1、習 題 六6-1 一輕彈簧在60N的拉力下伸長30cm。現把質量為4kg物體懸掛在該彈簧的下端，并使之靜止，再把物體向下拉10cm，然后釋放并開始計時。求：(1)物體的振動方程；(2)物體在平衡位置上方5cm時彈簧對物體的拉力；(3)物體從第一次越過平衡位置時刻起，到它運動到上方5cm處所需要的最短時間。解 (1)取平衡位置為坐標原點，豎直向下為正方向，建立坐標系 設振動方程為 時 故振動方程為 (2)設此時彈簧對物體作用力為F，則其中 因而有 (3)設第一次越過平衡位置時刻為，則第一次運動到上方5cm處時刻為 ，則故所需最短時間為：6-2 一質點在x軸上作諧振動，選取該質點向右運動通過點 A

2、時作為計時起點(t0)，經過2s后質點第一次經過點B，再經 2s后，質點第二經過點B，若已知該質點在A、B兩點具有相同的速率，且AB=10cm，求：(1)質點的振動方程：(1)質點在A點處的速率。解 由旋轉矢量圖和可知s由于(1) 以的中點為坐標原點，x軸指向右方。t=0時, t=2s時， 由以上二式得 因為在A點質點的速度大于零，所以所以，運動方程為：(2)速度為： 當t=2s時 6-3 一質量為M的物體在光滑水平面上作諧振動，振幅為 12cm，在距平衡位置6cm處，速度為24，求：(1)周期T； (2)速度為12時的位移。解 (1) 設振動方程為以、代入，得：利用則解得 (2) 以代入，得

3、：解得： 所以 故 6-4 一諧振動的振動曲線如圖所示，求振動方程。解 設振動方程為： 根據振動曲線可畫出旋轉矢量圖由圖可得： 故振動方程為 6-5 一質點沿x軸作簡諧振動，其角頻率，試分別寫出以下兩種初始狀態的振動方程；(1)其初始位移7.5 cm，初始速度；(2)其初始位移7.5 cm，初速度。解 設振動方程為 (1) 由題意得： 解得： A=10.6cm 故振動方程為： (2) 同法可得： 6-6 一輕彈簧在60 N的拉力作用下可伸長30cm。現將一物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，它們的總質量為4kg待其靜止后再把物體向下拉10cm，然后釋放。問：(1)此小物體是停止在推動物體

4、上面還是離開它?(2)如果使放在振動物體上的小物體與振動物體分離，則振幅A需滿足何條件?二者在何位置開始分離?解 (1)小物體停止在振動物體上不分離。(2) 設在平衡位置彈簧伸長，則又 故 當小物體與振動物體分離時 ，即 ，故在平衡位置上方0.196m處開始分離。6-7 一木板在水平面上作簡諧振動，振幅是12cm，在距平衡位置6cm處，速度是24。如果一小物塊置于振動木板上，由于靜摩擦力的作用，小物塊和木板一起運動(振動頻率不變)，當木板運動到最大位移處時，物塊正好開始在木板上滑動，問物塊與木板之間的靜摩系數是多大?解 設振動方程為 則： 以x=6cm v=24cm/s代入得：解得 最大位移處

5、： 由題意，知 6-8 兩根倔強系數分別為和的輕彈簧串接后，上端固定，下端與質量為m的物體相連結，組成振動系統。當物體被拉離平衡位置而釋放時，物體是否作諧振動?若作諧振動，其周期是多少?若將兩彈簧并聯，其周期是多少?解 (1) 串接：物體處平衡位置時，兩彈簧分別伸長、 (1) (2) 取平衡位置為坐標原點，坐標向下為正，令物體位移為x，兩彈簧再次伸長、，則由(1)知 (3)又 (4) (5)由(4)、(5)得 (6)將(6) 代入(3)得 看作一個彈簧 所以 因此物體做簡諧振動，角頻率周期 (2) 并接：物體處于平衡位置時， (7)取平衡位置為坐標原點，向下為正，令物體有位移x則 式

6、中、分別為兩彈簧伸長 所以 將(7)代入得 看作一個彈簧 所以 因此該系統的運動是簡諧振動。其角頻率 因此周期 6-9 在豎直平面內半徑為R的一段光滑圓弧軌道上放一小物體，使其靜上于軌道的最低點，如圖所示。若觸動小物體，使其沿圓弧形軌道來回作小幅度運動，試證明：(1)此物體作諧振動；(2)振動周期。證明 取最低點為平衡位置，物體與O點連線偏離的角為。(1) 物體與O點連線偏離角時，指向平衡位置的力矩很小，故，所以 (1)可見該力矩為指向平衡位置的線形回復力矩，故物體作諧振動。(2) 由于 根據(1)式有 令 則 6-10 如圖所示，半徑為R的圓環靜止于刀口點O上，令其在自身平面內作微小的擺動。

