1、上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁1上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁2nPnT1 1 引言引言 1.1.逼近空間：逼近空間： 主要為：代數(shù)多項式空間主要為：代數(shù)多項式空間 也將涉及：三角多項式空間也將涉及：三角多項式空間2.2.逼近方式：逼近方式： 最佳逼近最佳逼近上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁3 關(guān)于最佳逼近意義的刻劃涉及關(guān)于最佳逼近意義的刻劃涉及 它是一種整體意義下逼近它是一種整體意義下逼近 它是誤差它是誤差 在某種度量下的在某種度量下的最小值最小值)()(xpxfn上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁4最常用的逼近方法：最常用的

2、逼近方法：Taylor逼近方法逼近方法 )()(!)()(! 1)()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxfxfnnn )()(xRxpnn xxnnnnnxxnfdttftxnxR010)1()1()()!1()()()(!1)( 其其中中，（1 1）局部逼近（在某點(diǎn)附近）局部逼近（在某點(diǎn)附近) )即只考慮某點(diǎn)即只考慮某點(diǎn) 的的 鄰域鄰域 中的逼近中的逼近 缺陷：在離點(diǎn)缺陷：在離點(diǎn) 較遠(yuǎn)的地方逼近效果很差較遠(yuǎn)的地方逼近效果很差0 x0 x),(00 xxI上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁5xe的一次的一次TaylorTaylor逼近逼近 的一次的一次TaylorTa

3、ylor逼近誤差逼近誤差最大誤差：最大誤差：0.7左右左右xe上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁6（2 2）整體逼近（在整個區(qū)間）整體逼近（在整個區(qū)間 上）上）,ba代數(shù)多項式插值逼近是一種整體逼近代數(shù)多項式插值逼近是一種整體逼近, ,但該整體逼近有明顯的缺點(diǎn)：如但該整體逼近有明顯的缺點(diǎn)：如 Runge Runge 現(xiàn)象，數(shù)值不穩(wěn)定等現(xiàn)象，數(shù)值不穩(wěn)定等. .因此需要引入其它方式的逼近。因此需要引入其它方式的逼近。 (a)(a)理論依據(jù)理論依據(jù): Weierstrass: Weierstrass定理定理上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁7定理定理（Weierstras

4、s）設(shè)函數(shù)）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，)(xf,ba.)()(max xpxfbxa)(xp0 則：則： ，總存在一代數(shù)多項式，總存在一代數(shù)多項式 使得：使得： 定理說明：可以找到一個多項式去逼近一個定理說明：可以找到一個多項式去逼近一個函數(shù)到任意程度（整體逼近）函數(shù)到任意程度（整體逼近）. 表明表明,肯定存在比插值逼近更好的逼近。肯定存在比插值逼近更好的逼近。上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁8xe例例：考察：考察 在在-1-1，11上的不同方式（意義）下的逼近上的不同方式（意義）下的逼近效果。效果。 解：解：方式方式1 1（插值）（插值） 于于-1-1，11上通過

5、上通過2 2個端點(diǎn)的線性插值多項式個端點(diǎn)的線性插值多項式xe)(1xL及其誤差函數(shù)的圖象為：及其誤差函數(shù)的圖象為： 的一的一次插值次插值逼近逼近 xe 的一的一次插值次插值逼近誤逼近誤差差 xe(b)(b)通過例子來說明通過例子來說明上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁9上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁10方式方式2 2（最佳）（最佳） | )(|max ),()(111*1xxpexxx xaaxp10*1)( 令令 ，記，記考察：如何降低考察：如何降低 ？ | )(|max 111xx 見下圖（見下圖（a a）, ,設(shè)設(shè) 與與 在在-1-1，11上有上有2 2個

6、點(diǎn)個點(diǎn))(*1xpxe相交，通過適當(dāng)?shù)匾苿又本€段相交，通過適當(dāng)?shù)匾苿又本€段 ，1 , 1),(*1 xxpy總能改善逼近總能改善逼近. . 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁11發(fā)現(xiàn)重要現(xiàn)象：發(fā)現(xiàn)重要現(xiàn)象： 當(dāng)當(dāng) 使使 在在-1-1，11均勻分布時，誤差的均勻分布時，誤差的)(*1xp)(x 1 最大值最大值 達(dá)到最小，即：達(dá)到最小，即： 誤差誤差 正好在以下三個點(diǎn)上正負(fù)相間地達(dá)到：正好在以下三個點(diǎn)上正負(fù)相間地達(dá)到： 1 )3(*)1(,)(,)1(1131 x上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁12 的的2 2個交點(diǎn)的個交點(diǎn)的 坐標(biāo)坐標(biāo). .而而 是是 的極值點(diǎn)，的

7、極值點(diǎn)，1 , 1 x3x)(x 其中，其中， 和和 是是 與與 在在1231 ,xxxx 2x)(*1xpxe)4(*0)(3 x 即即有有結(jié)合（結(jié)合（* *3 3）和（）和（* *4 4）式）式 .)(,)(1101101 aaeaae,0,)(1131033 aexaaexx 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁13計算得：計算得： .1614. 0)ln(,1752. 121311 axeea.2643. 1)1 (, 2788. 0)(2113103111 axaxae 所求的最佳逼近多項式所求的最佳逼近多項式: : xxp1752. 12643. 1)(*1 上一頁上一

