1、大學物理1期末復習題（力學部分）第一章重點：質點運動求導法和積分法，圓周運動角量和線量。第二章重點：牛頓第二運動定律的應用(變形積分)第三章重點：動量守恒定律和機械能守恒定律第四章重點：剛體定軸轉動定律和角動量守恒定律1一質點沿半徑為m的圓周作逆時針方向的圓周運動，質點在0這段時間內所經過的路程為，式中以m計，以s計，則在時刻質點的角速度為 rad/s， 角加速度為 。（求導法） 2質點沿x軸作直線運動，其加速度m/s2，在時刻，m，則該質點的運動方程為 。（積分法）3一質點從靜止出發繞半徑R的圓周作勻變速圓周運動，角加速度為，則該質點走完半周所經歷的時間為_ _。（積分法）4伽利略相對性原理

2、表明對于不同的慣性系牛頓力學的規律都具有相同的形式。5一質量為的質點在力作用下由靜止開始運動，若此力作用在質點上的時間為，則該力在這內沖量的大小 10 NS ；質點在第末的速度大小為 5 m/s 。（動量定理和變力做功）6一質點在平面內運動, 其，；、為大于零的常數，則該質點作 勻加速圓周運動 。 7一質點受力的作用，式中以m計，以N計，則質點從m沿X軸運動到x=2.0 m時，該力對質點所作的功 。（變力做功）8一滑冰者開始自轉時其動能為，當她將手臂收回, 其轉動慣量減少為，則她此時自轉的角速度 。（角動量守恒定律）9一質量為半徑為的滑輪，如圖所示，用細繩繞在其邊緣，繩的另一端系一個質量也為的

3、物體。設繩的長度不變，繩與滑輪間無相對滑動，且不計滑輪與軸間的摩擦力矩，則滑輪的角加速度 ；若用力拉繩的一端，則滑輪的角加速度為 。（轉動定律）10.一剛體繞定軸轉動，初角速度rad/s，現在大小為（N·m）的恒力矩作用下，剛體轉動的角速度在2秒時間內均勻減速到rad/s，則剛體在此恒力矩的作用下的角加速度_ _，剛體對此軸的轉動慣量 4kgm2 。（轉動定律）11一質點在平面內運動，其運動方程為 ，式中、以m計，以秒s計，求：(1) 以為變量，寫出質點位置矢量的表達式；(2) 軌跡方程；(3) 計算在12s這段時間內質點的位移、平均速度；(4) 時刻的速度表達式；(5) 計算在12

4、s這段時間內質點的平均加速度；在s時刻的瞬時加速度。解：（1） ； (2)； (3)； ； (4)； (5) ；（求導法）12摩托快艇以速率行駛，它受到的摩擦阻力與速度平方成正比，設比例系數為常數k，即可表示為。設快艇的質量為，當快艇發動機關閉后，(1)求速度隨時間的變化規律；(2)求路程隨時間的變化規律。解：（1）（2） （牛二定律變形積分）13如圖所示，兩個帶理想彈簧緩沖器的小車和，質量分別為和，不動，以速度與碰撞，如已知兩車的緩沖彈簧的倔強系數分別為和，在不計摩擦的情況下，求兩車相對靜止時，其間的作用力為多大?(彈簧質量忽略而不計)。解：系統動量守恒： 系統機械能守恒： 兩車相對靜止時彈

5、力相等： F= （動量守恒和機械能守恒定律）14有一質量為長為的均勻細棒，靜止平放在光滑的水平桌面上，它可繞通過其中點且與桌面垂直的固定光滑軸轉動。另有一水平運動的質量為的子彈以速度v射入桿端，其方向與桿及軸正交，求碰撞后棒端所獲得的角速度。解：系統角動量守恒： （角動量守恒定律）電磁學部分第五章重點：點電荷系（矢量和）、均勻帶電體（積分法）、對稱性電場（高斯定理，分段積分）的電場強度E和電勢V的計算。第七章重點：簡單形狀載流導線（矢量和）、對稱性磁場（安培環路定理）的磁感應強度B的計算，安培力F的計算。第八章重點：感生電動勢（法拉第電磁感應定律）和動生電動勢的計算，磁通量的計算。1.一半徑為

6、R的半圓細環上均勻地分布電荷，求環心處的電場強度.分析 在求環心處的電場強度時，不能將帶電半圓環視作點電荷.現將其抽象為帶電半圓弧線。在弧線上取線，其電荷，此電荷元可視為點電荷，它在點O的電場強度，因圓環上的電荷對y軸呈對稱性分布，電場分布也是軸對稱的，則有，點的合電場強度，統一積分變量可求得. 解： （1）建立坐標系；（2）取電荷元 （3）寫 （4）分解到對稱軸方向 （5）積分：由幾何關系，統一積分變量后，有 ，方向沿y軸負方向. （積分法五步走）2.兩條無限長平行直導線相距為,均勻帶有等量異號電荷，電荷線密度為（1）求兩導線構成的平面上任一點的電場強度（設該點到其中一線的垂直距離為); (

