1、 軸和軸系的振動 軸是機械中常見零件之一。因為絕大多數(shù)軸類零件呈細長形軸是機械中常見零件之一。因為絕大多數(shù)軸類零件呈細長形狀，柔度較大，固有頻率低；而且機械的高速化，首先導(dǎo)致狀，柔度較大，固有頻率低；而且機械的高速化，首先導(dǎo)致處于傳動系統(tǒng)的高速端的軸高速運轉(zhuǎn)。因而，軸和軸系的振處于傳動系統(tǒng)的高速端的軸高速運轉(zhuǎn)。因而，軸和軸系的振動是最早引起人們注意的彈性動力學(xué)問題。動是最早引起人們注意的彈性動力學(xué)問題。軸和軸系在工作時主要會產(chǎn)生兩類振動：軸和軸系在工作時主要會產(chǎn)生兩類振動：橫向振動橫向振動和和扭轉(zhuǎn)振動扭轉(zhuǎn)振動。1.軸的橫向振動：軸在轉(zhuǎn)動時，其質(zhì)心會偏離回轉(zhuǎn)軸線。軸的橫向振動：軸在轉(zhuǎn)動時，其質(zhì)心

2、會偏離回轉(zhuǎn)軸線。產(chǎn)生原因：產(chǎn)生原因：1)材質(zhì)不均與制造誤差產(chǎn)生的偏離。材質(zhì)不均與制造誤差產(chǎn)生的偏離。2)動態(tài)下的彈性變形。動態(tài)下的彈性變形。 臨界轉(zhuǎn)速：產(chǎn)生橫向振動共振現(xiàn)象時的工作轉(zhuǎn)速稱為軸的。臨界轉(zhuǎn)速：產(chǎn)生橫向振動共振現(xiàn)象時的工作轉(zhuǎn)速稱為軸的。當(dāng)機械轉(zhuǎn)速通過或接近臨界轉(zhuǎn)速時，會發(fā)生強烈振動使機器當(dāng)機械轉(zhuǎn)速通過或接近臨界轉(zhuǎn)速時，會發(fā)生強烈振動使機器工作質(zhì)量嚴重降低，甚至發(fā)生損壞。為避免強烈的橫向振動，工作質(zhì)量嚴重降低，甚至發(fā)生損壞。為避免強烈的橫向振動，設(shè)計人員應(yīng)計算軸的臨界轉(zhuǎn)速，并使工作轉(zhuǎn)速遠離臨界轉(zhuǎn)速；設(shè)計人員應(yīng)計算軸的臨界轉(zhuǎn)速，并使工作轉(zhuǎn)速遠離臨界轉(zhuǎn)速；如工作轉(zhuǎn)速不能改變，就需改變軸的幾

3、何尺寸和機構(gòu)，來改如工作轉(zhuǎn)速不能改變，就需改變軸的幾何尺寸和機構(gòu)，來改變臨界轉(zhuǎn)速。變臨界轉(zhuǎn)速。9.1 概述概述9.1 概述概述2.軸和軸系的扭轉(zhuǎn)振動軸和軸系的扭轉(zhuǎn)振動傳動軸系中受到變化的力矩的作用時產(chǎn)生的振動稱為扭轉(zhuǎn)傳動軸系中受到變化的力矩的作用時產(chǎn)生的振動稱為扭轉(zhuǎn)振動。一方面，外力矩本身會具有周期性變化的特性。另振動。一方面，外力矩本身會具有周期性變化的特性。另一方面，當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)有齒輪傳動時，輪齒間的沖擊會產(chǎn)生周一方面，當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)有齒輪傳動時，輪齒間的沖擊會產(chǎn)生周期性變化的沖擊力矩，作用于整個系統(tǒng)。期性變化的沖擊力矩，作用于整個系統(tǒng)。 在軸的振動問題中，多數(shù)情況下只要求算出固有頻率，在軸的振動問

