1、要點回顧要點回顧1. (1) 顯著性水平顯著性水平 . / , , ,0來來作作決決定定還還是是小小于于等等于于的的觀觀察察值值的的絕絕對對值值大大于于量量然然后后按按照照統統計計定定就就可可以以確確數數后后選選定定當當樣樣本本容容量量固固定定時時kknxZk , ,/000Hxknxz則我們拒絕則我們拒絕的差異是顯著的的差異是顯著的與與則稱則稱如果如果 , , ,/ ,000Hxknxz則我們接受則我們接受的差異是不顯著的的差異是不顯著的與與則稱則稱如果如果反之反之 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在顯在顯有無顯著差異的判斷是有無顯著差異的判斷是與與上述關于上述關于 x.稱為顯著性水

2、平稱為顯著性水平數數 (2). 檢驗統計量檢驗統計量. /0稱為檢驗統計量稱為檢驗統計量統計量統計量nXZ (3). 原假設與備擇假設原假設與備擇假設假設檢驗問題通常敘述為假設檢驗問題通常敘述為: ,下下在在顯顯著著性性水水平平 . ,01”檢檢驗驗針針對對下下或或稱稱為為“在在顯顯著著性性水水平平HH . , 10稱為備擇假設稱為備擇假設稱為原假設或零假設稱為原假設或零假設 HH . : , : 0100 HH檢檢驗驗假假設設(4). 拒絕域與臨界點拒絕域與臨界點 當檢驗統計量取某個區域當檢驗統計量取某個區域C中的值時中的值時, 我們拒絕原假我們拒絕原假設設H0, 則稱區域則稱區域C為拒絕域

3、為拒絕域, 拒絕域的邊界點稱為臨界點拒絕域的邊界點稱為臨界點.(5). 兩類錯誤及記號兩類錯誤及記號真實情況真實情況(未知未知)所所 作作 決決 策策接受接受 H0拒絕拒絕 H0H0 為真為真正確正確犯第犯第I類錯誤類錯誤H0 不真不真犯第犯第II類錯誤類錯誤正確正確 當樣本容量當樣本容量 n 一定時一定時, 若減少犯第一類錯誤的概率若減少犯第一類錯誤的概率, 則犯第二類錯誤的概率往往增大則犯第二類錯誤的概率往往增大.犯第一類錯誤的概率為犯第一類錯誤的概率為 若要使犯兩類錯誤的概率都減小若要使犯兩類錯誤的概率都減小, 除非增加樣本容量除非增加樣本容量. . : , : , , , , : :

4、01000010100設檢驗設檢驗的假設檢驗稱為雙邊假的假設檢驗稱為雙邊假形如形如稱為雙邊備擇假設稱為雙邊備擇假設也可能小于也可能小于可能大于可能大于表示表示備擇假設備擇假設中中和和在在 HHHHH(7). 雙邊備擇假設與雙邊假設檢驗雙邊備擇假設與雙邊假設檢驗(8). 右邊檢驗與左邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗 . : , : 0100稱稱為為右右邊邊檢檢驗驗的的假假設設檢檢驗驗形形如如 HH . : , : 0100稱稱為為左左邊邊檢檢驗驗的的假假設設檢檢驗驗形形如如 HH右邊檢驗與左邊檢驗統稱為單邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗統稱為單邊檢驗. .(6). 顯著性檢驗顯著性檢驗 只對犯第一類錯誤的概率加

5、以控制只對犯第一類錯誤的概率加以控制, 而不考而不考慮犯第二類錯誤的概率的檢驗慮犯第二類錯誤的概率的檢驗, 稱為顯著性檢驗稱為顯著性檢驗.2. 假設檢驗的一般步驟 ; ,).110HH假設假設及備擇及備擇提出原假設提出原假設根據實際問題的要求根據實際問題的要求 ; ).2n以以及及樣樣本本容容量量給給定定顯顯著著性性水水平平 3). 確定檢驗統計量以及拒絕域形式確定檢驗統計量以及拒絕域形式; ;. )400求求出出拒拒絕絕域域為為真真拒拒絕絕按按 HHP . ,).50H受還是拒絕受還是拒絕根據樣本觀察值確定接根據樣本觀察值確定接取樣取樣 )( ,1. 32檢檢驗驗的的檢檢驗驗關關于于為為已已

