1、2019屆中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)【考綱要求】1.理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題.題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2.命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識解決問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在RtABC中，C90°，A所對的邊BC記為a，叫做A的對邊，也叫做B的鄰邊，B所對的邊AC記為b，叫做B的對邊，也是A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊 銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即

2、；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即.同理；要點(diǎn)詮釋：(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變化(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學(xué)符號，是一個整體，不能寫成，不能理解成sin與A，cos與A，tan與A的乘積書寫時習(xí)慣上省略A的角的記號“”，但對三個大寫字母表示成的角(如AEF)，其正切應(yīng)寫成“tanAEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、常寫成、(3)任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值

3、，不因這個角不在某個三角形中而不存在(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°A90°之間變化時，tanA0考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°要點(diǎn)詮釋：(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)： 、的值依次為、，而、的值的順序正好相反，、的值

4、依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：當(dāng)角度在0°A90°之間變化時， 正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)， 余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在RtABC中，C=90°(1)互余關(guān)系：，；(2)平方關(guān)系：；(3)倒數(shù)關(guān)系：或；(4)商數(shù)關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便考點(diǎn)四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素

5、，即三條邊和兩個銳角.設(shè)在RtABC中，C=90°，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有：三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).銳角之間的關(guān)系：A+B=90°.邊角之間的關(guān)系：，.，h為斜邊上的高.要點(diǎn)詮釋：(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知的值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟RtABC兩邊兩直角邊(a，b)由求A，B=90°A，斜邊，一直角邊(如c，a)

6、由求A，B=90°A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如A，b)B=90°A，銳角、對邊(如A，a)B=90°A，斜邊、銳角(如c，A)B=90°A，要點(diǎn)詮釋：1在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計算.2若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的

7、邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.解這類問題的一般過程是：(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.拓展：在用直角三角形知識解決實(shí)際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母

8、表示，則，如圖，坡度通常寫成=的形式.(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°

9、;，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要點(diǎn)詮釋：1解直角三角形實(shí)際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.2非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.例如：3解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)1如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，tan=( )(A)1 (B)2 (C) (D) 【思路點(diǎn)撥】把放

10、在一個直角三角形中，根據(jù)網(wǎng)格的長度計算出的對邊和鄰邊的長度.【答案】B；【解析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)：設(shè)每一小正方形的邊長為1，可以確定的對邊為2，鄰邊為1，然后利用正切的定義， 故選B.【總結(jié)升華】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用，可將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊舉一反三：【變式】在RtABC中，C=90°,若AC=2BC，則sinA的值是( )(A) (B)2 (C) (D) 【答案】選C.因?yàn)镃=90°，所以.類型二、特殊角的三角函數(shù)值2已知a3，且，以a、b、c為邊長組成的三角形面積等于( ) A6 B7 C8 D9

11、【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意知求出b、c的值，再求三角形面積.【答案】A；【解析】根據(jù)題意知 解得 所以a3，b4，c5，即，其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且C90°，所以【總結(jié)升華】利用非負(fù)數(shù)之和等于0的性質(zhì)，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要記錯舉一反三：【變式】計算：.【答案】原式.3如圖所示，在ABC中，BAC120°，AB10，AC5，求sinB·sinC的值 【思路點(diǎn)撥】 為求sin B，sin C，需將B，C分別置于直角三角形之中，另外已知A的鄰補(bǔ)角是60°，若要使其充分發(fā)揮作用，也需要將

12、其置于直角三角形中，所以應(yīng)分別過點(diǎn)B、C向CA、BA的延長線作垂線，即可順利求解【答案與解析】解：過點(diǎn)B作BDCA的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CEBA的延長線于點(diǎn)E BAC120°，BAD60°ADAB·cos60°10×5；BDAB·sin60°10×又CDCA+AD10， 同理，可求得 【總結(jié)升華】由于銳角的三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，因此若要求某個角的三角函數(shù)值，一般可以通過作垂線等方法將其置于直角三角形中舉一反三：【變式】如圖，機(jī)器人從A點(diǎn)，沿著西南方向，行了個單位，到達(dá)B點(diǎn)后觀察到原點(diǎn)O在它的南偏東60&

