1、直線的傾斜角與斜率、直線的方程1. 直線的傾斜角(1) 定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角.當直線與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°(2) 傾斜角的范圍為0 , n)2. 直線的斜率(1) 定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k = tan_a,傾斜角是90°的直線沒有斜率.(2) 過兩點的直線的斜率公式：y2 yi y?經過兩點Pl(xi, yl), P2(X2, y2)(xi工x2)的直線的斜率公式為k= _ x = XI _ X2*3.直線方程名稱幾何條件方程局限性點斜式過點(X0, y0),斜

2、率為ky y0= k(x x°)不含垂直于X軸的直線斜截式斜率為k,縱截距為by= kx + b不含垂直于X軸的直線兩點式過兩點兇,%), (x2, 丫2),(X1 x2, y1 M y2)y y1 x X1 乂2_ yJ X2不包括垂直于坐標軸的直線截距式在x軸、y軸上的截距分別為 a, b(a, bM 0)x y , a_b不包括垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax亠 By + C= 0(A B不全為0)1. 利用兩點式計算斜率時易忽視xi = X2時斜率k不存在的情況.2用直線的點斜式求方程時， 在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論， 否則會造成失誤.3. 直線的截

3、距式中易忽視截距均不為0這一條件，當截距為 0時可用點斜式.4. 由一般式Ax + By + C= 0確定斜率k時易忽視判斷 B是否為0,當B = 0時，k不存 在；當 BM 0 時，k= A.B基礎練習1. 若直線(2m2+ m- 3)x+ (m2- m)y= 4m 1在x軸上的截距為 1,則實數 m的值是2. 過點M( 2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為.3. 直線xsin a+ y+ 2 = 0的傾斜角的取值范圍是 .4. 過點(5,10)且到原點的距離是 5的直線的方程為 .例一：1.直線x+Q3y+ 1 = 0的傾斜角是.2. 若直線I的斜率為k,傾斜角為a,而a

4、n,亍月 芻5, 訓 k的取值范圍是3. 若過點P(1 a,1 + a)與Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數 a的取值范圍是4. 已知兩點 M(2, 3), N( 3, 2)，直線I過點P(1,1)且與線段MN相交，則直線I的斜率k的取值范圍是 .5. 已知兩點A(0,1), B(1,0)，若直線y= k(x+ 1)與線段AB總有公共點，則 k的取值范圍是.6. 函數y= asin x bcos x的一條對稱軸為x=才，則直線I: ax by+ c= 0的傾斜角為例2：根據所給條件求直線的方程：(1)直線過點(4,0)，傾斜角的正弦值為直線過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12

5、.(3) 已知直線I與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3,分別求滿足下列條件的直線I的方程：過定點A - 3,4);1斜率為6.(4) 過點M(- 3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為 (5) 已知兩點 A( - 1,2), B(m,3).(1) 求直線AB的方程；(2) 已知實數m -弩-1，-J， 求直線AB的傾斜角a的取值范圍.變式訓練5的直線方程是經過點P(- 5,- 4)，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為例3:與基本不等式相結合求最值問題1. 已知直線I過點M(1,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于 A, B兩點，0為坐 標原點.求：(1) 當|0A|+ |0B|取得最

6、小值時，直線I的方程；當|MA|2 + |MB|2取得最小值時，直線I的方程.2. 已知直線 I: kx y+ 1 + 2k= 0(k R).證明：直線I過定點；(2) 若直線I不經過第四象限，求 k的取值范圍；(3) 若直線I交x軸負半軸于點 A,交y軸正半軸于點B, O為坐標原點，設 AOB的 面積為S，求S的最小值及此時直線I的方程.2. 已知直線 li： ax 2y= 2a 4, 12： 2x+ a2y= 2a2 + 4,當 0v av 2 時，直線與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數a =.例4:直線方程與平面向量的綜合已知直線I過點M(2,1)，且與x軸，y軸的正半

7、軸分別相交于A, B兩點，O為坐標原點.求當|"mA mb取得最小值時，直線I的方程.第二節兩直線的位置關系1. 兩直線的位置關系斜截式一般式方程y= kix+ biy= ©x+ b2Aix+ Biy+ Ci= 0(A2+ B2 0)A2X+ B2y+ C2= 0(a2+0)相交ki 工 kAi B2ABi 豐 0l當A2B2M 0時，記為 豐 ) kA2 B2 丿垂直ki = k 或k2kik2= iAiA+ B i旦2= 0(當 BiB2 0時，記為 Bi B2 = i J平行ki= k2且匹工bAiB ABi= 0,戈 AiB ABi= 0,B2Ci BiC2 0Ai

8、 C2 A2Ci 0(當 A2B2C2W 0時記為 A2= B2* cJ2.幾種距離兩點間的距離：平面上的兩點 A(xi, yi), B(x2, y2)間的距離公式d(A, B)= |AB|= xi-X2 2+ yi y?2.(2) 點到直線的距離：.、|Axi + Byi + C|點p(xi, yi)到直線I: Ax+ By + C = 0的距離d= 寸2十巳2 .兩條平行線間的距離：兩條平行線 Ax+ By+ Ci= 0與Ax+ By + C?= 0間的距離d= 0C.Ja + B基礎練習i .已知直線3x+ 4y 3 = 0與直線6x+ my+ i4= 0平行，則它們之間的距離是 2.