8、頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁14（下面將知道（下面將知道 即為即為 一次最佳一致逼近多項一次最佳一致逼近多項xe)(*1xp式）比較圖形可見，式）比較圖形可見， 的整體逼近效果最好的整體逼近效果最好)(*1xp上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁15本章討論本章討論兩種逼近：兩種逼近： 1)1)最佳一致逼近：最佳一致逼近： 求求 ，使得：，使得：nnp *| )()(|max*xpxfnbxa . | )()(|maxinfxpxfnbxapnn 2)2)最佳平方逼近：最佳平方逼近： 求求 ，使得：，使得：nnp *dxxpxfdxxpxfbaPpbann 22*)()(

9、min)()(上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁162 2 線性賦范空間的最佳逼近線性賦范空間的最佳逼近 及存在性定理及存在性定理 函數(shù)的范數(shù)函數(shù)的范數(shù)目的:給出函數(shù)“大小”的度量, 用來刻畫函數(shù)逼近的程度.數(shù)的絕對值數(shù)的絕對值性質(zhì)：（1） 當(dāng)且僅當(dāng) 時， ；（2）對任何 ， ；（3） ， .Rx. 0, 0,xxxxx;, 0Rxx 0 x0 xRxRc ,xccx yxyx Ryx ,上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁17線性賦范空間線性賦范空間設(shè)設(shè) 為實(shí)數(shù)域，抽象元素集合為實(shí)數(shù)域，抽象元素集合 是一個實(shí)線性空間是一個實(shí)線性空間. . 若對若對 中的中的每個元素

10、每個元素 都對應(yīng)著一個實(shí)數(shù)都對應(yīng)著一個實(shí)數(shù) ，記作，記作 ，并且它滿足，并且它滿足下列條件：下列條件：Rf| f（1） 的充要條件是的充要條件是 ；（2） ；（3） .0 ;, 0 fEff0 fEfRcfccf , ,|Effffff 212121, ,上述上述對應(yīng)關(guān)對應(yīng)關(guān)系可系可視為視為 的映射，的映射，稱為線稱為線性空性空間間 的范的范數(shù)數(shù)，并簡記為并簡記為. .定定義義了范了范數(shù)數(shù)的的線線性空性空間稱為線間稱為線性性賦賦范空范空間間. .RE EREE上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁18| )(|max|xffbxa 引入記號引入記號: : 稱為一致范數(shù)或稱為一致范數(shù)或

11、ChebyshevChebyshev范數(shù)。范數(shù)。 ,baC定義范數(shù)以后，定義范數(shù)以后， 就構(gòu)成一個線性賦范空間就構(gòu)成一個線性賦范空間. . 這時有：這時有： |inf|*pfpfnPpn最佳一致逼近多項式最佳一致逼近多項式. .nnp *兩種常見度量：兩種常見度量：上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁19引入記號：引入記號： 2/122)| )(|(|dxxffba 這時有：這時有： 2/122*)| )()(|(min|dxxpxfpfbaPpnn 2|minpfnPp 最佳平方逼近多項式最佳平方逼近多項式. .nnp *上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁20上一頁

12、上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁21抽象線性空間的最佳逼近抽象線性空間的最佳逼近 定義定義：設(shè)設(shè) E 為一為一線性賦范空間線性賦范空間， 為其為其 m 維維子子 EHm 空間空間， 為任意給定元素，稱量為任意給定元素，稱量 Ef )8 . 3(,inf);(fHfEmHm為子空間為子空間 對元素對元素 的的，而使上式，而使上式mHf成立的元素成立的元素 ，即滿足，即滿足 ，mH * *);( fHfEm稱為稱為 的的. . f上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁22給出了最佳逼近問題的提法，自然關(guān)心給出了最佳逼近問題的提法，自然關(guān)心如下問題如下問題：（1 1）最佳逼近元素

13、）最佳逼近元素 是否存在；是否存在；（2 2）如果最佳逼近元素存在，是否惟一；）如果最佳逼近元素存在，是否惟一；（3 3）最佳逼近元素應(yīng)具有什么特征；）最佳逼近元素應(yīng)具有什么特征；（4 4）最佳逼近元素的構(gòu)造及其應(yīng)用）最佳逼近元素的構(gòu)造及其應(yīng)用. .*上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁23對任給的對任給的 ，總存在，總存在 的的Ef fmH * 最佳逼近元素最佳逼近元素 . . 注：注： 一般情況下一般情況下,最佳逼近元素的唯一性并不能最佳逼近元素的唯一性并不能夠得到保證夠得到保證,它依賴于引入的范數(shù)和子空間它依賴于引入的范數(shù)和子空間Hm的性質(zhì)。的性質(zhì)。 上一頁上一頁下一頁下一頁

14、上一頁上一頁下一頁下一頁243 3 最佳一致逼近多項式最佳一致逼近多項式 bxxxan 110|) 1()(fxfii稱之為交錯點(diǎn)，稱之為交錯點(diǎn)， . .ix1 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁25, baCf nPp)()(xpxf,ba2n110,nxxx| )()(|min)(10iininxpxffE） 設(shè)設(shè)，若，若 ，使，使在在上至少上至少個點(diǎn)個點(diǎn)處的取值正負(fù)相間，則處的取值正負(fù)相間，則上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁26) )：對任意函數(shù)：對任意函數(shù) ， ， ,baCf nPf 是是 的的 次最佳一致逼近多項式的充要條件是次最佳一致逼近多項式的充要條