4、題中，多數(shù)情況下只要求算出固有頻率，而不進行振動相應(yīng)分析。而不進行振動相應(yīng)分析。求解固有頻率的方法：求解固有頻率的方法：1)特征值法特征值法2)傳遞矩陣法傳遞矩陣法本章中，對扭轉(zhuǎn)振動和橫向振動都介紹用集中質(zhì)量模型和本章中，對扭轉(zhuǎn)振動和橫向振動都介紹用集中質(zhì)量模型和傳遞矩陣法相結(jié)合的方法，此外對橫向振動還介紹有限元傳遞矩陣法相結(jié)合的方法，此外對橫向振動還介紹有限元模型和特征值方法模型和特征值方法。9.2 軸系的扭轉(zhuǎn)振動固有頻率計算軸系的扭轉(zhuǎn)振動固有頻率計算一、軸系扭轉(zhuǎn)振動的力學(xué)模型一、軸系扭轉(zhuǎn)振動的力學(xué)模型 如圖所示，取如圖所示，取I為等效構(gòu)件。將系統(tǒng)中各軸上的慣性、彈性、力矩和角位為等效構(gòu)件。

5、將系統(tǒng)中各軸上的慣性、彈性、力矩和角位移都折算到等效構(gòu)件上去，用等效構(gòu)件上的等效量來代替，即可得到如圖移都折算到等效構(gòu)件上去，用等效構(gòu)件上的等效量來代替，即可得到如圖b的力學(xué)模型。的力學(xué)模型。 等效剛度根據(jù)等效彈簧的變形等效剛度根據(jù)等效彈簧的變形能與原來軸上的變形能相等的原能與原來軸上的變形能相等的原則來確定。則來確定。1、等效剛度、等效剛度（1）等截面軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)）等截面軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)由材料力學(xué)可知：由材料力學(xué)可知：（2）階梯軸的等效剛度系數(shù)）階梯軸的等效剛度系數(shù)階梯軸相當(dāng)于串聯(lián)的扭轉(zhuǎn)彈簧階梯軸相當(dāng)于串聯(lián)的扭轉(zhuǎn)彈簧（如圖）。各段軸的剛度（如圖）。各段軸的剛度k1、k2可用上式計算，等效

6、剛度系數(shù)可用上式計算，等效剛度系數(shù)ke可用下式導(dǎo)出：可用下式導(dǎo)出：lGIk/21111kkke2121kkkkke9.2 軸系的扭轉(zhuǎn)振動固有頻率計算軸系的扭轉(zhuǎn)振動固有頻率計算一、軸系扭轉(zhuǎn)振動的力學(xué)模型一、軸系扭轉(zhuǎn)振動的力學(xué)模型 如圖所示，取如圖所示，取I為等效構(gòu)件。將系統(tǒng)中各軸上的慣性、彈性、力矩和角位為等效構(gòu)件。將系統(tǒng)中各軸上的慣性、彈性、力矩和角位移都折算到等效構(gòu)件上去，用等效構(gòu)件上的等效量來代替，即可得到如圖移都折算到等效構(gòu)件上去，用等效構(gòu)件上的等效量來代替，即可得到如圖b的力學(xué)模型。的力學(xué)模型。（3）剛度由一軸向另一軸的折算）剛度由一軸向另一軸的折算令傳動比令傳動比i為從動軸為從動軸的

7、轉(zhuǎn)速與主動軸的轉(zhuǎn)速與主動軸的轉(zhuǎn)速之比的轉(zhuǎn)速之比式中，式中， 和和 分別為相嚙合的一對從動輪和主動輪的齒數(shù)。分別為相嚙合的一對從動輪和主動輪的齒數(shù)。2222zzi2z2z2、串聯(lián)傳動系統(tǒng)的力學(xué)模型、串聯(lián)傳動系統(tǒng)的力學(xué)模型二、求固有頻率的傳遞矩陣法二、求固有頻率的傳遞矩陣法1、狀態(tài)變量、狀態(tài)變量 將第將第i段軸和第段軸和第i個盤取出來，單元的兩端仍稱為節(jié)點。每個節(jié)點處可用該個盤取出來，單元的兩端仍稱為節(jié)點。每個節(jié)點處可用該處的力矩和轉(zhuǎn)角來反映該節(jié)點的運動與受力狀態(tài)，稱為處的力矩和轉(zhuǎn)角來反映該節(jié)點的運動與受力狀態(tài)，稱為狀態(tài)變量狀態(tài)變量。將盤單元左節(jié)點處的變量標以上標將盤單元左節(jié)點處的變量標以上標“L

