1、第三章 一階微分方程解的存在定理 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。2. 了解解的延拓定理及延拓條件。3. 理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。 教學(xué)重難點(diǎn) 解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。 教學(xué)方法講授，實(shí)踐。 教學(xué)時(shí)間12 學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明。 考核目標(biāo)1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2. 熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對(duì)初值的連續(xù)性及可微性公式。3.

2、利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律， 能動(dòng)解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測(cè)未來(lái)的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解 法的幾種類(lèi)型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問(wèn)題中 所需要的往往是要求滿(mǎn)足某種初始條件的解。因此初值問(wèn)題的研究就顯得十分重要，從前 面我們也了解到初值問(wèn)題的解不一定是唯一的。他必須滿(mǎn)足一定的條件才能保證初值問(wèn)題 解的存在性與唯一性，而討論初值問(wèn)題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地 位，是近代常微分

3、方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程過(guò)點(diǎn)（0,0）的解就是不唯一，易知y 0是方程過(guò)（0,0）的解，止匕外，容易驗(yàn)證，y X2或更 一般地，函數(shù)都是方程過(guò)點(diǎn)（0,0）而且定義在區(qū)間0 X 1上的解，其中c是滿(mǎn)足0 c 1的任一數(shù)。解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問(wèn)題，它明確地肯定了方程的解在一定條 件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似 解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而 近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。而解的存在唯一性定 理保證了所求解的存在性和唯一性。1 .存

4、在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程立 f（x,y）dx這里 f (x, y)是在矩形域：R：|x x01 a,| y y01 b (3.2)上連續(xù)。定理1:如果函數(shù)f(x, y)滿(mǎn)足以下條件：1)在R上連續(xù)：2)在R上關(guān)于變量y滿(mǎn)足 李普希茲(Lipschitz )條件，即存在常數(shù)L 0,使對(duì)于R上任何一對(duì)點(diǎn)(x, y1)，(x, y?) 均有不等式f(x, y1) f(x, y2) L y1 y2成立，則方程(3.1 )存在唯一的解y (x),在 區(qū)間| x xo | h上連續(xù)，而且滿(mǎn)足初始條件(xo) yo(3.(3)b其中 h min( a, 一), Mmax f (x, y) ,

5、 L 稱(chēng)為 Lipschitz 吊數(shù).Mx，y R思路：1) 求解初值問(wèn)題(3.1)的解等價(jià)于積分方程的連續(xù)解。2) 構(gòu)造近似解函數(shù)列 n(x)任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)°(x),使得| o(x) y°| b ,替代上述積分方程右端的I(x)替代積分方程右端的y,如果i(x)0(x),那么0(x)是積分方程的解，否則，又用得到 如果2(x) i(x),那么i(x)是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到xn(x) y0f (x, n 1(x)dxx0(3.(4)于是得到函數(shù)序列 n (x) .3) 函數(shù)序列 n(x)在區(qū)間x。h,x。h上一致收斂于(x),即存在，對(duì) (3.4) 取極限

6、, 得到x即 (x) y0f (x, (x)dx.x0x4) (x)是積分方程y y0f(x,y)dx在x。h, x。h上的連續(xù)解.x0這種一步一步求出方程解的方法 逐步逼近法. 在定理的假設(shè)條件下 , 分五個(gè)命題來(lái)證明定理 .為了討論方便, 只考慮區(qū)間x。 x x。 h , 對(duì)于區(qū)間x。 h x x。 的討論完全類(lèi)似.命題1設(shè)y (x)是方程(3.1)定義于區(qū)間x。x x。h上,滿(mǎn)足初始條件（x。 ） y。, 則 y ( x) 是積分方程xyy0f ( x, y)dxx0x x0 hx0(3.(5)的定義于x0 x x0 h 上的連續(xù)解. 反之亦然 .證明 因?yàn)閥 (x)是方程(3.1)滿(mǎn)足