9、點(2,3)關于直線x+ y+ i= 0的對稱點是 .3. 已知直線I過點(i,2)且與直線2x 3y+ 4= 0垂直，則直線I的方程為 .4. 已知直線li：ax+ 3y 1= 0與直線"：2x+ (a 1)y+ 1 = 0垂直，則實數a =.5. 經過兩直線li： x 2y+ 4 = 0和l2： x+ y 2 = 0的交點P,且與直線 b： 3x 4y+ 5=0垂直的直線I的方程為.典例 已知A(4, 3), B(2, 1)和直線1: 4x+ 3y 2= 0,在坐標平面內求一點 P, 使|PA|=|PB|,且點P到直線I的距離為2.與直線7x+ 24y 5 = 0平行，并且到它的

10、距離等于3的直線方程是對稱冋題角度一點關于點的對稱1. 過點P(0,1)作直線I使它被直線li： 2x+ y 8 = 0和I2： x 3y+ 10= 0截得的線段 被點P平分，求直線l的方程.角度二點關于線對稱2. 已知直線I : 2x 3y+ 1 = 0,點A( 1 , 2)，求點A關于直線I的對稱點A '的坐標.角度三線關于線對稱3. 在角度二的條件下，求直線m: 3x 2y 6 = 0關于直線I的對稱直線m'的方程.角度四對稱問題的應用4. 光線從A( 4, - 2)點射出，到直線y= x上的B點后被直線y= x反射到y軸上的C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點 線方

11、程.D( 1,6)，求BC所在的直鞏固練習1. 若直線 li：ax+ 2y+ 6 = 0 與直線 l2：x+ (a 1)y+ a已知直線I經過點P(2,1)，且與直線2x+ 3y+ 1 = 0垂直，則直線I的方程是 1 = 0垂直，則實數 a =.2. 直線x 2y+ 1 = 0關于直線x= 1對稱的直線方程是 .3. 已知點P(4, a)到直線4x 3y 1 = 0的距離不大于3，則a的取值范圍是 .4. 已知兩條直線丨1： ax by+ 4= 0, I2： (a 1)x+ y+ b= 0,求分別滿足下列條件的a, b的值.(1) 直線l1過點(3, 1)，并且直線I1與I2垂直；直線I1與

12、直線I2平行，并且坐標原點到I1 , I2的距離相等.課后練習1. 若直線 I1: x+ 2y 4= 0 與 I2： mx+ (2 m)y 1 = 0 平行，則實數 m =.3. 已知直線11: y= 2x+ 3,直線l2與li關于直線y=- x對稱，則直線l2的斜率為4. 若直線 y= kx+ 1與直線2x+ y 4 = 0垂直，則k=.5. 設A, B是x軸上的兩點，點 P的橫坐標為3,且|FA|=|PB|,若直線PA的方程為xy+ 1 = 0,則直線PB的方程是.7. 已知點A( 3, 4), B(6,3)到直線1: ax + y+ 1 = 0的距離相等，則實數 a的值為8. 在平面直角

13、坐標系 xOy中，已知點 A(0, 1), B( 3, 4).若點C在/ AOB的平分線上，且IOC |=屮0，則點C的坐標是.9. 過點(1,2)的直線I與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于 A, B兩點，O為坐標原 點，當 AOB的面積最小時，直線l的方程是.圓的方程(1)學習要求1認識圓的標準方程并掌握推導圓的方程的思想方法；2掌握圓的標準方程，并能根據方程寫出圓心的坐標和圓的半徑；3能根據所給條件，通過求半徑和圓心的方法求圓的標準方程.知識梳理1. 以(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程： .2. 圓心在原點(0,0)，半徑為r時，圓的方程則為： ；3. 單位圓：;其方程為：例題解

14、析例1： (1)寫出圓心為A(2, -3)，半徑長為5的圓的方程，并判斷點M(5,-7) , N(5,-1) 是否在這個圓上；(2) 求圓心是C(2, -3)，且經過原點的圓的方程.例2： (1)求以點A(1,2)為圓心，并且和x軸相切的圓的方程；(2) 已知兩點P(4,9) , Q(6,3)，求以線段PQ為直徑的圓的方程.(3) 過點(2, 1)并與兩坐標軸都相切的圓的方程是例3：已知隧道的截面是半徑為 4 m的圓的半圓，車輛只能在道路中心線的一側行駛，車輛寬度為2.7m，高為3m的貨車能不能駛入這個隧道？分析：建立直角坐標系，由圖象可以分析，關鍵在于寫出半圓的方程，對應求出當x=3時的值，