6、知知Z nxzZ/0 檢驗統計量的觀察值檢驗統計量的觀察值檢驗檢驗0H1 H的拒絕域的拒絕域0 H0 0 0 0 0 0 zz zz 2/| zz )( ,).2(2檢檢驗驗的的檢檢驗驗關關于于為為未未知知t nsxtt/0 檢檢驗驗統統計計量量的的觀觀察察值值檢檢驗驗0H1 H的的拒拒絕絕域域0 H0 0 0 0 0 0 )1( ntt )1(|2/ ntt )1( ntt 3.方差的檢驗方差的檢驗 , , ),( 22均為未知均為未知設總體設總體 NX , : , : 20212020 HH(1) 要求檢驗假設要求檢驗假設: , ,21的的樣樣本本為為來來自自總總體體 XXXXn . 0為

7、為已已知知常常數數其其中中 )1( 202 sn)1(22/1 n )1( 202 sn或或. )1(22/ n (2)單邊檢驗問題的拒絕域單邊檢驗問題的拒絕域 ) ( 設顯著水平為設顯著水平為 , : , : 20212020 HH).1()1( 22022 nsn 左邊檢驗問題左邊檢驗問題: , : , : 20212020 HH拒絕域為拒絕域為).1()1(212022 nsn 右邊假設檢驗右邊假設檢驗:7.3 7.3 兩個正態總體均值或方差的兩個正態總體均值或方差的比較比較1. 兩總體均值的比較兩總體均值的比較2. 兩總體方差的比較兩總體方差的比較3. 基于成對數據的假設檢驗基于成對數

8、據的假設檢驗t 檢驗）檢驗）4. 小結小結. . ,),(,),( , 22212121注意兩總體的方差相等注意兩總體的方差相等獨立獨立且設兩樣本且設兩樣本的樣本的樣本為來自正態總體為來自正態總體的樣本的樣本為來自正態總體為來自正態總體設設 NYYYNXXXnn 利用利用t檢驗法檢驗具有相同方差的兩正態總體均值差的假設檢驗法檢驗具有相同方差的兩正態總體均值差的假設. , , , 2212221均均為為未未知知方方差差是是樣樣本本分分別別是是總總體體的的樣樣本本均均值值又又設設 SSYX211210211210211210 : , : )3 : , : )2 : , : )1 HHHHHH求檢驗

9、問題求檢驗問題）來檢驗假設來檢驗假設取顯著性水平為取顯著性水平為3 . 1. 兩總體均值的比較,11)(21nnSYXtw .2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其其中中 ,0為為真真時時當當H所以其拒絕域的形式為所以其拒絕域的形式為 : 統統計計量量作作為為檢檢驗驗統統計計量量引引入入 t）的無偏估計，）的無偏估計，（是是021 YXkt 附附近近；的的觀觀察察值值應應在在的的附附近近，即即的的觀觀察察值值應應落落在在因因而而00tYX 知，知，節定理節定理章章又有第又有第44 . 55).2(21 nnt2111)(nnSYXtw ,0為為真真時時當當H對于給定的顯著性水平

10、對于給定的顯著性水平 ，確定，確定k ,使使 , 00HHP拒絕拒絕為真為真 knnSYXPwH2111)(0).2( 212/ nntk 得得 即得拒絕域為即得拒絕域為 )2(11)(|212/21nntnnsyxtw 單邊檢驗問題的拒絕域列在單邊檢驗問題的拒絕域列在P169表表7.4 例例1 1 在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率建議是否會增加鋼的得率, , 試驗是在同一只平爐上進試驗是在同一只平爐上進行的行的. . 每煉一爐鋼時除操作方法外每煉一爐鋼時除操作方法外, , 其它條件都盡可其它條件都盡可能做到相同能做到相同.

