1、第四節第四節 隱函數的導數及由參數方程隱函數的導數及由參數方程所確定的函數的導數所確定的函數的導數 * *相關變化率相關變化率一、一、 隱函數的導數隱函數的導數二、二、 對數求導法對數求導法三、三、 由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數四、四、 *相關變化率相關變化率五、五、 小結、作業小結、作業1/18一、隱函數的導數一、隱函數的導數. )( 0) ,F( 隱隱函函數數稱稱為為所所確確定定的的函函數數由由方方程程xyyyx .)(顯顯函函數數形形式式的的函函數數稱稱為為xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化問題：隱函數不易顯化或不能顯化時如何求導問題

2、：隱函數不易顯化或不能顯化時如何求導?隱函數求導法則隱函數求導法則: : 視視 y=y(x) , 應用復合函數的求導法直接對方程應用復合函數的求導法直接對方程 F(x, y)=0 兩邊求導，然后解出兩邊求導，然后解出 y 即得隱函數的導即得隱函數的導數數.2/18例例1 1. , )( 0 0 xyxdxdydxdyxyyeexy的的導導數數所所確確定定的的隱隱函函數數求求由由方方程程解解得得求求導導方方程程兩兩邊邊對對視視 , ),( xxyy y解得解得,yxexyedxdy , 0 , 0 yx時時由由原原方方程程知知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyx xe ye 0

3、dxdy3/18例例2 2.)23,23( ,3 33的的切切線線方方程程及及法法線線方方程程上上點點求求過過的的方方程程為為設設曲曲線線CxyyxC 解解得得求求導導方方程程兩兩邊邊對對視視 , , )( xxyy ,333322yxyyyx )23,23(22)23,23(xyxyy . 1 于是，所求切線方程為于是，所求切線方程為, )23(23 xy. 03 yx即即, 2323 xy法線方程為法線方程為. xy 即即注注 本例中的方程形為本例中的方程形為 F(x, y)=G(x, y), 其確定的其確定的y=y(x) 的求導方法仍然是的求導方法仍然是.。4/18例例3 3. )1 ,

4、 0( )( , 1 44處的值處的值在點在點求求設設xyyxyx 解解得得求導求導方程兩邊對方程兩邊對 , x)1(04433 yyyxyx代代入入，得得、將將10 yx; 4110 yxy得得求求導導兩兩邊邊再再對對將將方方程程，、視視 , )1( )( )( xxyyxyy , 04)(122123222 yyyyyxyx得得 4110 yxy及及、代代入入 10 yx.16110 yxy5/18二、對數求導法二、對數求導法利用隱函數求導法求顯函數導數的方法。利用隱函數求導法求顯函數導數的方法。對數求導法：對數求導法： 先對先對 y=f(x)（0兩邊取對數兩邊取對數(或加絕對值后或加絕對

5、值后兩邊取對數兩邊取對數), 然后利用隱函數的求導方法求出導數然后利用隱函數的求導方法求出導數.適用范圍適用范圍: :, )( )1()( xvxu函函數數冪冪指指型型方方、開開方方運運算算的的函函數數。含含有有較較多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(6/18例例4 4解解. , )0( sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數等式兩邊取對數, 得得, lnsinlnxxy 得得求求導導上上式式兩兩邊邊對對 , x, 1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx ? sin）（求求出出能能否否用用問問： xx顯顯式式求求導導法法

6、7/18例例5 5解解. )142)1(3111()4(1)1( 23 xxxexxxyx, |4|ln2|1|ln31|1|ln|lnxxxxy 得得求導求導上式兩邊對上式兩邊對 , x, 142)1(3111 xxxyy. , )4(1)1( 23yexxxyx 求求設設等式兩邊取絕對值再取對數，得等式兩邊取絕對值再取對數，得.) ) , 1()1 , 4()4 ,( , ), 4()4,( 函函數數不不恒恒正正；上上導導數數存存在在在在 D8/18三、由參數方程所確定的函數的導數三、由參數方程所確定的函數的導數., )()( 參參數數方方程程所所確確定定的的函函數數稱稱此此函函數數為為由

