1、第 33卷第 17期 2009年 9月 電網技術 Power System Technology Vol. 33 No. 17 Sep. 2009文章編號：1000-3673 (2009) 17-0086-05中圖分類號：TM714文獻標志碼：A 學科代碼：470 4051基于最小二乘法和復連續小波變換的電力系統間諧波測量方法曹健，林濤，劉林，張蔓，崔一鉑(武漢大學電氣工程學院，湖北省武漢市430072)A Method to Measure In ter-Harm on ics in Power System Based on Least Square Method and Complex

2、Con ti nu ous Wavelet Tran sformCAO Jian, LIN Tao，LIU Lin，ZHANG Man ， CUI Yi-bo(School of Electrical Engineering, Wuhan University，Wuhan 430072, Hubei Province, China)ABSTRACT: Based on least square method and complex continu ous wavelet tran sform, a high-precisi on method to measure steady state i

3、n ter-harm on ics in power system is proposed, in which the fun cti on fitti ng of whole measured freque ncy band is performed to obta in the nu mbers of in ter-harm onic comp onen ts, the n by use of the ban d-pass filteri ng feature of complex continu ous wavelet tran sform the freque ncy and ampl

4、itude of each inter-harmonic is precisely measured. Simulation results by Matlab show that using the proposed method the freque ncies and amplitudes of in ter-harm onics can be precisely measured and the calculati on burde n is light.KEY WORDS: power system ； inter-harmonics； least square method com

5、plex continu ous wavelet tran sform摘要：將最小二乘法和復連續小波變換相結合，提出了高精度穩態間諧波測量方 法。該方法應用最小二乘法對整個測量頻帶進行函數擬合，得到了間諧波分量的 個數，利用復連續小波變換的帶通濾波特性精確測量了各個間諧波分量的頻率和 幅值。Matlab的仿真結果表明，該方法能夠準確測量間諧波分量的頻率和幅值， 計算量較小。關鍵詞：電力系統；間諧波；最小二乘法；復連續小波變換 間諧波對電力系統的危害有：導致波形正負半波幅值發生變化以及過零點偏移； 使采樣數據或過零工作的數字繼電器產生誤差，甚至誤操作；使變壓器電抗和電 容器組產生諧振；當間諧波頻

6、率接近諧波或基波頻率時引發閃變；給變壓器和感 應電動機帶來額外的損耗，使其絕緣水平下降，使傳統濾波裝置失效甚至損壞 。在實際應用和理論研究方面，目前已有的間諧波測量方法有快速傅里葉變換法 (fast Fourier transform, FFT)、Prony方法和支持向量機算法等。間諧波分量往 往很難確定其波形周期，因此對含間諧波信號的采樣較難實現同步。FFT算法的泄漏”現象不可避免，這有可能導致虛假”的間諧波和諧波，或實際間諧波和諧波被淹沒7。Prony方法對噪聲比較敏感，采用Prony方法時需先對信號進行消 噪8。基于支持向量機方法(support vector machine SVM)的

7、間諧波測量算法9- 10的計算量較大，計算精度和頻率分辨率較低。文獻11研究了最小二乘間諧波測量算法，發現如果以較高的頻率分辨率對測量結果進行函數擬合，計算量將非 常大。連續小波變換(continuous wavelet transform, CWT)方法利用特征尺度通過 掃頻來測量間諧波，測量精度較低且計算量很大12-17。鑒于電力系統中間諧波分量數量有限，本文提出將最小二乘和復連續小波變換帶通濾波器相結合的穩態 間諧波測量算法。該算法計算量小，可以以高頻分辨率測量電力系統間諧波。0引言隨著各種變頻調速裝置以及電力電子裝置的廣泛使用，電力系統諧波污染問題日 益嚴重，這引起了國內外相關學者和研

8、究人員的廣泛關注。諧波除整數次諧波外 還包括非整數次諧波，即間諧波1-4。基金項目：國家自然科學基金資助項目(50677044)。Project Supported by Natio nal Natural Science Foun dati on of Chi na(NSFC)(50677044).第33卷第17期電網技術87 1基于最小二乘法的間諧波檢測算法 假設ny*(x)=刀 c*j?x) (1) j=0當 刀 mnmn2c*yi2=mini=0j=0cj 刀 i=0 刀 c2j?j(xi)-j?j(xi)-yi (2) j=0成立時，稱曲線y*(x)為在曲線族(xi,yi)中按最小二