8、”，右節(jié)點處的變量標以上標，右節(jié)點處的變量標以上標“R”。2、點傳遞矩陣、點傳遞矩陣 現(xiàn)在看第現(xiàn)在看第i個盤單元，其左、右兩端各作用有扭矩，根據(jù)歐拉公式有個盤單元，其左、右兩端各作用有扭矩，根據(jù)歐拉公式有RiRiiiMMJ 3、場傳遞矩陣、場傳遞矩陣4、頻率方程、頻率方程5、固有頻率計算、固有頻率計算9.3 軸的橫向振動臨界轉(zhuǎn)速計算（傳遞矩陣法）軸的橫向振動臨界轉(zhuǎn)速計算（傳遞矩陣法）一、單元傳遞矩陣一、單元傳遞矩陣 這個模型中包含三種單元：質(zhì)量單元、梁單元和支承單元。如同扭轉(zhuǎn)振這個模型中包含三種單元：質(zhì)量單元、梁單元和支承單元。如同扭轉(zhuǎn)振動的情況一樣，先來建立各種單元的傳遞矩陣。動的情況一樣，

9、先來建立各種單元的傳遞矩陣。1、質(zhì)量單元、質(zhì)量單元如圖所示如圖所示9.3 軸的橫向振動臨界轉(zhuǎn)速計算（傳遞矩陣法）軸的橫向振動臨界轉(zhuǎn)速計算（傳遞矩陣法）一、單元傳遞矩陣一、單元傳遞矩陣 這個模型中包含三種單元：質(zhì)量單元、梁單元和支承單元。如同扭轉(zhuǎn)振這個模型中包含三種單元：質(zhì)量單元、梁單元和支承單元。如同扭轉(zhuǎn)振動的情況一樣，先來建立各種單元的傳遞矩陣。動的情況一樣，先來建立各種單元的傳遞矩陣。1、質(zhì)量單元、質(zhì)量單元如圖所示如圖所示9.3 軸的橫向振動臨界轉(zhuǎn)速計算（傳遞矩陣法）軸的橫向振動臨界轉(zhuǎn)速計算（傳遞矩陣法）一、單元傳遞矩陣一、單元傳遞矩陣2、梁單元、梁單元3、支承單元、支承單元二、軸的傳遞矩

10、陣二、軸的傳遞矩陣三、固有頻率的三、固有頻率的計計算算軸兩端的邊界條件和相應(yīng)的頻率方程如表所示軸兩端的邊界條件和相應(yīng)的頻率方程如表所示例題例題1.劃分單元，建立廣義坐劃分單元，建立廣義坐一般常見的軸多呈階梯狀，劃分單元時注意如下幾點：一般常見的軸多呈階梯狀，劃分單元時注意如下幾點：1）將軸大體依階）將軸大體依階梯劃分為軸單元，某一段階梯很長時要適當(dāng)分為幾個軸單元；梯劃分為軸單元，某一段階梯很長時要適當(dāng)分為幾個軸單元；2）軸上安有輪）軸上安有輪、盤的部分要單獨劃為單元，稱為盤單元；、盤的部分要單獨劃為單元，稱為盤單元；3）支承點必須取為節(jié)點，且節(jié)點）支承點必須取為節(jié)點，且節(jié)點設(shè)在軸承寬度的中點處

11、。若單元數(shù)目為設(shè)在軸承寬度的中點處。若單元數(shù)目為Ne，則節(jié)點數(shù)目，則節(jié)點數(shù)目Nn為為9.4 軸的橫向振動臨界轉(zhuǎn)速計算（有限元法）軸的橫向振動臨界轉(zhuǎn)速計算（有限元法）一、建立有限元模型一、建立有限元模型1enNNnuNN2單元和節(jié)點自左至右編號。每個節(jié)點處建立兩個廣義坐標：橫向彈性位移和單元和節(jié)點自左至右編號。每個節(jié)點處建立兩個廣義坐標：橫向彈性位移和彈性轉(zhuǎn)角。在第彈性轉(zhuǎn)角。在第i個節(jié)點處建立的廣義坐標編號為：橫向彈性位移個節(jié)點處建立的廣義坐標編號為：橫向彈性位移U2i-1和彈性和彈性轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 U2i廣義坐標數(shù)目廣義坐標數(shù)目Nu為為如圖所示的軸可劃分為如圖所示的軸可劃分為4個單元，即個單元，即3