11、 .先采用標準方法煉一爐先采用標準方法煉一爐, , 然后用建議的然后用建議的新方法煉一爐新方法煉一爐, , 以后交替進行以后交替進行, , 各煉了各煉了1010爐爐, , 其得率其得率分別為分別為(1)(1)標準方法標準方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, : 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法新方法: :79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 8

12、0.2, 82.1; 設設這兩個樣本相互獨立這兩個樣本相互獨立, 且分別來自正態總體且分別來自正態總體),( ),(2221 NN和和 ,221均均為為未未知知 問建議的新操作方法能否提高得率問建議的新操作方法能否提高得率? )05.0( 取取解解 . : , : 211210 HH需需要要檢檢驗驗假假設設分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本方差分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本方差:,101 n,23.76 x,325. 321 s,102 n,43.79 y,225. 222 s,775. 221010)110()110( 22212 sssw且且,7341. 1)18( 0

13、5. 0 t查查表表可可知知101101 wsyxt因為因為295. 4 , 0H所以拒絕所以拒絕即認為建議的新操作方法較原來的方法為優即認為建議的新操作方法較原來的方法為優.).2(21 nntt ,7341. 1)18(05. 0 t查表查表7.47.4知其拒絕域為知其拒絕域為例例2 2有甲、乙兩臺機床加工相同的產品有甲、乙兩臺機床加工相同的產品, , 從這兩臺從這兩臺機床加工的產品中隨機地抽取若干件機床加工的產品中隨機地抽取若干件, , 測得產品測得產品直徑直徑( (單位單位:mm):mm)為為機床甲機床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.

14、0, 19.9機床乙機床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 試比較甲、乙兩臺機床加工的產品直徑有無顯著試比較甲、乙兩臺機床加工的產品直徑有無顯著差異差異? 假定兩臺機床加工的產品直徑都服從正態假定兩臺機床加工的產品直徑都服從正態分布分布, 且總體方差相等且總體方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分別服從正態分布分別服從正態分布和和兩總體兩總體依題意依題意 , 221均為未知均為未知 )05. 0( . : , : 211210 HH需需要要檢檢驗驗假假設設, 81 n,925.19 x,216. 021 s, 72 n

15、,000.20 y,397. 022 s,547. 0278)17()18( 22212 sssw且且,160. 2)13( 025. 0 t查表可知查表可知7181| wsyxt,160. 2265. 0 , 0H所以接受所以接受即甲、乙兩臺機床加工的產品直徑無顯著差異即甲、乙兩臺機床加工的產品直徑無顯著差異. 2.兩總體方差的比較兩總體方差的比較,),( , 21121的的樣樣本本為為來來自自正正態態總總體體設設 NXXXn , 222121均均為為未未知知又又設設 , : , : )12221122210 HH需要檢驗假設需要檢驗假設: ,),(,22221的的樣樣本本為為來來自自正正態

16、態總總體體 NYYYn ., ,2221SS其樣本方差為其樣本方差為且設兩樣本獨立且設兩樣本獨立 , : , : )22221122210 HH , : , : )32221122210 HH . 2221作作為為檢檢驗驗統統計計量量采采用用SSF , 2221kss 故拒絕域的形式為故拒絕域的形式為 :的值由下式確定的值由下式確定此處此處 k , 00HHP拒絕拒絕為真為真 kSSP22212221 現在來檢驗假設現在來檢驗假設 , : , : )22221122210 HH , 0為為真真時時當當 H),()(22222121SESE , 1為為真真時時當當 H),()(22222121S

17、ESE , 2221有有偏偏小小的的趨趨勢勢觀觀察察值值SS)1 (,2221222122212221 因因為為kSSP, , 00 HHP拒拒絕絕為為真真要要使使. 222122212221 kSSP只只需需令令).1, 1(2122212221 nnFSS 根據第根據第5章章5.4定理定理4知知).1, 1(2112221 nnFssF 檢驗問題的拒絕域為檢驗問題的拒絕域為上述檢驗法稱為上述檢驗法稱為 F 檢驗法檢驗法.).1, 1( 211 nnFk 即即另外兩個檢驗的拒絕域在書上表另外兩個檢驗的拒絕域在書上表7.5列出列出.例例3 (3 (續例續例1 1）(1)(1)標準方法標準方法:

18、 : 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 76.7, 77.3; (2)(2)新方法新方法: :79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 設設這兩個樣本相互獨立這兩個樣本相互獨立, 且分別來自正態總體且分別來自正態總體),( ),(222211 NN和和 ,222121均均為為未未知知 試對上述數據檢驗假設試對上述數據檢驗假設 . : ,

