1、從MaxWell 速度分布律到能量分布律滕漢瑜(天水師范學院，物信學院，甘肅，天水 741001)摘要：近獨立粒子在平衡態下分子平動速度的MaxWell速度分布律中的速度用在沒有外場，研究對象為理想氣體分子在經典極限條件（）下的能量等價替換，得到關于能量的 MaxWell能量分布律,進而得到MaxWell能量分布函數,作出能量分布曲線圖.并利用MaxWell能量分布函數求出氣體分子最概然能量和平均能量,在直角坐標系中畫出不同溫度下的能量分布曲線圖.MaxWell velocity distribution law from the energy distribution law TENGHan

2、yu(Tianshui Normal University, College of matter information, Gansu, Tianshui 741001)關鍵詞：MaxWel速度分布律；能量分布律；分子最概然能量；分子平均能量Abstract: Nearly independent particles in the equilibrium state under the moving speed of the molecular velocity distribution law MaxWell speed used in the field in the absence of

3、 research for the ideal gas molecules in the classical limit condition () under the equivalent energy replacement, energy MaxWell on energy distribution law, which has been MaxWell energy distribution function, to make the energy distribution curves. and take advantage of the energy distribution fun

4、ction MaxWell gas molecules calculated most probable energy and average energy, in the Cartesian coordinate system to draw different temperatures in the energy distribution curves.Key words: MaxWell velocity distribution law ;Energy distribution law ;Most probable molecular energy ;Average energy of

5、 molecules1 引言：氣體分子以各種大小的速度沿各個方向運動著,而且由于相互碰撞,每個分子的速度都在不斷地改變.因此,若在某一特定的時刻去考察某一特定的分子,則它們的速度具有怎樣的數值和方向,完全是偶然的.然而就大量分子整體看來,在一定條件下,它們的速度遵從著一定的統計規律.近獨立粒子在平衡態下分子平動速度遵從MaxWell速度分布律，由MaxWell速度分布律可得分子速度及速度分量的概率，從而得到分子速度分量各平均值.現在考慮如果研究對象為理想氣體分子且沒有外場，那么分子能量就只有平動動能，一般情況下氣體滿足經典極限條件），速度和動能可以用來轉化，我們將MaxWell 速度分布律中的

6、速度用動能來替換，即用動能做變量，就可以由MaxWell速度分布律得到按能量分布的函數，并且可以求出分子最概然能量和平均能量.2 MaxWell能量分布律的導出：用表示氣體分子的速度,用、分別表示氣體分子在、三方向的分量，導出了近獨立粒子在平衡態下的MaxWell速度分布律.分子平動速度（質心速度）分布在間隔內，或平動速度分量在、間隔內的分子數占總分子數的比率以及一個分子的速度（質心速度）在上述間隔內的概率為 (1)其中是氣體分子的質量，是玻耳茲曼常數，是氣體溫度.如果用動能分量、等價替換(1)式中的速度分量、可得： (2)分子平動動能在分量、分量不加限制（可取一切可能的值）而分量分布在間隔內

7、的分子數占總分子數的比率及一個分子的平動動能分量，在上述分量間隔內的概率可由（2）式對、的一切可能值(0，)積分得到: (3)同樣可得分子平動動能在分量（或分量）分布在（或）間隔內的分子數占總分子數的比率及相應的分布概率為 (4) (5)由（2）式、（3）式、（4）式和（5）式可得： (6)（6）此式說明氣體總能量在間隔內的分子所占比率等于各能量分量在其相應間隔（、）內的分子所占比率的乘積，同時也說明能量在、三方向的分量是彼此獨立的.如果將(2)式利用球極坐標積分可得： (7)(7)式代表能量分布在范圍內的分子數占總分子數的比率.將(7)式作一變換,去掉可以得到MaxWell能量分布函數為 (

8、8)因，取值在(0，)，所以取值在(0，).如果將看作的變量, 為的因變量,那么在平面直角坐標系中畫出MaxWell能量分布函數圖像如下圖1所示:與之間的關系圖(能量分布曲線)形象的描繪出氣體分子能量分布的情況,圖1中任一區間間隔內曲線下的窄條面積表示能量分布在該區間內的分子所占比率,而任一有限范圍曲線下的面積則表示分布在這個范圍內的分子所占比率.由圖1可知,能量分布曲線從坐標原點出發,經一極大值后隨的逐漸增大而逐漸趨于橫軸;氣體分子在能量較大和能量較小的范圍內的分子所占比率很小;而中等能量的分子所占比率很大.圖1中峰值所對應的值就是最概然能量的值,要確定的值,可取能量分布函數對的一級微商,并

9、令其等于 (9)(8)表明最概然能量與溫度有關;越大就越大; 越小, 就越大.而越大，圖像的峰值離縱軸越遠,但曲線下的面積恒等于1,所以曲線就變的越平坦. 下圖2是氣體分子能量在兩個不同溫度、下的分布曲線圖.圖2中，所以對應的峰值較低，最概然能量值較大，所以氣體分子能量分布曲線的形狀由溫度決定. 對MaxWell能量分布函數為乘以后在()范圍內積分可以求出氣體分子平均能量為= （10）(10)式說明氣體分子的平均能量也與溫度有關;溫度越高,分子平均能量就越大；溫度越低，分子平均能量就越小.3 結束語：綜上可知將分子平動速度（質心速度）分布的Maxwell速度分布律變換成按能量分布的Maxwel

10、l能量分布律是可行的.需要指出的是、都指的是分子數的統計平均值.在任一瞬時刻實際分布在某一能量區間內的分子數,一般說來是與統計平均值有偏差的.偏差有時大,有時小;有時正,有時負.這種對于統計規律的偏離現象是難免的.概率論指出,如果按速度分布律推算出分布在某一速度區間內的分子數的統計平均值則實際分子數對于這一統計平均值的偏離范圍是.而分子數越大偏離的百分數就越小;如果分子數越小,則偏離的百分數就越大.因此Maxwell速度分布律只對大量的分子組成的體系成立,所以Maxwell能量分布也應該是對大量的分子組成的體系成立.而具有某一確定的能量的分子有多少,是根本沒有意義的.通過Maxwell能量分布函數求出最概然能量和平均能量,它們都是與溫度有關系的,在直角坐標系下畫出不同溫度的能量分布曲線圖.可以看出Maxwell速度分布律不僅對分子速度適用，而且對分子能量也是適用的. MaxWell速度分布律討論了氣體分子速度的分布情況,它是研究物質內部分子運動規律及其結構的一種方法.而Maxwell能量分布律研究了氣體分子能量的分布情況,它也是研究物質內部分子運動規律及