1、第三章一元函數積分學2019考試內容原函數和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基本性質定積分中值定理積分上限的函數及其導數牛頓萊布尼茨(Newton -Leibniz )公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分反常(廣義)積分定積分的應用2019考試要求1 .理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。2 .掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分與分部積分法。3 .會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。4 .理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式

2、。5 . 了解反常積分的概念，會計算反常積分。掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數的平均值。第一節一元函數積分學之一(原函數 )原函數的概念及其等價描述 .概念：設有函數 f(x)和可導函數F(x),如果對區間 b,b】上的任何一點x,都有 F '(x)= f ( x),則稱F (x )為f (x )在區間la, b】上的一個原函數。F (x )+c構成f (x )的 全體原函數，叫做f(x )的不定積分，記為：J f (xdx = F (x )+c。2,原函數

3、的性質： .(x戶f (x戶第F(x+3)F(x),且原函數F(x)一定是連續函數； 驗證F(x)是否為f(x)的原函數，分兩步第一步：F(x)在區間上是否連續；第二步：驗證F'(x)=f (x)是否成立。 當f (x )連續時，則f (x ) 一定有原函數，且林f ( t) d t= ( f) k因為F'（x 尸也x）-f（XmL； A-30ix心TAx 1，九、口 1 積分中值定理f t dtx i'x0xf t dt- ,0 f t dtf二一x = f xF 當f (X)存在第一類間斷點時，則f(x廠定沒有原函數，J：f (t )dt。f (X);當f (X)存

4、在第二類間斷點時，則f(x)可能有也可能沒有原函數。X 當f(x)連續時，則f (X)一定有原函數，且可以寫成 F(x)=Lf(tpt;當f(x)不連續XX.時，F(x)=f f(tdt卻不一定是f(x)的原函數，但F (x)= f f (t成在區間內必連續。 a,a 連續奇函數的原函數為偶函數；連續偶函數的原函數為奇函數與常數之和。二、與原函數有關的題型【例1】設叱為f(x )的原函數，求I = Je xf'(xdx。 Xe解：【例2】下列命題不正確的是解：根據原函數的定義有：F '(X尸f (x ),顯然(D )正確。但讀者要快速判斷清楚其余三個錯在哪里?！纠?】設F (x

5、)是f (x )在區間I上的原函數，則解：由于F'(x)=f (x),故F(x施I上必連續，但未必有界，例如：工在(0,1)上的原函數 x是lnx,而ln x在(0, 1)上就無界。故選 (D)【例4】設a>0, f (x )在區間-a, a】連續，則在【-a, a】上解：只有奇函數的原函數才一定是偶函數，偶函數的原函數可能是奇函數， 也可能不是，顯然f (cosx拜X-f (x )-f (-X )都是偶函數，故(A), (B), (D )不正確,而X c-XXcf(X2 )的一個原函數為 F (x)=( f (t2 )dt ,而 F(x )=1 f(t2 )dt_里>-

6、Jo f(u2)du = F(x)故F(x)為奇函數，所以(C )正確?！纠?】設F(x)是f(x )在區間(a, b)的一個原函數，則F(x)+f(x )在在(a, b)上解：F'(x)=f (x),故F(x)必連續，F(x)必存在原函數，故(C )正確。X 1,X - 0【例6】f(x)=(一0 一) ，則f(x)的原函數是：e sin e I x<0、12 J解：(C), (D )中F(x)在x=0點不連續，故都不是f (x)的原函數，(A)不滿足F'(x)# f(x),故也不是f (x )的原函數，因此(B)正確。- 2x 1, x - 0 x【例 7】f(x)=

7、« 兀，F (x )= j f (t )dt ,則：cosx + , x >0L4解：(B )不正確，理由在(C )的分析中。 x,F(x)= f (t )dt, x w (a, b為b, b上的連續函數。對本題我們有： a顯然，F(x)是連續的。但是：故(B心正確。(D時確。1 2121【例8】9戶口儂尸斷了，X#0,F(xHxcos/ X#0。則在一，f0,x=00,x=0內下列正確的是：解：可以驗證x=0為f(x )的第二類間斷點，因為：21I" f (x )=0+l'msin下，故x =0為f (x)的弟一類振湯|可斷點，可能存在原函數。又：第 108

