1、精品文檔精品文檔精品文檔常微分方程復習題一、填空題1微分方程(凹)“ 也 y2 x2 0的階數(shù)是dx dx答：12.形如的方程稱為齊次方程 答:乎 gC)dx x3 方程y 4y 0的基本解組是 .答: cos2x, sin 2x.1. 二階線性齊次微分方程的兩個解y,x), y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是.答：線性無關(guān)(或：它們的朗斯基行列式不等于零)2.方程y 2y y 0的基本解組是 答:x xe , xe3.若 和 (t)都是X A(t)X的基解矩陣，貝U (t)和 (t)具有的關(guān)系是。4.一階微分方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0是全微分方程的充分必要條件是

2、5.方程 M (x,y)dx N(x, y)dy 0有只含x的積分因子的充要條件是。有只含y的積分因子的充要條件是 。6. 一曲線經(jīng)過原點，且曲線上任意一點x, y處 的切線斜率為2x y，則曲線方程為。7. 稱為n階齊線性微分方程。8. 常系數(shù)非齊線性方程 y(n) a1y(n 1 a. “ a.y e xPm(x)(其中Pm(x)是m次多項式)中，則方程有形如 的特解。9. 二階常系數(shù)線性微分方程y 3y 2y ex有一個形如 的特解。10.微分方程 y 4y 21 y0的一般解為 。9微分方程xy 2y 3y40的階數(shù)為。10. 若Xj(t)(i 0,1,2丄，n)為齊次線性方程的n個線

3、性無關(guān)解，則這一齊線性方程的通解可表為.11. 設(shè)X(t)為非齊次線性方程的一個特解，xi(t)(i 0,1,2,L ,n)是其對應的齊次線性方程的一個基本解組，則非齊線性方程的所有解可表為 .12. 若 Xi (t)(i 0,1,2,L , n)是齊次線性方程y(n) a1(x)y(n 1) an 1(x)y an(x) y 0的n個解，w(t)為其朗斯基行列式，則w(t)滿足一階線性方程 。答： w a1 (x)w 013. 函數(shù)是微分方程y y 2y 0的通解.14. 方程y 2y y 0的基本解組是.15. 常系數(shù)方程有四個特征根分別為1 1,0, 1 (二重根)，那么該方程有基本解組

4、.16. YA(x)Y 一定存在一個基解矩陣(x)，如果 (x)是Y A(x)Y的任一解，那么 (x)。17. 若 (t)是X A(t)X的基解矩陣，則向量函數(shù)=是X A(t)X F(t)的滿足初始條件(t。) 0的解；向量函數(shù) (t) =是X A(t)X F(t)的滿足初始條件(t。) 的解。18. 設(shè) X1(t),X2(t)分別是方程組 X A(t)X R(t) , X A(t)X F2(t)的解，則滿足方程 X A(t)X F1(t) F2(t)的一個解可以為 。19. 設(shè)X為非齊次線性方程組 X A(t)XF(t)的一個特解，(t)是其對應的齊次線性方程組 X A(t)X的基解矩陣,則

5、非齊線性方程組 X A(t)X F(t)的所有解可表為.20. 方程組X A(t)X的n個解X1(t),X2(t),L ,Xn(t)線性無關(guān)的充要條件是.21.若矩陣A具有n個線性無關(guān)的特征向量V1,V2丄,vn ,它們對應的特征值分別是!, 2丄,n，那么矩陣 （t）= 是常系數(shù)線性方程組 XAX的一個基解矩陣。二、單項選擇題1. n階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是（A ）個.（A）n ；（ B） n 1；（C） n+1 ；（D） n +2.2. 一階線性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差（C ）.（A）不是其對應齊次微分方程組的解；（B）是非齊次微分方程組的解；（C）是其對應齊次

