1、-鏈式法則鏈式法則 第四節第四節 復合函數的求導法則復合函數的求導法則回憶：一元復合函數的求導法則回憶：一元復合函數的求導法則定理定理且且其其導導數數為為可可導導在在點點則則復復合合函函數數可可導導在在點點而而可可導導在在點點如如果果函函數數,)(,)()(,)(0000 xxfyxuufyxxu 即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導量求導,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則鏈式法則).()(dd000 xufxyxx 情形一: 中間變量為多元函數),(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在

2、在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導導數數，且且函函數數),(vufz 在在對對應應點點),(vu具具有有連連續續偏偏導導數數，則則復復合合函函數數),(),(yxyxfz 在在對對應應點點),(yx的的兩兩個個偏偏導導數數存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 按線相乘按線相乘, 分線相加分線相加 (1) ( , ),( , ).(2).(3).zfx yx yzzxyzzuv標準法則的特征：由于函數有兩個自變量，所以法則中包含

3、及的兩個偏導公式由于函數在復合過程中有兩個中間變量，所以每一偏導數公式都是兩項之和，這兩項分別含有及每一項的構成與一元復合函數的鏈式法則類似，即函數對中間變量的導數再乘以中間變量對自變量的導數解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu( sincos ),ueyvv yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu( sincos ).ue xvv22sin(3 )().xyzzzxyxy例2 ,求和(,),.xzzf xyfyxy例3 z可微,求和 類類似似地地再再推推廣廣，設設),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在點點),(yx具具有有對對x和

4、和y的的偏偏導導數數，復復合合函函數數),(),(),(yxwyxyxfz 在在對對應應點點),(yx兩兩個個偏偏導導數數存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx證證),()(tttu 則則);()(tttv 情形二情形二:中間變量為一元函數中間變量為一元函數定定理理如如果果函函數數)(tu 及及)(tv 都都在在點點t可可導導，函函數數),(vufz 在在對對應應點點),(vu具具有有連連續續偏偏導導數數，則則復復合合函函數數)(),(ttfz 在在對對應應點點t可可導導，且且其其導導數數可可用用下下列列公

5、公式式計計算算： dtdvvzdtduuzdtdz ，獲獲得得增增量量設設tt 單路全導, 叉路偏導由由于于函函數數),(vufz 在在點點),(vu有有連連續續偏偏導導數數,21vuvvzuuzz 當當0 u，0 v時時，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當當0 t時時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數以上公式中的導數 稱為全導數稱為全導數.dtdz另證另

6、證: 設設 t 取增量取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o則相應中間變量有增量u ,v ,0t令,0,0vu則有tvvztuuztzto)()()(22vutvtvtutudd,ddto)( 全導數公式全導數公式 )zvutt )(o )()(22tvtu0(t0 時,根式前加“”號)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd解法解法1dzz duz dvdtu dtv dt 22sintuveut 2(2cossin )tett 解法解法222costzu vet 222cossinttdzetetdt22sin,cos ,.tdzzuvw uevt wtdt 例

7、例 設設求求全全導導數數解法解法1dzz duz dvzdwdtu dtv dtwdt( sin )cos2tveutwt 2(cossin )2 sintetttt 解法解法22cossin()tzett 22(,),.xdzz f x efdx例3 =可微,求情形三:中間變量既有一元函數,又有多元函數 zfuxuxzfuf dvyuyv dy( , ),( , ),( ),zf u v uu x y vv y則特別一特別一:),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv.

8、1 yw把把復復合合函函數數,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數兩者的區別兩者的區別區別類似區別類似21( , ),sin ,.uuuf x y zzxyxy例例 設設求求解解( , , )( , , )xzuzfx y zf x y zxx( , , )( , , )2 sin ,xzfx y zf x y zxy ( , , )( , , )yzuzfx y zf x y zyy 2( , )( , )cos .yzfx y zfx y z xy :( ),( , ),zf

