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文檔簡介

1、.2 可分別變量的微分方程 假設一個一階微分方程能寫成 g(y)dyf(x)dx (或寫成y(x)(y) 的方式 那么原方程就稱為可分別變量的微分方程 v可分別變量的微分方程v可分別變量的微分方程的解法兩端積分 方程由G(y)F(x)C所確定的函數,稱為隱式(通)解 分別變量 將方程寫成g(y)dy f(x)dx的方式 dxxfdyyg)()( 設積分后得 G(y)F(x)C dxxfdyyg)()( 設積分后得 G(y)F(x)C 微分方程分離變量是否可分離變量 y2xy 3x25xy0 (x2y2)dxxydy=0 y1xy2xy2 y10 xy討論: xyyxy是不是不是是是是y1dy2

2、xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10 xdx注 分別變量得 解解 這是一個可分別變量的微分方程. 兩邊積分得 下頁 例 1 求微分方程xydxdy2的通解 xdxdyy21 xdxdyy21 即 ln|y|x2C1 ln|y|x2lnC 2xCey 從而 221xxCCeeey 其中1CeC為任意常數 加常數的另一方法 根據題意 得微分方程 解解 例例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比成正比 知知t0時鈾的含量為時鈾的含量為M0 求在衰變過程中鈾含量求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間隨時間t變化的規律變化的規律 初始條

3、件為M|t0M0 MdtdM(是正常數) dtMdM 將方程分別變量 得 兩邊積分 得 dtMdM)( 由 初 始 條 件 得M0Ce0C 所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律MM0e t 即 lnMtlnC也即 MCe t 下頁提示 降落傘所受外力為Fmgkv(k為比例系數) 牛頓第二運動定律Fma 設降落傘下落速度為v(t)0|0tvkvmgdtdvm 解解 下頁 例3 設降落傘從跳傘塔下落后 所受空氣阻力與速度成正比 并設降落傘分開跳傘塔時速度為零 求降落傘下落速度與時間的函數關系 根據題意得初值問題 將方程分別變量得 mdtkvmgdv 兩邊積分得 將初始條件v|t00代入上式得kmgC 于是降落傘下落速度與時間的函數關系為 終了0|0tvkvmgdtdvm 例3 設降落傘從跳傘塔下落后 所受空氣阻力與速度成正比 并設降落傘分開跳傘塔時速度為零 求降落傘下落速度與時間的函數關系 mdtkvmgdv 即 1)ln(1Cmtkvmgk 或tmk

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