7、2)求每一根導線上單位長度導線受到另一根導線上電荷作用的電場力.分析在兩導線構成的平面上任一點的電場強度為兩導線單獨在此所激發的電場的疊加.解: 設點在導線構成的平面上，、分別表示正、負帶電導線在點的電場強度，則有 （矢量和）3.設均強電場的電場強度與半徑為的半球面的對稱軸平行，試計算通過此半球面的電場強度通量.分析 方法1：由電場強度通量的定義，對半球面求積分，即. 方法2：作半徑為的平面與半球面一起可構成閉合曲面，由于閉合面內無電荷，由高斯定理 這表明穿過閉合曲面的凈通量為零，穿入平面的電場強度通量在數值上等于穿出半球面的電場強度通量. 因而解: 由于閉合曲面內無電荷分布，根據高斯定理，有

8、依照約定取閉合曲面的外法線方向為面元的方向， （高斯定理和電通量定義式）4.在電荷體密度為的均勻帶電球體中，存在一個球形空腔，若將帶電體球心指向球形空腔球心的矢量用表示（圖8-17).試證明球形空腔中任一點的電場強度為分析 本題帶電體的電荷分布不滿足球對稱，其電場分布也不是球對稱分布，因此無法直接利用高斯定理求電場的分布，但可用補償法求解. 挖去球形空腔的帶電球體在電學上等效于一個完整的、電荷體密度為的均勻帶電球和一個電荷體密度為、球心在的帶電小球體（半徑等于空腔球體的半徑).大小球體在空腔內點產生的電場強度分別為、，則點的電場強度為兩者矢量和。. 證: 帶電球體內部一點的電場強度為所以 ；根

9、據幾何關系，上式可改寫為 （等效法和高斯定理）5.一無限長、半徑為的圓柱體上電荷均勻分布.圓柱體單位長度的電荷為，用高斯定理求圓柱體內距離為處的電場強度.分析 無限長圓柱體的電荷具有軸對稱分布，電場強度也為軸對稱分布，且沿徑矢方向.取同軸柱面為高斯面，電場強度在圓柱側面上大小相等，且與柱面正交.在圓柱的兩個底面上，電場強度與底面平行，對電場強度通量的貢獻為零.整個高斯面的電場強度通量為由于圓柱體電荷均勻分布，電荷體密度，出于高斯面內的總電荷 由高斯定理可解得電場強度的分布.解: 取同軸柱面為高斯面，由上述分析得 （高斯定理）6.兩個帶有等量異號電荷的無限長同軸圓柱面，半徑分別為和，單位長度上的

10、電荷為.求離軸線為處的電場強度：（1），（2），（3）分析 電荷分布在無限長同軸圓柱面上，電場強度也必定程軸對稱分布，沿徑向方向.去同軸圓柱為高斯面，只有側面的電場強度通量不為零，且求出不同半徑高斯面內的電荷.利用高斯定理可解得各區域電場的分布.解: 作同軸圓柱面為高斯面，根據高斯定理， ， ， 在帶電面附近，電場強度大小不連續，電場強度有一躍變 （高斯定理）7.如圖所示，有三個點電荷 沿一條直線等間距分布，已知其中任一點電荷所受合力均為零，且.求在固定、的情況下，將從點移到無窮遠處外力所作的功.分析 由庫侖力的定義，根據、所受合力為零可求得. 外力作功應等于電場力作功的負值，即.求電場力作功

11、可根據功電場力作的功與電勢能差的關系，有其中是點電荷、 在點產生的電勢（取無窮遠處為零電勢）. 在任一點電荷所受合力均為零時，并由電勢的疊加、在的電勢將從點推到無窮遠處的過程中，外力作功 （受力平衡、點電荷系電勢、電場力做功）8.已知均勻帶電長直線附近的電場強度近似為為電荷線密度. （1）在求在和兩點間的電勢差；（2）在點電荷的電場中，我們曾取處的電勢為零，求均勻帶電長直線附近的電勢時，能否這樣??？試說明. 由于電場力作功與路徑無關，若取徑矢為積分路徑，則有 (電勢差定義式) （2）不能. 嚴格地講，電場強度 只適用于無限長的均勻帶電直線，而此時電荷分布在無限空間，處的電勢應與直線上的電勢相等