8、 頁第二節 一元函數積分學之二(不定積分與變限積分的計算)一、“三基”內容：1 .基本定義與概念1)不定積分定義：對任一 x w區間I ,可導函數F (x )的導函數為f (x ),即F'(x )4 X );那么F(x)稱為f (x)的原函數。全體原函數的集合 F(x)+c稱為I上的不定積分，記為：f xdx= F x c連續函數一定存在原函數和具有有限個第二類間斷點的非連續函數可能 存在原函數，具有第一類間斷點的非連續函數不可能存在原函數。2)變限積分定義：在原函數存在的條件下，由不定積分定義衍生而來。由于F (x )是某一個具體函數，由萊布尼茨公式得：可見：變限積分可以視為不定積分

9、的某一個原函數。變限積分的求導方法：3)重要結論:離散點不構成區間，但可以構成函數的定義域；如Jsin x -1 t xk=2k+1n ,它的2定義域就是離散點，沒有定義區間，故沒有原函數(注意：對于一范圍la, b,如果是區間,則a*b成立，a=b不成立；如果是定義域，則a0b或a = b都成立。一切初等函數在它的定 義區間必連續，故必有原函數；但在其定義域內就不一定，因為定義域不一定包含區間)。1工小是x3的原函數；而x3不是的原函數，因為x = 0T無定義，屬于433 x233 x2反常積分范疇，一般不定積分或定積分的結論不適合反常積分， 因為4個一維積分：不定積分、 變限積分、定積分和

10、反常積分是四種類型的積分，不可視為同一積分的不同特殊情形。通常我們約定原函數的存在要認為是二者定義域的公共部分；如 j5=ln x +c ,公共部分 x為x#0, J , dx =arcsin x + c的公共部分為(T,1 );而不是-1,1【-1,1】是arcsin x的定義域)；1 - x2初等函數的原函數不一定為初等函數，如初等函數e* ,sin x2，皿的原函數不是初等函數；x原函數不唯一，它們是只差一個常數的函數族，如：sin x cosxdx = °sin 2x+c1二-1cos2x十c2;24x f (x)為連續的奇函數U F (x )= L f (x dx為偶函數；

11、xf (x )為連續的偶函數仁F(x)= j0 f (xpx為基函數。但不能說f (x )為連續的偶函數，則Jf(xdx為奇函數，因為J f (xpx= F (x )+c ,存在常數c；f (x四連續的周期函數u fxf (x)dx為周期函數的充要條件是；/f(x)dx=0。-a02.必須記住的18個基本積分公式：而 帶不定參數的積分要考慮各參數的取值情況，分別討論，如：J-; a, b'a sin x + b cos x是不全為零的非負數陳氏積分公式1_dx_= nx 十6 -x2 1 + n2(n lnx +'a2 -x2x+ arcsin 一 a J+ c證明如下:二、積

12、分技巧與方法評注積分計算四大總綱領： 利用上述18個積分公式及其逆向思想，把被積函數整體或其部分湊全微分；分部積分； 換元(三角換元、倒換元、指數換元、根式換元和特殊換元見【例27】)。 積分技巧的本質：積分困難主要是由于被積函數存在分母和根號，如何完全或部分去掉這兩個東西就是我們開發求解積分技巧的源泉，詳見【例 9】分析，其余例題類推。1、利用加減乘除函數及原函數湊微分【例 9】設 f (sin2 x )= x，求 I = j , x f (x Jdx。sinx.1 - x解： 令 u=sin2x,貝U x =arcsin TU= f (x )= arcsnx , 于是EH 此題解到i =r

13、csin或dx的后續計算是關鍵,按照積分總綱領，去掉分母還可以寫成:1 x總綱領也可以去掉根號，即令 H3x=t= x = 1t，dx = 2tdt ,從而:但計算過程繁瑣得多。所以，快速尋找到最佳解法就需要讀者多做練習多思考總結?！纠?0】ln tan x ,dxsin 2x解:【例11】dxx 1 x7解一:d 771 x -xx 1x7dxdx = ln x - 1 x'17一 ln 1 + x +c解二:,8 xdx = -1 d 1 x，71 xJ -ln 1 +x，+c讀者可以驗證，兩種結果只差一個常數。【例12】sin xI 二dx1 sin x解:【例13】Rdx ,e

14、x 1解:【例14】dxx2、2x -4解:【例15】2 -一cos x - sin xIcosx(1 cosxe )dx解： 注意至U：cosxes1nx= (cos2 x-sin x)es1nx【例16】1 - In x(x - In x)2dx =.1 - ln xdxx - In xx -ln x *x J x - ln x【例17】x2 15x1 d(x ) dx :Ax -2x1二 2 arctg【例18】Fix )為f (x病原函數,x 至 0時，有f (x)F (x 尸 sin2 x,且 F(0)=1, F(x 戶0,求 f(x)。解：由 F'(x)= f (x )有:

15、【例 19】設 f (x)連續，且 f (x 乂/ f (t )dt +l= arctan 應(x>0),求 f (x)一 0. x 1 xx解：令 F x = ° f t dt 12、回歸法cosx xsin x ,【例20】求I = jZxx cosxx cosx I |1解：I 二-sin x x -dxx cosxdx .1 xd l x cosx x cosx/、2tx【例 21】設 f (x )連續，且 lim '1 +- I = j f (x-t Jcostdt ,求 f (x )。一二 t 0解：易知：lim 11 -= e2xf：( t一、x 1 1,

16、1【例 22】設 f (x )=2 +V1 -x f f (x )dx ,求 I = f f (x )dx1 x00,1x 1,，解：設f (x )dx =A , f (x )=+ V1 -x f f (x )dx兩邊同時取積分得01 x03、待定函數法【例23】求I = （1 +x4(x -( xdxx1x1I xdx = F x e x兩邊求導得: 1解：設I =匚1 +xe l xj上式很容易看出，F（x） = x是它的一個特解，根據定積分的定義，故4、相關積分法【例 24求 I1 = e2x sin2xdx,12 = e2xcos2xdx解：5、換元法（注意：湊微分和換元法是計算積分的

17、兩大核心而普遍的技術）5.1 三角換元三角換元（一）去根式三角換元（二）萬能公式注意：三角萬能代換只有在沒有其他簡單方法可用時才使用，實際上三角萬能代換后計算第109頁sin xdx量很大。如-cosx - sin x-umosx?*二，如用三角替換反而繁瑣。三角換元（三）和差化積或積化和差三角換元（四）倍角公式評注：不管引用何種三角替換，其本質是去掉根號和化簡，從這個意義上讀者根據具體題型要廣義使用。2【例25】I =（22 dx（1 x2）2解：三角換元法：【例 26I = fxjxdx (a>0) 2a - x解：三角換元法:令 x =2acos2t. dx - -4asin tc

18、ostdt15.2 倒換兀 x =：3dx【例27】ir= x a x5.3 指數或根式換元，如:xa =t =1 dt dx = , x -a = t= dx = 2tdtIn a t【例28】求Idx1 2x 4x【例29】求I解：令6/x = tn x=t6= dx = 6t5dt,才可以同時去掉兩個根式 5.4特殊換元【例 30】I = Q(x-a Xb-xjdx (b>a )解：特殊換元法：令2 ,x -a = b -a sin t2b -x = b -a cos t第 111 頁6、多級分部積分法多項式u的各階導數其他函數v的各級積分vdxI vdx陳氏口訣 代換變形多項式；

19、逐次微分直到零；其余積分零對齊;交叉相乘正負和?！纠?11I43x -2x -1表格:2x e4x3 -6x21 2x2 一1)22 4x - 1 22401 2x1 2x1 2x1 2x1-e-e-e-e24816322x e讀者參照陳氏第4技同步練習:,52(x 3x -2x 5)cos xdx【例 32fx(arcsin x)2dx arcsin x = usin ucosudu 1- u22sin 2udu表格:2 usin 2u2u1 c-cos2u221 .。-si n i2401 c-cos2u87、遞推法與倒推法【例33】Indx. / 22 n(x a )遞推式一般首先采用分

20、部積分法,解:In；222、n 二2(n -1)a |L(xa)(2n-3)Im1可作為公式用。【例34】In= seen xdx = seen' xdtgx解:【例35】In=tgnxdx = tg n/x(sec2 x-1)dx解:同步練習:Wx2 +a2dx = Jx2 +a2 + ln(x + Jx2 +a2) +C22【例361Idx(x2 1)2解：7、有理函數的積分可化為整式和如下四種類型積分dxdx24q -p 2 Ndu(x2 px q)nilx + P_n 2oo nu2a2,再用【例33】方法x 一次項，再用【例33】的結怦 注I：上述公式不必記憶，但方法的本質是