15、件是pfn 在在 上存在至少有上存在至少有 個點(diǎn)組成的交錯個點(diǎn)組成的交錯pf ,ba2 n點(diǎn)組點(diǎn)組. . 即：即：bxxxan 110 |)1()()(pfxpxfiii 為交錯點(diǎn)，為交錯點(diǎn)， . .ix1 9上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁27 如果 ，那么，在 中只存在一個關(guān)于 的最佳一致逼近多項式.,baCf nP)(xf則則的交錯點(diǎn)組恰有的交錯點(diǎn)組恰有 個交錯點(diǎn)，并且區(qū)間個交錯點(diǎn)，并且區(qū)間上保號，上保號，,bapf 推論推論2(2(保證保證 的兩端點(diǎn)一定是交錯點(diǎn)的兩端點(diǎn)一定是交錯點(diǎn))的端點(diǎn)屬于的端點(diǎn)屬于 的交錯點(diǎn)組。的交錯點(diǎn)組。)(xp)(xfn)(xf,ba1n)()

16、 1(xfn,bapf 2n設(shè)設(shè) 是是 的的在在上有上有階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且在在次最佳一致逼近多項式，若次最佳一致逼近多項式，若,ba上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁28注：注： 雖然雖然Chebyshev定理從理論上給出了最佳一致逼近定理從理論上給出了最佳一致逼近的特征性質(zhì)，但在一般情況下，求最佳一致逼近多的特征性質(zhì)，但在一般情況下，求最佳一致逼近多項式是很困難的，通常只能近似計算。項式是很困難的，通常只能近似計算。上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁29里米茲算法里米茲算法(Remes(Remes算法算法): ): 求解近似最佳一致逼近多項式求解近似最佳一致逼近

17、多項式的算法的算法, ,它是尋找交錯點(diǎn)組近似值的它是尋找交錯點(diǎn)組近似值的一種方法一種方法. . 算法上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁30求求 的的 n-1 n-1 次最佳一致逼近多項式次最佳一致逼近多項式( a,b( a,bnxxf )(=-1,1 ). =-1,1 ). 可描述為：可描述為：求求 ，使得：，使得： 1*1 nnPp *1nnpx111min nnPppxnn4 4 最小偏差于零的多項式最小偏差于零的多項式ChebyshevChebyshev多項式多項式上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁31記記 表首項系數(shù)為表首項系數(shù)為1 1的的 n n 次代數(shù)多

18、次代數(shù)多1nP項式的全體，則上述最佳逼近問題等價于問題：項式的全體，則上述最佳逼近問題等價于問題：求求 ，使得：，使得： 0min01*nPpnppnn1*nnPp 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁32 , 1 , 0 ),arccoscos(cos)( nxnnxTn 令：令： ，即：，即： . .于是：于是： xarccos cos x nxTncos)( 由于：由于： )1cos(cos2)2cos(cos nnn)(2)()(12xTxxTxTnnn 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁33Chebyshev多項式的如下性質(zhì)：多項式的如下性質(zhì)： ： xxTx

19、TnxTxxTxTnnn)(, 1)(, 3 , 2),()(2)(1021 是最高次數(shù)項系數(shù)為是最高次數(shù)項系數(shù)為 的的n n次代數(shù)多項次代數(shù)多項 )(xTn12 n的奇次冪的奇次冪. . 以下欲證以下欲證 為與零偏差最小的多項式為與零偏差最小的多項式. .)(211xTnn 式，且式，且 只含只含 的偶次冪，的偶次冪， 只含只含)(2xTkx)(12xTkx上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁34即證：即證：n-1 n-1 次多項式次多項式)(21)(1*1xTxxpnnnn 與與 的偏差的偏差 nx)(21()()(1*1xTxxxpxfnnnnn )(211xTnn 在在 -

20、1-1，1 1 上有上有 n+1 n+1 個點(diǎn)組成交錯點(diǎn)組個點(diǎn)組成交錯點(diǎn)組. . 注意：注意： ,cos)( nxTn 當(dāng)當(dāng) 時，時， nknkxk)1(0 ,cos ,)1()(kknxT .)1(21)()(1*1knknkxpxf 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁35：在首項系數(shù)為在首項系數(shù)為1 1的所有的所有 n n 次多項式中，次多項式中， 對零的偏差最小對零的偏差最小. . )(2)(1*xTxpnnn .2| )(|max11|nnxnxpp )(xpn：設(shè)設(shè) 是最高次項系數(shù)為是最高次項系數(shù)為1 1的的 n n 次多項式，則次多項式，則證明證明：反證法，若有：反證

21、法，若有 ，使得：，使得： ，)(xpn|)(2|1xTpnnn 作：作： ，有：，有： )()(2)(1xpxTxFnnn 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁36 nnnnnnnnnnnnxpxTxpxTxpxT)1()()(20)()(20)()(21111001于是：存在于是：存在 ， ，使得：，使得： nii)1( 1, iiixx 10)( iF 又又 為為 n-1 n-1 次多項式，故：次多項式，故： )(xF即即：, 0)( xF).(21xTpnnn 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁37 112. 0, 0,2, 01)()(nmnmnmdxxxT