7、(xo)yo的解，于是有兩邊取x0 到 x 的積分得到x即有 (x)yof (x, (x)dxxox xo hxox所以 y (x) 是積分方程y yof (x, y)dx 定義在區(qū)間 xo x xoxo反之 , 如果 y ( x) 是積分方程(3.5) 上的連續(xù)解, 則x( x) yof ( x, ( x)dxxo xxo hxo(3.(6)由于f (x, y)在R上連續(xù),從而f(x, (x)連續(xù)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得而且(xo)yo ,故y (x)是方程(3.1)定義在區(qū)間h x xo h上，且滿(mǎn)足初始條件h 上的連續(xù)解.(xo ) yo 的解 .構(gòu)造 Picard 的逐次逼近函數(shù)序列 n(

8、x) .0(x)y0x(n 1,2,L )n (x)y0f ( , n 1( )dx0 x x0 hx0(3.(7)命題2對(duì)于所有的n, (3.6)中的函數(shù)n(x)在xox x° h上有定義，連續(xù)且滿(mǎn)足不等式| n(x) y0 | b(3.(8)證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明x當(dāng)n 1時(shí)，i(x) yof( ,yo)d ,顯然i(x)在xox x° h上有定義、連續(xù)x0且有即命題成立 .假設(shè) n k 命題 2 成立，也就是在xo x xo h 上有定義、連續(xù)且滿(mǎn)足不等式當(dāng) n k 1 時(shí)，由于f (x, y)在R上連續(xù)，從而f (x, k(x)在x0x x0 h上連續(xù)，于是得知k1

9、(x)在xox xo h 上有定義、連續(xù), 而且有即命題 2 對(duì) n k 1 時(shí)也成立 . 由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的 n 均成立 .命題3函數(shù)序列 n(x)在x0 x x0 h上是一致收斂的.記 lim n(x)(x) , xox xo hnn證明構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)0(x) k(x) ki(x)Xox Xo hk 1(3.(9)它的部分和為于是 n(x)的一致收斂性與級(jí)數(shù)(3.9)的一致收斂性等價(jià).為此，對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的 通項(xiàng)進(jìn)彳T估計(jì).xI i(x) o(x)| f( , o( )|d M(x xo)x(3.(10)由Lipschitz 條件得知設(shè)對(duì)于正整數(shù)n,有不等式成立,則由Lipschit

10、z 條件得知，當(dāng)x0 x x0 h時(shí)，有于是由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)所有正整數(shù)k,有 k 1k 1MLk ML k| k(x) k i(x) | -(x x0)hx0x x0 hk!k!(3.(11)hk由正項(xiàng)級(jí)數(shù) MLK 1一 的收斂性，利用Weierstrass判別法，級(jí)數(shù)(3.9)在x0x x0 hk 1k!上一致收斂.因而序列 n (x)在x0x x0 h上一致收斂.設(shè) lim n(x)(x) , 則 (x) 也在 x0 x x0 h 上連續(xù) , 且n命題4(x)是積分方程(3.5)的定義在xo x xo h上的連續(xù)解.證明 由 Lipschitz 條件以及 n(x)在xo x xo h上

11、一致收斂于(x)，可知f (x, n(x)在xo x x°h上一致收斂于 f (x, (x) . 因此x即n(x)yof ( , ( )dxo故(x)是積分方程(3.5)的定義在xo x xo h上的連續(xù)解.命題5設(shè)(x)是積分方程(3.5)的定義在% x xo h上的一個(gè)連續(xù)解，則(x)(x),xo x xo h .證明 設(shè)g(x) | (x)(x) |，則g(x)是定義在xox xo h的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由于而且 f (x, y) 滿(mǎn)足 Lipschitz 條件 , 可得x令u(x) L g( )d ，則u(x)是x° x xo h的連續(xù)可微函數(shù)，且u(x0) o , x

12、oo g(x)u(x) , u (x)Lg(x) , u(x)Lu(x) , (u (x)Lu(x)e Lxo ,即 (u(x)eLx) o , 于是在 xo xxoh 上, u(x)e Lxu(xo)e Lxoo故 g(x) u(x) o , 即 g(x) o , xo x xo h , 命題得證 .對(duì)定理說(shuō)明幾點(diǎn)(1)存在唯一性定理中h min(a,_b)的幾何意義.M在矩形域R中|f(x,y) M ,故方程過(guò)(xo,y0)的積分曲線y(x)的斜率必介于 M與M之問(wèn)，過(guò)點(diǎn)(xo,yo)分別作斜率為 M與M的直線.當(dāng)M b時(shí)，即a 旦，(如圖(a)所示)，解y(x)在x° a x

