1、極限存在準則極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限第四節第四節學習重點學習重點 熟練運用兩個重要極限熟練運用兩個重要極限 會用極限存在準則求極限會用極限存在準則求極限理解極限存在準則理解極限存在準則 上頁 下頁 返回 完畢 一、極限存在準則1.夾逼準則夾逼準則準準則則 如如果果數數列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數數列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 上頁 下頁 返回 完畢 ,1 ayNnn時時恒恒有有

2、當當,max21NNN 取取恒恒有有時時當當,Nn , ayan即即,2 azNnn時時恒恒有有當當, azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限 上頁 下頁 返回 完畢 準則準則 如果當如果當)(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .注意注意: :.,的的極極限限是是容容易

3、易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構構造造出出利利用用夾夾逼逼準準則則求求極極限限關關nnnnzyzy原則原則 和準則和準則 稱為夾逼準則稱為夾逼準則. 上頁 下頁 返回 完畢 例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn 上頁 下頁 返回 完畢 x1x2x3x1 nxnx2.單調有界準則單調有界準則滿滿足足條條件件如如果果數數列列nx,121 nnxxxx單調增加單調增加,121 nnx

4、xxx單調減少單調減少單調數列單調數列準準則則 單單調調有有界界數數列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM 上頁 下頁 返回 完畢 例例2 2.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數數列列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx 上頁 下頁 返回 完畢 二、兩個重要極限(1)1sinlim

5、0 xxx 上頁 下頁 返回 完畢 例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 上頁 下頁 返回 完畢 (2)exxx )11(lim 上頁 下頁 返回 完畢 exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 上頁 下頁 返回 完畢 ._3cotlim30 xxx、填空題填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2