22、xTnm 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁38 在在-1-1，11上恰有上恰有 個不同的實(shí)根：個不同的實(shí)根： ChebyshevChebyshev多項式具有廣泛的應(yīng)用價值，下面介紹多項式具有廣泛的應(yīng)用價值，下面介紹它的兩個重要應(yīng)用它的兩個重要應(yīng)用. .)(xTnnnknkxk)1( 1 ,2)12(cos 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁39| )()( |max)!1(|01|)1(nxnnxxxxnfpf 現(xiàn)取現(xiàn)取 使得使得 盡可盡可nxx,0| )()( |max01|nxxxxx 能的小能的小. .應(yīng)選取應(yīng)選取Tn+1(x)的的n+1個零點(diǎn)個零點(diǎn)：)1)

23、(1( 1 ,)1(2)12(cos1 nknkxk 這里這里 x0, , xn 為為Tn+1(x)的的n+1個個零點(diǎn)零點(diǎn)，做，做 f 的插值多項式的插值多項式Pn(x)，則插值余項的上界可達(dá)極小，則插值余項的上界可達(dá)極小 。)!1(2 nMn Chebyshev 多項式的其它應(yīng)用多項式的其它應(yīng)用 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁40 注：注： 上界上界最小不表示最小不表示| Rn(x)|最小，故最小，故Pn(x)嚴(yán)格意義上只是嚴(yán)格意義上只是y(x)的的近似近似最佳逼近多項式；最佳逼近多項式； 對于一般區(qū)間對于一般區(qū)間 x a, b ，可作變量替換，可作變量替換 ，則，則 t

24、1 , 1 ，這時，這時tabbax22 ).()()(220222211nabbaabbaabbannxtxttwxw ).(012nnabtttt )()(12)(12112121tTtTnabnnabnnn 即以即以 為插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn) (k=0, n)，得得Pn(x)，余項，余項 有最小上界。有最小上界。 2212cos22nkabbaxk)(2)()!1()()(1121)1(tTabnyxRnnnnn 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁41 例：例：求求 f (x) = ex 在在0, 1上的近似最佳逼近多項式，使其誤差上的近似最佳逼近多項式，使其誤差不超過不超過

25、0.5 10 4。解：解： 根據(jù)誤差上界確定根據(jù)誤差上界確定 n :4102121)!1(|12 nnneRn =4 計算計算 T5(t)的根：的根：109cos,107cos,105cos,103cos,10cos43210 ttttt)1(2122 ttabbax02. 0) 1109(cos2121. 0) 1107(cos21,50. 0) 1105(cos2179. 0) 1103(cos21,98. 0) 110(cos2143210 xxxxx 以以 x0, , x4 為節(jié)點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)作L4(x)上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁42這時：這時： nnnnnnnfTn

26、fxpxf 2)!1(2)!1(| )()(|)1(1)1(若區(qū)間是若區(qū)間是 a,b ,a,b ,則：則： 1 , 1,22 tabtbaxnknktk)1(0 ,)1(2)12(cos nktabbaxkk)1(0 ,22 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁43這時：這時： )()()2()()(010nnnttttabxxxx 因而有：因而有： | )()( |max)!1(0)1(nbxannxxxxnfpf )()(max)!1()2(01| |)1(1ntnnttttnfab nnnnfab 2)!1()2()1(1上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁44

27、Chebyshev 多項式的其它應(yīng)用多項式的其它應(yīng)用 多項式降次多項式降次 設(shè)設(shè) f (x) Pn(x)。在降低在降低 Pn(x) 次數(shù)的同時次數(shù)的同時, 使使因此增加的誤差盡可能小。因此增加的誤差盡可能小。從從 Pn中去掉一個含有其最高次項的中去掉一個含有其最高次項的 , 結(jié)果降結(jié)果降次為次為 , 則：則：PnPn 1| )(|max| )()(|max| )()(|max1 , 11 , 111 , 1xPxPxfxPxfnnn 因降次而增的誤差因降次而增的誤差設(shè)設(shè) Pn 的首項系數(shù)為的首項系數(shù)為an，則取，則取 可使可使精度盡可能少損失。精度盡可能少損失。12)()( nnnnxTaxP

28、上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁45 例：例： f (x) = ex 在在 1, 1上的上的4 階階 Taylor 展開為展開為246214324xxxxP ，此時誤差，此時誤差023. 0|!5| )(|54 xexR請將其請將其降為降為2階多項式階多項式。解：解： 取取)81(241)(2124124434 xxxTP188244 xxT（查表知（查表知 ）)81(24162123244 xxxxPP32612413192191xxx 取取)43(61)(21613323xxxTP xxT3433 （查表知（查表知 ）192191892413233 xxPP057. 0|)

29、(|2 xPex若簡單取若簡單取 ，則誤差，則誤差21)(22xxxP 45.0!3 e另類解法可查另類解法可查p.70表表3-2，將將x3 和和x4 中的中的T3 和和T4 刪除。刪除。注：注：對一般區(qū)間對一般區(qū)間a, b，先將，先將 x 換為換為 t ，考慮，考慮 f (t)在在 1, 1上上的逼近的逼近Pn(t)，再將，再將 t 換回?fù)Q回x，最后得到，最后得到Pn(x)。上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁465 5 內(nèi)積空間的最佳逼近內(nèi)積空間的最佳逼近 求求 ，使得：，使得： *npdxxpxfdxxpxfbanPpbannn 22*)()(min)()(最佳平方逼近多項式

