD 的度數,從而轉化為求AOD 的大小【解解】 (1)AB 是O 的直徑,OD5ADB90,AB10又在

11、 RtABD 中,3sin5BDBADABBD 6ADB90,ABCDBD2BEABAB10 BD 6BE185在 RtEBD 中,由勾股定理得DE 245CDDE2485答:CD 的長為485(2)AB 是O 的直徑,ABCDCBBDACAD,BADCDB,AOCAODAODOBADADOCDBADO設ADO4k,則CDB4kADOEDOEDB90得 k104490kkkAOD180(OADADO)100AOCAOD100則SOAC扇形1003605125182答:扇形 OAC 的面積為12518【說明說明】本題涉及到了圓中的重要定理、直角三角形的邊角關系、扇形面積公式等知識點的綜合,考查了

12、學生對基本圖形、基本定理的掌握程度求 DE 長的方法很多,可以用射影定理、勾股定理,也可以運用面積關系來求,但都離不開“直角三角形及斜邊上的高”這個基本圖形解題中也運用了比例問題中的設 k 法,同時也滲透了“轉化”的思想方法例 4. 半徑為 2.5 的O 中,直徑 AB 的不同側有定點 C 和動點 P已知 BC :CA4 : 3,點 P 在半圓 AB 上運動(不與 A、B 兩點重合) ,過點 C 作 CP 的垂線,與 PB 的延長線交于點 Q.(1)當點 P 與點 C 關于 AB 對稱時,求 CQ 的長;(2)當點 P 運動到半圓 AB 的中點時,求 CQ 的長; (3)當點 P 運動到什么位

13、置時,CQ 取到最大值?求此時 CQ 的長【分析分析】當點 P 與點 C 關于 AB 對稱時,CP 被直徑垂直平分,由垂徑定理求出 CP 的長,再由 RtACBRtPCQ,可求得 CQ 的長當點 P 在半圓 AB 上運動時,雖然 P、Q 點的位置在變,但PCQ 始終與ACB 相似,點 P 運動到半圓 AB 的中點時,PCB45,作 BEPC 于點 E, CPPEEC. 由于 CP 與 CQ 的比值不變,所以 CP取得最大值時 CQ 也最大【解解】 (1)當點 P 與點 C 關于 AB 對稱時,CPAB,設垂足為 DAB 為O 的直徑,ACB90AB5,AC:CA4:3BC4,AC3SRtACB

14、ACBCABCD1212 1224,.55CDPC 在 RtACB 和 RtPCQ 中, ACBPCQ90,CABCPQ RtACBRtPCQ ACBCPCCQ 53234PCACPCBCCQ(2)當點 P 運動到弧 AB 的中點時,過點 B 作 BEPC 于點 E(如圖) P 是弧 AB 的中點,又CPBCABCPB tanCAB 43 33 2,tan42BEPEBECPB 從而7 22PCPEEC由(1)得,414 2.33CQPC(3)點 P 在弧 AB 上運動時,恒有PCACPCBCCQ34故 PC 最大時,CQ 取到最大值當 PC 過圓心 O,即 PC 取最大值 5 時,CQ 最大

15、值為203【說明說明】本題從點 P 在半圓 AB 上運動時的兩個特殊位置的計算問題引申到求 CQ 的最大值,一方面滲透了“由特殊到一般”的思想方法,另一方面運用“運動變化”的觀點解決問題時,尋求變化中的不變性(題中的 RtACBRtPCQ)往往是解題的關鍵 例 5. 如圖,PA,PB 是O 的切線,A,B 為切點,OAB30 (1)求APB 的度數; (2)當 OA3 時,求 AP 的長 【點評】本題用到的知識點較多,主要知識點有:圓的切線的性質;等腰三角形的性質;四邊形內角和定理;垂徑定理;銳角三角函數等【解解】 (1)在ABO 中,OAOB,OAB30,AOB180230120,PA、PB

