1、Riemann 猜想漫談 （十三 ）作者：盧昌海在我們這Riemann猜想之旅的前面各節(jié)中，已先后介紹了RiemannZ函數(shù)的定義及其零點 （尤其是非平凡零點 ），非平凡零點與素數(shù)分布之 間的關聯(lián)，以及非平凡零點的計算（包括對其是否符合Riemann猜想 的驗證，以及數(shù)值計算 ）。沿著零點計算這一線索，我們介紹了人們 對零點分布的統(tǒng)計研究， 以及由此而發(fā)現(xiàn)的零點分布與物理之間出人 意料的關聯(lián)。 這無疑是整個旅程中最令人驚嘆的風景 事實上， 我 之所以萌生出寫作這一系列的念頭， 這段風景乃是主要原因之一， 因 此，可以說正是這段風景使得我們的整個旅程成為可能。看過了這段風景， 現(xiàn)在讓我們重新回到

2、純數(shù)學的領地中來。 從純數(shù)學 的角度講，對一個數(shù)學猜想最直接的研究莫過于是尋求它的證明（或否證），對Riemann猜想也是如此。可惜的是，Riemann猜想?yún)s一直 頑固地抗拒著這種研究， 直到今天為止， 也還沒有任何人能在這種研 究上取得被數(shù)學界公認的成功。 因此，我們所能介紹的只是數(shù)學家們 試圖逼近Riemann猜想或者說逼近臨界線的過程。讀者們想必還記得， 在前面各節(jié)中， 我們曾經(jīng)介紹過兩個具有普遍意 義的零點分布結果：一個是第五節(jié)中提到的Riema nn匸函數(shù)的所有非平凡零點都位于復平面上OW Re（s） w的區(qū)域內。這是Euler乘積公式 的一個簡單推論（參閱附錄一）；另一個則是第七節(jié)

3、中提到的RiemannZ 函數(shù)的所有非平凡零點都位于復平面上 0Re（s）1的區(qū)域（即臨界帶）內。 這是在證明素數(shù)定理的過程中由 Hadamard與delaVall e-Poussin所證 明的，比前一個結果略進了一步，時間則是 1896 年。這兩個結果與Riema nn猜想雖然還相距很遠，但它們是普遍而嚴格的結果，適用于 所有的非平凡零點， 在這點上它們遠遠勝過了有關零點的所有數(shù)值計 算。令人欣喜的是，在Hadamard與Vail e-Poussin之后僅僅”過了十八個 年頭，即1914年，數(shù)學家們在對RiemannZ函數(shù)零點分布的研究上就 又取得了兩個重大進展 注一。取得這兩個重大進展的數(shù)

4、學家正是我 們在旅程伊始提到過的Hardy, Bohr和Landau。在本節(jié)中我們先來 介紹 Bohr 與 Landau 的工作，即 Bohr-Landau 定理。但在介紹 Bohr-Landau 定理之前, 讓我們先對零點分布的基本對稱性 做一個簡單分析。我們在第八節(jié)的注釋中曾經(jīng)提到，Riema nn匸函數(shù)在上半復平面與下半復平面的非平凡零點是一一對應的。具體地講, 這種一一對應是通過以s=1/2(即實軸與臨界線的交匯點)為原點的反 演對稱性實現(xiàn)的。這種對應性可以由零點與 Riema nn函數(shù)非平凡零 點相重合的輔助函數(shù)E (所滿足的關系式E (s)=(參閱第五節(jié))看 出來。除了這一反演對稱

5、性外，Riema nn匸函數(shù)非的平凡零點分布還 滿足一個對稱性，那就是關于實軸的反射對稱性。這是由于E (s除滿足E (s)= -s()外,還滿足一個關系式：(請讀者自行證明)。由這兩個 對稱性可以推知RiemannZ函數(shù)非平凡零點的分布相對于臨界線也具 有反射對稱性。這些對稱性的存在表明,要研究零點的分布,只需研 究臨界帶的四分之一，即Re(s)> 1/2,lm(s) 的區(qū)域就行了。我們以 前介紹過的零點計算就是針對這一區(qū)域的,下面要介紹的Bohr-Landau 定理的表述也是如此Bohr與Landau所證明的是這樣一個定理注二:Bohr-Landau定理：如果| Z (s)在直線Re

6、(s)二 上的平均值對 ° 1/2有 界，且對0一致有界，則對于任何 5 0位于Re(s) > 1/2+的非 平凡零點在全部非平凡零點中所占比例為無窮小。在進一步討論這一定理之前， 我們先來解釋或定義一下該定理所涉及的一些術語的含義。 首先解釋一下什么叫做I Z (s在直線Re(s)= °上的平均值”。這個平均值是由來定義的。這個定義與函數(shù)平均值的普 遍定義 即函數(shù)在區(qū)間上的積分除以區(qū)間的長度 是完全一致 的。只不過由于Re(s)= o的長度無限，因此在定義中涉及到一個極限。 此外由于我們真正關心的是 t 很大的區(qū)域，因此積分下限的選擇并不 重要，為了避免Z (在s=