13、x° a上有定義；當(dāng)aMM b時(shí)，即& a,(如圖(b)所示)，不能保證解在xo a x xo a上有定義，它有可 a M能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形R外去，只有當(dāng)xo x xo B才能保證解y (x)在R內(nèi)， MM故要求解的存在范圍是| x xo | h .(2)、由于李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻易 于驗(yàn)證的條件來(lái)代替他，即如果函數(shù)f(x, y)在矩形域R上關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)存在并有界，即|fy(x,y)| L,則李普希茲條件條件成立.事實(shí)上這里(x, yi),(x,y2) R,o 1 .如果fy (x, y)在R上連續(xù)，它在R上當(dāng)然潴足李

14、普希茲條件.但是，滿(mǎn)足李普希茲條件的函數(shù)f(x, y)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)f(x,y) |y|在任 何區(qū)域都滿(mǎn)足李普希茲條件，但它在y o處沒(méi)有導(dǎo)數(shù).(3)、設(shè)方程(3.1)是線性的，即方程為易知，當(dāng)P(x),Q(x)在區(qū)間,上連續(xù)時(shí)，定理1的條件就能滿(mǎn)足，且對(duì)任一初值(x0,yo),x° ,所確定的解在整個(gè)區(qū)間,上有定義、連續(xù).實(shí)際上，對(duì)于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在|x xo| h上，是因?yàn)樵?構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列 n(x)時(shí)，要求它不越出矩形域R,此時(shí)，右端函數(shù)對(duì)y沒(méi)有任何限 制, 只要取 M max | P(x)y0 Q(x) |. x ,(4)、

15、Lipschitz 條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件.例如 試證方程經(jīng)過(guò) xoy 平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的 .證明 y 0 時(shí), f (x, y) yln | y|, 在 y 0上連續(xù) , fy(x, y) 1 ln | y |也在 y 0上連續(xù),因此對(duì)x軸外的任一點(diǎn)(xo, yo),方程滿(mǎn)足y(xo) yo的解都是唯一存在的.又由xxx可得方程的通解為 yece , 其中 yece 為上半平面的通解, yece 為下半平面的通解，它們不可能與y 0相交.注意到y(tǒng) 0是方程的解，因此對(duì)x軸上的任一點(diǎn)(xo,O), 只有y 0通過(guò)，從而保證xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的.但

16、是因?yàn)?lim |ln |y|, 故不可能存在L 0, 使得所以方程右端函數(shù)在 y 0 的任何鄰域并不滿(mǎn)足Lipschitz 條件 .此題說(shuō)明 Lipschitz 條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件.2) 考慮一階隱方程F (x, y, y ) 0(3.12)0 ,則必由隱函數(shù)存在定理，若在(%,y0,y0)的某一鄰域內(nèi)F連續(xù)且F(%,y0,y0)0,而y可把y唯一地表為x, y的函數(shù)y f(x,y)(3.13)并且f (x, y)于(xo, yo)的某一鄰域連續(xù),且滿(mǎn)足yof (xo,yo)如果F關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則f(x, y)對(duì)x,y也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且F

17、/(3.14)顯然它是有界的，由定理1可知，方程(3.13)滿(mǎn)足初始條件的y(x0) 0解存在且唯一.從而 得到下面的定理.定理2如果在點(diǎn)(xo,yo,yo)的某一鄰域中：i) F(x, y, y )關(guān)于所有變?cè)?x, y, y )連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);ii) F(xo,yo, yo) 0出)F(x°, y°, y°) 0y則方程(3.12)存在唯一的解y y(x) | x x0 | h(h為足夠小的正數(shù))滿(mǎn)足初始條件y(Xo) yo, y(Xo)yo(3.(15)1、 近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法對(duì)方程的第n次近似解n(x)和