13、#176;的方向上，則原來A的坐標(biāo)為_.(結(jié)果保留根號)【答案】類型三、解直角三角形及應(yīng)用【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí) ID：408468 播放點(diǎn)：例3】4在ABC中，A30°，BC3，AB，求BCA的度數(shù)和AC的長【思路點(diǎn)撥】由于A是一個特殊角，且已知AB，故可以作AC邊上的高BD(如圖所示)，可求得由于此題的條件是“兩邊一對角”，且已知角的對邊小于鄰邊，因此需要判斷此題的解是否唯一，要考慮對邊BC與AC邊上的高BD的大小，而，所以此題有兩解【答案與解析】解：作BDAC于D (1)C1點(diǎn)在AD的延長線上在ABC1中，C160°由勾股定理，可分別求得，AC1AD+DC1

14、(2)C2點(diǎn)在AD上由對稱性可得，BC2DC160°，BC2A120°， 綜上所述，當(dāng)BCA60°時，AC6；當(dāng)BCA120°時，AC3【總結(jié)升華】由條件“兩邊一對角”確定的三角形可能不是唯一的，需要考慮第三邊上的高的大小判斷解是否唯一【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí) ID：408468 播放點(diǎn)：例4】5（2015茂名）如圖，一條輸電線路從A地到B地需要經(jīng)過C地，圖中AC=20千米，CAB=30°，CBA=45°，因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設(shè)一條筆直的輸電線路（1）求新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度；（結(jié)果保留根號）（2）問整改后

15、從A地到B地的輸電線路比原來縮短了多少千米？（結(jié)果保留根號）【思路點(diǎn)撥】（1）過C作CDAB，交AB于點(diǎn)D，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD與AD的長，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長，由AD+DB求出AB的長即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的長，由AC+CBAB即可求出輸電線路比原來縮短的千米數(shù)【答案與解析】解：（1）過C作CDAB，交AB于點(diǎn)D，在RtACD中，CD=ACsinCAD=20×=10（千米），AD=ACcosCAD=20×=10（千米），在RtBCD中，BD=10（千米），AB=AD+DB=10

16、+10=10（+1）（千米），則新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度10（+1）（千米）；（2）在RtBCD中，根據(jù)勾股定理得：BC=10（千米），AC+CBAB=20+10（10+10）=10（1+）（千米），則整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了10（1+）千米【總結(jié)升華】 解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA條件，求三角形中的其他元素是常見問題，注意劃歸為常見的兩個基本圖形(高在三角形內(nèi)或高在三角形外)(如圖所示)：舉一反三：【變式】坐落在山東省汶上縣寶相寺內(nèi)的太子靈蹤塔始建于北宋(公

17、元1112年)，為磚砌八角形十三層樓閣式建筑數(shù)學(xué)活動小組開展課外實(shí)踐活動，他們?nèi)y量太子靈蹤塔的高度，攜帶的測量工具有：測角儀、皮尺、小鏡子(1)小華利用測角儀和皮尺測量塔高下圖為小華測量塔高的示意圖她先在塔前的平地上選擇一點(diǎn)A，用測角儀測出看塔頂(M)的仰角35°，在點(diǎn)A和塔之間選擇一點(diǎn)B，測出看塔頂(M)的仰角45°，然后用皮尺量出A，B兩點(diǎn)間的距離為18.6m，量出自身的高度為1.6m請你利用上述數(shù)據(jù)幫助小華計算出塔的高度(tan35°0.7，結(jié)果保留整數(shù))(2)如果你是活動小組的一員，正準(zhǔn)備測量塔高，而此時塔影NP的長為am(如圖所示)，你能否利用這一數(shù)據(jù)

18、設(shè)計一個測量方案?如果能，請回答下列問題： 在你設(shè)計的測量方案中，選用的測量工具是：_；要計算出塔的高，你還需要測量哪些數(shù)據(jù)?_.【答案】 解：(1)設(shè)CD的延長線交MN于E點(diǎn)，MN長為x m，則ME(x-1.6)m 45°， DEMEx-1.6 CEx-1.6+18.6x+17 ， ，解得x45太子靈蹤塔MN的高度為45m (2)測角儀、皮尺； 站在P點(diǎn)看塔頂?shù)难鼋恰⒆陨淼母叨?注：答案不唯一)6（2015錦州）如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P附近海域由南向北巡航，某一時刻航行到A處，測得該島在北偏東30°方向，海監(jiān)船以20海里/時的速度繼續(xù)航行，2小時后到達(dá)B處，測

