1、13.2 3.2 立體幾何中的向量方法（立體幾何中的向量方法（2 2）xxz-利用向量解決平行與垂直問題利用向量解決平行與垂直問題21 1、用空間向量解決立體幾何問題的、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲三步曲” （1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；何問題轉化為向量問題； （2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向

2、量的運算結果）把向量的運算結果“翻譯翻譯”成相應的幾何意成相應的幾何意義。義。（化為（化為向量問題）向量問題）（進行向量運算）（進行向量運算）（回到圖形（回到圖形問題）問題）32、平行與垂直關系的向量表示、平行與垂直關系的向量表示（1）平行關系）平行關系設直線設直線l，m的方向向量分別為的方向向量分別為 ， ，平面平面 ， 的法向量分別為的法向量分別為 ， abuvml /線線平行線線平行 /l線面平行線面平行 /面面平行面面平行baba /0 uauavuvu /點擊點擊點擊點擊點擊點擊4 （2）垂直關系）垂直關系設直線設直線l，m的方向向量分別為的方向向量分別為 ， ，平面平面 ， 的法向

3、量分別為的法向量分別為 ， abuv ml線線垂直線線垂直 l線面垂直線面垂直 面面垂直面面垂直0 baba0 vuvuuaua /點擊點擊點擊點擊點擊點擊5二、新課（一）用向量處理平行問題（一）用向量處理平行問題（二）（二）用向量處理垂直問題用向量處理垂直問題611111112.-,:/A B C DA B C DA B DC B D例在 正 方 形中求 證平 面平 面XYZ1CABCD1D1A1B711111111.-,:/ /A B C DA B C DMNC CB CM NA B D例 1 在 正 方 形中分 別 是、的 中 點 。求 證平 面1CABCD1D（一）用向量處理平行問題（

4、一）用向量處理平行問題1AMN1BXYZ81C1B1AABCM903013例例3、如圖，在直三棱柱、如圖，在直三棱柱 - 中，中， 是棱是棱 的中點，的中點，求證：求證： ABC111ABC190 ,30 ,1,6,ACBBACBCA A M1CC1ABAM（二）用向量處理垂直問題（二）用向量處理垂直問題9證明：分別以證明：分別以所在直線為所在直線為 軸，軸， 軸，軸， 軸，建軸，建立空間直角坐標系立空間直角坐標系1,CA CB CCxyzCxyz圖中相應點的坐標為：圖中相應點的坐標為：13,1,6A3,0,0A所以：所以：163,0,6 ,3,0,2ABAM 所以：所以：0AB AM 即，即

5、，1AB AM1C1B1AABCM903016xyz323,1, 60,1,03,0,060,0,2,0,1,0B6,0,0,2M10:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例4在正方體中.E,F分別是的中點.求證：平面FEXYZ,DA DC DDxyzA 證明:如圖取分別為 軸, 軸, 軸建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)11:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例4在正方體中.E,F分別是的中點.求證：平面FEXYZ12 例例5正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是

6、BB1、CD的中點,求證:面AED面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D113 證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A- xyz, 設正方體的棱長為2,則E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), 于是 設平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得 解之得 取z=2得n1=(-1,0,2) 同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1) n1 n2 = -2+0+2=0 面AED面A1FD) 1 , 0 , 2(AE)0 , 2 , 0(AD0202yzx021yzx14練習：棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的

7、中點,求證:(I)A1E 平面DBC1;(II)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy15 解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-xyz.則 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 設平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (I) =- n,從而A1E 平面DBC1 (II) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1330302yzx02yzx) 1, 0 , 2(1EA)2 , 3, 1 (1AB1AB16)

8、., 1, 0( ), 1 , 0( ), 0 ,3( ).0 , 1, 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 ,3(., 2hChBhACBAh系如圖建立空間直角坐標高為設底面邊長為ABCBCA(3,1, ),(3, 1,),(0, 2, )ABhA Ch BCh 22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB ,ABCA B CAAABCA CABBCAB練習：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求證：坐標法坐標法17三、小結利用向量解決平行與垂直問題利用向量解決平行與垂直問題 向量法：利用向量的概念技巧運算解決問 題。 坐標法：利用數及其運算解決問題。 兩種方法經常結

9、合起來使用。18ABCDM1A1B1C011111111,90 ,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM1如圖 直三棱柱中側棱側面的兩條對角線交點為的中點為求證平面四、作業四、作業 192,/ /BCABBCk PAABCODPAB如圖,在三棱錐P-ABC中,AB點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面。求證：平面AODPCB四、作業四、作業 20lmabml /baba /21 lua /l0 uaua22 u v /vuvu /23lamb ml0 baba24 l uuaua /la25 u v 0 vuvu26ABCDM1A1B1CXYZ:, C解如圖以 為原點建立空間直角坐標系.111,0,0),( 2,1,0),(0,1,1),2 1 12(, , ),(,1,0),22 222 1 111(, , ),( 2, 1, 1)(0, ,),22 222BBADMCDABDM ( 2，011111111,90 ,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM如圖 直三棱柱中側棱側面的兩條對角線交點為的中點為求證平面四、作業四、作業 27ABCDM1A