9、 u ux yzdfuzdfuxduxyduy特別二則sin.xzzzyxy例2 ,求和解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 小結：（多元復合函數求偏導數小結：（多元復合函數求偏導數鏈式鏈式法則，應注意以下幾點）法則，應注意以下幾點）（1先要搞清復合關系，哪些是自變量，哪些先要搞清復合關系，哪些是自變量，哪些是中間變量，要畫結構圖；是中間變量，要畫結構圖；（2對某個自變量求偏導數時，要經過一切與對某個自變量求偏導數時，要經過一切與其有關的中間變量，最后歸結到該自變量。其有關的中間變量，最后歸結到

10、該自變量。（3求抽象函數的二階偏導數時要注意，對一求抽象函數的二階偏導數時要注意，對一切一階偏導數來說其結構圖仍與原來函數的結切一階偏導數來說其結構圖仍與原來函數的結構圖相同。構圖相同。解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 二、多元復合函數的高階偏導數二、多元復合函數的高階偏導數 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2

11、f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 22(2)(,) ,.例3求zzzzy f xy x yfCxyx y 2222(2)22(,),.xzzzf xyfCyxx y 例 設求注意：注意：., ),(21變變量量和和相相同同的的自自變變量量具具有有相相同同的的中中間間它它們們與與均均仍仍然然是是多多元元復復合合函函數數、或或、其其偏偏導導數數對對抽抽象象函函數數fffffvufvu 設設函函數數),(vufz 具具有有連連續續偏偏導導數數，則則有有全全微微分分vvzuuzzddd ; 三、全微分形式不變性三、全微分形式不變性當當),(yxu 、)

12、,(yxv 時時， 有有yyzxxzzddd . yyzxxzzddd .ddvvzuuz 全微分形式不變性的實質：全微分形式不變性的實質： 無論無論z是自變量是自變量u、v 的函數或中間變量的函數或中間變量u、v 的的函數，它的全微分形式是一樣的函數，它的全微分形式是一樣的.xxvvzxuuzd yyzxxzzddd yyvvzyuuzd yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 補充補充: :全微分形式不變性全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數或中間的函數或中間變量變量 的函數，它的全微分形式是的函數，它的全微分形式是一樣的一樣的.zvu、vu、例例1

13、 .,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx解解: :) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy( , , ),( , ),( , ),( ),.uf x y z zg x yyh x tdutxdx例5 設求2,.yztxzuuuue dtxyz例6 已知求和， 3,1,1,1,11(1,1)

14、2,(1,1)3,( ,( , ).( )1.zfx yfffxf x f x xxydx xdx例7 設函數在點處可微 且求222222( )( ),.xyuuuyfxgyxxx yuuxyxx y 例8 設求及33( ,),.xyxyzf x xy ezz例9設求22( ,)(,)( ,),(1)( ,)( ,)( ,);(2)( ,)2( ,)( ,)(1)( ,)nxyxxxyyyf x yf tx tyt f x yx fx yy fx yn f x yx fx yxy fx yy fx yn nf x y 思思考考題題： 設設具具有有二二階階連連續續偏偏導導數數，且且滿滿足足證證明

15、明：鏈式法則分三種情況）鏈式法則分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況（特別要注意課中所講的特殊情況;在計算在計算過程中要結合結構圖！）過程中要結合結構圖！）二、小結二、小結設設),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題思考題答：答：不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作為為一一個個自自變變量量x的的函函數數，而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數數， 寫寫出出來來為為 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvu

16、xfdxdvvf 一、填空題一、填空題: : 1 1、設、設xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. .2 2、 設設22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設、設32sinttez , ,則則 dtdz_._.二二、設設uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .練練 習習 題題三、設三、設)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、設四、設),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一階連續偏導有一階連續偏導 數數) ), ,求求yzxz ,. .五、設五、設)(xyzxyxfu ,(,(其

17、其具具中中f有一階連續偏導有一階連續偏導 數數),),求求.,zuyuxu 六、設六、設),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二階連續偏導數有二階連續偏導數),),求求 22222,yzyxzxz . .七、設七、設,)(22yxfyz 其中為可導函數其中為可導函數, , 驗證驗證: :211yzyzyxzx . .八、設八、設 ,),(其中其中yyxxz 具有二階導數具有二階導數, ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)4