9、乘原則確定的對應于數據(x18i,yi)的擬合曲線。由線性無關向量組 Tj=?(x0),?j(x1),L,?j(xm)(j=0n)做基底構成Rm+1的一個子空間，記為 A= 0, 1,L,，n y=y0,y1,L,ymT。滿足式的擬合曲線y*(x)存在且唯一，根據ATAc*=ATy (3)可以解出c*=(c*c*T0,c1,n),從而得到式(1)的擬合曲線。假設含有間諧波分量的電力系統波形模型為Ny(t)=p 30e-Xt+E pksin(k 3 1t+ 0 k)+wN (4)k=1式中：p0為t=0時刻的直流分量值；pk為第k個間諧波分量的幅值，k=1Nw ;X =1/,TT為直流分量的衰減

10、時間常數；0為第k個間諧波分量的相角；3 1為預設模型的頻率分辨率；N3 3 1為參與擬合 的間諧波頻率最大值；N為采樣點數；wN為噪聲。對e- X作泰勒級數展開，由于 不需要測量衰減直流分量，因此在不影響計算精度的前提下取e- X的泰勒級數的前兩項，同時把式中的正弦項展開，則有Ny(t)=p 30-p0 X t+ 刀 pksink 3 Itcos 0 k+k=lE N3pkcosk 3 1tsin 0 k+wN (5)k=1如果用 X 表示由 p0,-p0 X ,p1cos 0 1,p1sin 0 1丄,pN3 cos 0 N3 ,pN 3 sin共NN3 +2個未知數組成的 向量，用Y表示

11、y(t1),y(t2),? ? ,y(tN)共N個采樣值組 成的參變數矩陣，用A表示常數矩陣，則 可以得到AX+wN=Y當Xn =X?n時，3的平方和達最小值，此時稱 X?n是X在最小二乘意義下的最優估計值19n。根據式(6)可以推出X=(ATA)-1ATY (7)則各個間諧波分量的幅值和相位為?p=k (8) ? 0 k=arctan(x2k+1/x2k+2) 式中：x2k+1、x2k+2分別為向量X第2k+1和第2k+2個元素，即第k個分量的 虛部和實部，其中k=1Nw。當pk0且較大時，則信號中存在頻率為 kl的分 量；當pk=0或接近0時，則信號中不存在頻率為k el的分量。通過對采樣

12、數據進行函數擬合可以得到間諧波分量的幅值和相位。 提高最小二乘法擬合函數中的頻率分辨率可以精確地測量電力系統間諧波，但這 種方法的計算量非常大。鑒于實際電力系統中間諧波分量數量有限，因此可以先 應用較低的頻率分辨率的最小二乘法初步測量間諧波分量的個數和大致頻率，然 后根據復連續小波變換帶通濾波器的特點，逐個精確地測量間諧波分量的頻率和 幅值。2基于最小二乘法和復連續小波變換的間諧波測量算法2.1連續小波變換簡介連續小波變換的定義20為W-1f(a,b)=a-OOf(t)t-b)/adt (9) 小波容許條件為Co2書=2 n/-OO(3 )/ 3 )d 3 5223，本文取 3 0=2 nMo

13、rlet復小波函數的頻域表達式為?( 3 )=exp-fB( 3 - 3 0)2/4 (12)本文采用的母小波函數的幅頻特性如圖1所示。從圖1可以看出，該母小波的幅頻特性是一個中心頻率為1 Hz且頻窗寬度約為(1 .12)Hz的帶通濾波器。1.00.8 up/值 0.6幅 0.4 0.2 0.00.8 0.9 1.01.1 1.2頻率/Hz圖1母小波函數的幅頻特性Fig. 1 Amplitude-frequency characteristicsof wavelet function考慮尺度伸縮變換和位移平移變換后，得?a,b(t)=(t-b(13) 式中考慮尺度伸縮因子a后，小波頻帶的中心頻

14、率變為3 =3 0/a小波？a,b(t)的頻窗寬度為母函數頻 窗寬度的1/a24。將采用最小二乘法測量得到的某個間諧波分量的大致頻率fc作為連續小波變換復帶通濾波器的中心頻率，并由此可以求得其對應的小波變換尺度ai。根據上文可知，連續小波變換被定義為實值 信號s(t)與變換核?a,b(t)的內積，其輸出Wf(a,b)=a-12-OOf(t)t-b)/adt 等效于一個以 3 =2 n fc為中心頻率的復帶通濾波過程。假設WRT )和WI( T )為復帶通濾波器輸出的實部和虛部，該通帶中等效信號分量在b時刻的瞬時頻率f(b)和幅值M(b)可用下式求得：9 (b)=arctanlmWf(a,b)/