15、比較得出結論.IV3 : 1, 在例4:設圓滿足(1) y軸截圓所得弦長為 滿足、 的所有圓中，求圓心到直線2.(2)被x軸分成兩段弧，其弧長之比為I : x 2y=0的距離最小的圓的方程.隨堂練習1. 圓的方程：(1)圓心在原點，半徑為 6 ;(2)經過點P(6,3)，圓心為C(2, -2).2已知圓的方程為2 2 2(x -a) (y-b)二r (r 0)，確定下述情況下a,b,r應滿足的條件：(1)圓心在 y軸上： ；(2)圓與x軸相切： (3)圓心在直線 x+3y1=0上: .3.圓的內接正方形相對的兩個頂點為A(5,6) , C(3, 一4)，求該圓的方程.4求過兩點A(0,4) ,

16、 B(4,6)，且圓心在直線x-2y-2=0上的圓的標準方程.圓的方程(2)學習要求1掌握圓的一般方程并由圓的一般方程化成圓的標準方程；2能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題；3解題過程中能分析和運用圓的幾何性質.知識梳理1以(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程： 2. 將(x_a)2 (y-b)2=r2展開得： 3. 形如x2 y2 Dx Ey 0的都表示圓嗎？ (1) 當D2 E2 -4F 0時，方程表示以 為圓心，為半徑的圓；(2)當D2 E2 -4F =0時，方程表示 ;(3)當 D2 E2 4F : 0 時，;4 圓的一般方程：注意：對于圓的一般方程特點(1) x2和y

17、2的系數相等，且都不為 0 (通常都化為1);(2) 沒有xy這樣的二次項；(3) 表示圓的前提條件：2 2 2 2D E -4F 0 ,通常情況下先配方配成 (x-a) (y -b)二m,通過觀察 m與0的關系, 觀察方程是否為圓的標準方程，而不要死記條件D E -4F 0 例題解析例1：求過三點 0(0,0), M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程.例2:設方程x2 y2(m 3)x 2(1 - 4m2) y 16m4 0，若該方程表示一個圓,求m的取值范圍及這時圓心的軌跡方程。變式1：方程ax2 ay2 -4(a-1)x 4y = 0表示圓，求實數 a的取值范圍，并求出其中半徑最小的

18、圓的方程。例2：已知線段 AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x 1)2 y 4上運動，求線段AB中點M的坐標(x, y)中x, y滿足 的關系？并說明該關系表示什么曲線？例3：某圓拱橋的示意圖如右圖，該圓拱的跨度AB是36米，拱高0P是6米，在建造時,每隔3米需用一個支柱支撐，求支柱 A>P2的長度(精確到0.01米).AOA2b隨堂練習1圓的方程為x2 y2 kx 2y k0，當圓面積最大時，圓心坐標為 2. 方程- y2 2y 3表示的曲線與直線 x = 2圍成的圖形面積是 3已知點M是圓x2 y2 -8x6y -25 =0上任意一點，O為原點，則OM的最大值為 _ _ ，

19、最小值為 _ .4.若直線x + y_1=0與圓x2+y2_tx + 2ty+t+1=0相切，則實數t等于5.若圓x2 y2 Dx Ey F =0過點(0, 0)，(1,1)，且圓心在直線 x-y-3 = 0上, 求該圓的方程，并寫出它的圓心坐標和半徑.6.圓C過點A(1,2), B(3,4)，且在x軸上截得的弦長為 6 求圓C的方程.7.方程(x2 y2 -25) a(2x - y -10) =0 ,求證：當取任意值時該方程表示的圖形為圓, 且恒過兩定點.直線與圓的位置關系學習要求1依據直線和圓的方程，能熟練求出它們的交點坐標;2 能通過比較圓心到直線的距離和半徑之間的大小關系判斷直線和圓的

20、位置關系；3 理解直線和圓的三種位置關系與相應的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的 對應關系；4會處理直線與圓相交時所得的弦長有關的問題；知識梳理1 直線與圓有一個交點稱為 ，有兩個交點稱為 ，沒有交點稱為 2. 設圓心到直線的距離為 d，圓半徑為r ,當時，直線與圓相離，當時，直線與圓相切，當時，直線與圓相交.3. 直線|與圓C的方程聯立方程組，若方程組無解，則直線與圓 ,若方程組僅有一組解，則直線與圓 ,若方程組有兩組不同的解，則直線與圓 .例題解析例1求直線4x 3y =40和圓x2 y2 =100的公共點坐標，并判斷它們的位置關系.例 2.已知圓 C： (x- 1) 2+( y