30、最佳平方逼近多項式. . *np給出：給出： mixfxii)1( 1),(,( 求求 ，使得：（最小二乘逼近），使得：（最小二乘逼近） *np212*1)()(min)()(inimiPpinimixpxfxpxfnn 兩種問題均與內(nèi)積空間的最佳逼近有關(guān)兩種問題均與內(nèi)積空間的最佳逼近有關(guān). . 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁47：設(shè)：設(shè) 是實(shí)線性空間，在是實(shí)線性空間，在 上定義了一個二元實(shí)上定義了一個二元實(shí)XX函數(shù)（函數(shù)（，），若它滿足：），若它滿足： Xyxxyyx ,),(),(1) ;RXyxyxyx ,),(),(2) ;(3) ;Xzyxzyzxzyx ,),()

31、,(),(4) .00),( ;, 0),( xxxXxxx則稱（則稱（，）為內(nèi)積，）為內(nèi)積， 為內(nèi)積空間為內(nèi)積空間. . X上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁48 1 1） n n維實(shí)向量空間維實(shí)向量空間 nR引入內(nèi)積：引入內(nèi)積： ,),(1 niiiTyxyxyxnTnTnRyyyxxx ),(,),(11上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁492 2） : :區(qū)間區(qū)間a,ba,b上滿足上滿足 可積的可積的,2baL )()(2xfx 函數(shù)函數(shù) 的全體，即：的全體，即： )(xf badxxfx)()(2 權(quán)函數(shù)，權(quán)函數(shù)， . . )(x 0)( x 引入內(nèi)積：引

32、入內(nèi)積： ,)(),(2baLxgxf babaLgfdxxgxfxgf,)()()(),(2 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁50 性質(zhì)性質(zhì)5 5(Cauchy-Schwarz(Cauchy-Schwarz不等式不等式) )：設(shè)：設(shè) 是內(nèi)積空間，則是內(nèi)積空間，則 XXyxyyxxyx , ),(),(| ),( |引入范數(shù)：引入范數(shù)： Xxxxx , ),(驗(yàn)證不等式：驗(yàn)證不等式： ),(|,|Xyxyxyx 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁51),(),(2),(),(|2yyyxxxyxyxyx ),(),(),(2),(yyyyxxxx 22|2|yyx

33、x 故：故： |yxyx 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁52性質(zhì)性質(zhì)6 6（平行四邊形等式）：對內(nèi)積空間（平行四邊形等式）：對內(nèi)積空間 ，有，有: : X)(22222yxyxyx yxyx , 0),(222|yxyx若：若： ，則：，則： 。上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁53對對 ，稱量，稱量 Xf fMfEMinf);( ffMinf|*Mf).( fE為子空間為子空間 對元素對元素 的最佳逼近，并簡記為的最佳逼近，并簡記為M * 若有：若有： ，使得：，使得：* 則稱則稱 為最佳逼近元素為最佳逼近元素. .定義定義5 5：設(shè)設(shè) 為一內(nèi)積空間，為一內(nèi)積

34、空間， 為有限維子空間，為有限維子空間，XM X上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁542/1*),(|nnnpfpfpfbandxxpxfx2/12*)()()(banpndxxpxfxpfnn2/12*)()()(inf|,2baLX ,nM ,*nnp 事實(shí)上：若事實(shí)上：若則則上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁552/112*)()(miinixpxf2/1*),(|nnnpfpfpf,mRX ,nM ,*nnp 若：若： 則：則：2/112*)()(inf|miinipnxpxfpfnn上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁56定理定理6 6：對對

35、在在 中存在著中存在著 的惟一最佳逼近元素的惟一最佳逼近元素. . ,Xf Mf證明證明：用反證法：用反證法. .設(shè)在設(shè)在 中有兩個不同的最佳逼近元素中有兩個不同的最佳逼近元素 M*2*1, ，令，令 ，2/ )(*2*1*0 則有則有,2121)(21*2*1*2*1 fff即即 亦為亦為 的最佳逼近元素的最佳逼近元素. . *0 f,21 ff并記并記上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁57這樣這樣由性質(zhì)由性質(zhì)2 2可推得：可推得： 2*2*12*0222 fff2*2*12*22*122)(21 ffff.412*2*12 因此因此, , , , 這與假設(shè)矛盾，證畢這與假設(shè)矛

36、盾，證畢. . *2*1 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁58定理定理7 7：對于任意的對于任意的 ，設(shè)，設(shè) 為有限維子空間為有限維子空間. . Xf XM 是是 的最佳逼近元素的充要條件是的最佳逼近元素的充要條件是M * f* fM誤差元素誤差元素 與與 中的任意元素正交，即中的任意元素正交，即 )24. 3 (, 0),(*Mf證明：證明：. .設(shè)存在某一設(shè)存在某一 ，使，使 M . 0),(* f令令 ，則：，則： , ),(* f),(*2* fff上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁592*2),(2 ff.2*22* ff這表明這表明 不是不是 的最佳逼

