1、第十一章 機械振動一、基本要求1掌握簡諧振動的基本特征，學會由牛頓定律建立一維簡諧振動的微分方程，并判斷其是否諧振動。2. 掌握描述簡諧運動的運動方程，理解振動位移，振幅，初位相，位相，圓頻率，頻率，周期的物理意義。能根據給出的初始條件求振幅和初位相。3. 掌握旋轉矢量法。4. 理解同方向、同頻率兩個簡諧振動的合成規律，以及合振動振幅極大和極小的條件。二、基本內容1. 振動 物體在某一平衡位置附近的往復運動叫做機械振動。如果物體振動的位置滿足，則該物體的運動稱為周期性運動。否則稱為非周期運動。但是一切復雜的非周期性的運動，都可以分解成許多不同頻率的簡諧振動（周期性運動）的疊加。振動不僅限于機械

2、運動中的振動過程，分子熱運動，電磁運動，晶體中原子的運動等雖屬不同運動形式，各自遵循不同的運動規律，但是就其中的振動過程講，都具有共同的物理特征。一個物理量，例如電量、電流、電壓等圍繞平衡值隨時間作周期性（或準周期性）的變化，也是一種振動。2. 簡諧振動 簡諧振動是一種周期性的振動過程。它可以是機械振動中的位移、速度、加速度，也可以是電流、電量、電壓等其它物理量。簡諧振動是最簡單，最基本的周期性運動，它是組成復雜運動的基本要素，所以簡諧運動的研究是本章一個重點。（1）簡諧振動表達式反映了作簡諧振動的物體位移隨時間的變化遵循余弦規律，這也是簡諧振動的定義，即判斷一個物體是否作簡諧振動的運動學根據

3、。但是簡諧振動表達式更多地用來揭示描述一個簡諧運動必須涉及到的物理量、（或稱描述簡諧運動的三個參量），顯然三個參量確定后，任一時刻作簡諧振動的物體的位移、速度、加速度都可以由對應地得到。（2）簡諧運動的動力學特征為：物體受到的力的大小總是與物體對其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即，它是判定一個系統的運動過程是否作簡諧運動的動力學根據，只要受力分析滿足動力學特征的，毫無疑問地系統的運動是簡諧運動。這里應該注意，系指合力，它可以是彈性力或準彈性力。（3）和簡諧運動的動力學特征相一致的是簡諧運動的運動學特征：作簡諧運動物體的加速度大小總是與其位移大小成正比、而方向相反，即，它也是物體是否作簡諧運

4、動的判據之一。只要加速度與位移大小成正比、而方向恒相反，則該物理量的變化過程就是一個簡諧運動的過程。在非力學量，例如電量、電流和電壓等電學量，就不易用簡諧振動的動力學特征去判定，而電路中的電量就滿足，故電量的變化過程就是一個簡諧振蕩的過程，顯然用運動學的特征來判定簡諧運動更具有廣泛的意義。3. 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位（1）振幅是指最大位移的絕對值。是由初始條件來決定的，即。（2）周期是指完成一次完整的振動所用時間。，式中是簡諧振動的圓頻率，它是由諧振動系統的構造來決定的，即,也稱為固有圓頻率。對應的稱為固有周期。，式中稱為頻率（即固有頻率），它與圓頻率的關系，是由系統本身決定的。（3

5、）相位和初相位是決定簡諧振動的物體時刻和時刻運動狀態的物理量。即在、確定后，任一時刻的、 都是由來確定的。一個周期內，每一時刻的相位不同，則對應的運動狀態也不相同。對不同的兩個或更多的幾個簡諧振動，相位還用來區分它們之間“步調”的一致與否。初相位決定于初始條件：即由共同決定。或由計算，但由此式算得的在或范圍內有兩個可能的取值，必須根據時刻的速度方向進行合理的取舍。如能配合使用旋轉矢量圖示法，則會使的確定更加簡捷、方便。4. 旋轉矢量法 簡諧運動的表達式中有三個特征量、，旋轉矢量法把描述簡諧運動的三個物理量更直觀、更形象地表示在圖示中。作勻速轉動的矢量，其長度等于諧振動的振幅A，其角速度等于諧振

6、動的角頻率，且時，它與X軸正向的夾角為諧振動的初位相，時刻它與X軸正向的夾角為諧振動的位相（）。旋轉矢量的末端在X軸上的投影點的運動代表質點的諧振動。5. 簡諧振動的能量動能 勢能 機械能 6. 同方向同頻率簡諧振動的合成和合成后仍為簡諧振動其中 (合振幅) （合振動的初相）三、習題選解11-1 質量為的小球與輕彈簧組成的系統，按m的規律振動（式中 x以m計，t以s計），試求：（1）振動的角頻率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值；（2）、各時刻的相位；（3）分別畫出位移、速度、加速度與時間的關系曲線。解：（1）m與振動的標準形式)相比可知：圓頻率 振幅 初相位 周期 =最大速度 最大加速