21、 2) 2= 25,直線 l: (2m+1) x+ (m+1) y-7m 4=0 ( m(1) 證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點;l的方程例3.已知圓C與兩坐標軸都相切，圓心C到直線y = -x的距離等于2.(2) 求直線被圓C截得的弦長最小時求圓C的方程.例4：自點A（一 1,4）作圓（x-2）2 （y-3）2 =1的切線I ,求切線I的方程.分析：根據點的坐標設出直線方程，再根據直線和圓相切求解.變式設P為圓x2 y2 =1上的動點，求點 P到直線3x-4y-10=0的距離的最小值例5：求直線x - .3y 2、3 =0被圓x2 y4截得的弦長.分析： 可利用圓心距、半徑、弦長

22、的一半構成直角三角形的性質解題2 2例6：已知圓C： x +y 2x+4y 4=0,是否存在斜率為1的直線I ,使I被圓C截得的弦AB 為直徑的圓過原點若存在，求出直線I的方程；若不存在，說明理由例7.如圖，在平面直角坐標系 xOy中，平行于x軸且過點A(3 3, 2)的入射光線h被直線 I: y=33x反射反射光線12交y軸于B點，圓C過點A且與li, 12都相切.(1) 求I2所在直線的方程和圓 C的方程；設P, Q分別是直線I和圓C上的動點，求 PB+PQ的最小值及此時點 P的坐標.隨堂練習2 21 若直線ax by =1與圓x y =1相交，則點P(a, b)與圓的位置關系是 2 22

23、過圓上一點 P(3,4)作圓x y =25的切線，該切線的方程為 3圓x2 y4x 4y 0截直線x - y -5二0所得的弦長等于 .4過M (2,4)向圓(x-1)2 (y 3)2=1引切線，求切線方程并求切線長5. 一個圓與y軸相切，在直線y=x上截得的弦長為2 - 7 ,圓心在直線x - 3y = 0上，求 該圓的方程.圓與圓的位置關系學習要求1 掌握圓與圓的位置關系的代數與幾何判別方法；2了解用代數法研究圓的關系的優點；知識梳理1圓與圓之間有五種位置關系 2. 設兩圓的半徑分別為 r1,r2，圓心距為d，當時，兩圓外離，當時，兩圓外切，當 時，兩圓相交，當時，兩圓內切，當 時，兩圓內

24、含.3. 思考：用代數方法，通過聯立方程組，用判別式法可以判斷兩個圓的位置關系嗎?例題解析例1 :判斷下列兩圓的位置關系：(x 2)2 (y _2)2 =1 與(x_2)2 (y -5)2 =16(2) x2 y2 6x-7=0與 x2 y2 6y-27=0例2：求過點A(0,6)且與圓C：x2 y210x100切于原點的圓的方程.例 3：已知圓 C1 : x2 y2 2x 2y8 = 0與圓C2： x2 y2 -2x 10y-24 =0相交于A,B兩點.(1)求直線AB的方程；(2)求經過 A, B兩點且面積最小的圓的方程；(3) 求圓心在直線 yx上，且經過 A,B兩點的圓的方程.例4:若

25、動圓C與圓(x-2) 2+y2=1外切，且和直線 x+1=0相切.求動圓圓心C的軌跡E的方 程隨堂練習2 2 2 21.兩圓 G : x y 4x-4y 7=0, C2: x y-4x-10y 13 = 0的公切線有 2若圓(x -a)2 (y -b)b2 1始終平分圓(x 1)2 (y 1)2 =4的圓周，貝U a,b應滿足的關系式為2 2 2 23. 圓xy 4x -4y -1二0與圓x y 2x -13 = 0相交于P, Q兩點，則直線PQ的方程為，公共弦PQ的長為. . 2 24. 已知動圓x +y 2mx4my+6m-2 =0恒過一個定點，這個定點的坐標是 .5. 求與兩條平行直線

26、x 2y -1 =0和x 2y -5 =0相切，且圓心在直線3x y T = 0上 的圓的方程.圓的定點和定直線問題與綜合應用一、基礎練習1、l為任意實數時，直線 (m T)x (2m1)y =m -5必過定點 2 22、已知圓的方程是 x y 2ax 2(a2)y 2 =0，其中a=0,aR，則圓恒過定點 二、例題講解：1)定點定直線的解決引例：已知圓O： x =1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a,b)向圓O引切線PQ切點為Q，且滿足PQ -1，求a,b滿足的等量關系PA例1 :在直線2x y =0上任取一點P，從點P向圓O： x2 y1引切線，切點為 Q， 問是否存在定點 A，恒有P