21、想辦法消除分母的 論。具體問題的求解是這一思想出發的。8、抽象函數和分段函數的不定積分;求 I = xf 2x dx【例37】已知f(xN勺原函數為sin解:. sin x xcosx - sin x . _ 2xcos2x -sin 2xfx - 二一 f 247【例 38】求 I = fmax(x3,x2,1 dx解：此類題的定式做法是：關鍵是畫圖得出分段區間，化成分段函數后，再積分。 由于分段函數的連續性知：評 注 對于含有絕對值的函數積分,一般見于定積分題型中，方法是：先令絕對值的項 等于零，畫圖再確定能去掉絕對值的區間， 然后分區段積分，詳見定積分部分例題。但也可作 不定積分：如 I

22、 = Jx 1 dx =1 (x1)dx+ ( (1x)dx+c = ：q(x1)2 +c1【例39】設y = y(x )?兩足 fydx ' f-dx = -1 ,且當xt +a=yT 0,y(0)=1,求y的表達式。 y解： ydx 1dx = -1 y【例40】設f (x械10, +的止可導，f (0 ) = 0,其反函數為g(x),若(飛)g(trdt xe 2 x,求 f (x )。解：令 t -x = u, dt = du第三節一元函數積分學之三(定積分與反常積分)一、定積分“三基”內容：1.定義：“腦中有模型，結構心理存，兩個關鍵點，定義得分明?！眱蓚€關鍵點：定積分是結構

23、性的，它是積分和式的極限，而且該極限的結果與區間的分法與各子區間X4, xj中點，的取法無關。模型是：積分圖；結構是：極限形式；具體來說：D定對象：有限區間G, b】的有界函數；2)分區間：將b, b】分為n個子區間xf K】(i =1,2,.n ),其中規定：x0=a; xn = b ,子區間及小x與分法無關，b, b內共有n+1個點，中間插入n-1個點，其中等分區間只是其第112頁中的一種分法；3）作乘積：在'，X內任意取一點匕,口與取法無關，作乘積f 世x，其中：AXi = x x； 對等分情況： xi =a -a i, x0 a a, xn =bnn4）求和式：S=E f（q2

24、xi ;i 1n5)取極限：I =f (G 世xi;九=max&xi;九t 0 # nT 笛；6）作結論：極限存在，且與區間分法和子區問lx，x】內點匕的取法無關時，I才是f （x）在閉區間a, b上的定積分定積分的定義的數學形式：（實際使用中a, bU h 1比較常見）重點應用公式:卜列重要結論成立:n 15n15 i 5如： lim % = lim、 =dxn 二 i 4 n i 2 n 廣"n i 2% 二. x2 nI n2)a =b= lim ' 0 f a =0 = f (x)dxn二 ya3)n 1Ia b= lim f I a if'im n2

25、.重要結論：積分7個常用比較定理：b=f (x)dx ab(a)f(x而a , b_t連續，恒正或恒負或 f (x )=0 ;且f (x)dx = 0= f(x) = 0 ap(b)f(x而a,by連續，任意子區間a,Pa, b有 Qf(x)dx = 0= f(x)=0b匕)“乂)在陽，功上連續,f (x)>0,且f(x)不恒為零,口 f f (x)dx>0 abb(d )f(x)ft a , b4連續，f (x戶g(x 域f(x)«g(x )；且 f f(x)dx= J g(x>dx= f(x =g( x aa(e)積分保序定理：f (x)在a, b上連續，f(x

26、)之g(x)或f(x)Mg(x),則b2 b 2b 2（g）柯西不等式:3 f（x）g（x）«（ja f（x）Kjag（x）積分估值定理： 積分中值定理（平均值公式）：函數f （x ）在a, b上的均方根公式：I = x，a(d )吊用奇函數 中(x)=J txdt;中(x)=ln,平(x )= f (xf (x ),x - a常用偶函數 x = f x f -x如果f (x氏于x=a軸對稱，那么：f(a + x)=f(ax )為偶函數u f(x)=f(2ax)、，_.a b b , 一， LbL_r_r , _ _ , 一一 >t , 一、*y = f( »關于x

27、= -&一軸對稱=f(x)dx=2£2 f(x)dx,對多兀函數積分有類似結論華里士公式：膨象記憶掌握法奇奇1;偶偶半冗意思是：當n為奇數時，分母每項也為奇數，分子相應遞減，且結論最后一項為 為偶數時，分母每項也為偶數，分子相應遞減，且結論最后一項為 j f2 （t對 函數在對稱區間的積分特點：dx一，、一一 ， ， 、 、 一一， , 、一一 ， 、 、 _一, 評注 何）d r-0因為該積分為廣義積分，與定積分定義不符x V1 x2 周期函數f（x+T） = f（x）的積分特性：例如(a )的應用:積分高級技巧：_.2,0 <a <1等題型xsinx , 二