18、真正解(x)在|x Xo| h內(nèi)的誤差估計(jì)式MLn . n 1| n(x)(x)|h(n 1)!(3.(16)此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明.設(shè)有不等式成立，則例1討論初值問(wèn)題dy 22x y ,y(0) 0dx解的存在唯一性區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過(guò)0.05的近似解，其中,R: 1 x 1, 1 y 1.解 M mxR|f(x，y| 2，a 1，b1,h min a,1,由于IjI |2y| 2 L ,根據(jù) 2y誤差估計(jì)式(3.16) .一 ,一、13(x)就是所求的近似解，在區(qū)間1 2可知n 3 .于是1 .1上，這個(gè)解與真正解得誤差不超過(guò) 0.05.2§ 2解的延拓上節(jié)我

19、們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng) 曳 f(x,y)的右端函數(shù)”*,丫)在上滿(mǎn)dx一一，一、"皿 dy f(xv)足解的存在性唯一性條件時(shí)，初值問(wèn)題dx f(x' y)的解在|x xo| h上存在且唯一.但y。y(xo)是，這個(gè)定理的結(jié)果是局部的，也就是說(shuō)解的存在區(qū)間是很小的.可能隨著f(x,y)的存在1,當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)閰^(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例一.211R： 2 x 2, 2 y 2時(shí)，M 8,h min2, -,解的范圍縮小為|x x0 | -.在實(shí)際844引用中，我們也希望解的存在區(qū)間能盡量擴(kuò)大，下面討論解的延展概念，盡量擴(kuò)大解的存 在區(qū)間

20、，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的1、飽和解及飽和區(qū)間定義1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的微分方程dx f(x,y)(3.1) 設(shè)y (x)是方程(3.1)定義在區(qū)間Ii R上的一個(gè)解，如果方程(3.1)還有一個(gè)定義在區(qū)間I2 R上的另一解y (x),且滿(mǎn)足(1)Ii"但是 Ii I2(2)當(dāng) x Ii 時(shí)，(x)(x)則稱(chēng)y (x),x Ii是可延拓的，并稱(chēng)y (x)是y (x)在I2上的延拓.否則如果不存在 滿(mǎn)足上述條件的解y (x)，則稱(chēng)y (x),x Ii是方程(3.i)的不可延拓解或飽和解，此時(shí) 把不可延拓解的區(qū)間Ii稱(chēng)為一個(gè)飽和區(qū)間.2、局部李普希茲條件定義2若函數(shù)

21、f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且對(duì)G內(nèi)每一點(diǎn)P,都存在以P點(diǎn)為中心， 完全含在G內(nèi)的閉矩形域Rp ,使得在Rp上f(x,y)關(guān)于y滿(mǎn)足李普希茲條件(對(duì)于不同的 點(diǎn)，閉矩形域Rp的大小和李普希茲常數(shù)L可能不同)，則稱(chēng)f(x,y)在G上關(guān)于y滿(mǎn)足局 部李普希茲條件.定理3 (延拓定理)如果方程dy f(x,y)的右端函數(shù)f(x, y)在(有界或無(wú)界)區(qū)域 dxG R2上連續(xù)，且在關(guān)于y滿(mǎn)足局部李普希茲條件，則對(duì)任意一點(diǎn)(%,比) G ,方程 dy f(x,y)以(xo,y。)為初值的解(x)均可以向左右延展，直到點(diǎn)(x, (x)任意接近區(qū)域 dxG的邊界.以向x增大的一方來(lái)說(shuō)，如果y (x)只能延拓

22、到區(qū)間上，則當(dāng)x m時(shí)，(x, (x) 趨于區(qū)域G的邊界。證明(xo,y。)G,由解的存在唯一性定理，初值問(wèn)題dy dx V。f (x, y) y(xo)(1)存在唯一的解y (x),解的存在唯一區(qū)間為|x x。| h。.取x1x0 h。，yi區(qū))，以(xi,yj為中心作一小矩形R1 G,則初值問(wèn)題dy f(x,y)dxyi y(x)存在唯一的解y (x),解的存在唯一區(qū)間為| x x1 |幾.因?yàn)?(%)(X)，有唯一性定理，在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有(x)(x)，即當(dāng)為hi x X時(shí)(x)(x).定義函數(shù)則y (x)是方程(3.1)滿(mǎn)足(1)(或(2)的，在x。ho,xi%上有定義的唯一的解.