16、 是O 的切線,OAPA,OBPB,即OAPOBP90 AOB+APB=180APB=60(2)如圖,作 ODAB 交 AB 于點 D,在OAB 中,OAOB,ADAB,12在 RtAOD 中,OA3,OAD30,ADOAcos30,APAB33 323例 6. 如圖,這是一個由圓柱體材料加工而成的零件,它是以圓柱體的上底面為底面,在其內部“掏取”一個與圓柱體等高的圓錐體而得到的,其底面直徑 AB12cm,高BC8cm,求這個零件的表面積 (結果保留根號)【解解】這個零件的底面積()236cm2 122這個零件的外側面積12896cm2 圓錐母線長 OC10cm 22128()2這個零件的內側

17、面積121060cm2,12這個零件的表面積為:369660192cm2 例 7. 如圖,O 是圓柱形木塊底面的圓心,過底面的一條弦 AD,沿母線 AB 剖開,得剖面矩形 ABCD,AD24cm,AB25cm,若 AmD 的長為底面周長的,如圖所示:23 (1)求O 的半徑; (2)求這個圓柱形木塊的表面積 (結果可保留根號)【解解】 (1)連結 OA、OD,作 OEAD 于 E,易知AOD120,AE12cm,可得 AOr8cm sin60AE3(2)圓柱形木塊的表面積2S圓S圓柱側(384400)cm23例 8. 在圖 1 和圖 2 中,已知 OAOB,AB24,O 的直徑為 10. (1

18、)如圖 1,AB 與O 相切于點 C,試求 OA 的值;(2)如圖 2,若 AB 與O 相交于 D、E 兩點,且 D、E 均為 AB 的三等分點,試求tanA 的值(1) 【解解】連結 OC,AB 與O 相切于 C 點,OCA90,OAOB,ACBC12 在 RtACO 中,OA13 2222125ACOC(2)作 OFAB 于點 F,連結 OD,DFEF;AFADDF8412,在 RtODF 中,OF3,222254ODDF在 RtAOF 中,tanA 31124OFAF例 9. 如圖,在ABC 中,C90,以 BC 上一點 O 為圓心,以 OB 為半徑的圓交AB于點 M,交 BC 于點 N

19、 (1)求證:BABMBCBN;(2)如果 CM 是O 的切線,N 為 OC 的中點,當 AC3 時,求 AB 的值(1) 【證明證明】連接 MN 則BMN90ACB,ACBNMB,ABBMBCBN BCABBMBN(2) 【解解】連接 OM,則OMC90,N 為 OC中點,MNONOM,MON60,OMOB,BMON3012ACB90,AB2AC236 例 10. 已知:如圖,ABC 內接于O,點 D 在 OC 的延長線上,sinB,CAD3012 (1)求證:AD 是O 的切線;(2)若 ODAB,BC5,求 AD 的長(1) 【證明證明】如圖,連結 OA,因為 sinB,12所以B30,

20、故O60,又 OAOC,所以ACO 是等邊三角形,故OAC60,因為CAD30,所以OAD90,所以 AD是O 的切線 (2) 【解解】因為 ODAB,所以 OC 垂直平分 AB,則 ACBC5,所以 OA5,在OAD 中,OAD90,由正切定義,有 tanAOD,所以 AD5 ADOA3【模擬試題模擬試題】一、填空題1. 已知扇形的圓心角為 120,半徑為 2cm,則扇形的弧長是_cm,扇形的面積是_cm22. 如圖,兩個同心圓中,大圓的半徑 OA4cm,AOBBOC60,則圖中陰影部分的面積是_cm23. 圓錐的底面半徑為 6cm,高為 8cm,那么這個圓錐的側面積是_cm24. 如圖,O

21、 的半徑為 4cm,直線lOA,垂足為 O,則直線l沿射線 OA方向平移_cm 時與O 相切 5. 兩圓有多種位置關系,圖中不存在的位置關系是_6. 如圖,從一塊直徑為 ab 的圓形紙板上挖去直徑分別為 a 和 b 的兩個圓,則剩下的紙板面積是_7. 如圖,AB 為半圓 O 的直徑,CB 是半圓 O 的切線,B 是切點,AC交半圓 O 于點D,已知 CD1,AD3,那么 cosCAB_8. 如圖,BC 為半O 的直徑,點 D 是半圓上一點,過點 D 作O的切線AD,BADA 于 A,BA 交半圓于 E,已知 BC10,AD4,那么直線 CE 與以點 O 為圓心,為半徑的圓的位置關系是_52二、