37、近元素，必要性得證的最佳逼近元素，必要性得證. . * f. .若對若對 ，有，有 ，則：，則： M 0),(* f2*2 ff),( 2),( 2*2*2 ff 0),(22*2* f因此，因此， 為為 的最佳逼近元素的最佳逼近元素. .充分性得證充分性得證. . * f上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁60幾何意義：幾何意義： 誤差估計：誤差估計： 2*2);( fMfE),(* ff),(),(* fff 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁61計算問題：計算問題： 設(shè)設(shè) ， ,1nspanM niiic1* 由于：由于： nijiinjcf1*)1( 1 ,

38、0),( 有：有： （法方程組法方程組） nijijinjfc1*)1( 1 ),(),( 即即 為方程組：為方程組： 的解。的解。 niic1* bGc ),(,),(,),(11jjTnTnfbbbbccc 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁62 ),(),(),(),(1111nnnnG G G稱為關(guān)于稱為關(guān)于 的的GramGram矩陣矩陣. . 稱為稱為GramGram行列式行列式. . n ,1Gdet進(jìn)一步，若進(jìn)一步，若 兩兩正交，即：兩兩正交，即：nii1 , 0),(jiji 這時有：這時有： ),/(),(*iiiifc 即：即： njjjjjf1),(),(

39、為最佳逼近元素為最佳逼近元素. . 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁63我們稱上式右端為我們稱上式右端為 的廣義的廣義FourierFourier展開，展開， 為為 的的f*icf廣義廣義FourierFourier系數(shù)系數(shù). . FourierFourier展開展開: : 設(shè)設(shè) 為以為以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). . f 2 nkkkkxbkxaa10)sincos(2稱為稱為 的的FourierFourier展開。展開。 f),2()( xfxf即：即：其中：其中： 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁64).(),(),(|1222 njjjjjjf

40、f niiicf122*2)( 故：故： niiifc1222*,)( 從而得從而得BesselBessel不等式：不等式： 1*222*).,/(),(,)(iiiiiiifcfc 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁65定理定理8 8：任何任何 維內(nèi)積空間維內(nèi)積空間 都存在正交基都存在正交基. .（證略）（證略）nMGram-SchmidtGram-Schmidt正交化過程正交化過程. . 規(guī)范正交基：規(guī)范正交基： 若若 ，且，且 Meen ,1jijiee,),( 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁666 6 最佳平方逼近與正交多項式最佳平方逼近與正交多項式 討

41、論討論 空間中的最佳多項式逼近問題空間中的最佳多項式逼近問題. . ,2baL 求求 使得：使得：,*nnp .|min|*nPpnpfpfnn 記：記： , 10 ,)1( 1,nixii 則：則： ,)(0 njjjnxxp ,)(0* njjjnxxp 其中其中 滿足法方程組：滿足法方程組： niia0* 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁67 njijjinixfxx0*)1(0),(),( bajijijidxxxxx ,)(),(),( .)()(),( baiidxxxfxxf 即即 為方程組：為方程組： 的解。的解。 nii0*bGc ),(,),(,),(00j

42、jTnTnxfbbbbc),(),(),(),(0000nnnnG上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁68 若若 為正交多項式基函數(shù)，即：為正交多項式基函數(shù)，即：nii0 , 0),(jiji 則：則： ,)(0* njjjnxp ).,/(),(*iiiif 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁69上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁70 定義在定義在a,ba,b上的函數(shù)系上的函數(shù)系 稱為稱為P Pn n的帶權(quán)的帶權(quán)nllxg0)( 正交基正交基（ 稱為稱為 上的帶權(quán)上的帶權(quán) 次正交次正交,ba)(x )(xgll多項式），如果它滿足：多項式），如果它滿足

43、：1 1） 恰為恰為 次多項式，即次多項式，即 ； lkkklxxg0)( 0 l l2 2） ),(jigg .,0)()(,02jidxxgxjibai 特別，若特別，若 ，則稱之為，則稱之為正規(guī)正交基正規(guī)正交基。 1),( iigg上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁71（1 1） 構(gòu)成構(gòu)成 的基底的基底. .即對任何即對任何 有：有： nP,nnp , )()(0 njjjnxgxp 其中其中（2 2）若）若 為不超過為不超過 次的任意多項式，則：次的任意多項式，則：)(xpkk. , 0),(klgplk （3 3）正交多項式系，除差一個常數(shù)因子以外，是）正交多項式系，除

44、差一個常數(shù)因子以外，是唯一確定的，即若：唯一確定的，即若： 均為均為 上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù)nllnllxgx00)( ,)( ,ba),/(),(jjjnjgggpnllg0上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁72)(x 的正交多項式系，則：的正交多項式系，則：)()(xgxlll （4 4）正規(guī)正交多項式系：）正規(guī)正交多項式系： . . nllxg0)( 若若 ，或，或 1),( , 0),( llklgggg, 1| lg可取：可取： ，|/lllggg 因?yàn)橐驗(yàn)?，而，而 njjjnxgxp0)()( . , 0),(klgglk 記：記： , ,則則 nlxgxglll