12、個軸單元和個軸單元和1個盤單個盤單元。設(shè)置元。設(shè)置5個節(jié)點，共個節(jié)點，共10個廣義坐標。需作為原始數(shù)據(jù)輸個廣義坐標。需作為原始數(shù)據(jù)輸入計算機的有：單元數(shù)目入計算機的有：單元數(shù)目 ，各單元的基本參數(shù)，各單元的基本參數(shù)長度長度 ，軸的內(nèi)外直徑、，圓盤單位長度上對直徑的轉(zhuǎn)動慣量，軸的內(nèi)外直徑、，圓盤單位長度上對直徑的轉(zhuǎn)動慣量、單元的類型，材料密度、單元的類型，材料密度和彈性模量和彈性模量E 2.單元動力學(xué)矩陣的計算單元動力學(xué)矩陣的計算軸單元的質(zhì)量矩陣軸單元的質(zhì)量矩陣m和剛度矩陣和剛度矩陣k可按第八章中梁單元的相應(yīng)公式可按第八章中梁單元的相應(yīng)公式(8.2.46）和）和(8.2.41)計算。計算。盤單元

13、的動力學(xué)矩陣有一個特殊問題要處理。軸上的盤狀零件的轉(zhuǎn)盤單元的動力學(xué)矩陣有一個特殊問題要處理。軸上的盤狀零件的轉(zhuǎn)動軸線與靜態(tài)位置相比，不僅有一個橫向線位移，還存在一個角位移動軸線與靜態(tài)位置相比，不僅有一個橫向線位移，還存在一個角位移，如圖，如圖9.4.2所示。因此在計算動能時不所示。因此在計算動能時不僅需計算橫向移動動能，還應(yīng)計算角位移引起的轉(zhuǎn)動動能僅需計算橫向移動動能，還應(yīng)計算角位移引起的轉(zhuǎn)動動能EdxdttxdJEld20,21xtxutx,txu, tuxtxiii41, dxxdxi式中，式中，Jd為圓盤單位長度上對直徑的轉(zhuǎn)動慣量。由材料力學(xué)可知為圓盤單位長度上對直徑的轉(zhuǎn)動慣量。由材料力

14、學(xué)可知式中，式中，為單元上任意點的橫向位移。有為單元上任意點的橫向位移。有式中：式中：得得 umutudxxxJtuETjljidiji212104141式中，式中， 為僅考慮橫向線性位移的質(zhì)量矩陣，計算方法同軸單元。為僅考慮橫向線性位移的質(zhì)量矩陣，計算方法同軸單元。盤狀零件是以一定的配合形式安裝在軸上的，如果配合較緊，則限制了軸的盤狀零件是以一定的配合形式安裝在軸上的，如果配合較緊，則限制了軸的變形從而提高了剛度。考慮這一影響，可作如下近似處理：若軸孔間為靜配變形從而提高了剛度。考慮這一影響，可作如下近似處理：若軸孔間為靜配合，計算剛度式按輪轂直徑考慮；若為動配合，則仍按軸的直徑計算。合，計

15、算剛度式按輪轂直徑考慮；若為動配合，則仍按軸的直徑計算。 m dxxxJmjildij022243363433633630lllllllJmdmmmyym式中式中，為基于圓盤角位移的質(zhì)量矩陣，其元素可依下式計算：，為基于圓盤角位移的質(zhì)量矩陣，其元素可依下式計算：得得因而，盤單元的總質(zhì)量矩陣為因而，盤單元的總質(zhì)量矩陣為3 系統(tǒng)動力學(xué)矩陣的組集系統(tǒng)動力學(xué)矩陣的組集 在第八章中已經(jīng)介紹過進行系統(tǒng)矩陣組集的原理。由于單在第八章中已經(jīng)介紹過進行系統(tǒng)矩陣組集的原理。由于單元、節(jié)點和廣義坐標均由左向右排列編號，圖元、節(jié)點和廣義坐標均由左向右排列編號，圖9.4.1所示的軸，所示的軸，其四個單元的質(zhì)量矩陣在系統(tǒng)