27、Q二PA ?若存在，求出點 A，若不存在，說明理由。變式1:設P為O M : (x -4)2 (y -2)2 =9上任一點， 過點P向O O: x2 y1引切線,切點為Q。試探究：平面內是否存在一定點 R，使得為定值？若存在，求出定點R ,PR并指出相應的定值；若不存在，請說明理由。變式2:過直線y =x 2上任一點P作O O ： x2 y1的切線，切點是 M ,N，證明：直線MN過定點，并求該定點坐標。2）圓的相交弦問題例2：已知圓的方程為x2 y2 -6x -8y = 0 ,設圓中過點（2,5）的兩條弦分別為（1 ）若AB、CD分別為最長弦與最短弦，求直線 AB與CD的斜率之和；（2）求A

28、B CD的最大值（3）求四邊形 ACBD的最小值例3，如圖，平面直角坐標系 xOy中，.AOB和COD為兩等腰直角三角形,C（a,0）（a>0）.設 AOB和COD的外接圓圓心分別為 M , N .（1 ）若0 M與直線CD相切，求直線CD的方程；AB、CD ,A(-2,0),（2）若直線AB截O N所得弦長為4，求O N的標準方 程；(3) 是否存在這樣的O N,使得O N上有且只有三個點到直線 AB的距離為 2，若存在,求此時O N的標準方程；若不存在，說明理由.(四)直線、圓位置關系的綜合應用例4如圖，矩形 ABCD的兩條對角線相交于點M (2,0), AB邊所在直線的方程為x-3

29、y-6=0，點T(-1,1)在AD邊所在直線上.(I) 求AD邊所在直線的方程；(II) 求矩形ABCD外接圓的方程；(III )若動圓P過點N(-2,0),且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的方程.例 5:已知 m R,直線 l: mx (m2+ 1)y = 4m 和圓 C: x2 + y2 8x+ 4y+ 16= 0.(1) 求直線I斜率的取值范圍；1直線i能否將圓c分割成弧長的比值為2的兩段圓弧？為什么？例6:設0為坐標原點，曲線x2+y2+2x 6y+1=0上有兩點P、Q,滿足關于直線x+my+4=0對稱，又滿足0P 0Q =0.(1) 求m的值；(2) 求直線PQ的方程.2

30、例7:在平面直角坐標系 xOy中，曲線y=x -6x 1與坐標軸的交點都在圓 C上(I)求圓C的方程；(H)若圓C與直線x y+a=0交于A, B兩點，且以 AB為直徑的圓過 Q求a的例&已知以點A(-1,2)為圓心的圓與直線11 : x 2y 0相切.過點B(-2,0)的動直線l與圓A相交與M、N兩點，Q是MN的中點，直線l與h相交于點P.（I）求圓A的方程；（II ）當MN =219時，求直線I的方程;(III )BQ BP是否為定值，如果是，求出定值；如果不是，請說明理由直線與圓（復習課）【考綱知識梳理】、圓的方程1圓的定義(1 )在平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓.

31、(2) 確定一個圓的要素是圓心和半徑.2圓的方程圓的標準方程圓的一般方程方程(x a)2+ (y b)2= r2(r > 0)x2 + y2+ Dx + Ey+ F = o圓心坐標(a, b)(2，-勺半徑r2/D2+ E2 4F注：方程x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的充要條件是D2 + E2- 4F > 03. 點與圓的位置關系已知圓的方程為(x a)2+ (y b)2= r2，點M(x°, y°).則：(1) 點在圓上：(xo a)2+ (yo b)2= r2;(2) 點在圓外：(xo a)2+ (yo b)2> r2;(3)

32、點在圓內:(xo a)2+ (yo b)2v r2.4. 確定圓的方程方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數法，大致步驟為：(1 )根據題意，選擇標準方程或一般方程；(2) 根據條件列出關于 a, b, r或D、E、F的方程組；(3) 解出a, b, r或D、E、F代入標準方程或一般方程.注：用待定系數法求圓的方程時，如何根據已知條件選擇圓的方程？(當條件中給出 的是圓上幾點坐標，較適合用一般方程，通過解三元方程組求相應系數；當條件中給出的 是圓心坐標或圓心在某條直線上、圓的切線方程、圓弦長等條件，適合用標準方程對于 有些題，設哪種形式都可以，這就要求根據條件具體問題具體分析.)、直線、圓的

33、位置關系1.直線與圓的位置關系宀護¥方 位置大糸相離相切相交公共點個數o個1個2個幾何特征(圓心到直線的距 離d，半徑r)d> rd = rdv r代數特征(直線與圓的方程 組成的方程組)無實數 解有兩組相同實 數解有兩組不同實 數解注：在求過一定點的圓的切線方程時，應首先判斷這點與圓的位置關系，若點在圓臺上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應有兩條，謹防漏解.2圓與圓的位置關系宀護¥方 位置大糸外離外切相交內切內含公共點個數o121o幾何特征(圓心距d> R+ rd= R+ rR r v d v R+ rd= R rd v R rd，兩圓半徑R,