6、微分方程組的解；（D）是非齊次微分方程組的通解3若 y1(x),y 2(x)是階線性非齊次微分方程的兩個不同特解,則該方程的通解可用這兩個解表示為).(A)1(x)2 (x)(B)i(x)2（X）；(C) C( ,x)2（X）1(x)(D)C i(x)2（X）.精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔4. 下列方程中為常微分方程的是2(A) x2x 10 ；(B)2xyu(C) 722uu .2 ；xy(D)（c為常數(shù)）.精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔下列微分方程是線性的是（精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔(A) y x2 2y ；(B) y(C) y2x 0 ；(D) y2xy .6.方程y2 2

7、x3y 2y x e 特解的形狀為(A) y12 2xax ey ；(B) y1(ax2bx c)e 2x ；(C) y1x2 (ax2 bx c)e 2x ；(D) %x2(ax2bx c)e 2x精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔7.下列函數(shù)組在定義域內(nèi)線性無關(guān)的是（(D)1,2,x, x2.2 2 2(A) 4, x ；(B) x,2x, x ；(C) 5,cos x,sin x ；8. 下列方程中為常微分方程的是（(B) sinx 12(A) t dt xdx 0 ；精品文檔精品文檔(C) y x 1 c (c 為常數(shù))；9. 下列微分方程是線性的是()2 dy 1(A) y 1 y ；

8、 (B)-dx 1 xy10. 方程 y 2y 2y ex(xcosx2u2u0.(D)-22xy(C)2ybycx ；4(D) y xy 02si nx)特解的:形狀為( )精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔x(A) y1 e (Ax B)cosx Csinx；x(B) y1e Ax cosx Csinx；x(C) y1 e ( Ax B) cosx (Cx D) sin x；(D) y1 xe ( Ax B) cosx (Cx D)sin x.11. 下列函數(shù)組在定義域內(nèi)線性無關(guān)的是()3 2 2(A) 1, x,x ;(B) 2x ,x, x ；2(C) 1,sin x,cos2 x ；(

9、D) 5,sin 2(x 1),cos2(x1).精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔12. 下列方程中為常微分方程的是2(A)xy2 1(B) y2x；y2u(C)r2u2x2u2 ；y(D) x(c為常數(shù)).13.下列微分方程是線性的是(A) y ；(B) y 2 6ydx(C)sin x ；(D) y yy2 cosx.14.方程yy 2sin x特解的形狀為(A) y1x(Acosx Bsin x)；(B)Y1Ax sin x ；(C)yBx cosx ；(D)y12Ax (cosx sin x).精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔15.下列方程中為常微分方程的是(精品文檔精品文檔精品文檔精

10、品文檔(A)x2y2z20 ；(B) yxce(C)2u-2 ；x(D) y=c 1cost+C2Sint(C1, C2 為常數(shù)).精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔16.F列微分方程是線性的是（17.18.19.(A) x(t) x f (t)；(C) x y2 y方程y 2y 3yxe cosx(A) y1 Acosx Bsinx ；3(B) y（D）y13y特解的形狀為（(B) yicosx ；Ae xx(C) yi e (Acosx Bsin x)；F列函數(shù)組在定義域內(nèi)線性無關(guān)的是t 2t 3t(A) e , e ,e2(C) 1,sin (t 1), cos(2t 2)；F列方程中為常

11、微分方程的是3(A) x +1=0；(B) yxceu(CX20.F列微分方程是線性的是（(A)2y22(B) y21.方程6y 9y(A)y1"3xAe ；22.(C) y1Axe3x(D) y1 Axe xcosx .(B)(D) 422Ucosx ；3x16e特解的形狀為(B) y1(D) y1F列函數(shù)組在定義域內(nèi)線性無關(guān)的是（x x 2- x(A) e , xe ,x e(B) 2,cox, coxo,t,tt, 2t(C)A 2 3xAx e3, 6t+8.(D)2yy 2yex.22x ；(D) xdx+ydy=0.e3x( Asin 3x Bcos3x).2；(C)1,

12、2,x ；5x 4x 2(D) 0,e x,e x .23 .微分方程(A) (ax+b)exy''3y'+2y=2x 2ex 的特解(B) (ax+b)xexy*的形式是(C) (ax+b)+cex(D) (ax+b)+cxe24.微分方程2y3y 0的通解是y=()(A)x3x 3 ；(B)(C)x3xG ec?ex3xc1ec2e(D)25.設(shè)y1（x）, y2（x）, y3（x）是線性非齊次方程ya(x)yb（x）y f （x）的特解，則y (1 G C2)y1(x) ®y2(x) C2y3(x)（A）是所給微分方程的通解;精品文檔精品文檔(B) 不是

