1、2021/3/231數字圖像處理數字圖像處理-圖像變換圖像變換2021/3/232一、 圖像變換的引入 1. 方法:對圖象信息進行變換,使能量保持但重新分配。 2. 目的:有利于加工、處理濾除不必要信息(如噪聲),加強/提取感興趣的部分或特征。 二、 方法分類 可分離、正交變換: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DHT, 2D-DWT 。 1提取圖像特征（如）:（1）直流分量:f(x,y)的平均值=F(0,0); （2）目標物邊緣:F（u,v）高頻分量。 2圖像壓縮:正交變換能量集中,對集中（小）部分進行編碼。 3圖像增強:低通濾波,平滑噪聲;高通濾波,銳化邊緣。 三、 用途圖像變換

2、的概念2021/3/2331、一維傅立葉變換及其反變換j2: ( )( )eduxF uf xx1j2: ( )( )eduxf xF uu一、一、連續連續傅里葉傅里葉變換變換（Continuous Continuous Fourier TransformFourier Transform） 3.1 3.1 二維離散傅里葉變換（二維離散傅里葉變換（DFTDFT）2021/3/234 這里這里 是實函數是實函數, ,它的傅里葉變換它的傅里葉變換 通常是復函數通常是復函數。 的實部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下的實部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下: :l實部實部 l虛部虛部 l l振幅

3、振幅 xf uF uF dtuttfuR 2cos dtuttfuI 2sin 2122uIuRuF 2021/3/235l能量能量 l相位相位 傅里葉變換可以很容易推廣到二維的情形。設函數傅里葉變換可以很容易推廣到二維的情形。設函數 是連續可積的是連續可積的, ,且且 可積可積, ,則存在如下的傅里則存在如下的傅里葉變換對葉變換對: : uIuRuFuE222 uRuIuarctan yxf, vuf,2021/3/2362. 2. 二維連續函數二維連續函數 f f ( (x x, , y y) )的傅里葉變換的傅里葉變換定義如下:l設 是獨立變量 的函數,且在 上絕對可積,則定義積分 為二

4、維連續函數 的付里葉變換,并定義 為 的反變換。 和 為傅里葉變換對。),(yxfyx, dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(（3.1） ),(yxf dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(),(vuF),(yxf),(vuF（3.2） 式中式中 是頻率變量。與一維的情況一樣是頻率變量。與一維的情況一樣, ,二維函數的傅里二維函數的傅里葉譜、能量和相位譜為葉譜、能量和相位譜為: :vu、2021/3/237l傅里葉頻譜傅里葉頻譜: : l相位相位: : l能量譜能量譜: : 2122,vuIvuRvuF vuRvuIvu,arctan, vuIvuRvuE,22 20

5、21/3/238【例例3.13.1】求圖3.1所示函數 他其, 0,),(YyXxAyxf的傅里葉變換。 解解: :將函數代入到(3.1)式中,得 XYvyjuxjvujdyedxeAddefvuF0022)(2),(),(vYjuxjevYvYeuXuXAXY)sin()sin(其幅度譜為vYvYuXuXAXYvuF)sin(sin),(2021/3/239二維信號的圖形表示圖3.1 二維信號f (x, y) 2021/3/2310（a）信號的頻譜圖 （b）圖（a）的灰度圖圖3.2 信號的頻譜圖 二維信號的頻譜圖2021/3/2311 同連續函數的傅里葉變換一樣同連續函數的傅里葉變換一樣,

6、,離散函數的傅里葉離散函數的傅里葉變換也可推廣到二維的情形變換也可推廣到二維的情形, ,其二維離散傅里葉變換定其二維離散傅里葉變換定義為義為: : 式中式中 , , 。二維離。二維離散傅里葉散傅里葉 反變換定義為反變換定義為 1010/ )(21,NxNyNvyuxjexfNvuF 1,.,1 , 0Nu1,.,1 , 0Nv 1010/ )(2,1,NuNvNvyuxjevuFNyxf 二、離散二、離散傅里葉傅里葉變換變換（Discrete Fourier Discrete Fourier TransformTransform） 2021/3/23123.1.2 3.1.2 二維離散傅里葉變

7、換二維離散傅里葉變換l尺寸為MN的離散圖像函數的DFT l反變換可以通過對F(u,v) 求IDFT獲得 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF（3.3） 1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf（3.4） 2021/3/2313 lDFT變換進行圖像處理時有如下特點:l（1）直流成分為F(0,0)。l（2）幅度譜|F(u,v)|對稱于原點。l（3）圖像f (x, y)平移后,幅度譜不發生變化,僅有相位發生了變化。 ),(),(),(vujIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu（3.5） （3.6） 2021/3/23