7、(1)求其振動的周期；(2)求與其振動周期相等的單擺的長度。解 (1) 設圓環偏離角度為 所作振動為簡諧振動 所以 (2) 等效單擺周期為的擺長為。6-11 如圖所示，質量為m、半徑為R的半圓柱，可繞圓柱的軸線O在重力作用下作微振動，已知半圓柱的質心在距軸處，求其振動周期。解 OC偏離中垂線角時指向中間的力矩根據轉動定理 其中 代入得 即 所以 6-12 測量液體阻尼系數的裝置如圖所示。若在空氣中測得振動頻率為，在液體中測得振動頻率為，求在液體中物體振動時的阻尼因子。解 在空氣中振動方程為 在液體中振動方程 (為阻尼系數)對應的振動角頻率 則 即 所以 6-13 一彈簧振子，當位移是振幅之半時

8、，該振動系統的動能與總能量之比是多少?位移為多大時，動能和勢能各占總能量之半? 解 設振幅為A，彈簧倔強系數為k， (1) 當位移是振幅之半時 (2) 位移為x時，動能、勢能各占總能量的一半則有 所以 6-14 一彈簧振子，彈簧的倔強系數，當物體以初動能0.2J和初勢能0.6J振動時，(1)求諧振動的振幅；(2)位移是多大時，勢能與動能相等?(3)位移是振幅之半時，勢能是多大?解 (1) 設振幅為A，由機械能守恒定律，得 (2) 動能、勢能相等時有 因此 (3) 位移為振幅一半時，勢能為6-15 如圖所示，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強系數，重物的質量為m 6 kg，重物靜止在平衡位置上。設以一

9、水平恒力F10 N向左作用于物體(無摩擦)，使之由平衡位置向左運動了0.05 m，此時撤去力F。當重物運動到左方最大位置時開始計時，求物體的振動方程。解 以平衡位置為坐標原點，向右為正方向建立坐標系, 設振幅為A，由功能原理可得因此 又因物體運動到左邊最大位移處開始計時,故初相為故得運動方程為 6-16 兩諧振動的振動方程分別為 (SI) 試求其合振動的振幅和初相位。解 由振動合成公式，得結合矢量圖得6-17 兩個同方向、同頻率的諧振動，其合振動的振幅為 20cm，合振動與第一個諧振動的相位差為。若第一個諧振動的振幅為cm，求第二個諧振動的振幅及第一、二兩諧振動的相位差。解 由題意可畫出兩簡諧

10、振動合成的矢量圖，由圖知易證 故第一、二兩振動的相位差為 6-18 質量為0.4kg的質點同時參與兩個互相垂直的振動 (S1)求：(1)質點的軌跡方程；(2)質點在任一位置所受的作用力。解 (1) y方向的振動可化為消去三角函數部分可得質點的軌跡方程為(2) 由 可得 同理 因此 6-19 一平面簡諧波沿x軸正向傳播，振幅A10cm，圓頻率，當t1.0s時，x10cm處質點的位移為零，速度沿負方向，此時x=20cm處質點的位移為5.0cm，速度沿正方向。已知波長>10cm，試寫出該波的波函數。解 由已知得 A0.1m, ，波沿x軸正向傳播，故可設波函數為：m當t=1s 時，x=0.1m處

11、，y=0m 故故有 (1)對t=1.0s ，x=0.2m 處，有故有 (2)對(1)、（2）兩式k取相同的值的根據是>10cm由(1)、(2)得故所求波函數為6-20 一簡諧波的周期T=0.5s，波長=10 m，振幅A 0.1 m。當t=0時刻，波源振動的位移恰好為正方向的最大值。若坐標原點與波源重合，且波沿Ox軸正向傳播；求：(1)此波的波函數，(2)時刻，處質點的位移；(3)時刻， 處質點的振動速度。解 (1)由已知條件，可設波函數為：由已知 t=0，x=0時，y=0.1m故 由此得因而波函數為(2) ，處:(3) ，處，振動速度為6-21 一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，其振幅為A，

12、頻率為，波速為u。設時刻的波形曲線如圖所示。求：(1)x=0處質點的振動方程；(2)該波的波函數。解 (1) 設x=0處該質點的振動方程為：由時波形和波速方向知，；時 故 所以x=0處的振動方程為:(2) 該波的波函數為：6-22 根據如圖所示的平面簡諧波在t=0時刻的波形圖，試求：(1)該波的波函數；(2)點P處的振動方程。解 由已知，得，m(1) 設波函數為當t=0，x=0時，由圖知因此 (或)則波函數為(2) 將P點坐標代入上式，得6-23 已知一簡諧平面波的波函數為。 (1)試求t=4.2s時各波峰位置的坐標表示式，并計算此時離原點最近的一個波峰的位置，該波峰何時通過原點?(2)畫出t