23、這樣,把方程(3.1)滿(mǎn)足(1)的解y (x)在定義區(qū)間上向右延伸了一段.即把解y (x)看作方程(3.1)的解y(x)在定義區(qū)間|x x0| h。的向右延拓，延拓到更大區(qū)問(wèn)x。h。x x。h。.同樣的方法，也可把解y (x)向左延拓.這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去，最后將得到一個(gè)解y (x),不能再向左右延拓了 .這個(gè)解稱(chēng)為方程(3.1)的飽和解.推論1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的初值問(wèn)題dx "x'y)其中(Xo,yo) GYo y(Xo)若f (X, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿(mǎn)足局部Lipschtiz 條件，則它的任一非飽和解均可延 拓為飽和解. 推論2 設(shè)y(x

24、)是初值問(wèn)題dy f (x, y)dx其中(xo, yo) Gy°y(Xo)的一個(gè)飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間I一定是開(kāi)區(qū)間. 證明 若飽和區(qū)間I不是開(kāi)區(qū)間，不妨設(shè)I (,，則(，()G,這樣解y (x)還可以 向右延拓，從而y (x)是非飽和解，矛盾.對(duì)I ,)時(shí)，同樣討論，即x (或x ) 時(shí)，(x, (x) G.推論3如果G是無(wú)界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)通過(guò)(x0,y。)點(diǎn)的解y (x)可以延拓，以向x增大(減小)一方的延拓來(lái)說(shuō)，有以下兩種情況：(1)解y(x)可以延拓到區(qū)間x0,)(或(，x0)；(2)解y (x)只可延拓到區(qū)間x0,m)(或(m,xO

25、),其中為有限數(shù)，則當(dāng)x m時(shí),或者y (x)無(wú)界，或者點(diǎn)(x, (x) G .例1討論方程dy 分別通過(guò)點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(ln 2, 3)的解的存在區(qū)間.dx 2解此方程右端函數(shù)f (x, y)yy在整個(gè)xy平面上滿(mǎn)足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.易知方程的通解為故通過(guò)點(diǎn)(0,0)的解為y (1 ex)/(1ex),這個(gè)解的存在區(qū)間為ex),這個(gè)解的存在區(qū)間為0 x通過(guò)點(diǎn)(ln2, 3)的解為y (1 ex)/(1 (如圖所示).注意，過(guò)點(diǎn)(ln2, 3)的解為y (1 ex)/(1 ex)向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0,因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)，y例2討論方程dy 1 ln x過(guò)(

26、1,0)點(diǎn)的解的存在區(qū)間. dx解 方程右端函數(shù)f(x,y) 1 lnx在右半平面x 0上滿(mǎn)足解的存在唯一性定理及解的 延拓定理的條件.區(qū)域G (右半平面)是無(wú)界開(kāi)域，y軸是它的邊界.易知問(wèn)題的解為y xlnx,它于區(qū)間0 x上有定義、連續(xù)且當(dāng)x 0時(shí)，y 0,即所求問(wèn)題的解向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0,且當(dāng)x 0時(shí)積分曲線上的點(diǎn)(x, y)趨向于區(qū)域G的邊界上的點(diǎn).例3考慮方程曳(y2 a2)f(x, y),假設(shè)f (x, y)和f y(x, y)在xoy平面上連續(xù)，試證 dx明：對(duì)于任意x0及y°a ,方程滿(mǎn)足y(x°) y°的解都在(，)上存在.證

27、明根據(jù)題設(shè)，易知方程右端函數(shù)在整個(gè)xoy平面上滿(mǎn)足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.又ya為方程在()上的解，由延拓定理可知，對(duì) 飛,|丫。| a,滿(mǎn)足y(xo)y0的解y y(x)應(yīng)當(dāng)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，但是，由解的唯一性，y y(x)又不能穿過(guò)直線y a,故只能向兩側(cè)延拓，而無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而解應(yīng)在(，)存在.注：如果函數(shù)f (x, y)于整個(gè)xoy平面上定義、連續(xù)和有界，同時(shí)存在關(guān)于y的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程(3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間x .練習(xí)試證對(duì)任意x。，y。，方程dy 一工2一滿(mǎn)足初始條件y(xo) yo的解都在dx x y 1(,)上存在.§3解對(duì)初值的連續(xù)性和