22、選擇題1. 在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片,使之恰好能圍成一個圓錐模型,若圓的半徑為 r,扇形的半徑為 R,扇形的圓心角等于 120,則 r 與 R 之間的關系是( ) A. R2r B. Rr C. R3r D. R4r2. 圓錐的底面半徑為 3cm,母線長為 5cm,則它的側面積是( ) A. 60cm2 B. 45cm2 C. 30cm2 D. 15cm23. 已知圓錐側面展開圖的圓心角為 90,則該圓錐的底面半徑與母線長的比為( ) A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:14. 將直徑為 64cm 的圓形鐵皮,做成四個相同圓錐容器的側面(不浪費材料,不計接縫處的材料損

23、耗) ,那么每個圓錐容器的高為( ) A. 8cm B. 8cm C. 16cm D. 16cm151735. 如圖,圓心角都是 90的扇形 OAB 與扇形 OCD 疊放在一起,OA3,OC1,分別連結 AC、BC,則圓中陰影部分的面積為( )A. B. C. 2 D. 4126. 如圖,將圓桶中的水倒入一個直徑為 40cm,高為 55cm的圓口容器中,圓桶放置的角度與水平線的夾角為 45,若使容器中的水面與圓桶相接觸,則容器中水的深度至少應為( ) A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 35cm7. 生活處處皆學問,如圖,眼鏡鏡片所在的兩圓的位置關系是( )A. 外離 B.

24、外切 C. 內含 D. 內切8. O 的半徑為 4,圓心 O 到直線 L 的距離為 3,則直線 L 與O 的位置關系是( ) A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 無法確定9. 如圖,已知O 的直徑 AB 與弦 AC 的夾角為 35,過點 C 的切線 PC 與 AB 的延長線交于點 P,那么P 等于( ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 3010. 已知圓 A 和圓 B 相切,兩圓的圓心距為 8cm,圓 A 的半徑為 3cm, 則圓 B 的半徑是( ) A. 5cm B. 11cm C. 3cm D. 5cm 或 11cm11. 如圖 PB 為O 的切線,B 為切點,連結 PO

25、交O 于點 A,PA2,PO5,則PB 的長度為( )A. 4 B. C. 2 D. 4106312. 如圖,AB 與O 切于點 B,AO6cm,AB4cm,則O 的半徑為( )A. 4cm B. 2cm C. 2cm D. m551313三、解答題1. 如圖,已知正三角形 ABC 的邊長為 2a (1)求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積 (2)根據計算結果,要求圓環的面積,只需測量哪一條弦的大小就可算出圓環的面積; (3)將條件中的“正三角形”改為“正方形” “正六邊形” ,你能得出怎樣的結論? (4)已知正 n 邊形的邊長為 2a,請寫出它的內切圓與外接圓組成的圓環面積2. 如圖,已知

26、O 為原點,點 A 的坐標為(4,3) ,A 的半徑為 2. 過 A 作直線 平行于l軸,點 P 在直線 上運動xl(1)當點 P 在A 上時,請你直接寫出它的坐標;(2)設點 P 的橫坐標為 12,試判斷直線 OP 與A 的位置關系,并說明理由3. 如圖 1,已知中,過點作,且RtABC30CAB5BC AAEAB,連接交于點15AE BEACP(1)求的長;PA(2)以點為圓心,為半徑作A,試判斷與A 是否相切,并說明理由;AAPBE(3)如圖 2,過點作,垂足為以點為圓心,為半徑作A;以CCDAEDAr點為圓心,為半徑作C若和的大小是可變化的,并且在變化過程中保持ACRrR和C 相切,且使點在A 的內部,點在A 的外部,求和的變化范圍DBrR4. 已知:AB 為O 的直徑,P 為 AB 弧的中點(1)若O與O 外切于點 P(見圖甲) ,AP、BP 的延長線分別交O于點C、D,連接 CD,則PCD 是 三角形; (2)若O與O 相交于點 P、Q(見圖乙) ,連接 AQ、BQ 并延長分別交O于點 E、F,請選擇下列兩個問題中的一個作答:問題一:判斷PEF 的形

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