28、口 二 dx二如求 L dx =及=/0 1 cos x 40 1 acosx .一 1-a2（c ）用面積法解釋f Ja2 -x2dx =1na2的積分方法。1；當如:兀2 /70 (cos x.8sinx)dx =0；。4如積分區域不是；0,常用的轉換公式有：一 2 具有特殊功能的定積分四大區間變換評注|區間變換廣泛用于積分的合并與拆分，也是處理含參積分問題和大部分積分證明題 的主要手段。二、反常積分的判斂和計算方法2.1 反常積分的幾何意義反常積分存在時的幾何意義：函數與 X軸所圍面積存在有限值時，函數在一點的值發散，不會導致面積的發散。例如 (Vdx (a >。)的幾何意義是：位

29、于曲線y=1 2之下，x軸之上，直線x = 0與0 . a2 - x. a2 - x21x=a之間的圖形面積，而x=a點的值雖使y=發散，但面積可求。22'a x2.2 反常積分的兩種類型-becb(a )無窮區間的反常積分f f(xdx=門m f x dx廣 ( i fmx dx (r fJ-COa洶ab-g，c(b)無界函數的反常積分，又稱瑕積分(每個被積函數只能有一個瑕點)其中：x > -b或, a= f(x) > 二FH如果反常積分為上述兩類的混合型，則拆分幾分區間，使原幾分為無窮區間和無界函數兩類反常積分之和，參見【例 55】。2.3數學AB或甲乙?？嫉奶厥夥闯７e

30、分(讀者根據各自需要選學) 2(a )概率積分e e“ dx = «T(b)函數(n)=j0 xnJ1edx (n > )01m -4(c)B 函數 B(m, n)=(t (1 -t) dt (m>0, n >0 )與函數的關系：B(m, n )=?m)r(n)m + n )(d冊概率積分(e佻色積分I (n)=xn-1xe -1dx例如試證明:一2二- xdx 二c F-0 e 1122.4常用反常積分的斂散判斷結論反常積分的斂散判斷本質上是極限的存在性與無窮小或去窮大的比階問題。首先要記住兩類反常積分的收斂尺度：對第一類無窮限f"f(x)dx而言：當f

31、(x)>0 , f(x)為無窮小，并ab且無窮小的階次不能低于尺度，才能保證收斂；對第二類無界函數(f(x)dx而言：當當xt aW f(x)為無窮大,并且無窮大的階次不能高于尺度，才能保證收斂；這個尺度常常取1。以下是簡化模型的收斂四種實用判斷，請務必在理解的基礎上記住。陳氏第4技|反常積分斂散性判定的模型和基準收斂, 發散,收斂,發散,b 1 收斂,/1發散,第 121 頁二 4x5 13x6 7x 3dx ,由于等效的P=6-5=1,故原反常積分發散。比階法：設f (x ),g(x)在la, b上可積，g(x)在la,")不變號，且lim上兇=以 x，二 g x2.1二

32、xln x14小收”的原則，故原反常積分發散收斂5 "a3=6>1，根據“大收arctan x(3)廣arctanx dx,使用比階法:1 x、x2 x 1斂散”的原則，故原反常積分收斂。xlim x、x2 x 1X J二1根據“同價同如果反常積分pdnq收斂,求p, q的范圍屬于混合反常積分I = 1dx 二dx = I1 I20 1 xp lnq 1 x 11 xp lnq 1 xI1是無界函數的反常積分，只有當q <1 , p >1收斂(由于xw ,0, 1，故此時p >1= xp <x),I2是無窮區間的反常積分，只有當p >1 , q&g

33、t;0收斂，由于xw 0, 1,而此 q <1= lnq (1 +x)lnqx)不影響 I2收斂，綜合上訴得：p>1 , 0<q <1三、定積分的計算方法與技巧1、利用不定積分公式和重要結論1 2 -x【例 411 ln f (x )+ f (x )dx2 x -解："x) = ln 紀x= *(-x ) = ln2x = -lnx = -*(x ),為奇函數，2 x2-x 2 x平(x )= f( x + f - X =% )x K f 卜 x t f 武=),為:偶函數，根據對稱區間定積分的特點，所以1 2 - x1n f x f -x dx =0 _2