8、14例例: :圖象的二維離散傅立葉頻譜。圖象的二維離散傅立葉頻譜。讀入原始圖象讀入原始圖象I = imread(i_peppers_gray.bmp);imshow(I);% %求離散傅立葉頻譜求離散傅立葉頻譜J = fftshift(fft2(I); % %對原始圖象進行二維傅立葉變換對原始圖象進行二維傅立葉變換, ,并將其坐標原并將其坐標原 點移到頻譜圖中央位置點移到頻譜圖中央位置figure,imshow(log(abs(J),8,10); 2021/3/2315 （a a）原始圖像）原始圖像 （b b）離散傅里葉頻譜）離散傅里葉頻譜 圖圖: :二維圖像及其離散傅里葉頻譜的顯示二維圖像及

9、其離散傅里葉頻譜的顯示 2021/3/23163.1.3 3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質二維離散傅里葉變換的性質1周期性和共軛對稱性l周期性和共軛對稱性來了許多方便。l我們首先來看一維的情況。l設有一矩形函數為,求出它的傅里葉變換: 其他00)(XxAxfuXjXuxjuxjeuXuXAXdxeAdxexfuF022sin)()(2021/3/2317幅度譜: uXuXAXuFsin)( （a）幅度譜 （b）原點平移后的幅度譜 圖3.4 頻譜圖 2021/3/2318nDFT取的區間是0,N-1,在這個區間內頻譜是由兩個背靠背的半周期組成的 ,要顯示一個完整的周期,必須將變換的原點移至u

10、=N/2點。n根據定義,有 n在進行DFT之前用(-1)x 乘以輸入的信號 f (x) ,可以在一個周期的變換中（u0,1,2,N1）,求得一個完整的頻譜。10102)2/(2)() 1(1)(1)2/(NxNxxuNjxNuxNjexfNexfNNuF（3.7） 2021/3/2319l推廣到二維情況。在進行傅里葉變換之前用(-1)x+y 乘以輸入的圖像函數,則有: DFT的原點,即F(0,0)被設置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)點的變換值為: 即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅圖像,在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級,也稱作頻率譜的直流成分。 )2/, 2

11、/() 1)(,(NvMuFyxfDFTyx（3.8） 1010),(1)0 , 0(MxNyyxfMNF（3.9） 2021/3/2320（a）原始圖像 (b) 中心化前的頻譜圖 (c) 中心化后的頻譜圖圖3.5 圖像頻譜的中心化 2021/3/23212 2可分性可分性l離散傅里葉變換可以用可分離的形式表示 這里l對于每個x值,當v0,1,2,N1時,該等式是完整的一維傅里葉變換。 1010/2/2),(11),(MxNyNvyjMuxjeyxfNeMvuF10/2),(1MxMuxjevxFM（3.10） 10/2),(1),(NyNvyjeyxfNvxF（3.11） 2021/3/23

12、22n二維變換可以通過兩次一維變換來實現。n同樣可以通過先求列變換再求行變換得到2D DFT。 圖3.6 二維DFT變換方法2021/3/23233 3離散卷積定理離散卷積定理l設f(x,y)和g(x,y) 是大小分別為AB和CD的兩個數組,則它們的離散卷積定義為l卷積定理卷積定理 1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf（3.12） ),(),(),(*),(vuGvuFyxgyxfDFT（3.13） 2021/3/23244、旋轉性質（Rotation）( , ),f x yF u v00( ,)( ,)f rF wcosxrsinyrcosuwsinvw (

13、 , )f x y0( , )F u v0上式表明,對旋轉一個角度對應于將其傅里葉變換也旋轉相同的角度2021/3/2325l例例: :二維離散傅立葉變換的旋轉性。二維離散傅立葉變換的旋轉性。 （a a）原始圖像）原始圖像 （b b）原圖像的傅）原圖像的傅 （c c）旋轉后的圖像）旋轉后的圖像 （d d）旋轉后圖像的）旋轉后圖像的 里葉頻譜里葉頻譜 傅里葉頻譜傅里葉頻譜 上例表明上例表明, ,對對 旋轉一個角度旋轉一個角度 對應于對應于將其傅里葉變換將其傅里葉變換 也旋轉相同的角度也旋轉相同的角度 。 yxf, vuF,0 0 2021/3/2326（6）尺度變換（Scaling） vuaFy