34、r, R> r)代數特征(兩個圓 的方程組成 的方程組)無實數解一組實數解兩組實數解一組實數解無實數解【要點名師透析】一、圓的方程(一) 圓的方程的求法相關鏈接1確定圓的方程的主要方法是待定系數法如果選擇標準方程，即列出關于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心(a, b)和半徑r.2 .如果已知條件中圓心的位置不能確定，則選擇圓的一般方程.圓的一般方程也含 有三個獨立的參數，因此，必須具備三個獨立的條件，才能確定圓的一般方程，其方法仍 采用待定系數法. 設所求圓的方程為：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2 4F >0)由三個條件 得到關于D、E

35、、F的一個三元一次方程組，解方程組確定 D、E、F的值.3.以 A(xi, yi), B(x2, y2)為直徑的兩端點的圓的方程為(x xi)(x X2)+ (y yi)(y y2)= 0.注：在求圓的方程時，常用到圓的以下幾何性質：(1) 圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2) 圓心在任一弦的中垂直上；(3 )兩圓內或外切時，切點與兩圓圓心三點共線.例題解析例求與x軸相切，圓心在直線 3x y= 0上，且被直線x y= 0截得的弦長為2叩的圓 的方程.思路解析：由條件可設圓的標準方程求解，也可設圓的一般方程，但計算較繁瑣.(二) 與圓有關的最值問題相關鏈接1 .求與圓有關的最值問題多采用幾

36、何法，就是利用一些代數式的幾何意義進行轉v b化.如(1)形如m= 的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；(2)形如t = ax +x aby的最值問題，可轉化為直線在y軸上的截距的最值問題；(3)形如m = (x a) 求軌跡方程的一般步驟：(1)建系：設動點坐標為(x, y)； (2)列出幾何等式；(3)用坐標表示得到方程;(4) 化簡方程；(5)除去不合題意的點，作答.+ (y b)2的最值問題，可轉化為兩點間的距離平方的最值問題.2特別要記住下面兩個代數式的幾何意義：V表示點(x, y)與原點(0, 0)連線的直線斜率，x2+ y2表示點(x, y)與原點的距離.例題解析例已知實數

37、x、y滿足方程x2 + y2 4x+ 1 = 0.(1 )求丫的最大值和最小值；x(2 )求y x的最大值和最小值；(3 )求x2 + y2的最大值和最小值.練：點P在圓O: x2+ y2= 1上運動，點 Q在圓C: (x 3)2 + y2= 1上運動，則PQ的最 小值為 . 1(三) 與圓有關的軌跡問題相關鏈接1. 解決軌跡問題，應注意以下幾點：(1) 求方程前必須建立平面直角坐標系(若題目中有點的坐標，就無需建系)，否則 曲線就不可轉化為方程.(2) 一般地，設點時，將動點坐標設為(x, y)，其他與此相關的點設為(xo, y°)等.(3) 求軌跡與求軌跡方程是不同的，求軌跡方程

38、得出方程即可，而求軌跡在得出方 程后還要指出方程的曲線是什么圖形.例題解析例設定點M（ 3, 4）,動點N在圓x2 + y2= 4上運動，以0M、ON為兩邊 作平行四邊形 MONP，求點P的軌跡.思路解析：先設出P點、N點坐標，根據平行四邊形對角線互相平分，用P點坐標表示N點坐標，代入圓的方程可求.例.如圖，圓Oi和圓02的半徑都等于1，0i02 = 4,過動點P分別作圓01、02的切 線PM、PN（M、N為切點），使得PM = 2PN，試建立平面直角坐標系，并求動點 P的軌 跡方程.練：等腰三角形的頂點是 A（4，2），底邊一個端點是 B（3，5），求另一個端點 C的軌跡方程, 并說明它的軌

39、跡是什么.、直線、圓的位置關系（一）直線和圓的位置關系相關鏈接直線和圓的位置關系的判定有兩種方法(1) 第一種方法是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立組成方程組，轉化 為一元二次方程，再利用判別式"來討論位置關系，即 > 0：=直線與圓相交； = 0=直線與圓相切； < 0=直線與圓相離.(2) 第二種方法是幾何的觀點，即將圓心到直線的距離d與半徑r比較來判斷，即 d< r：=直線與圓相交；d> r=直線與圓相切；d= r=直線與圓相離.例題解析例若圓x2 + y2- 4x 4y 10= 0上至少有三個不同的點到直線I: ax+ by= 0的距離為2 2

40、，求直線I傾斜角的取值范圍.1 例 已知圓 x2 + y2 6mx 2(m 1)y+ 10m2 2m 24= 0(m R).(1) 求證：不論 m為何值，圓心在同一直線 I上；(2 )與I平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；(3 )求證：任何一條平行于I且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等.(二) 圓與圓的位置關系相關鏈接1. 判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系, 一般不采用代數法；2. 若兩圓相交，則兩圓公式弦所 在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2, y2項即 可得到；3. 兩圓公切線的條數(如下圖)(1) 兩圓內含時，公切線條數為0;(2) 兩圓