34、x【例 42I = 17rlsin x -cosx dx解：評 注| 一般隱含邊界為絕對值時，令絕對值內的函數為零，解出分界點，再分段積分。但對象本題的三角函數積分類，由于在積分區間內分界點超過了 2個，不宜使用該法，而利用周期 函數積分公式。但如果本題積分區間改為I =|sinx-cosxdx,則就可以利用分段積分法了，sinx-cosx Bfx=-=f2 sin x - cosx dx4TL0J01=f4(cosx-sinx )dx+ 曉(sinx-cosx)dx = 2(>/2-1 )。 0一dx【例43】I-E(-0)a1 a解：利用 10 f (x)dx =萬 £ I

35、f (x) + f (ax) dx2 V【例 44I = t-sin-xdx £ e解：利用:l1 llf x dx - I f (x) f (-x) ldx= I f (x) f (-x) Idx【例45】設 f (x)=lim t2sin- |g ' 2x +5 t 21 t Jg(x)的一個原函數為ln(x + 1),求11 Tf (x /。解：【例46】f (x)連續，(1)求證:2，.，° xf sin x dx = - 0 f sin x dx = . 02 f sin x dx(2)求 I =，xsin2 xcos2xdx解：(1)令 x = n -t

36、又因為：(2)【例47|=(也?01 x2解：令 x=tant dx s2e c t d t【例481Is i nx d x1 + s i x + cx) sx解：令 t = t a n-2x= 2 ar c ta n,2xx，一屋xE。的極化【例49求f (x )=x.二 costdt,."2解：先分段求極值，再討論分段點處的連續性。又當 0<x<1 3 f x )<0；x >1=> f'(x)>03 極小值 f i1)=e7eee在x =0處=f (x而x=0處連續；但2xln xe -1 2xln x二 lim 二 lim -x 0

37、' x x j0 . x導數不存在,【例50】設f(x 0, 1上可導,解：(x)A0= f (x ) = f (f x - f 0 x -1f 0 = lim = lim T xx 0 . x但當x很小時，x<0n f P(x)>0;x>0n f'(x)<0,故f (x)在x = 0處取得極大值1。f'(x)A0,求中(x)= jj f (x)f (t jdt 的極值點f x -f t , 0sx x - f tf t f x , x < t < 1故：x=1是中(x )的極小值點?！纠?1】計算積分I = xsin10xdx-0解

38、：評注I定積分的計算主要方法還是換元、湊微分和分步積分，目的也是“兩去"，即去根號和去分母；基礎手段是對稱區間公式、周期函數積分公式和代數面積幾何法。2、幾何法【例52利用幾何法計算下列積分：解： 111(1)I1等于邊長長1的二角形面積。I1 = j0(1-x)dx=-x1><1=-(2)12等于邊長為1 乂里的三角形和就、張角等于 一的弧形面積之和。2 6.11.(3 ) I 3等于一橢圓一父1的面積。42 2|評注|讀者可以利用公式 “a2-x2dx = Wa2-x2+ a-arcsin *+c驗證上述結論；這類題型 22 a只有在積分區域為圓或圓上的一部分或橢圓上

39、規范區域(一般由上下限決定)才能夠使用幾何法。【例53】設f (x怖0, 1上連續且遞減，0<九<1,證明：/f (x)dx之?/f (x)dxbt =-a1證明：使用區間變換。b, b】=b, 1使用變換113 f(x)dx一一0j0 f ,x(t)lx'(t)dt1【例54】求lim(sin t dt解：,jsintdt = f sintdt =2 Lkn 10q設x以這種方式趨于正無窮大： nnWx之(n+lRT=o【例55】2 dx1 x < 3x2 -2x -1解:【例56】二 dx 0 d x 二 d x-2' -2_ . c 2_一注 4x9x

40、4x 90 x 4x 9解:【例57】求Idx1 x、, x -1解：混合反常積分問題的題型【例58】討論積分的值:解：首先需要判斂。由于x-x2 =0=得分界點x=0, 1 ,但在積分區間只有x=1是被積函數的瑕點。故11 c【例59】試證明：- < f x ln xdx < 0 2e 0證明:先判斂:選基準x2 ln x1x232曷函數比對數函數階次圖土曰七|三“.所所”= limx2lnxt=0。根據大收小收x 0的原則，原反常積分收斂。要證明原不等式，右邊很簡單,因為在區間(0, 1內x2lnx<0,由積分保序性知1_0x ln xdx <0 0左邊只要在區間(