7、度 （2）相位為,將、代入相位分別為、（3）由有11-2 有一個和輕彈簧相連的小球，沿軸作振幅為的簡諧振動，其表達式用余弦函數表示。若時，球的運動狀態為（1）；（2）過平衡位置向軸正向運動；（3）處向軸負方向運動；（4）處向軸正方向運動；試用矢量圖示法確定相應的初相的值，并寫出振動表達式。解：四種情況對應的旋轉矢量圖如圖所示：（1） 初相位，振動方程為（2） 初相位，振動方程為（3） 初相位為， 振動方程為 題11-2圖（4）初相位，振動方程為11-3 質點作簡諧振動的曲線x-t如圖所示，求質點的振動方程式解：t=0時， 所以 ， ，再由， 取t=1s時， （注意） ， 再由， 所以 振動方程

8、為 11-4 兩質點沿同一直線作同頻率、同振幅的簡諧振動，當它們每次沿相反方向互相通過時，它們的位移均為其振幅的一半，求這兩個質點振動的相位差。解：設兩個質點振動方程為速度為 依題意，兩質點在相遇時此時兩質點運動方向相反，這分兩種情況。（1）質點向軸正向運動，質點向軸負向運動，這時位相差（2）質點向軸負向運動，質點向軸正向運動，這時位相差兩種情況都說明其中一個質點的運動比另處一個質點的運動超前或落后。兩質點在處相向相遇時有同樣的結論。11-5 在一平板上放質量的物體，平板在豎直方向上下作簡諧振動，周期為，振幅，試求：（1）在位移最大時，物體對平板的壓力；（2）平板應以多大振幅作振動，才能使重物

9、開始跳離木板。解：（1）選擇物體平衡位置為坐標原點，向上的方向為軸正向。由牛頓第二定律有 題11-5圖當系統運動到最高位置時，加速度為負的最大值。即 此時 當系統運動到最低位置時 此時 （2）物體跳離木板，應在最高位置時受木板的力11-6 如圖所示，一質量為的盤子系于豎直懸掛的 輕彈簧的下端，彈簧的倔強系數為。現有一質量的物體自離盤高處自由落下掉在盤中，沒有反彈，以物體掉在盤上的題11-6圖瞬時作為計時起點。求盤子的振動表達式。（取物體掉在盤子后的平衡位置作為坐標原點，位移取向下為正）。 解：取物體掉在盤子里的平衡位置為坐標原點，軸向下建立坐標系。 這時彈簧伸長為當時，彈簧伸長為 題11-6圖

10、 所以，時系統的位移為 設此時系統的速度為，由動量守恒定律有且速度向下與軸方向相同，取正值。當物體落入盤中，且系統運動至坐標處時，系統運動方程為此時彈簧伸長為，因而則 由于 有方程解為 由初始條件時，有 =所以盤子的振動表達式為11-7 如圖所示，一彈簧振子由倔強系數的彈簧和質量的物塊組成，將彈簧一端與頂板相連。開始時物塊靜止，一顆質量為，速度的子彈由下而上射入物塊，并留在物塊中。求：（1）振子以后的振幅和周期；（2）物體從初始位置運動到最高點所需的時間。 題11-7圖解：（1）以子彈射入物塊后的平衡位置為原點，軸向下，建立坐標系，這時彈簧伸長子彈未射入物塊時，彈簧伸長為。此時物體在坐標系中的

11、位置 題11-7圖物塊和子彈共同運動的速度 （負號表示方向向上）當子彈射入物塊，并且運動到y處時，系統的運動方程為此時彈簧伸長為，故于是有 由于 有 系統的振動方程為 由初始條件時， ， 有 =故系統振幅為 周期為 （2） 系統的振動方程為物塊從初始位置運動到最高點時，第一次到達最高點時11-8 一水平放置的彈簧振子，已知物體經過平衡位置向右運動時速度，周期，求再經過時間，物體的動能是原來的多少倍，設彈簧的質量不計。解：取向右的方向為軸的正向，設物體平衡位置為坐標原點，物體的振動方程為由于 故 將物體經過平衡位置向右運動時取為時刻則 有 因而物體振動方程為 物體的振動速度為當時， 此時物體動能

