1、兩條直線的位置關(guān)系(提高)知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .初步理解同一平面內(nèi)的兩直線的位置關(guān)系，初步認(rèn)識相交線和平行線；2 .了解對頂角、補(bǔ)角、余角，知道對頂角相等、等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等，并能 解決一些實際問題；3 .理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；4 .理解點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離【要點梳理】要點一、同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：相交和平行.要點詮釋：(1)平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.兩直線平行，用符號“/”表示.如下圖，兩條直線互相平行，記作AB/ CD或a / b.(2)互相重合的直線通

2、常看做一條直線，兩條線段或射線平行是指它們所在的直線平行.(3)相交線：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線，這個公共點叫做交點.兩條直線相交只有一個交點.要點二、對頂角、補(bǔ)角、余角1.余角與補(bǔ)角(1)定義：如果兩個角的和是 180。，那么這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，其中一個角叫 做另一個角的補(bǔ)角.類似地，如果兩個角的和是 90。，那么這兩個角互為余角.簡稱互余，其中一 個角叫做另一個角的余角.(2)性質(zhì)：同角(等角)的余角相等.同角(等角)的補(bǔ)角相等.要點詮釋：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，而與它們的位置無關(guān).(2) 一個銳角的補(bǔ)角比它的余角大90° .2.對

3、頂角(1)定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊(相對)的兩個角，互為對頂角.要點詮釋：(1)對頂角滿足的條件：相等的兩個角；有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向 延長線.(2)只有兩條直線相交時，才能產(chǎn)生對頂角.兩條直線相交時，除了產(chǎn)生對頂角外，還會產(chǎn)生鄰補(bǔ)角，鄰補(bǔ)角滿足的條件：有公共頂點；有一條公共邊，另一邊互為反向延長線(3)鄰補(bǔ)角一定互為補(bǔ)角，但互為補(bǔ)角的角不一定是鄰補(bǔ)角(2)性質(zhì)：對頂角相等.要點三、垂線1 .垂線的定義： 兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就稱這兩條直線互相它們的交點叫垂足.如下圖.(1)記法：直線a與b垂直，記作：a b;直線AB

4、和CD垂直于點 O,記彳AB±CD于點O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有:AOC 90。脩催? CDXAB .2 .垂線的畫法： 過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三 角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點， 沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示).要點詮釋:(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上.(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段.3 .垂線的性質(zhì)

5、：(1)平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.(2)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.要點詮釋：(1)性質(zhì)(1)成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且 只有”說明了垂線的存在性和唯一性.(2)性質(zhì)(2)是“垂線段最短.”實際上，連接直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短.在實際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題.4 .點到直線的距離：定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.要點詮釋：(1)點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；(2)求點到直線

6、的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度.【典型例題】類型一、兩條直線的位置關(guān)系 1.平面上有10條直線，其中4條直線交于一點，另有 4條直線互相平行，這10條直 線最多有幾個交點？【答案與解析】【總結(jié)升華】10條直線中有八條直線的位置已經(jīng)確定，要使10條直線的交點最多，就要使剩下的兩條直線與前八條直線均相交.舉一反三：【變式】不重合的兩條直線的位置關(guān)系有（）.A.平行或垂直B.平行或相交 C.不相交或相交D.平行、垂直或相交【答案】C類型二、對頂角、補(bǔ)角、余角砂2.如圖所示，已知直線 AB、CD相交于點O, OE平分/ BOD, OF平分/ COE, /2:

7、 / 1 = 4:1,求 AOF .A【思路點撥】 涉及有比值的題設(shè)條件，如 a:b=m:n,在解題時設(shè)a mx, b nx,這是常 用的用方程思想解題的方法.【答案與解析】解：設(shè)/ 1=x,則/ 2=4x. OE 平分/BOD,/BOD = 2/1=2x.Z2+Z BOD = 180° ,即 4x+2x=180° , x= 30° .ZDOE+ ZCOE= 180° ,COE =150° .又 OF 平分/COE,ZCOF= - Z COE = 75 ° .2/AOC =/ BOD =60° ,/AOF =/AOC+ /C

8、OF = 60° +75 ° =135° .【總結(jié)升華】 兩條直線相交所成的四個角中，只要已知其中一個角，就可以求出另外三角.類型三、垂線歌 3,下列語句：兩條直線相交，若其中一個交角是直角，那么這兩條直線垂直一條直線的垂線有無數(shù)條.空間內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；兩條直線相交成四個角，如果有兩個角相等，那么這兩條直線垂直其中正確的是 .【思路點撥】解此題必須嚴(yán)格按照垂線的定義“兩條直線相交成直角”及垂線的性質(zhì)“過平面內(nèi)任意一點，即過直線上或直線外任意一點，有且僅有一條直線與已知直線垂直”來作判斷.【答案】【解析】正確；正確，過任意一點都可以作；對于只

9、有在“同一平面內(nèi)”才成立，因 為空間內(nèi)，當(dāng)這點在直線上時， 過這點并非只有一條直線與已知直線垂直，故錯誤；錯誤，必須是兩個鄰角相等，如下圖：【總結(jié)升華】“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”成立的前提是“在同一平面內(nèi)”若改為在“空間”，則過一點有無數(shù)條直線與已知直線垂直（以后學(xué)到）舉一反三：【變式】在鐵路旁有一城鎮(zhèn)，現(xiàn)打算從城鎮(zhèn)修一條和鐵路垂直的道路，這種方案是唯一的，是因為（）A.經(jīng)過兩點有且只有一條直線B.兩點之問的所有連線中，線段最短C.在同一平面內(nèi)，兩直線同時垂直同一條直線，則這兩直線也互相垂直.D.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D 提示：注意區(qū)分直線性質(zhì)

10、與垂線性質(zhì)4.如圖，直線 AB與CD相交于點 O, OEL CD O吐AB, / DOE 65° ,求/ BOEW / AOC勺度數(shù).【答案與解析】解：OF±AB, OE!CD（已知） / BO已/ DOE= 90° （垂直定義），/BOD= / BOF- Z DOF= 90° 65° =25°，/BOE= /DOE- Z BOD= 90° 25° =65° / AO（C= / AOB- / BO3 / COE= 180° 65° 90° = 25° .【總結(jié)升華】

11、利用垂直的定義，及同一條直線上的三點組成一個平角可以幫助我們求解圖中 某些角的大小.【高清課堂：相交線 403101 例4變式（1）】舉一反三：【變式】如圖，若 OMFF分/ AOB且 OM LONJ求證：0討分/ BOC.又 OM XON3=90° -Z 2由圖可得：/ 4=180° 2/2 /3=180° 2/2 （90° -Z 2） =90° / 23=7 4ON 平分/ BOC5.如圖所示，一輛汽車在直線形公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊.MN（1）設(shè)汽車行駛到公路 AB上點P位置時，距離村莊 M最近；行駛到點 Q位置時，距 離村莊N最近，請在圖中的公路 AB上分別畫出點P和點Q的位置（保留作圖痕跡）.（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離 M、N兩村莊都越來越 近?在哪一段路上距離村莊 N越來越近，而離村莊 M越來越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論， 不必說明）【答案與解析】 解：（1）過點M作MPLAB,垂足為P,過點N作NQXAB ,垂足為Q,點P、Q就是要畫 的兩點，如圖所示.也I*p p-( 2) 當(dāng)汽車從 A 向 B 行駛時， 在 AP 這段路上，