13、所給微分方程的通解；(C) 是所給微分方程的特解；(D) 可能是所給微分方程的通解也可能不是所給微分方程的通解，但肯定不是特解126微分方程y 4y ?cos2x的特解的形式是y=()(A) a cos2x ；(C) asin2x bcos2x ；27. 下列方程中為常微分方程的是(4 2(A) x 3x x 10 ；2 22u uu(C) 22 ；t xy28. 下列微分方程是線性的是(2 2(A) y xy y x ；(B) y x(B) axcos2x ；(D) axsin2x bxcos2x.)2(B) y" y' x ；(D) u v2 w.)2 2y ;(C) y

14、 xy f(x) ；(D) y精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔f (x)的三P(x)y Q(x)yp(x)y q(x) y f (x)的三個不同的特解,(C) G y1 C2 y3y2;(B)q(% y2)o(y2y3)%；(D) g (y1y2)C2W2y3).個線性無關(guān)解，ci , c2是任意常數(shù)，則微分方程的通解為()(A) G y1c2y2y3；但)0力c2y2(1GC2W3;(C) G y1c2y2(G q)y3；(Dgy1c2 y2(1c1C2M.2x30.若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)0f dt In22，則f (x)為x .(A) e l n 2 ；2x .小x(B)e

15、ln 2 ；(C) eln 22x(D)eln2.31.若 y13xe ,y2xe3x，則它們所滿足的微分方程為()(A) y6y9y 0;(B) y9y0 ；(C) y9y0;(D) y6y9y0.29.設(shè)ydx), y2(x), y3(x)是二階線性非齊次微分方程32.設(shè)y1, y2,y3是二階線性微分方程y且My2不是常數(shù)，則該方程的通解為(y2 y333.設(shè) ky是方程y P(x)y q(x)y 0的兩個特解，則y g% cy ( Gt 為 任意常數(shù))( )(A) 是此方程的通解 ;(B) 是此方程的特解37. 方程 y y(C)不一定是該方程的解；(D)是該方程的解.(A) (ax

16、b)e(B) x(ax b)e x ；2(C) x (ax b)ex(D) e (ax b)cos2x (cx d)sin 2x .38. 方程 y2y yV*xe的特解y的形式為(x(A) axe ；xx(B) (ax b)ex；(C) x(ax b)ex ；(D) x2(ax b)ex .39. 已知 y1coswx 與 y2 3cos wx 是微分方程 yw2y0 的解,則 yc1y1c2y2是( )(A) 方程的通解；(B)方程的解，但不為通解；(C)方程的特解；(D)不一定是方程的解.40. 方程 y3yx*2y 3x 2e的特解y的形式為(x(A) (ax b)ex ；xx(B)(

17、ax b)xex；(C)(ax b) cex；(D) (ax b) cxex .41. 方程 y 3y2yx2e 2x特解的形式為(A) y ax2e2x2(B) y (ax bx c)e2x2(C) y x(axbxc)e 2x222x(D) y x (ax bx c)e42. 方程 x 6x13xet(t25t12) 特解形狀為( )x(A) aexb；(B)axebx；x(C)aebx；(D) axexb.35. 方程 (Pxyy2)dx (qxy2x2)dy0是全微分方程的充要條件是(B )(A) P4，q2；(B) P4，q2；(C) P4，q2；(D) P4，q2.236. 表達式

18、 cos(x y2) aydxby cos(x y2)3xdy是某函數(shù)的全微分，則(A) a 2，b2；(B) a 3，b2；(C) a2，b3；(D)a3，b3.34. 微分方程 y yex 1的一個特解形式為( )Y*xe x 是特解 y* 的形式為( )精品文檔精品文檔44.方程x 2x2x tet cost的特解形狀為（）2(A) xi (At Btc)et cost ；(B) xi2(At Btc)et sin t ；(C) xi et( AcostBsint)；(D) xi(At2 Btc)et cost (Dt2EtF )et sint4 y45.方程(2xy e32xy y)d