12、為 J 初始時刻物體動能為 J即秒后物體動能是原來的。11-9 一質量的物體作簡諧振動，其振幅為，周期為，當時，位移為，求：（1）時，物體所在的位置；（2）時，物體所受力的大小與方向；（3）由起始位置運動到處所需的最少時間；（4）在處，物體的速度、動能以及系統的勢能與總能量。解：令振動方程為 由題意有 ，且時，初相位振動方程為 所以（1）時，=（2）時，負號表示力的方向沿軸負向。（3）當時，位相取值為。最少的時間 =（4）時，正負號表示物體可能向軸正向或負向運動。此時動能：=勢能：，由，有=總能量：11-10 如圖所示，一個水平面上的彈簧振子，彈簧的倔強系數為，所系物體的質量為，振幅為，有一質

13、量的物體從高度處自由下落。當振子在最大位移處，物體正好題落在上并粘在一起，這時振動系統的振動周期、振幅和振動能量有何變化？如 題 11-10圖 果物體是在振子到達平衡位置時落在 上，這些量又如何？解：粘土未落在上時系統的振動周期為粘土落在上時，系統的振動周期為 , 當正好處于最大位移處，即時，此時，粘土落下后，方向速度仍為零，此時振子仍處于最大位移處，振幅不變。系統能量為也不變。當處于平衡位置時，系統在平衡位置，此時為系統原來的振幅。粘土落下與碰撞后的速度，可由動量守恒定律求出若粘土落下后的振幅，由初始條件有 此時系統能量為 為粘土未落下時系統的能量，11-11 在光滑的桌面上，有倔強系數分別

14、為與的兩個彈簧以及質量為的物體，構成兩種彈簧振子，如圖所示，試求這兩種系統的固有角頻率。題1111圖解：（1）由圖所示，設彈簧原長分別為、，平衡時彈簧的伸長量分別為和，如不計物體尺寸。則 以平衡點為坐標原點，軸向右建立坐標系，當小球向軸正向移動時，物體受力由于，因而物體運動方程為 題11-11圖物體作簡諧振動，振動角頻率為 其周期為 （2）由圖所示，以物體不受力，彈簧自然伸長時，物體位置為原點建立坐標系。當物體在位移處時，若彈簧的伸長為，彈簧的伸長為，則解得 物體受力 物體的運動方程為 物體同樣作簡諧振動，振動角頻率為振動周期為11-12 如圖所示，輕質彈簧的一端固定，另一端系一輕繩，輕繩繞過

15、滑輪連接一質量的物體，繩在輪上不打滑，使物體上下自由振動，已知彈簧的倔強系數為，滑輪的半徑為，轉動慣量為（1）證明物體作簡諧振動（2）求物體的振動周期題11-12圖（3）設，彈簧無伸縮，物體也無初速度，寫出物體的振動表達式。解：（1）以系統靜止時，物體的位置為坐標原點，坐標軸垂直向下建立坐標系，設此時彈簧伸長為,由牛頓運動定律有可得 題11-12圖當物體在處時，物體和滑輪的運動方程為 解方程-，可得由于由此證明物體做簡諧振動。（2） 振動圓頻率為 物體振動周期為 （3） 設振動方程為 其中 由初始條件，時，有 物體振動表達式為 11-13 如圖所示，一長為、質量為的均勻細棒，用兩根長的細繩分別

16、拴在棒的兩端，把棒懸掛起來，若棒繞通過中心的豎直軸作小角度的擺動，試確定其周期。解：細棒受力分析如圖所示。將繩中張力分解，在豎直方向上有 在水平方向上的分力構成一對力偶，力矩的大小為 結合式有 題11-13圖力矩的方向與細棒角位移方向相反，由定軸轉動定律 有 在小角度近似下有 代入式有 細棒繞中心軸轉動慣量 振動角頻率為 振動周期為11-14 在簡諧振動中，當位移為振幅的一半時，總能量中有多大一部分為動能，多大一部分為勢能？在多大位移處動能與勢能相等？解：在簡諧振動中物體總能量其中為振幅當時 即總能量中有為動能，為勢能。若，由于故 這時若物體位移為，則， 即在位移處，動能和勢能相等。11-15

17、 兩個同方向的簡諧振動，周期相同，振幅分別為，合成后組成一個振幅為的簡諧振動，求兩個分振動的相位差。解：由同方向、同頻率振動合成公式有 11-16 一質點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動：試求合振動的振幅與初相位（式中以計，以計）。解：由 從矢量旋轉圖上可以看出，兩個振動相位相反，合振幅初相位 合振動方程為 （SI）11-17 一質點同時參與了兩個同方向一維簡諧振動：與，試求該質點合振動的振幅與初相。解：由 有因而合振幅 題11-17圖11-18 設有下列兩對相互垂直的振動：(1) (2) 試問它們的合成分別代表什么運動？二者有何區別？解：由 (1) (2) 均有 題11-19圖這代表質點是沿橢圓軌道的旋轉運動。 對于（1） 當時，質點在點，當時，質點