41、內切時，公切線條數為1;(3) 兩圓相交時，公切線條數為2;(4) 兩圓外切時，公切線條數為3;(5) 兩圓相離時，公切線條數為4.因此求兩圓的公切線條數主要是判斷兩圓的位置關系，反過來知道兩圓公切線的條數，也 可以判斷出兩圓的位置關系.例題解析例 已知點P(-2, 3)和以點Q為圓心的圓(x 4)2 + (y- 2)2= 9.(1) Q為PQ中點，畫出以PQ為直徑，Q為圓心的圓，再求出它的方程；(2) 作出以Q為圓心的圓和以 Q為圓心的圓的兩個交點 A, B.直線PA, PB是以Q為圓心的圓的切線嗎？為什么？(3) 求直線AB的方程.注：圓 Ci: x2 + y2 + Dix+ Eiy+ F

42、i = 0,圓 C2： x2 + y2 + D2X+ E2y+ F2= 0，若圓 C2相交，那么過兩圓公共點的圓系方程為(x2 + y2 + Dix + Eiy+ Fi)+心2+ y2+ D?x+ E2y + F2)=0(入 R且 將一i).它表示除圓 C2以外的所有經過兩圓 Ci、C2公共點的圓.(三) 圓的切線及弦長問題相關鏈接i求圓的切線的方法(1)求圓的切線方程一般有兩種方法： 代數法：設切線方程為 y yi = k(x xi)與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式厶=0進而求得k. 幾何法：設切線方程為 y yi= k(x xi)利用點到直線的距離公式表示出圓

43、心到切線 的距離d，然后令d= r，進而求出k.兩種方法，一般來說幾何法較為簡潔，可作為首選.注：在利用點斜式求切線方程時，不要漏掉垂直于x軸的切線，即斜率不存在時的情況.(2)若點M(xo, y°)在圓x2+ y"= r2上，貝U M點的圓的切線方程為 Xox+ y°y= r2.2圓的弦長的求法解方程組(1)幾何法：設圓的半徑為 r，弦心距為d,弦長為L,則g)2= r2 d2. (2 )代數法：設直線與圓相交于Ag , yi) , B(x2 , y2)兩點，.222，消丫后得關于x的一元二次方程，從而求得xi + X2,(x-xo)(y-yo)二r長為：AB=

44、 .(i + k2)( xi + X2)2 4xi 的為直線斜率).過原點0作圓x2 + y2 6x 8y+ 20= 0的兩條切線，設切點分別為P、Xi x2,則弦Q,則線段PQ的長為(四)直線、圓位置關系的綜合應用1例如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點 M(2, 0), AB邊所在直線的方程為 x 3y 6 = 0,點T( 1, 1)在AD邊所在直線上.(I)求AD邊所在直線的方程；(II)求矩形ABCD外接圓的方程；(III )若動圓P過點N( 2, 0)，且與矩形 ABCD1的外接圓外切，求動圓P的圓心的方程.cA-V 5J1【感悟高考真題】2 21若直線3x+ y+ a= 0過圓x

45、 + y + 2x 4y= 0的圓心，貝V a= .2. 若曲線 Ci： x2 + y2 2x= 0與曲線 C2： y(y mx m)= 0有四個不同的交點，則實數 m的取值范圍是 .3. 在平面直角坐標系 xOy中，曲線y= x2 6x+ 1與坐標軸的交點都在圓 C上(I)求圓C的方程；(H)若圓 C與直線x y + a= 0交于A, B兩點，且 0A丄0B ,求a的值.【考點精題精練】一、填空題1 .經過圓C: (x+ 1)2 + (y 2)2= 4的圓心且斜率為1的直線方程為 .2. 已知圓C與圓(x i)2+ y2= 1關于直線y = x對稱，則圓C的方程為 .3. 直線ax+ y+

46、1 = 0與圓(x 1)2+ / = 1相切，則a的值為 .4. 已知圓的方程為 x2 + y2 6x 8y= 0,設圓中過點(2, 5)的最長弦與最短弦分別為AC、BD，則四邊形 ABCD的面積為 .5. 若直線y= kx+ 1與圓x2 + y2= 1相交于P、Q兩點，且/ POQ = 120°其中O為原點),則k的值為 .6. 已知點 P(x, y)是直線 kx+ y + 4= 0(k > 0)上一動點，PA、PB 是圓 C: x2 + y2 2y = 0 的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為 .7. 已知圓的半徑為 2,圓心在x軸的正半軸上