16、質(zhì)量矩陣中的配置如圖所示。其四個單元的質(zhì)量矩陣在系統(tǒng)質(zhì)量矩陣中的配置如圖所示。這一組集過程由于其規(guī)律性，便于用計算機程序自動完成。第這一組集過程由于其規(guī)律性，便于用計算機程序自動完成。第i個單元的左、右節(jié)點編號個單元的左、右節(jié)點編號i、i+1，因而它的，因而它的4個單元廣義坐標個單元廣義坐標u1、u2、u3、u4就是系統(tǒng)廣義坐標就是系統(tǒng)廣義坐標U2i-1、U2i、 U2i+1、U2i+2。這樣，就應(yīng)當(dāng)將第這樣，就應(yīng)當(dāng)將第2i-1列到第列到第2i+2列上去。按這一方法可逐一地列上去。按這一方法可逐一地將各個單元的質(zhì)量矩陣都組集到系統(tǒng)質(zhì)量矩陣中去。系統(tǒng)剛度矩將各個單元的質(zhì)量矩陣都組集到系統(tǒng)質(zhì)量矩陣

17、中去。系統(tǒng)剛度矩陣也按同樣方法組集。陣也按同樣方法組集。 4支承條件的處理支承條件的處理 由于在劃分單元時，總是將支承點取為節(jié)點，因而支由于在劃分單元時，總是將支承點取為節(jié)點，因而支承點處也設(shè)有兩個廣義坐標。由于假定支承處有橫向位移，承點處也設(shè)有兩個廣義坐標。由于假定支承處有橫向位移，剛體運動的自由度未能消除。這樣，按上面的方法組集起來剛體運動的自由度未能消除。這樣，按上面的方法組集起來的剛度矩陣是奇異的。當(dāng)有剛體運動的自由度存在時，存在的剛度矩陣是奇異的。當(dāng)有剛體運動的自由度存在時，存在零值固有頻率，所以應(yīng)消除剛度矩陣的奇異性。這可以通過零值固有頻率，所以應(yīng)消除剛度矩陣的奇異性。這可以通過對

18、支承條件進行處理來完成。對支承條件進行處理來完成。 當(dāng)支承點處理為剛性鉸鏈時，橫向位移被約束，因而當(dāng)支承點處理為剛性鉸鏈時，橫向位移被約束，因而這個廣義坐標就可以不設(shè)置。當(dāng)支承點的節(jié)點號為這個廣義坐標就可以不設(shè)置。當(dāng)支承點的節(jié)點號為j，則廣義，則廣義坐標坐標U2j-1可以去點，相應(yīng)的系統(tǒng)動力學(xué)矩陣可以去點，相應(yīng)的系統(tǒng)動力學(xué)矩陣M、K中的第中的第2j-1行、第行、第2j-1列的全部元素均可去掉。若軸有兩個這樣的支承，列的全部元素均可去掉。若軸有兩個這樣的支承，則系統(tǒng)矩陣由則系統(tǒng)矩陣由Nu階降為階降為Nu-2階。階。當(dāng)支承為彈性時，則該支承處有一支承反力為當(dāng)支承為彈性時，則該支承處有一支承反力為-kjU2j-1，kj為為支承的剛度系數(shù)。為此可在總剛度矩陣的第支承的剛度系數(shù)。為此可在總剛度矩陣的第2j-1行、第行、第2j-1列列元素元素K2j-1，2j-1上加一個上加一個kj即可。即可。二、臨界轉(zhuǎn)速計算二、臨界轉(zhuǎn)速計算在組集完系統(tǒng)動力學(xué)矩陣以后，可求解如下特征值問題：在組集完系統(tǒng)動力學(xué)矩陣以后，可求解如下特征值問