41、0, 1內求出f(x)=x lnx的最小值即可.x【例60】設f(x戶 e .訐明曲線y = f (x)在區間(ln2, +如)上與x軸圍成的區域右面 ,e2x -1積存在，并求之。解：依題意是求-beln 2e*dxe2x-1由于是無窮區間的反常積分，選基準收斂函數-x_e：-2 x2 -x2 -)2x .lim e 7 = lim := lim ' '= 0 , 根據 “大收小收” 的原則，故 J e x 收x ；1x' ,；e2x _1xLjeNxln2 e2x_12x斂，面積存在。則5-【例 61求 I = Q x2 -2x -3dx解：令x2-2x-3 = 0

42、= %=-1, x2=3,利用畫數軸的方法容易得出各積分子區間。第120頁,f1【例62求I = f tt xdt 0解：令t-x=0=t = x,故xw b, 1而不能取其他區間的值評 注 對于含參積分問題，必須優先明確參數的取值范圍，寫出分段函數形式第四節定積分的應用元素法總則：在微分元范圍內，任何曲線和直線等價，任何物理變量可以用常量代換5大幾何應用陳氏第5技 上下原函橫面積，左右反函橫周長；兩軸輪換形除外，平移雙函識減符1.1平面圖形的面積應用小I VI稱為左右曲不相交圖形第 132 頁1.2平面曲線的弧長ds =、(dx)2 (dy)2稱為上下曲相交圖形 注I既然是定積分應用，當然積

43、分方向以常數區間為準。對上下曲不相交圖形，被積函數 為上原函數減去下原函數（遠減近），對左右曲不相交圖形，被積函數為右反函數減去下反函數（遠減近），對于相交圖形則為遠減近的絕對值一畫圖以面積所在的位置定正負。1.3 旋轉體積評注對左右曲圖形dVx=2q y x2 y -x y dy。如果旋轉軸為平行于x或y的直線,Vy亡x；(y)-x2(y )dy比如上下曲繞x =t ,如t在兩曲線的上方，則旋轉的體積，則計算如下（其余類推） 設y1 = f1（x）為離旋轉軸白近曲線，y2 = f2（x）為離旋轉軸的遠曲線，則體積元及體積為:形象記憶法：上述公式靠死記是不行的，時間長了必會混淆，但你仔細觀察一

44、下有規律： 上下曲繞x及其平行軸和上下曲繞y及其平行軸利用圓面積，其余情形用圓的周長。而且上下曲，定積分方向為x,左右曲為y ,這是定積分要求的；Vx和Vy在形式上滿足“導數”關系；還有個特征就是 x, y是交替出現的，如 Vy =2n f xlf2（x）fi（x）dx中VyT x ,而 adVx =2曙 yy）T y） d*vx-> y。1.4 旋轉體的側面積（對于上下曲圖形） 形象記憶法：x, y交替出現。1.5 形心（重點）質心是針對實物體而言的，而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實物體，質 心和形心是重合的。曲線形心（在多元函數積分應用時，還有平面和圖形和空間圖形的形心

45、問題，請對照。）x 方向的靜力矩M X = Ja '"(x)f (x)Jl +f (x 1 dx靜力矩定義:y 方向的靜力矩M y = * '“x *Jl + f x )1 dx物體的質量M = j，"x jjl + ffxjdxMyMjxj1 +j(xjj2 dx:.1+1fx dxI，；1fx2dx形心坐標Y-Mx YMjf 年)，1 + (x)2 dxf (x)1dx1：f (x)Jl + f x)2dx評 注I對質心只要在每項積分中加入線密度為 九（x）即可，當九（x尸常數，即幾何體均勻時, 質心與形心完全重合，上述公式通用，下同。上述形心公式與旋轉

46、體的側面積聯系起來，便得到：古爾金第一定理：Sx =2"Sy = n Xl 2面密度為仃的均勻平面薄板的形心（上下曲型） 評注對質心只要在每項積分中加入密度函數即可。上述形心公式與旋轉體的體積積聯系起來，便得到:古爾金第二定理：Vx = 2n YSSy = 2n XS二、4大物理應用（物理應用=幾何應用+物理定理）2.1 壓力或浮力問題（以球形物體受到的水壓為例）2.2 引力（萬有引力或電場力）問題例如在x軸上有一根長為l ,均勻質量密度為£的木棒，中心放在原點，在y軸上（0, a）處 有一個單位質點，則萬有引力計算如下：又如在x軸上有一根長為l ,均勻電荷密度為九的木棒，