45、)1(0,/ )()(* nllg0* 構(gòu)成了構(gòu)成了 的最高項系數(shù)為的最高項系數(shù)為1 1的帶權(quán)正交多項式系的帶權(quán)正交多項式系. . nP上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁73 將正交函數(shù)族中的將正交函數(shù)族中的 k 取為取為k 階階多項式多項式，為簡單起見，可取，為簡單起見，可取 k 的的首項系數(shù)為首項系數(shù)為 1 。有遞推有遞推關(guān)系式：關(guān)系式：)()()(, 1)(0110 xxxx )()()()(111xxxxkkkkk 其中其中),(),(,),(),(111 kkkkkkkkkkx 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁74 上述帶權(quán)正交基有遞推公式：上述帶權(quán)正交

46、基有遞推公式： ),/(),()(, 1)(, 2 , 1),()()()(*0*0*0*0*1*0*1*1gggxgxxgxgkxgxgxxgkkkkk 其中常數(shù)其中常數(shù)),(),(, ),(),(*1*1* kkkkkkkkkkgggggggxg 帶權(quán)正交多項式帶權(quán)正交多項式 有有 個互異的實(shí)根，個互異的實(shí)根， )1)(* lxgll并且全部位于區(qū)間并且全部位于區(qū)間 內(nèi)。內(nèi)。),(ba證明證明(略）略）：上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁75首先首先, , 于于 內(nèi)至少有一個根，事實(shí)上：內(nèi)至少有一個根，事實(shí)上： )(*xgl),(ba0)()(), 1(* dxxgxglba

47、l 于于 內(nèi)至少有一個變號內(nèi)至少有一個變號. . )(*xgl),(ba其次，其次， 于于 內(nèi)沒有重根，則：內(nèi)沒有重根，則： )(*xgl),(ba)()()(2*xqxxgl ， 為為 次的多項式次的多項式. . )(xq2 l故：故： 0)()()(* dxxqxgxlba 另一方面：另一方面： 0)()()()()()(2* dxxxgxdxxqxgxlbalba 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁76矛盾。矛盾。 )()()()(1*xsxxxgkl 最后，設(shè)：最后，設(shè)： 于于 內(nèi)無根（不妨設(shè)內(nèi)無根（不妨設(shè) ） ，則，則)(xs),(ba0)( xs0)()()(1*dx

48、xxxgxklba另一方面：另一方面： dxxxxgxklba)()()(1*0)()()(221 dxxsxxxkba 矛盾矛盾. .這說明這說明 于于 內(nèi)只有內(nèi)只有 個單根個單根. . )(*xgl),(bal上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁77 設(shè)設(shè) 為帶權(quán)正交多項式系為帶權(quán)正交多項式系. .對對 ，多，多nllxg0)( 1 l項式項式 和和 的零點(diǎn)必交錯的零點(diǎn)必交錯. . 即即)(xgl)(1xgl .12211ball 和和 的零點(diǎn)，則的零點(diǎn)，則: : )(1xgl ,21l ,121 l 分別為分別為)(xgl若若上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁7

49、8 1 , 1, , 1)( bax （1 1）勒讓德（）勒讓德（LegendreLegendre）多項式）多項式 遞推關(guān)系：遞推關(guān)系： .)1( 1,)1(212!21)(,21)(20nkxdxdkkxlxlkkkkk),(12321)(1)32)(12()(11xlkkkkxxlkkkxlkkk , 2 , 1 k上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁79（2 2）ChebyshevChebyshev多項式多項式 1 , 1, ,)1()(2/12 baxx , 1 , 0 ),arccoscos()( nxnxTn1 , 1, ,)1()(2/12 baxx , 1 , 0,

50、1)arccos)1sin()(2 nxxnxUn（3 3）第二類）第二類ChebyshevChebyshev多項式多項式 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁80（4 4）拉蓋爾（）拉蓋爾（LaguerreLaguerre）多項式）多項式 ,)(xex ), 0, ba, 1 , 0),()( nexdxdexLxnnnxn,)(2xex ),(, ba, 1 , 0),()1()(22 nedxdexHxnnxnnmndxxHxHemnx , 0)()(2（5 5）埃爾米特）埃爾米特(Hermite)(Hermite)多項式多項式 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一

51、頁81 )arccoscos()(xjxTj由于由于 是是njjxT0)(是關(guān)于權(quán)是關(guān)于權(quán) 的正交基的正交基. .則有則有 2/12)1()( xx njjjnxTaxTaxS100)(2)()(, 1 , 0,1)()(2),(),(112 jdxxxTxfTTTfajjjjj 考慮考慮 ， ，給出其最佳，給出其最佳平方逼近多項式。平方逼近多項式。1 , 12 Lf2/12)1()( xx 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁82 稱為稱為 按按ChebyshevChebyshev多項式展開的部分和多項式展開的部分和. . )(xSn)(xf可以證明：可以證明： 1 1） 一致收

52、斂于一致收斂于 ； )(xSn nxf),(2 2） . . kak, 0故當(dāng)故當(dāng) 充分大時：充分大時： n)()()(11xTaxSxfnnn )arccos)1cos()(1xnxTn 1)1(0,)1(cos nknkxk 為為 的交錯點(diǎn)的交錯點(diǎn). . )(1xTn 可作為可作為 的近似的近似ChebyshevChebyshev逼近多項式逼近多項式. . )(xSn)(xf上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁83上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁84 給出數(shù)據(jù)給出數(shù)據(jù) 求求 使得：使得： ,)1( 1),(miyxii iniinxxp 0*)( miinipm