14、xaf, bvauFabbyaxf,1,2021/3/2327 例:比例尺度展寬。（a）原始圖像 （b）比例尺度展寬前的頻譜 （c）比例尺度a=0.1,b=1,展寬后的頻譜2021/3/23283.2 3.2 二維離散余弦變換（二維離散余弦變換（DCTDCT）l任何實對稱函數的傅里葉變換中只含余弦項,余弦變換是傅里葉變換的特例,余弦變換是簡化DFT的重要方法。3.2.1 3.2.1 一維離散余弦變換一維離散余弦變換l將一個信號通過對折延拓成實偶函數,然后進行傅里葉變換,我們就可用2N點的DFT來產生N點的DCT。 1以x=-1/2為對稱軸折疊原來的實序列f(n) 得:)(nfc1),1(10)

15、,(nNnfNnnf （3.14） 2021/3/2329-N-10N-1NN+1f (n)圖3.8 延拓示意圖 2以2N為周期將其周期延拓,其中f（0）f（1）,f（N1）f（N） )(nfc12),12(10),(NnNnNfNnnf （3.15） ) 12( nNfc )(nfc（3.16） 2021/3/23303對0到2N1的2N個點的離散周期序列 作DFT,得令i2Nm1,則上式為)(nfc)(kFc1202)(NnnkNcWnf 102)(NnnkNWnf122) 12(NNmmkNWmNf )(kFc102)(NnnkNWnf 01)12(2)(NikiNNWif 22kNW1

16、02) 12(cos)(NnNknnf2021/3/2331l 為了保證變換基的規范正交性,引入常量,定義:F(k)C(k) N2C(k)= 102) 12(cos)(NnNknnf（3.17） 其中11, 10,21Nkk（3.18） 3.2.2 3.2.2 二維離散余弦變換二維離散余弦變換 1010)21(cos)21(cos),(2)()(),(MxNyyvNxuMyxfMNvCuCvuF（3.19） 2021/3/2332DCT逆變換為 【例例3.33.3】應用MATLAB實現圖像的DCT變換。 解解: :MATLAB程序如下: A=imread(cameraman.tif); %讀入

17、圖像 I=dct2(A); %對圖像作DCT變換subplot(1,2,1),imshow(A); %顯示原圖像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),0 5); 1010)21(cos)21(cos),()()(2),(NvMuyvNxuMvuFvCuCMNyxf（3.20） 2021/3/2333例例1:二維余弦正反變換在二維余弦正反變換在Matlab中的實現。中的實現。（a a）原始圖像）原始圖像 （b b）余弦變換系數）余弦變換系數 （c c）余弦反變換恢復圖像）余弦反變換恢復圖像圖圖: :二維離散余弦變換二維離散余弦變換 2021/3/2334由 圖由 圖

18、 ( b )( b ) 可 知可 知 , , 離 散 余 弦 變 換 具 有 很 強 的離 散 余 弦 變 換 具 有 很 強 的“ 能 量 集 中能 量 集 中 ” 特 性特 性 , , 能 量 主 要 集 中 在 左 角 處能 量 主 要 集 中 在 左 角 處 , , 因 此因 此在實際圖像應用中在實際圖像應用中, ,能量不集中的地方可在余弦編能量不集中的地方可在余弦編碼 中 忽 略碼 中 忽 略 , , 可 通 過 對可 通 過 對 m a s km a s k 矩 陣 變 換 來 實 現矩 陣 變 換 來 實 現 , , 即 將即 將maskmask矩陣左上角置矩陣左上角置1 1,

19、,其余全部置其余全部置0 0。然后通過離散。然后通過離散余 弦 反 變 換 后余 弦 反 變 換 后 , , 圖 像 得 到 恢 復圖 像 得 到 恢 復 , , 圖圖 ( c )( c ) 恢 復 圖 像 與恢 復 圖 像 與圖圖(a)(a)原始圖像基本相同。原始圖像基本相同。2021/3/2335例例2:2:用用DCTDCT變換作圖象壓縮的例子變換作圖象壓縮的例子, ,求經壓縮解壓后的圖象求經壓縮解壓后的圖象（詳細程序參見書）（詳細程序參見書）,結果如圖結果如圖4.144.14所示。所示。 （a a）原始圖像）原始圖像 （b b）壓縮解壓后的圖像）壓縮解壓后的圖像 圖圖: :原始圖像及其經