19、得該島在北偏東75°方向，求此時海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長（參考數(shù)據(jù)：1.414，結(jié)果精確到0.1） 【思路點(diǎn)撥】過B作BDAP于D，由已知條件得：AB=20×2=40，P=75°30°=45°，在RtABD中求出BD=AB=20，在RtBDP中求出PB即可【答案與解析】解：過B作BDAP于D，由已知條件得：AB=20×2=40，P=75°30°=45°，在RtABD中，AB=40，A=30，BD=AB=20，在RtBDP中，P=45°，PB=BD=2028.3（海里）答：此時海監(jiān)船與黃巖島

20、P的距離BP的長約為28.3海里【總結(jié)升華】此題主要考查解直角三角形的有關(guān)知識通過數(shù)學(xué)建模把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. 如圖所示，在RtABC中，ACB90°，BC1，AB2，則下列結(jié)論正確的是 ( ) Asin A Btan A CcosB Dtan B 第1題 第2題2如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足為D若AC=，BC=2，則sinACD的值為（）A B CD3在ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足 BCCAAB=51213，則cosB=（ ）A B C D4如圖所示，在ABC中，C=90°，AD是BC邊上的中

21、線，BD=4，AD=2，則tanCAD的值是（）A.2 B. C. D. 第4題 第6題5（2015大邑縣校級模擬）一個物體從A點(diǎn)出發(fā)，沿坡度為1：7的斜坡向上直線運(yùn)動到B，AB=30米時，物體升高（）米A B3 CD以上的答案都不對6如圖，已知：45°A90°，則下列各式成立的是（）A.sinA=cosA B.sinAcosA C.sinAtanA D.sinAcosA二、填空題7若的余角是30°，則cos的值是 .8如圖，ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=_. 第8題 第12題9計算2sin30°sin245°+tan30

22、6;的結(jié)果是 .10已知是銳角，且sin(+15°)=.計算的值為 .11（2015春茅箭區(qū)月考）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為 海里（結(jié)果保留根號）12如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點(diǎn)P，則tanNPH的值為 三、解答題13如圖所示，我市某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB5m，現(xiàn)要在C點(diǎn)上方2m處加固另一條鋼纜E

23、D，那么EB的高為多少米?(結(jié)果保留三個有效數(shù)字)14. 已知：如圖所示，八年級(1)班數(shù)學(xué)興趣小組為了測量河兩岸建筑物AB和建筑物CD的水平距離AC，他們首先在A點(diǎn)處測得建筑物CD的頂部D點(diǎn)的仰角為25°，然后爬到建筑物AB的頂部B處測得建筑物CD的頂部D點(diǎn)的俯角為15°30已知建筑物AB的高度為30米，求兩建筑物的水平距離AC(精確到0.1米)（可用計算器查角的三角函數(shù)值）15（2015成都）如圖，登山纜車從點(diǎn)A出發(fā)，途經(jīng)點(diǎn)B后到達(dá)終點(diǎn)C，其中AB段與BC段的運(yùn)行路程均為200m，且AB段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為30°，BC段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為42&

24、#176;，求纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離（參考數(shù)據(jù)：sin42°0.67，cos42°0.74，tan42°0.90）16. 如圖所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD2.5m，壩高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求壩底寬BC. 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D；【解析】sinA，tan A，cosB故選D.2.【答案】A；【解析】在直角ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB=3B+BCD=90°，ACD+BCD=90°，B=ACD sinACD=sinB=，故選A3.【答案】C；【解析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)

25、cosB=，故選C4.【答案】A；【解析】AD是BC邊上的中線，BD=4，CD=BD=4，在RtACD中，AC= ，tanCAD=2故選A5.【答案】B；【解析】坡度為1：7，設(shè)坡角是，則sin=，上升的高度是：30×=3米故選B6.【答案】B；【解析】45°A90°，根據(jù)sin45°=cos45°，sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，當(dāng)A45°時，sinAcosA，故選B二、填空題7【答案】；【解析】=90°30°=60°，cos=cos60°=8【答案】；【解析】過C作CDAB，垂足為D，設(shè)小方格的長度為1， 在RtACD中，AC=2,sinA=.9【答案】+； 【解析】2sin30°sin245°+ tan30°=2×（）2+（）2+=1+=+10【答案】3；【解析】sin60°=，+15°=60°，=45°，原式=24×1+1+3=311【答案】40； 【解析】解：作PCAB于C，在RtPAC中，PA=80，PAC=30°，PC=40海里，在RtPBC中，PC=40，PBC=BPC=45