15、ReWf(a,b) (14)f(b)=1 9 (b)- 9 (b-Ts)2nT(15)M(b)=C (16)式中：Ts為采樣間隔；系數Cf與間諧波分量的測量頻率、連續小波變換的中心 頻率和幅頻特性有關。3仿真結果與分析本文對大量測試信號進行了仿真驗證，在確認其有效性的前提下，選用下面的信 號進行說明。考慮衰減直流分量和噪聲的影響，在 Matlab仿真軟件中生成一個含多個穩態間諧 波分量的電力系統信號25，即s(t)=0.1exp(-10t)+0.52sin(2 ?f1? t-60 )+ sin(力 f2? t)+0.15sin(2?fn?t-75 )+ 0.4sin(2 ?f4?t+175 )

16、+0.35sin(2f5?t)+0.47sin(2 2f62t+207 )+0.28sin(2f72t+ 128 )+0.16sinf82nt+105 )+n(t) 式中：n(t)是均值為0且方差為0.01的白噪聲；f1f8分別為25.15 Hz、50.01 Hz、110.75 Hz、150.03 Hz、184.58 Hz、223.23 Hz、275.89 Hz、345.77Hz,其中 25.15 Hz對應的 信號為次諧波，50.01 Hz對應的信號為基波，150.03 Hz對應的信 號為諧波，其 余分量為間諧波。設采樣頻率為1000 Hz，檢測間諧波分量的頻率范圍為 0500 Hz (在實際

17、應用中可根據需要提高 采樣頻率來擴大間諧波分量頻率測量范圍)。考慮噪聲和衰減直流分量的影響，設 置分辨率為1 Hz(即式中的3 1=1 Hz)根據式(8)應用最小二乘法對信號進行 分析，得到的頻譜如圖2所示。從圖2可看出，信號中存在8個間諧波分量，通過對頻譜取極大值可以看出，1.0 u0.8p值 0.6 幅號 0.4 信 0.20.00100200 300 400頻率 /Hz圖2采用最小二乘法得到的頻譜Fig. 2 Freque ncy spectrum by least square algorithm第33卷第17期電網技術898 個分量的大致頻率為25 Hz、50 Hz、111 Hz、1

18、50Hz、185Hz、223Hz、276 Hz和346 Hz，并把它們作為連續小波變換的中心頻率。為了減小連續小波變換的混疊現象對間諧波測量的影響，選用fB=40 o用8個復連續小波變換即可完成對8個間諧波分量的測量，其對應的各個帶通濾波器的幅 頻特性如圖3所示。從圖3可以看出，各個帶通濾波器之間不存在頻率混疊現 象，因此可以準確測量間諧波分量。0.04u0.03 p/fi 0.02 幅 0.01 0.00100 200 300 400頻率/Hz圖3中心頻率不同時采用連續小波變換得到的幅頻特性Fig. 3 The amplitude-freque ncy characteristics by

19、CWTwith various cen tral freque ncies以25.15 Hz為例說明基于復連續小波變換的間諧波測量過程。由上述分析可知， 中心頻率取25 Hz時對應的尺度因子為1/25,在該尺度下對信號進行連續小波變 換等效于對此信號進行以中心頻率為25 Hz，帶寬為(25 )Hz的復帶通濾波。根據式(14) (16)實現對間諧波分量的精確測量。 采用連續小波變換得到的測量結果如表1所示。從表1可以看出，基于最小二乘法和連續小波變換的間諧波測量方法能夠準確地測量出信號中間諧波分量的頻率 和幅值，計算量很小。表1采用連續小波變換得到的測量結果Tab. 1 The measured

20、 results by CWT頻率 幅值真實值/Hz測量值/Hz誤差/%真實值/pu測量值/pu誤差/%25.15 25.150 0 0 0.52 0.520 0 0 50.01 50.010 0 0 1.00 1.000 0 0 110.75 110.750 54.5 X 10-4 0.15 0.149 8 0.13 150.03 150.030 0 0 0.40 0.400 0 0 184.58 184.581 26.5 X 10-4 0.35 0.349 5 0.14223.23 223.230 0 0 0.47 0.469 8 0.04 275.89 275.888 5 0 0.28

21、0.280 0 0 345.77 345.771 00.160.160 04結論1) 基于最小二乘法的間諧波測量算法利用函數擬合來測量穩態間諧波，測量頻 率分辨率受預設模型的影響，且頻率分辨率越高，計算量越大。單一的復連續小 波變換對整個頻段進行掃頻的方法計算量也非常大。2) 本文提出的基于最小二乘法和復連續小波變換的穩態間諧波測量算法能很精 確地檢測間諧波的頻率和幅值，計算量小，為電力系統間諧波測量提供了一種有 效方法。3) 復連續小波變換存在一定的混疊現象，在高頻段無法檢測頻率相近的2種頻 率分量。減小母小波的頻窗寬度可在一定程度上避免混疊現象。今后可在準確控 制連續小波變換頻窗寬度等方面

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