53、iinixpyxpynn1212*)(min)( 在在 中給出中給出 維子空間維子空間 ， ，nRllHnl ,1llXXspanH 其中：其中： 線性無關(guān)線性無關(guān). . ,),(1nTniiiRxxX lXX,1上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁85求求 ，使得，使得llkkiHXcX 1*XYXYlHX inf* niiiiXXXyxwYX1),( ,),(nRYX ,其中：其中：這是一個內(nèi)積空間的最佳平方逼近問題：這是一個內(nèi)積空間的最佳平方逼近問題： 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁86,),(*2*1*Tlcccc ,)(llijaA),(jiijXXa

54、,),(21Tldddd .)1( 1),(lkYXdkk 適合法方程組：適合法方程組： Liic1* dAc *上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁87nlliYXcXXljijji ,)1( 1),(),(1* 應(yīng)用：應(yīng)用：超定方程組（矛盾方程組）求解超定方程組（矛盾方程組）求解.)(,lnlnjiRxRbaAbAx ，其其中中 轉(zhuǎn)化為求解：轉(zhuǎn)化為求解：上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁88例例： 4253532212121xxxxxx則：則：llxxxAx 2211nlllRHspanH ,1TnllllTnaaaaaa),(),(21121111 ,1nlR

55、記：記：上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁89求求 ，使得：，使得：llxxx *2*21*1*|min|)1* bblH或者：求或者：求 ，使得：，使得：Tlxxxx),(*2*1* |min|)2*AxbAxblRx 解矛盾方程組的最小二乘法，法方程組：解矛盾方程組的最小二乘法，法方程組： dGx *,)(llijgG ),(jiijg ,),(21Tldddd .)1( 1),(ljbdjj 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁90bAAxATT *法方程為：法方程為：解解：（上例）（上例） ,213512 A,453 b,4191930 AAT 2635bAT

56、即：即： 264193519302121xxxx上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁91數(shù)據(jù)擬合：數(shù)據(jù)擬合： 給出給出 ，建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型 和和 的的niyxii)1( 1),( yx近似關(guān)系式近似關(guān)系式. .nlxxxll ),()()(11 如：如： ，為待定常數(shù)，為待定常數(shù). . lilixxiii) 1 ( 1, 1) 1 ( 0 ,)(1求求 ，使得：，使得：Tl),(*1* lijjxx1*)()( 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁92有：有： |min|* yylHniiiiniiiyxwyxxwX12/112),(,)(|或：求或：求 ，使

57、得：，使得：* .)(min)(1122* niniiiiRiiixywxywl )()()(11xxxll nTnnTnRxxxRyyyy )(,),(),(,),(2121 nTnRxxx )(,),(),(*2*1* 這里：這里：上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁93 最小二乘擬合最小二乘擬合多項式多項式 確定多項式確定多項式 ，對于一組數(shù)，對于一組數(shù)據(jù)據(jù)(xi, yi) (i = 1, 2, , m) 使得使得 達(dá)到達(dá)到極小極小，這里這里 n 0, b 0 )線性化：線性化：由由 可做變換可做變換xbay lnlnbBaAxXyY ,ln,1,lnBXAY 就是個就是個線

58、性問題線性問題將將 化為化為 后易解后易解 A 和和B),(iiYX),(iiyxxbAeaxPBbea/)(, 上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁104FourierFourier展開展開: : 設(shè)設(shè) 為以為以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). . f 2 nkkkkxbkxaa10)sincos(2稱為稱為 的的FourierFourier展開。展開。 f),2()( xfxf即：即：其中：其中： kxdxxfakcos)(120 kxdxxfbksin)(120 FourierFourier系數(shù)系數(shù). . ,kkba上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁1058

59、 快速傅立葉變換快速傅立葉變換 問題的背景問題的背景 傅立葉變換傅立葉變換 函數(shù)展開為函數(shù)展開為三角級數(shù)三角級數(shù)設(shè)設(shè) f(x) 周期為周期為2 ，在，在 0, 2 上展開為三角級數(shù)上展開為三角級數(shù) ，其中其中Cj 為復(fù)系數(shù)，為復(fù)系數(shù)， ，則實(shí)際計算時要取，則實(shí)際計算時要取級數(shù)的前級數(shù)的前 N 項，并要求在區(qū)間的項，并要求在區(qū)間的N 個等分點(diǎn)上與個等分點(diǎn)上與f(x)重合。重合。 0)(jjxijeC xjixjejxisincos)( 即：給定即：給定0, 2 上上N 個等分點(diǎn)個等分點(diǎn) 上的函上的函數(shù)值數(shù)值 ，令，令 滿足插值條件滿足插值條件 。) 1,., 1, 0(2 NkkNxk )(kk

60、xff 10)()(NjjxijeCxSkkfxS )(N 個未知數(shù)個未知數(shù)N 個方程個方程)1,., 1,0(1102 NjefNCNkkNjikj Discrete Fourier Transform)1,., 1,0(102 NkeCfNjkNjijk Inverse of DFT總之要進(jìn)行形如總之要進(jìn)行形如 的計算，其中的計算，其中 已知，已知， 10NkjkkjWxC kx NieW 2上一頁上一頁下一頁下一頁上一頁上一頁下一頁下一頁106 Fast Fourier Transform 10NkjkkjWxC NieW 2快速計算快速計算 ( j = 0, 1, , N 1)，其中其