12、.9.兩個同心球面的半徑分別為和，各自帶有電荷和.求：（1）各區域電勢分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢差為多少？分析 由于電荷均勻分布在球面上，電場分布也具有球對稱性，因此，可根據電勢與電場強度的積分關系求電勢.取同心球面為高斯面，借助高斯定理可求得各區域的電場強度分布，再由可求得電勢分布. : 由高斯定理可求得電場分布由電勢 可求得區域的電勢分布.當 時，有當時，有當 時，有（先用高斯定理求場強E,再用分段積分求電勢V)10.兩個很長的共軸圓柱面，帶有等量異號的電荷，兩者的電勢差為450.求：（1）圓柱面單位長度上帶有多少電荷？（2）兩圓柱面之間的電場強度. 由8的結果，兩圓柱面之

13、間的電場根據電勢差的定義有解得 兩柱面間電場強度的大小與成反比. (電勢差定義式)11.在面上倒扣著半徑為的半球面，半球面上電荷均勻分布，電荷密度為.點的坐標為，點的坐標為,求電勢差.分析 電勢的疊加是標量的疊加，根據對稱性，帶電半球面在平面上各點產生的電勢顯然就等于帶電球面在改點的電勢的一半.據此，可先求出一個完整球面在間的電勢差，再求出半球面時的電勢差.由于帶電球面內等電勢，球面內點的電勢，故 其中是帶電球表面的電勢，是帶電球面在點的電勢. 假設將半球面擴展為帶有相同電荷面密度的一個完整球面，此時在兩點的電勢分別為則半球面在兩點的電勢差 （點電荷電勢式和電勢差定義式）12.在半徑為的長直導

14、線外，套有氯丁橡膠絕緣護套，護套外半徑為，相對電容率為.設沿軸線單位長度上，導線的電荷密度為.試求介質層內的和.分析 將長直導線視作無限長，自由電荷均勻分布在導線表面.在絕緣介質層的內、外表面分別出現極化電荷，這些電荷在內外表面呈均勻分布，所以電場是軸對稱分布. 取同軸柱面為高斯面，由介中的高斯定理可得電位移矢量的分布.在介質中，可進一步求得電場強度和電極化強度矢量的分布. 由介質中的高斯定理，有 得 在均勻各向同性介質中 （有電介質時的高斯定理）13.設有兩個薄導體同心球殼與，它們的半徑分別為與，并分別帶有電荷.球殼間有兩層介質，內層介質的，其分界面的半徑為球殼外為空氣.求：（1）兩球間的電

15、勢差；（2）離球心的電場強度；（3）2球的電勢.分析 自由電荷和極化電荷均勻分布在球面上，電場呈球對稱分布.取同心球面為高斯面，根據介質中的高斯定理可求得介質中的電場分布. 由電勢差和電場強度的積分關系可求得兩導體球殼間的電勢差，由于電荷分布在有限空間，通常取無窮遠處為零電勢 （1）由介質中的高斯定理，有得 兩球殼間的電勢差 （2）同理由高斯定理可得 （3）取無窮遠處電勢為零，則（先由電介質中高斯定理求D分布，再求E分布，再分段積分求V分布）14. 如圖所示，幾種載流導線在平面內分布，電流均為，它們在點的磁感應強度各為多少？分析 應用磁場疊加原理求解.將不同形狀的載流導線分解成長直部分和圓弧部

16、分，它們各自在點處所激發的磁感強度較容易求得，則總的磁感強度. （a) 長直電流對點而言，它在延長線上點產生的磁場為零，則點處總的磁感強度為圓弧電流所激發，故有: ，方向垂直紙面向外Q. （b) 將載流導線看作圓電流和長直電流，由疊加原理可得 . ， 方向垂直紙面向里 Ä （c) 將載流導線看作圓電流和兩段半無限長直電流，由疊加原理可得 ，方向垂直紙面向外. Q (矢量和)15.載流長直導線的電流為，試求通過矩形線圈ABCD的磁通量.分析 由于矩形平面上各點的磁感應強度不同，故磁通量.為此，可在矩形平面上取一矩形面元，載流長直導線的磁場穿過該面元的磁通量為矩形平面的總磁通量 由上述分

17、析可得矩形平面的總磁通量 （積分法四步走）16.有同軸電纜，其尺寸如圖所示.兩導體中的電流均為，但電流的流向相反，導體的磁性可不考慮.試計算以下各處的磁感應強度：（1）（2）；（3）；（4）.畫出圖線.分析 同軸電纜導體內的電流均勻分布，其磁場呈軸對稱，取半徑為的同心圓為積分路徑，利用安培環路定理，可解得各區域的磁感強度. 由上述分析得磁感強度的分布曲線略。 （磁場的安培環路定理）17.電流均勻地流過半徑為的圓形長直導線，試計算單位長度導線內的磁場通過圖中所示剖面的磁通量.分析 由題16可得導線內部距軸線為處的磁感應強度在剖面上磁感強度分布不均勻，因此，需從磁通量的定義來求解.沿軸線方向在剖面