19、x/ 2 4(x yy2 2e x y3x）dy 0的積分因子為（）ii“、i“、i(A)(x)2 ；(B)(x);(C)(y)4 ；(D) (y).xxyye X(AcosxBsinx)；(C) yi(D) yix(A) Xi2(At Btc)e(B)Xi (At B)e'(C) xiAte1;(D) xi Aet .43.方程y2y 2yxcosx的特解形狀為（(A) yiAcosxe(B) yiAs in xe x；Ae方程（y ixy)dx(A)x(x) e ;(B)(x)y(C) (y) e ;(D)(y)49.方程(2x2y2y 5)dx(2x32x）dy 0的積分因子為(

20、A)i(x)-x(B)(x)x2.(C)(y) -; (D)y(y)50.方程2xy3dx/ 2 2(x y1）dy 0的積分因子為（(A)(x)-;(B)x(x)2； (C)(y)丄xy(D)(y)46.方程eyx(2xyey)dy0的積分因子為（）(A)(x)12 ； (B)x(x)i,、 i；(C) (y)2xyi；(D)(y)y47.x方程（e23y )dx2xydy 0的積分因子為（）(A)(x)i；(B)(x)x2；(C)(y)丄；2(D)(y) y .xyxdy 0的積分因子為（)48.51.方程 exdx (exctgx2ycosy)dy 0的積分因子為()(A)(x)sin

21、x ；(B)(x) cosx;(C) (y) jsiny; (D)(y)cosy .52.方程ydx (x2 y2 x)dy0的積分因子為()1111(A)(x)2 ;(B)(y)2;(C) (x,y)22 ; (D)(x, y)xyx yx y53.方程y3dx 2(x2xy2)dy0的積分因子為()1111(A)2 ; (B)(C) 2 2 ;(D)2 .xxyx yx y54.方程y 4y 4y0的一個基本解組是().2x.2x22x2x2x(A)1 x, e ;(B) 1,e ;(C) x , e ;(D)e , xe .55.方程y 3x2y ex是()(A)可分離變量方程；(B)齊

22、次方程;(C)全微分方程;(D)線性非齊次方程.三、證明題1.在方程yr P(x)yq(x)y 0 中，P(x), q(x)在(，)上連續(xù)，求證：若p(x)恒不為零，則該方程的任-基本解組的朗斯基行列式W(x)是(,)上的嚴格單調(diào)函數(shù).證明：設(shè)y1 (x) , y2 (x)是方程的基本解組，則對任意x (,)，它們朗斯基行列式在(，)上有定義,且 W(x) 0 又由劉維爾公式xp(s)dsW(x)W(«)e x0,Xo(,)(5分)xp(s)dsW (x)W(x°)e x0p(x)由于W(x。)0, P(x)0,于是對一切x (,)，有W (x)0 或 W (x)0故W(x

23、)是(，)上的嚴格單調(diào)函數(shù).(10 分)2.設(shè)y1 (x)和 y2(x)是方程yq(x)y 0的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式W(x) C，其中C為常數(shù).精品文檔精品文檔證明：如果y i (x)和y2(x)是二階線性齊次方程y P(x)y q(x)y 0的解，那么由劉維爾公式有xP(t )dtW(x) W(x0)e "現(xiàn)在，p(x) 0故有0dtW(x) W(x0)e x0W(x。)C(t)X-J w3 .設(shè)n n矩陣函數(shù)，A2(t)在區(qū)間I上連續(xù)，試證明，若方程組后Al (t )A2(t) , X與dX A2(x)X在區(qū)間I上有相同的基本解組，則 dt證明：因為方程組與dX