28、可微性定理在初值問(wèn)題dx f (x, y)中我們都是把初值(x。, yo)看成是固定的數(shù)值，然后再去討y。y(x。)論方程dy f(x,y)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x°,y。)的解.但是假如(x。，y。)變動(dòng)，則相應(yīng)初值問(wèn)題的解也隨 dx之變動(dòng)，也就是說(shuō)初值問(wèn)題的解不僅依賴(lài)于自變量x ,還依賴(lài)于初值(Xo, y。).例如：f(x,y) y時(shí)，方程y' y的解是y cex,將初始條件y(x。) y。帶入，可得y 丫。、°.很顯dy然它是自變量x和初始條件(x。, y。)的函數(shù).因此將對(duì)初值問(wèn)題 晟 f (x，y)的解記為y。y(xo)y (x,x。, y。),它滿(mǎn)足 y。(x

29、6;,x。, y。).當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的解是如何變化的？當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí)，方程解的變化是否也很小呢？為此就要討論解對(duì)初值的一些性質(zhì) .1、解關(guān)于初值的對(duì)稱(chēng)性設(shè)方程 (3.1) 滿(mǎn)足初始條件y(x0) y0 的解是唯一的 ,記為 y(x,x0,y0), 則在此關(guān)系式中，(x,y)與(xo,y。)可以調(diào)換其相對(duì)位置.即在解的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式證明 在方程(3.1)滿(mǎn)足初始條件y(xo)y。的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)xi,顯然y1(x1,x0,y0) , 則由解的唯一性知 , 過(guò)點(diǎn)(x1,y1) 的解與過(guò)點(diǎn)(x0,y0) 的解是同一條積分曲線即此解也可寫(xiě)為并且，有y。(x。，x1, y1).

30、又由(為，y1)是積分曲線上的任一點(diǎn)，因此關(guān)系式y(tǒng)。(x0,x,y)對(duì)該積分曲線上的任意點(diǎn)均成立 .2 、 解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性由于實(shí)際問(wèn)題中初始條件一般是由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的，肯定存在誤差. 有的時(shí)候誤差比較大，有的時(shí)候誤差比較小，在實(shí)際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說(shuō)當(dāng) (x。, y。 )變動(dòng)很小的時(shí)候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動(dòng)，這就是解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性所要研究的問(wèn)題：在討論這個(gè)問(wèn)題之前，我們先來(lái)看一個(gè)引理：引理：如果函數(shù)f(x, y)于某域D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿(mǎn)足Lipschtiz 條件(Lipschtiz常數(shù)為 L )，則對(duì)方程( 3.1 )的任意兩個(gè)解(x) 及 (x) ，在它

31、們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立著不等式I (x)(x)| | (x。)(xo)|eL|xx0|(3.17)其中x。 為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明 設(shè)(x),(x)于區(qū)間a x b上均有定義，令于是 V(x) |V(x)| 2| (x)(x)|f(x, ) f(x, )| 2LV(x)從而(V(x)e 2Lx) 0dx所以，對(duì)x0 a,b，有對(duì)于區(qū)間a x x(o ,令x t,并記x0 j則方程(3.1)變?yōu)槎乙阎薪鈟 ( t)和y ( t).類(lèi)似可得 V(x) V(xo)e2L(x0 x),a x x0因此，V (x) V(x0)e2L|x ",a x b,a x0 b兩邊開(kāi)平方即得(

32、3.17).利用此引理我們可以證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性：解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)定理假設(shè)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿(mǎn)足局部李普希茲條件，如果(x0,y。)G,初工 dyf(x,y-一一、一、，值問(wèn)題dx '有斛y(x,x0,y°),匕于區(qū)|可a x b上有止義(a x0 b),則對(duì)任Voy(x0)意 0,( ,a,b) 0,使得當(dāng)(x0 x0)2 (V0 y。)22時(shí)，方程(3.1)滿(mǎn)足條件y(x0) y0的解y(x,x0, y°)在區(qū)間a x b上也有定義，并且有(x,xd, V0)(x,x0, V0),a x b.證明 記積分曲線段S:y (x, x0,y0