7、1處的極點對定理的表述造成不必要的麻煩， 我們選了一個非零的積分下限。其次，什么叫做|Z (s)|在直線Re(s)=(上的平均值 對o 1/2有界，且對 o>01/2 致有界”對o 1/2有界”很簡單，就是說對任何 o 1/2存 在常數(shù) T0 及 C 使得：對所有TT0成立。而對0一致有界”則是說對任何o 01/2存 在與o無關的常數(shù)T0及C,使得上式對所有 o>o及 TT0都成立。最后，位于Re(s) > 1/2+的非平凡零點在全部非平凡零點中所占比例 為無窮小”指的是位于Re(s) > 1/2+ 5 ,0 w的非平凡零點的數(shù)目與位 于Re(s) > 1/2,0

8、 w t的非平凡零點(即所考慮的臨界帶四分之一區(qū)域 內0wt w的全部非平凡零點)的數(shù)目之比在時趨于零注三。做了這些解釋或定義， 我們就對 Bohr-Landau 定理的字面含義有了一 些了解。它實質上是在| Z(S)的平均值與z (S的零點分布之間建立了 一種聯(lián)系。這種存在于復變函數(shù)的模與零點之間的關聯(lián)并不鮮見， 1899 年，丹麥數(shù)學家 Joha nJen se n(1859-192提出的 Jen sen公 式 (Jensen'sFormula及其推廣 Poisson-ensen公式 (Poisson-ensenformula) 就是一例，它把一個亞純函數(shù)在一個圓域內的零點和極點與

9、函數(shù)的模 在圓域邊界上的性質聯(lián)系在了一起。這一公式也正是 Bohr 與 Landau 在證明他們的定理時所用到的主要公式。很明顯，我們感興趣的是Bohr-Landau定理中有關非平凡零點分布的 敘述，即 對于任何50位于Re(s) > 1/2+的非平凡零點在全部非平 凡零點中所占比例為無窮小 ”。但是這一敘述是否成立還有賴于Bohr-Landau定理的前提，即“ | Z (在直線Re(s)=上的平均值對° 1/2 有界，且對(T>° 01一致有界”的成立與否。幸運的是，這一前提可以證明是成立的。為了看到這一點，我們來分 析一個比較簡單的情形，即情形。用我們在上文

10、提到的關系 式E (s)= E,(s及時Z ( ° +的級數(shù)展開式 藝nn °it可得：| Z ( ° +it)|2= Z (-it)=+it)S rZ-rmhim- ° +it另一方面，由于°°時Z (s在 s=1處的極點對計算沒有影響，因此 我們可以將| Z ( ° +it弗平均值定義中的積分下限取為-T(相應的將 1/(T-1)改為1/(2T)以利于計算積分(這里再次用到了 E (s)= 將上 面有關| Z ( ° +it雙2重求和表達式代入平均值的定義，并先交換積分與 求和的順序，再交換求和與極限的順序(請

11、讀者自行證明這樣做 的合理性），可以發(fā)現(xiàn)只有m=n的項才對結果有貢獻，而它們的貢獻 一致收斂于 藝nn2 ° = Z （2也請讀者自行證明）。這表明對所有。廠01 Bohr-Landau 定理中的前提都是成立的。當然，這樣的簡單證明不適用于的情形（因為Z （ ° +的級數(shù)展開式不再適用），但我們可以注意到證明結果中的Z （2對所有° 1/2都有意義。因此讀者們也許會猜測到這一結果的適用范圍可以由°>° 01拓展到°>° 01/事實也正是如此。可以證明，對于任何°01/2及 £0 存在與

12、6;無關的常數(shù)T0使得： 對所有°°及TT0都成立。這一結果顯然表明（請讀者自行證 明）Bohr-La ndau定理中的前提是成立的。這一點在 Bohr-La ndau定理 之前就已經(jīng)被證明，并出現(xiàn)在1909年出版的Landau的名著素數(shù)分 布理論手冊（HandbuchderLehrevonderVerteilungderPrimzahler之中。 既然前提成立，那么 Bohr-Landau 定理的結論也就成立了。這樣我們 就得到了繼Hadamard與Vall e-Poussin之后又一個有關Riemann匸函 數(shù)非平凡零點分布的重要結果：對于任何50位于Re（s） >