47、，且與直線3x+ 4y+ 4 = 0相切，則圓的方程是 .&若圓(x a)2 + (y b)2= b2+ 1始終平分圓(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 4的周長，則實數 a, b應滿 足的關系是.9. 已知直線l :ax+ by+ c= 0與圓O：x2+ y2= 1相交于A、B兩點，丨AB | = 3，則OA Ob10. 在平面直角坐標系 xOy中，若曲線x=p4 y2與直線x= m有且只有一個公共點, 則實數m=.二、解答題11. 已知圓 M : x2 + (y 2)2= 1 , Q是x軸上的動點，QA、QB分別切圓 M于A, B兩點.(1)若點Q的坐標為(1, 0)，求切線QA、

48、QB的方程；(2) 求四邊形QAMB的面積的最小值；(3) 若AB =孚，求直線MQ的方程.312. 已知圓C: (x+ 2)2+ y2= 4,相互垂直的兩條直線 li、I2都過點A(a, 0).(I)若li> I2都和圓C相切，求直線h、I2的方程；(H)當a = 2時，若圓心為 M(1, m)的圓和圓C外切且與直線li> I2都相切，求圓 M 的方程；(川)當a=- 1時，求li> I2被圓C所截得弦長之和的最大值.課后作業1. L C : (x 4)2(2)9的圓心坐標與半徑分別為 2圓(x -3)2 (y 2)2 =13的周長和面積分別為 3若點(1,2)在圓(x -

49、2)2 (y 1)2二m的內部，則實數m的取值范圍是 4若L C過點(1,2)和(2,3)，則下列直線中一定經過該圓圓心的是 5圓心為(3,-4)且與直線3x-4y-5=0相切的圓的方程為 課外作業1圓x2 y224y 0的圓心坐標和半徑分別為 2如果圓x2 y2 Dx Ey F =0關于直線y = 2x對稱，則 3 若方程x y -2kx 4 ky 5 k 2 k 1 =0表示一個圓，則常數k的取值范圍是4 若圓x2 y2 - 2x 4my 3m2二0的圓心在直線x y 0上，則該圓的半徑等于課外作業1 .直線x y '1=0與圓x2 y4x 2y 0的位置關系為 2圓x2 y2 2

50、x 40到直線x y 0的距離為 2的點共有3圓x2 y2 -4x 2y F =0與y軸交于 代B兩點，圓心為C，若.ACB =90，則F的值是2 24. 與直線y = x 3垂直，且與圓x y8相切的直線方程是 5. 自點A( 3, 3)發出的光線I經x軸反射，其反射光線與圓(x-2)2+(y-2)2=1相切，求光線 I所在的直線方程。課外作業2 2 2 21圓 x y -2x，2y-2=0 與圓 x y -6x -8y - 24 = 0 的位置關系是 2 22. 已知半徑為1的動圓與圓(x-5) (y 7) =16相切，則動圓圓心的軌跡方程(動圓圓 心坐標所滿足的關系式)為3 .若圓x2，

51、y2=4和圓(x 2)2 (y-2)2 =4關于直線I對稱，則I的方程為.2 24.求經過點 A(4, -1)，且與圓C : x y2x-6y5=0相切于點B(1,2)的圓的方程.課后作業：1:過點P分別作O O! : x2 y2 =1與O O2 : (x-2)2 (y-3)2 =2切線，切點分別為M,N, 若有PM二PN，證明點P在一定直線上，并求此直線方程。2 22. 已知圓 C: x + y + 2x 4y+ 3 = 0.若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；從圓C外一點P(xi, yi)向該圓引一條切線，切點為 M , 0為坐標原點，且有|PM| =|P0|，求使得|P

52、M|取得最小值的點 P的坐標.3. 已知曲線 C： y= , 1 x2與直線I： y = 2x+ k,當k為何值時，I與C:有一個公共點; 有兩個公共點；沒有公共點.橢圓及其標準方程一、學習目標：1. 理解并掌握橢圓的定義；2. 能根據橢圓的標準方程熟練地寫出橢圓的焦點坐標，會用待定系數法確定橢圓的方程；3. 初步掌握用相關點法和直接法求軌跡方程的一般方法二、學習重點與難點重點：掌握橢圓的標準方程，理解坐標法的基本思想難點：運用橢圓的定義與其標準方程解決問題三、學習過程分析1、橢圓定義的回顧橢圓定義中，平面內動點與兩個定點Fi,F2的距離之和等于常數，當這個常數大于|FiF2|時，動點的軌跡是橢圓；當這個常數等于 FF2|時，動點的軌跡是 ；當這個常數小于IRF2I時，動點 2、橢圓的標準方程當且僅當橢圓的中心在坐標原點，其焦點在坐標軸上時，橢圓的方程才是標準形式。1 )當橢圓的焦點在 x軸上時，橢圓的標準方程為 ,2 2 2其中焦點坐標為Fi(c,O) , Fi( -c,0)，且a = b c；2)當橢圓的焦點在 y軸上時，橢圓的標準方程為 ,其中焦點坐標為F1(O,c) , FjO-c)，且a2 = b