33、)(x),a x b是xy平面上一個(gè)有界閉集第一步:找區(qū)域D ,使S D ,而且f (x, y)在D上關(guān)于y滿(mǎn)足Lipschitz 條件.由已知條件，對(duì)(x,y) S,存在以它為中心的開(kāi)圓C,C G,使f(x,y)在其內(nèi)關(guān)于y滿(mǎn) 足Lipschitz條件.因此,根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓G(i 1,2,L , N)(不同的G ,其半徑5和Lipschitz常數(shù)Li的大小可能不同),它們的全體覆 N蓋了整個(gè)積分曲線段S,令李UCi,則S 冬G,對(duì) 0,記 i 1d( d%S), min(,L max(Lj Ln),則以S上的點(diǎn)為中心，以 為半徑的圓的全 體及其邊界構(gòu)成包含S

34、的有界閉域D G ,且f (x, y)在D上關(guān)于y滿(mǎn)足Lipschitz條 件，Lipschitz 常數(shù)為L(zhǎng) .第二步：證明 (，a,b) 0()，使得當(dāng)(又。Xo)2 (y0 y。)22時(shí)，解y (x)(x,Xo, y。)在區(qū)間a x b上也有定義.由于D是一個(gè)有界閉域，且f(x,y)在其內(nèi)關(guān)于y滿(mǎn)足Lipschitz條件，由解的延拓定理 可知，解y (x)(x,Xo,yo)必能延拓到區(qū)域D的邊界上.設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為(c, (c)和(d, (d) , c d,這時(shí)必有c a,d b .否則設(shè)c a,d b,由引理有利用(x)的連續(xù)性，對(duì)i - eL(ba),必有2 0存在，使當(dāng)|x X

35、o|2時(shí)有2一一 ，_2_22| (x)(Xo)|1,取 min( 1, 2)，則當(dāng)(Xo Xo)(y。 y。)時(shí)就有(x)在區(qū)間a,b上有，則方程(3.1)的解| (x)(x)|2 | (Xo)(X0)|2e2Mx"0l2(| (Xo)(Xo)| | (Xo) (X0)|)2e2LIX“012(l (Xo) (Xo) I2I (Xo) (Xo) )e2L1X x0122 2L(b a)2( i Iyo y。I )e2 2L(b a) 24 1 e(c x d)(3.(18)于是對(duì)一切x c,d，I (x) (x)I 成立，特別地有I (c) (c)I ,I (d) (d)I即點(diǎn)(c

36、, (c)和(d, (d)均落在域D的內(nèi)部，這與假設(shè)矛盾，故解y 定義.第三步 證明I (x) (x)I ,a x b.在不等式(3.18)中將區(qū)間c,d換成a,b,可知當(dāng)(Xo xo)2 (yoyo)22 時(shí)，就有(x,Xo,yo)(x,xo, yo),a x b.根據(jù)方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)定理及解對(duì)自變量的連續(xù)性有3、解對(duì)初值的連續(xù)性定理若函數(shù)f(x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿(mǎn)足局部李普希茲條件 y (x, Xo, yo)作為x, Xo, yo的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的證明 對(duì)(Xo,yo) G,方程(3.1)過(guò)(Xo,yo)的飽和解y(x,%,yo)定義于(Xo,y°) x(Xo,yO)上，令下證y(x,Xo, yo)在V上連續(xù).對(duì)(X,Xo, yo) V, a,b,使解 y(x, Xo, yo)在a,b上有定義，其中 X,X0 a,b.對(duì) 0,1 0,使得當(dāng)(xo Xo)2 (yo yo)212 時(shí)，又y (x, Xo,yo)在x a,b上對(duì)x連續(xù)，故 2 o,使得當(dāng)|1x| 2時(shí)有取 min( 1, 2),則只要(x x)2 (xo Xo)2 (yo yo)22 就有從而得知y(x,Xo, yo)在V上連續(xù).4、解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)定理討論含有參數(shù)的微分方程電 f(x, y, )G :(x, y) G,