20、壓縮原始圖像及其經壓縮, ,解壓縮后的圖像解壓縮后的圖像2021/3/23363.3 3.3 二維離散沃爾什二維離散沃爾什- -哈達瑪變換（哈達瑪變換（DHTDHT）l前面的變換都是余弦型變換,基底函數選用的都是余弦型。l圖像處理中還有許多變換常常選用方波信號或者它的變形。l沃爾什（Walsh）變換。l沃爾什函數是一組矩形波,其取值為1和-1,非常便于計算機運算。l沃爾什函數有三種排列或編號方式,以哈達瑪排列最便于快速計算。l采用哈達瑪排列的沃爾什函數進行的變換稱為沃爾什-哈達瑪變換,簡稱WHT或直稱哈達瑪變換。 2021/3/23373.5 3.5 二維離散小波變換二維離散小波變換l一種窗口

21、大小固定,但形狀可改變,因而能滿足時頻局部化分析的要求的變換。 3.5.1 3.5.1 連續小波變換連續小波變換l設 且 ,按如下方式生成的函數族 稱為分析小波或連續小波。l 稱為基本小波或母波la稱為伸縮因子,b為平移因子。21LL 0)0(0,)()(21,aRbaabxaxba（3.30） )(x2021/3/23383.5.2 3.5.2 離散小波變換離散小波變換l把連續小波變換離散化更有利于實際應用。l對a和b按如下規律取樣: 其中, ; ; ,得離散小波: 離散小波變換和逆變換為 mmanbbaa000,（3.31） 10aRb 0Znm,)()(0020,nbxaaxmmnm（3

22、.32） )(),()()(,xxfdxxxfWnmnmnm（3.33） nmnmnmnmnmnmfWkf,)(2021/3/23393.5.3 3.5.3 快速小波變換算法快速小波變換算法【例例3.43.4】應用MATLAB實現小波變換的例子。解解: :MATLAB程序如下:X=imread(pout.tif); %讀入圖像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7); %進行二維小波變換A1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1); H1 = upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1 = upcoef2(v,cV1,bi

23、or3.7,1);D1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192);title(Approximation A1)subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192);title(Horizontal Detail H1)subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192);title(Vertical Detail V1)subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192);title(Diagonal Detail D1)2021/

24、3/2340 圖3.16 小波變換結果圖 2021/3/2341例例1:對一副圖進行傅里葉變換對一副圖進行傅里葉變換,求出其頻譜圖求出其頻譜圖,然后利用平移性質然后利用平移性質,在原圖的基礎上乘以在原圖的基礎上乘以 求傅里葉求傅里葉變換的頻譜圖。變換的頻譜圖。 （a a）原圖）原圖 （b b）頻譜圖）頻譜圖 （c c）中心移到零點）中心移到零點 的頻譜圖的頻譜圖 圖圖: :二維離散傅里葉變換結果中頻率成分分布示意圖二維離散傅里葉變換結果中頻率成分分布示意圖 （結果如下）（結果如下） 1xy2021/3/2342 圖（圖（a）為原圖）為原圖,對其求傅里葉變換得到圖（對其求傅里葉變換得到圖（b）傅

25、里葉變）傅里葉變換的頻譜圖換的頻譜圖,觀察頻譜圖可知觀察頻譜圖可知,在未平移前在未平移前,圖（圖（b）坐標原點）坐標原點在窗口的左上角在窗口的左上角,即變換后的直流成分位于左上角即變換后的直流成分位于左上角,而窗口的而窗口的四角分布低頻成分。對原圖乘以四角分布低頻成分。對原圖乘以 后進行傅里葉變換后進行傅里葉變換,觀察頻譜圖（觀察頻譜圖（c）可知）可知,變換后的坐標原點移至頻譜圖窗口變換后的坐標原點移至頻譜圖窗口中央中央,因而圍繞坐標原點是低頻因而圍繞坐標原點是低頻,向外是高頻。向外是高頻。 yx 1 通過上例可知通過上例可知,圖像的能量主要集中在低頻區圖像的能量主要集中在低頻區,即圖像的即圖