13、4.2 s時的波形曲線。解 (1) 波峰位置滿足條件所以 顯然k=8時，離坐標原點最近，設通過原點時刻為t，則所以 (2) t=4.2s時的波形曲線6-24 一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，其振幅和角頻率分別為A和，波速為u。設t0時的波形曲線如圖所示。(1)寫出該波的波函數；(2)求距點O分別為和兩處質點的振動方程；(3)求距點O分別為和兩處質點在t0時的振動速度。解 (1)由圖知，故 波函數 (2) 時 時 (3) 6-25 如圖所示為一平面簡諧波在t=0時刻的波形圖，試畫出點P處質點與點Q處質點的振動曲線，然后寫出相應的振動方程。解 ，P處振動曲線振動方程 (2) Q處的振動曲線振動方程

14、6-26 如圖所示為一平面簡諧波在t=0時刻的波形圖。設簡諧波的頻率為250 Hz，且此時質點P的運動方向向下，求：(1)該波的波函數；(2)在距點O為100m處質點的振動方程與振動速度表達式。解 (1) ，又因P點運動方向向下，則波向左傳播，設波函數為t=0，x=0時 ，則因，所以取（或由旋轉矢量圖知）故波函數為(2) x=100m時，當x=100m時，6-27 如圖所示，兩列波長均為的相干簡諧波分別通過圖中的點和。通過點的簡諧波在平面反射后，與通過點簡諧波在點P相遇。假定波在平面反射時有半波損失，和兩點的振動方程分別為和，且，求：(1)兩列波分別在點P引起的振動方程；(2)點P的合振動方程

15、(假定波在傳播過程中無吸收)。解 (1) (2) 6-28 如圖所示，兩相干波源和之間的距離為d=30m，且波沿Ox軸傳播時不衰減，=9m和=12m處的兩點是相鄰的兩個因干涉而靜止的點。求兩波的波長和兩波源間的最小相位差。解 由題意得 對m處 所以 因此 6-29 在均勻媒質中，有兩列余弦波沿Ox軸傳播，波函數分別為和，試求Ox軸上合振幅最大與合振幅最小的那些點的位置。解 合振幅最大點滿足的條件是可得 合振幅最小點滿足的條件是可得 6-30 如圖所示，和為兩相干波源，相距，的相位比的相位超前，若兩波在連線方向上的強度均為，且無吸收。問連線上在外側各點的合成波的強度如何?又在外側各點的合成波的強

16、度如何? 解 以為坐標原點，水平向右為x軸正方向,建立坐標系。外側，、傳出的波函數為故 、振動方向相同，振幅相同，且反相，故合振幅為零因此 外側，、傳出的波函數為合振幅為2A，又因波強正比于因此 6-3l 兩波在一根很長的弦線上傳播，其波函數分別為求：(1)兩波的頻率、波長和波速；(2)兩波疊加后的波節位置；(3)兩波疊加后的波腹位置。解 (1) 波動方程可寫作標準形式為故，(3) 節點條件滿足 故 ，(3) 波腹條件滿足 6-32 在彈性媒質中有一沿Ox軸正向傳播的平面波，其波函數為 (S1)，若在x=5.00m處有一媒質分界面，且在分界面處反射波有半波損失，波的強度不衰減。試寫出反射波的波

17、函數。解 處的振動方程所以反射波波函數為 6-33 一弦上的駐波方程為 (S1) (1)若將此波視為兩列傳播方向相反的波疊加而成，求兩列波的振幅及波速；(2)求相鄰波節之間的距離，(2)求時，位于x0.625m處質點的振動速度。解 (1) 因故 由于 所以 ms(2) 相鄰波節間的距離 (3) 故當，時 6-34 一列橫波在繩索上傳播，其波函數為 (SI)(1)現有另一列橫波(振幅也是0.05 m)與上述已知橫波在繩索上形成駐波。設這一橫波在x0處與已知橫波同相位，試寫出該波的波函數。(2)寫出繩索中的駐波方程，求出各波節的位置坐標表達式，并寫出離原點最近的四個波節的坐標數值。解 (1) 設反

18、射波的波函數為： 因x0處與已知波的波函數相位相同，故因而，波函數為(2) 駐波方程 =波節處應有： 即 (k=0,±1,±2,)離原點最近的四個波節的坐標數值為： 1m, -1m , 3m, -3m6-35 簡諧波在直徑d0.10m的圓柱形管內空氣媒質中傳播，波強度，波速為250，頻率為，試計算：(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?(2)兩相鄰同相位面(相距一個波長的兩個波面)之間的波段中平均含有多少能量。?解 (1) 因 故 (2) 6-36 一彈性波在媒質中傳播的速度，振幅，頻率Hz。若該媒質的密度為800，求：(1)該波的能流密度；(2)一分鐘內垂直通過面積的總能量。解 (1) 該波的平均能流密度(2) 一分鐘內垂直通過面積的總能量為6-37 一汽笛發出頻率為1000Hz的聲波，汽笛以10