24、A2(x)X在區(qū)間|dt其基本解矩陣。從而有：d (t)Ai(t) (t),dtd (t)A2(t) (t), tdt上有相同的基本解組,所以可設(shè)(t)是精品文檔精品文檔所以Ai(t)(t)A2(t) (t),又由于 (t)是其基本解矩陣,所以 det(t) 0，即(t)可逆，故Ai(t)A2(t)， X4.設(shè) y 1 (x)和 y2 (x)是二階線性齊次微分方程的兩個線性無關(guān)解，求證:它們不能有共同的零點.證明：因y 1 (x)和y2(x)是兩個線性無關(guān)解，故它們的朗斯基行列式W(x)i(x)2(x)i(x)2(x)(*)精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔反證。假如它們有共同零點，那么存在一個

25、點X。，使得1(x0)2(X0) 0精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔W(x。)1 (x0)2(x0 )001 (x0)2(x0 )1(x0 )2 (x0 )精品文檔精品文檔這與(*)式矛盾所以它們不能有共同的零點.5.給定方程x 3x2xf(t),其中f(t)在t 上連續(xù)，設(shè)l(t), 2(t)是上述方程的兩個解，證明極限tlimi(t)2(t)存在.所以從而證明：由條件知,i(t)3x 2x 0的特征方程是2(t)是齊次線性方程x 3xx 3x 2x 0的基本解組為1, e t1(t)2(t)可由基本解組1,e t, e2x0的解，因為2320 ,特征根是i 0,21, 32,2te2t線性

26、表示，即精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔t2t1(t)2(t)C1qe所以極限Jim1(t)2(t)Ci存在.6.設(shè)y1(x), y2(x),L , yn(x)是n階齊線性方程y(n) a1(x)y(n1) L an1(x)y an(x)y 0的任意n個解，它們所構(gòu)成的朗斯基行列式為w(x)，證明：(1) w(x)滿足 w (x) a (x)w(x)0 ；xx q(t)dt(2) w(x) w(x0)e %,yn(x)是n階齊次線性方程的任意n個解，它們所構(gòu)成的證明： 設(shè)ydx), y2(x)丄朗斯基行列式為精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔yiy2yayn精品文檔精品文檔w(x)yiLy(n

27、2)y1y(n 1)y1ynLynn 2) ynn 1)由行列式的求導公式得精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔w (x)YiY2Y3LYnYiY2Y3LYnYiY2Y3LYnYiY2Y3LYnLLLLLLLLLL(n 2)Yiy2n 2)(n 2)y3L(n 2)yn(n 2)Yiy2n 2)(n 2)y3L(n 2)vnY(n i)yiy2n i)Y(n i)y3LV(n i)ynY(n i)yiy2n i)Y(n i)y3LV(ni)yn所以YiY2Y3LYiY2Y3LLLLL(nYii)y2n i)y3n i)L(nYii)y2n i)y3n i)LYnYiY2Y3LYnYnYiY2Y3L

28、YnLLLLLLY(n 2)yiy2n 2)y3n 2)L(n 2)yn(n) Yiy2n)y3n)L(n)ynYiY2Y3LYiY2Y3LLLLL(n 2)yiy2n2)y3n 2)L(n)Yiy2n)y3n)LYiY2YiY2a1 (x)w(x)LL(n 2)Yiy2n 2)ai(x)Yi(ni)ai(x)y2nYnYnL(n 2)yn(n)ynY3LYnY3LYnLLL(n 2)y3L(n 2)yni ai(x)y3n i Lai(x)yT DyiY2Y3LYnyiY2Y3LYnyiY2Y3LYnyiY2Y3LYnLLLLLLLLLLYi(n 2)y2n 2)y3n 2)Lynn 2)y!n 2)y2n 2)y3n 2)Lyin 2)yi(n)y2n)y3n)Lynn)ai(x)yin °ai(x)y2n °ai(x)y3n °Lai (x)ynn °y2yny3yiw (x) ai(x)w(x)yiLy2y3Lyi(n 2)2n<2yyi(n)ai(x)yi(n i)y2n)ai(x)y2ny3n)ai(x)y3n 1)LLLLLynLynn 2)ynn)ai (x)y 1)把這個行列式的第i行、第2行、第n行分別乘以an(x),an i(x),L ,a2(x)后加到 最后