18、砂鍋取面元，考慮到面元上各點相同，故穿過面元的磁通量，通過積分，可得單位長度導線內的磁通量 由分析可得單位長度導線內的磁通量 （磁通量積分四步走）18. 如圖所示，一根長直導線載有電流，矩形回路載有電流.試計算作用在回路上的合力.已知，分析 矩形上、下兩段導線受安培力和的大小相等，方向相反，對不變形的矩形回路來說，兩力的矢量和為零.而矩形的左右兩段導線，由于載流導線所在處磁感強度不等，所受安培力和大小不同，且方向相反，因此線框所受的力為這兩個力的合力. 由分析可知，線框所受總的安培力為左、右兩邊安培力和之矢量和，它們的大小分別為故合力的大小為合力的方向朝左，指向直導線. （安培力）19.有兩根

19、相距為的無限長平行直導線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以的變化率增長.若有一邊長為的正方形線圈與兩導線處于同一平面內，如圖所示.求線圈中的感應電動勢和自感系數.分析 本題仍可用法拉第電磁感應定律來求解.由于回路處在非均勻磁場中，磁通量就需用來計算（其中為兩無限長直電流單獨存在時產生的磁感強度和之和）. 為了積分的需要，建立坐標系.由于僅與有關，即，故取一個平行長直導線的寬為、長為的面元，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過線積分求得（若取面元，則上述積分實際上為二重積分）.本題在工程技術上又稱為互感想象，也可用公式求解. 穿過面元的磁通量為因此穿過線圈的磁通量為再由法拉第電

20、磁感應定律，有由,得互感系數： 當兩長直導線有電流通過時，穿過線圈的磁通量為線圈與兩長直導線間的互感為當電流以變化時，線圈中的互感電動勢為（先求磁通量，再求感生電動勢和互感系數）20.長為的銅棒，以距端點處為支點，以角速度繞通過支點且垂直于銅棒的軸轉動.設磁感強度為的均勻磁場與軸平行，求棒兩端的電勢差.分析 首先應分清棒兩端的電勢差與棒上的動生電動勢不是一個概念，它們之間的關系如同電源的路端電壓與電源電動勢之間的關系.在開路情況中，兩者大小相等，方向相反（電動勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向）.本題可直接用積分法求解棒上的電動勢，此時積分上下限應為和.另外，可將整個棒

21、的電動勢看作是棒與棒上電動勢的代數和，如圖所示. 如圖所示，在棒上距點為處取導體元，則因此棒兩端的電勢差為當時，端點處的電勢較高. 將棒上的電動勢看作是棒和棒上電動勢的代數和，其中 ，則 (動生電動勢)21.長為的導體棒，處于均勻磁場中，并繞軸以角速度旋轉，棒與轉軸間夾角恒為，磁感強度與轉軸平行.求棒在圖示位置的電動勢.分析 本題既可以用法拉第電磁感應定律計算（但此時必須構造一個包含導體在內的閉合回路，如直角三角形導體回路)，也可用來計算.由于對稱性，導體旋轉至任何位置時產生的電動勢與圖示位置是相同的. 由上分析，得由矢量的方向可知端點的電勢較高. (動生電動勢)22.金屬桿以勻速平行于一長直

22、導線移動，此導線通有電流.問：此桿中的感應電動勢為多大？桿的哪一端電勢較高？分析 本題可用公式求解，可建立圖所示的坐標系，所取導體元，該處的磁感強度. 根據分析，桿中的感應電動勢為式中負號表示電動勢方向由指向，從低到高，故點電勢較高. (動生電動勢)23.在“無限長”直載流導線的近旁，放置一個矩形導體線框，該線框在垂直于導線方向上以勻速率向右移動，求在圖示位置處，線框中感應電動勢的大小和方向.分析 本題可用公式求解，但用此公式須注意，式中應該是線框運動至任意位置處時，穿過線框的磁通量.為此可設時刻時，線框左邊距導線的距離為，如圖所示，顯然是時間的函數，且有.在求得線框在任意位置處的電動勢后，再令，即可得線框在題目所給位置處的電動勢. 設順時針方向為線框回路的正方向.根據分析，在任意位置處，穿過線框的磁通量為相應電動勢為 令，得線框在圖示位置處的電動勢為由可知，線框中電動勢方向為順時針方向. (先求磁通量,再由法拉第電磁感應定律求感生電動式)24.半徑為的無限長直載流密繞螺線管，管內磁場可視為均勻磁場，管外磁場可近似看作零.若通電電流均勻變化，使得磁感強度隨時間的變化率為常量，且為正值，試求：管內外由磁場變化激發的感生電場EK分布；（2）如，求距螺線管中心軸處感生電場的大小和方向.分析 變化磁場可以在空間激發感生電場，感生電場的空間分布與場源變化的磁場（包