26、像的中央位置中央位置,而相對的高頻區（左上、右上、左下、右下四個而相對的高頻區（左上、右上、左下、右下四個角）的幅值很小或接近于角）的幅值很小或接近于0。以后傅里葉變換都進行相似。以后傅里葉變換都進行相似平移處理平移處理,將不再重復敘述。將不再重復敘述。2021/3/2343l例例2 :圖（圖（a）乘以一指數）乘以一指數,將圖像亮度整體變暗將圖像亮度整體變暗,并求其中心并求其中心移到零點的頻譜圖。移到零點的頻譜圖。 （a）變暗后的圖）變暗后的圖 （b）變暗后中心移到）變暗后中心移到 零點的頻譜圖零點的頻譜圖圖圖:二維離散傅里葉變換結果中頻率成分分布示意圖二維離散傅里葉變換結果中頻率成分分布示意

27、圖 2021/3/2344 將原圖（將原圖（a）函數乘以）函數乘以 ,結果如圖（結果如圖（a）所示。對其）所示。對其亮度平均變暗后的圖像進行傅里葉變換亮度平均變暗后的圖像進行傅里葉變換,并將坐標原點移并將坐標原點移到頻譜圖中央位置到頻譜圖中央位置,結果如圖（結果如圖（b）所示。對比圖）所示。對比圖4.8（c）和）和4.9（b）后）后,可以看出當圖片亮度變暗后可以看出當圖片亮度變暗后,中央低頻中央低頻成分變小。故從中可知成分變小。故從中可知,中央低頻成分代表了圖片的平均中央低頻成分代表了圖片的平均亮度亮度,當圖片亮度平均值發生變化時當圖片亮度平均值發生變化時,對應的頻譜圖中央對應的頻譜圖中央的低

28、頻成分也發生改變。的低頻成分也發生改變。 1 e2021/3/2345l例例3:圖圖4.8（a）加入高斯噪聲）加入高斯噪聲,得出一個有顆粒噪音的圖得出一個有顆粒噪音的圖,并并求其中心移到零點的頻譜圖。求其中心移到零點的頻譜圖。 （a a）有顆粒噪音）有顆粒噪音 （b b）有顆粒噪音中）有顆粒噪音中 心移到零點的頻譜圖心移到零點的頻譜圖圖圖: :二維離散傅里葉變換結果中頻率成分分布示意圖二維離散傅里葉變換結果中頻率成分分布示意圖 2021/3/2346l例例 4 :4 : 對 中 心 為 一 小 正 方 形 和 以 斜 長 方 形 求 其 傅對 中 心 為 一 小 正 方 形 和 以 斜 長 方

29、 形 求 其 傅 里葉變換的譜分布。里葉變換的譜分布。（a a）正方形原圖）正方形原圖 （b b）正方形的譜分布（）正方形的譜分布（c c）長方形的原始（）長方形的原始（d d）長方形的譜分）長方形的譜分 圖像圖像 布布圖圖: :傅氏變換譜分布實例傅氏變換譜分布實例2021/3/2347 圖 示 出 兩 幅 圖 像 經 傅 氏 變 換 后 的 頻 譜 分 布圖 示 出 兩 幅 圖 像 經 傅 氏 變 換 后 的 頻 譜 分 布例 子 。 左 邊 均 為 原 始 圖 像例 子 。 左 邊 均 為 原 始 圖 像 , , 右 邊 分 別 是 他 們 變 換 后右 邊 分 別 是 他 們 變 換 后

30、的 譜 分 布 。 圖 （的 譜 分 布 。 圖 （ a a ） 是 中 心 為 一 小 正 方 形） 是 中 心 為 一 小 正 方 形 , , 周 邊 為周 邊 為空空 ; ; 圖圖 ( c )( c ) 是 中 心 為 斜 置 的 小 矩 形 。 譜 分 布 中是 中 心 為 斜 置 的 小 矩 形 。 譜 分 布 中 , , 最最亮 區 域 表 示 其 變 換 后 的 幅 值 最 大 。 對 （亮 區 域 表 示 其 變 換 后 的 幅 值 最 大 。 對 （ c c ） 傅 里 葉） 傅 里 葉變 換 后 中 心 移 到 零 點 后 的 結 果變 換 后 中 心 移 到 零 點 后 的 結 果 , , 我 們 可 以 發 現 當 長我 們 可 以 發 現 當 長方形旋轉了方形旋轉了 時時, ,頻譜也跟著旋轉頻譜也跟著旋轉 , ,此實例驗證了傅里此實例驗證了傅里葉變換的旋轉性。葉變換的旋轉性。 45452021/3/2348l例例5:5:對一副圖片如圖（對一副圖片如圖（a a）求其幅值譜和相位譜）求其幅值譜和相位譜, ,并對幅值并對幅值譜和相位譜分別進行圖像構譜和相位譜分別進行圖像構, ,對比其所求結果。對比其所