47、中心放在原點，在y軸上（0, a）處有一個單位電荷，則電場力計算如下：2.3 做功問題2.4 質心問題【例63】y =x（x -1 X x-2 ）與*軸所圍部分的面積為解：本題為求幾何面積，y與x軸的交點為x =0, x2 =1, x3=2,而 xw|0, 1= f（x 戶 0; xw 1, 2 = f（x）E0;故（B）正確?！纠?4】求曲線y=1x2與x2+y2=8所圍圖形的較小部分的面積S。2解：兩曲線的交點為（-2, 2）, （2, 2）,為上下曲，則1【例65】設平面曲線C1：y='（1+ex）,C2：y=e，過點（0, 1）的平面曲線C3是單調增加函數，2過C2上任一點M（

48、x,y）分別作垂直于x和y軸的直線lx和ly,記C1 , C2與lx所圍成的面積為S（x）,記C-C2與ly所圍成的面積為S,（x）, §（x）三S2（x）,求C3的方程x = 9（y ）。解：先畫出草圖。顯然三曲線交點為（0,1）, C3在最上面，C1在最下面。S(x)為上下曲，S1(x )=p ，(1+ex )dx = 2(ex-1 dx_y&（x）為左右曲，S2（x）= 10 -ln y-（y fdy【例66求y=e"sinx的x"的部分與x軸所圍平面圖形的面積解：設所求面積為S【例67】求半徑為a圓的漸伸線10, M內的弧長解：圓的漸伸線方程為:【

49、例68】 求曲線y=4-x2及y = 0所圍成的圖形繞直線x = 3旋轉一周的體積解：0 < y <4【例69】由x2+y2 Ex與y ”確定的區域記為A ,求A繞直線x = 2旋轉一周所生成的旋轉體的體積。解:x軸圍成的圖形繞y = 1旋轉【例70】過原點作平面曲線丫=百二1的切線，求該曲線和切線與一周的旋轉體的表面積。解：設切點為（&，y° ）, y'（%產 I _ I - -2 / x -12 , x0 -12 y0則切線方程為:y y。=2 y0(x-x0 ),又（0, 0 ）在切線上，則_y。=1源 一%=X°=2得切線方程為：y =1

50、 x。2由曲線y=Jx1 （1 Ex E 2）繞y=1旋轉一周的旋轉體的表面積 &應等于繞y = 0即x軸旋轉一周的旋轉體的表面積:1由直線線y = x （0 ExE2 ）繞y =1旋轉一周的旋轉體的表面積 與應等于繞y = 0即x軸旋 2轉一周的旋轉體的表面積:由直線y=0 （0MxM1）繞y=1旋轉一周的旋轉體的表面積 S3應等于繞y = 0即x軸旋轉周的旋轉體的表面積:因此：旋轉體的表面積 s =三（5而-1）+庭江=更（75+1）。 66【例71】設f（x）在10, a 上連續非負,f（0）=0,在（0, a）內，f“（x）0,設（X,Y）為區域:O,， 2D=(x, y)uR

51、| 0ExEa, 04y 至 f(x)的形心，求證： X > - a。3ax f x d xo證明： X ja S ,要證X >2a,等價于要證明:0f x dx32 )一，八(0 I x - a f (x)dx>0 I3 Jx構造輔助函數：F x = 。 t 一2. x2-x f t dt = .0tf t dt-x33x0 f t dt °xa同步練習 |設 f (x)在0, 1 上連續非負，f (0)= f；(0)=f；(0)=0, f'"(x)A0,設(X, Y)為區域 D =(x, y 戶 R2 | y = f (x ), x =0, y

52、 =仆的形心，求證：X >-。4axf x dx3證明：X=，要證X >3 ,等價于要證明:0fxeIX4x10, 11x構造輔助函數：F (x)= J。：t -3 x4 x f t dt = ：0 t f t dt -3 x4 x 0 f t dt顯然F (0 )=0, 只須證明F (1 )>0.13 xF x =-xf x -.0 f t dt- F 0 =044 01.1F x =xf x f x = F 0) = 0421.1.1.1F x -xf x -xf x ：xf x -f4444:說明：f'(x )f'(0 +尸 f)x-L-*11fx fx -ffxfx-4 -4f x = f ：)x, 0 : x=F x- F x - 0= F xF 0 f. F x0= F x【例72】假設區域D由曲線y = px3 ( y>0, p >0 )及其過點(1, p)的切線與x軸圍成，其形心為(X, Y )。(1)求X的值;JI135(2)求p的值，使D繞y軸一周而生成的旋轉體體積為Vy