1、第五節(jié)第五節(jié) 一、近似計(jì)算一、近似計(jì)算 二、歐拉公式二、歐拉公式函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第十一章 一、近似計(jì)算一、近似計(jì)算mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 計(jì)算計(jì)算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精確到282811811131!254134105 . 013431518231!254112331!35941解解: 5532432405

2、14)1(331機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )11(432)1ln(432xxxxxx例例2. 計(jì)算計(jì)算2ln的近似值 ,使準(zhǔn)確到.104解解: 知知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展開式中取前四項(xiàng), 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

3、返回 完畢 說明說明: 在展開式在展開式xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對(duì)數(shù) . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n為自然數(shù)) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3. 利用利用,!3sin3xxx求9sin誤差. 解解: 先把角度化為弧度先把角度化為弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031

4、!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin誤差不超過 510的近似值 , 并估計(jì)91802015643. 0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( 取 例例4. 計(jì)算積分計(jì)算積分xexd21201的近似值, 精確到)56419. 01解解:12xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 !3721!252132111642xd

5、ex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn那么 n 應(yīng)滿足4nxexd22120則所求積分近似值為欲使截?cái)嗾`差5205. 0,4n取機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 計(jì)算積分計(jì)算積分xxxdsin10的近似值, 精確到.104解解: 由于由于, 1sinlim0 xxx故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)在 x = 0 處的值為 1, 則它在積分區(qū)間! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167.

6、 005556. 01上連續(xù), 且有冪級(jí)數(shù)展開式 :!7714103 . 03528019461. 0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、歐拉二、歐拉(Euler)公式公式)(1nnnviu 則稱 收斂 , 且其和為)(1nnnviu 絕對(duì)收斂,1nnu)(1nnnviu 收斂 .,1uunn,1vvnn假設(shè)nnnviu 1. viu 221nnnvu 收斂,假設(shè)對(duì)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),22nnnvuu22nnnvuv1nnv絕對(duì)收斂則稱 絕對(duì)收斂. 由于, 故知 歐拉 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義: 復(fù)變量復(fù)變量yixz的指數(shù)函數(shù)為)(!1!2112zznzzenz易證它在整個(gè)復(fù)平面上絕

7、對(duì)收斂 .當(dāng) y = 0 時(shí), 它與實(shí)指數(shù)函數(shù)xe當(dāng) x = 0 時(shí),nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的冪級(jí)數(shù)展式一致.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xixexisincosxixexisincos（歐拉公式）2cosxixieex（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式rxxyyoyixzyixzsincosirier那么ieexxixi2sin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 據(jù)此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式)利用冪級(jí)數(shù)的乘法, 不難驗(yàn)證2121zzzzeee特別有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyexxerxxyyoyixz作業(yè)作業(yè) P229 1(2) , (4) ; 2 (2)