19、:2221122210 HH)01. 0 ( 取取解解,1021 nn 2221 ss)110, 110( 005. 0 F54. 6 2221 ss或或)110, 110( 005. 01 F)9, 9(1005. 0F ,153. 054. 61 2.225,3.325, 2221 ss因因為為,49. 1 2221 ss所以所以,54. 649. 10.153 2221 ss , 0H故接受故接受認為兩總體方差相等認為兩總體方差相等.兩總體方差相等也稱兩總體具有方差齊性兩總體方差相等也稱兩總體具有方差齊性. . 例例4 4 兩臺車床加工同一零件兩臺車床加工同一零件, , 分別取分別取6

20、6件和件和9 9件件測量直徑測量直徑, , 得得: : 假定零件直徑服從正態分布假定零件直徑服從正態分布, , 能否據此斷定能否據此斷定 0.357.0.345,22 yxss.22yx )05. 0( 解解本題為方差齊性檢驗本題為方差齊性檢驗:.:,:221220yxyxHH 22yxssF 取取統統計計量量,82. 4)8, 5(025. 0 F,9644. 0357. 0345. 0 ,148. 0)8, 5(975. 0 F,82. 4148. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 認認為為例例5 5 分別用兩個不同的計算機系統檢索分別用兩個不同的計算機系統檢索1010個資料個資料,

21、 , 測測得平均檢索時間及方差得平均檢索時間及方差( (單位單位: :秒秒) )如下如下: :解解,21. 1,67. 2,179. 3,097. 322 yxssyx假定檢索時間服從正態分布假定檢索時間服從正態分布, 問這兩系統檢索資料有無明顯差別問這兩系統檢索資料有無明顯差別? 根據題中條件根據題中條件, 首先應檢驗方差的齊性首先應檢驗方差的齊性.:,: 221220yxyxHH 假假設設,03. 4)9, 9(025. 0 F,248. 0)9, 9(975. 0 F 22yxssF 取統計量取統計量,12. 221. 167. 2 )05.0( ,03. 412. 2248. 0 F

22、, 0H故接受故接受.22yx 認認為為 , yx 再再驗驗證證.:,: 10yxyxHH 假假設設,11 21nnSYXtw 取統計量取統計量.2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中 ,0為真時為真時當當H).2(21 nntt,101 n,102 n,101. 2)18(05. 0 t2111 nnSYXtw 因為因為10218)21. 167. 2(10179. 2097. 3 436. 1 ,101. 2 , 0H故接受故接受認為兩系統檢索資料時間無明顯差別認為兩系統檢索資料時間無明顯差別.3.基于成對數據的檢驗( t 檢驗 ) 有時為了比較兩種產品有時為了比較兩

23、種產品, 或兩種儀器或兩種儀器, 兩種方法等的差異兩種方法等的差異, 我們常在相同的條件下作對比試驗我們常在相同的條件下作對比試驗, 得到一批成對的觀察值得到一批成對的觀察值. 然后分析觀察數據作出推斷然后分析觀察數據作出推斷. 這種方法常稱為逐對比較法這種方法常稱為逐對比較法.例例6 6 有兩臺光譜儀有兩臺光譜儀Ix , Iy ,Ix , Iy ,用來測量材料中某種金屬的含用來測量材料中某種金屬的含量量, , 為鑒定它們的測量結果有無顯著差異為鑒定它們的測量結果有無顯著差異, , 制備了制備了9 9件試塊件試塊( (它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同

24、), ), 現在分別用現在分別用這兩臺機器對每一試塊測量一次這兩臺機器對每一試塊測量一次, , 得到得到9 9對觀察值如下對觀察值如下: : 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著的差異問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著的差異?)01. 0( 解解 本題中的數據是成對的本題中的數據是成對的, 即對同一試塊測出一對數據即對同一試塊測出一對數據, 我們看我們看到一對與另一對之間的差異是由各種因素到一對與另一對之間的差異是由各種因素, 如材料成分、金屬含如材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的量、均勻性等因素引起的. 這也表明不能將光譜儀這