7、由此此間間的的函函數數關關系系與與可可確確定定若若xytytx 例如例如 ,22tytx2xt , )2( , 22xty 此此參參數數方方程程確確定定的的函函數數得得.4)( 2xxyy 即即消去參數消去參數 t問題問題: : 消參數困難或無法消去參數時如何求導消參數困難或無法消去參數時如何求導? ?9/18);(I )( )( I )( 1xtttxxtxtxxxt 上上有有可可導導的的反反函函數數在在對對應應的的恒恒不不為為零零單單調調、可可導導且且在在上上若若, I )( 上可導上可導在在又若又若ttyy dxdtdtdydxdyxy )(dtdxdtdy1 ,)()(txty )()

8、(txtydtdxdtdydxdy ,I )()( t ttyytxx 對對且且上上可可導導在在 , I )( )()( 1xxyxtytyy : )( )()( 的的求求導導法法確確定定xyytxxtyy 10/18例例6 6解解)()( txtydxdy , cos1sintt taatacossin 2cos12sin 2 tdxdy. 1 時時的的切切線線方方程程。在在求求擺擺線線 2 )cos1()sin( ttayttax, ),12( , 2 ayaxt 時時又又當當得得 所求切線方程為所求切線方程為, )12( axay. )22( axy即即11/18例例7 7解解. )2(

9、; )1(, 21sin, cos , , , 002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時時刻刻的的運運動動方方向向炮炮彈彈在在時時刻刻求求其其運運動動方方程程為為發發射射炮炮彈彈發發射射角角以以初初速速度度不不計計空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v. , , )1( 00可可由由切切線線的的斜斜率率來來反反映映切切線線方方向向時時刻刻的的即即軌軌跡跡在在時時刻刻的的運運動動方方向向在在tt)cos()21sin()()( 020 tvgttvtxtydxdy, cossin00 vgtv . cossin 0000 vgtvdxdytt 12/18軸軸方方向

10、向的的分分速速度度分分別別為為、刻刻沿沿炮炮彈彈在在 )2(0yxt00)cos(0ttttxtvdtdxv ; cos0 v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv , sin00gtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在 0t22yxvvv . sin22020020tggtvv 13/18例例8 8解解. )( sincos 33的二階導數的二階導數表示的表示的求求xyytaytax )()(txtydxdy )sin(cos3cossin322ttatta , tant )(22dxdydxddxyd ttatsincos3sec22 . sin3sec4tat )()t

11、an(txt dxtd)tan( ? 33 dxyd問：問：14/18*四、相關變化率四、相關變化率.相相關關變變化化率率稱稱為為兩兩個個相相互互關關聯聯的的變變化化率率 當已知兩個變量的關系后，可從其中一個變化當已知兩個變量的關系后，可從其中一個變化率求出另一個變化率。率求出另一個變化率。15/18例例9 9解解? , 500 . /140 , 500 仰角增加率是多少仰角增加率是多少觀察員視線的觀察員視線的米時米時當氣球高度為當氣球高度為分分米米率為率為其速其速米處離地面鉛直上升米處離地面鉛直上升一汽球從離開觀察員一汽球從離開觀察員則則視視線線的的仰仰角角為為觀觀察察員員其其高高度度為為分

12、分后后設設氣氣球球上上升升 , , , ht. 500tanh 得得求求導導上上式式兩兩邊邊對對 , tdtdhdtd 5001sec2 , /140 分分米米 dtdh, 2sec,5002 米米時時當當 h. )/(14. 0 分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米50016/18h米米五、小結五、小結隱函數求導法則隱函數求導法則: :視視 y=y(x)y=y(x)， 利用復合函數求導利用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導法則直接對方程兩邊求導; ;對數求導法對數求導法: : 對函數兩邊取對數對函數兩邊取對數, , 然后按隱函數的然后按隱函數的求導法則求導求導法則求導; ;參數方程求導法參數方程求導法: y對對x的導數的導數=y對參數的導數對參數的導數/x對參對參數的導數數的導數;* *相關變化率相關變化率: : 兩個相互關聯的變化率兩個相互關聯的變化率;