13、; 1/2+徊E平凡零點在全部非平凡零點中所占比例為無窮小。 或者換句話說， 在 包含臨界線的無論多小的帶狀區(qū)域內都包含了幾乎所有的非平凡零 點。看到這里，有些讀者也許會問：既然包含臨界線的 “無論多小 ”的帶狀 區(qū)域都包含了幾乎所有的非平凡零點， 那么通過將這個帶狀區(qū)域無限 逼近臨界線，我們是不是就可以把那些零點 “逼”到臨界線上，從而證 明幾乎所有的非平凡零點都落在臨界線上呢？很遺憾， 我們不能。 事 實上單單從 Bohr-Landau 定理所給出的描述中， 我們不僅無法證明幾 乎所有的非平凡零點都落在臨界線上， 甚至無法證明哪怕有一個零點 落在臨界線上！ 零點的分布完全有可能滿足 Boh

14、r-Landau 定理所給出 的描述，卻沒有一個真正落在臨界線上 (請讀者想一想這是為什么 )。 這是數(shù)學中與無窮有關的無數(shù)微妙細節(jié)中的一個。但盡管如此， Bohr-Landau 定理對非平凡零點分布的描述比十八年前Hadamard與Vail歪Poussin所證明的結果還是要強得多。它雖然沒能 直接證明臨界線上有任何零點(Hadamard與Vail e-Poussin的結果也 同樣不能證明這一點 )，但它非常清楚地顯示出了臨界線在非平凡零 點分布中的獨特地位，即它起碼是Riema nn匸函數(shù)非平凡零點的匯聚中心。這是一個沉穩(wěn)而扎實的進展， 數(shù)學家們正在一步步地逼近著臨 界線。注釋1.當然，在

15、1914年之前也曾有過一些值得一提的結果，比較著名的一個是芬蘭數(shù)學家ErnstLindelf(1870-1946)于1908年提出的有關虛部t趨于無窮時| Z (7漸進行為的猜想，即所謂的Lindelf猜想(Lindelfhypothesis)。 1918 年， Lindelf 的學生RalfJosefBacklund(1888-1949證明了 Lindelf 猜想等價于這樣一個命 題，即Riemann匸函數(shù)在復平面上1/2Re(s) < 1,T<1t的T+平凡零 點的數(shù)目為N( 7 ,T)=o(lnT)讀者們可以對比第五節(jié)中 Riemann三個 命題中的第一個來思考一下這一猜想的

16、含義。不過 Lindelf 猜想雖然 遠比Riemann猜想弱，其證明卻出乎意料地困難，直到今天也還只是 一個猜想 （2019年曾有人提出過一個長達 89頁的證明，但后來被發(fā)現(xiàn)是錯誤的 ），因此我們只在這里簡略地提一下。 2.這里我們所用的表述和 Bohr 與 Landau 所用的略有差異。他們的表 述是針對（1-21-s） Z （的平均值而給出的。要練說，先練膽。 說話膽小是幼兒語言發(fā)展的障礙。不少幼兒當眾說 話時顯得膽怯：有的結巴重復，面紅耳赤；有的聲音極低， 自講自聽； 有的低頭不語，扯衣服，扭身子。總之，說話時外部表現(xiàn)不自然。我 抓住練膽這個關鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧

17、的語 言交流關系。每當和幼兒講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作 親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、無拘無束地和我交談。二 是注重培養(yǎng)幼兒敢于當眾說話的習慣。 或在課堂教學中， 改變過去老 師講學生聽的傳統(tǒng)的教學模式， 取消了先舉手后發(fā)言的約束， 多采取 自由討論和談話的形式， 給每個幼兒較多的當眾說話的機會， 培養(yǎng)幼 兒愛說話敢說話的興趣， 對一些說話有困難的幼兒， 我總是認真地耐 心地聽，熱情地幫助和鼓勵他把話說完、說好，增強其說話的勇氣和 把話說好的信心。 三是要提明確的說話要求， 在說話訓練中不斷提高， 我要求每個幼兒在說話時要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學會用 眼神。對說得好

18、的幼兒， 即使是某一方面， 我都抓住教育， 提出表揚， 并要其他幼兒模仿。長期堅持，不斷訓練，幼兒說話膽量也在不斷提 高。課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是 ,但學生寫作文運用 到文章中的甚少 ,即使運用也很難做到恰如其分。為什么 ?還是沒有徹底“記死”的緣故。要解決這個問題 ,方法很簡單 ,每天花 3-5 分鐘左右 的時間記一條成語、一則名言警句即可。可以寫在后黑板的 “積累專 欄”上每日一換 ,可以在每天課前的 3 分鐘讓學生輪流講解 ,也可讓學 生個人搜集 ,每天往筆記本上抄寫 ,教師定期檢查等等。這樣 ,一年就可 記 300 多條成語、 300 多則名言警句 , 日積月累 ,終究會成為一筆不小 的財富。這些成語典故 “貯藏 ”在學生腦中 ,自然會出口成章 ,寫作時便 會隨心所欲地