1、物理背景物理背景概念與性質概念與性質計算計算兩類曲線積分的聯系兩類曲線積分的聯系對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分一一. 對坐標的曲線積分的物理背景對坐標的曲線積分的物理背景 的作用下，平面上一質點在變力設),(yxFxy),()(yxFBAABL，求變力到點從點沿平面上光滑曲線所作的功。oxyABLBAL:jyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功ABFW分割分割jyixMMiiii)()(1近似近似. ),(),(lim10niiiiiiiyQxPW取極限取極限iiiiiMMFW1),(1iiixxx1iiiyyyoxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy iiiMMl1i

2、l.),(),(iiiiiiyQxPjyxQiyxPyxF),(),(),(求和求和niiiiiiiniiyQxPWW11),(),(max1inil ) , ( ABLxyyxP平面上的一條光滑曲線是定義在設函數 , 1110BAAAAAAAnnii , 1每個小弧段的長度個有向小弧段成分將iiiABMMlnL ) ,(lim10 niiiixP上的方向沿曲線到按從則稱該極限值為 ) ,( ABLBAyxP : 1 . 個點上任取在上的有界函數nLAB . max , 1iniill并記記為 , ) ,( 極限若iiil , ) ,( ,的取法無關的分法和點且該極限值與對曲線存在iiABL二

3、二. 對坐標的曲線積分的定義和性質對坐標的曲線積分的定義和性質 .的曲線積分對坐標x ) ,(limd),(10 niiiiLxPxyxP ；對坐標的曲線積分號L d),(；被積表達式xyxP ),(被積函數；yxP 積分路徑L 上定義在曲線ABL , 則積分記為閉曲線如果積分曲線為一條封L . ) ,(limd),( 10 niiiiLxPxyxP的曲線積分對坐標 ),(yyxQ.),(limd),(10iiniiLxPxyxP.),(limd),(10iiniiLyQyyxQyyxQxyxPLd),(d),(. ),(),(lim10niiiiiiiyQxPWLLyyxQxyxPd),(d

4、),(yyxQxyxPLd),(d),(LsyxFd),(LLyyxQxyxPd),(d),( 向曲線弧的積分：同樣方式定義沿空間有yzyxQd),(zzyxRd),(xzyxPd),( . 2關于積分弧的可加性 d),(d),(d),()( )( )( CBLACLABLxyxfxyxfxyxf性質性質xyxgyxfLd),(),( . 1 線性性質xyxgxyxfLLd),(d),(yyxgyxfLd),(),(yyxgyyxfLLd),(d),( , )( )( , )()()( 則是光滑曲線和如果CBLACLCBLACLABL d),(d),(d),()( )( )( CBLACLAB

5、Lyyxfyyxfyyxf. 3型曲線積分反號有向曲線弧反向，第二即：對坐標的曲線積分與曲線的方向有關即：對坐標的曲線積分與曲線的方向有關. .LLxyxPxyxPd),(d),(LLyyxQyyxQd),(d),(yyxQxyxPyyxQxyxPLLd),(d),(d),(d),(的方向，到點從點是曲線設BALL.的方向到點從點是曲線ABLL1. 參數方程形式下的計算參數方程形式下的計算 , , , )( , )( : ttyytxxL設 0, )( )( , ) ,()( , )( 221則且tytxCtytx d)()(),(d),( )( ttxtytxPxyxPABL三三. 對坐標的

6、曲線積分的計算對坐標的曲線積分的計算 d)()(),(d),( )( ttytytxQyyxQABL.BAt沿曲線變到終點從起點時，曲線上的點相應地變到單調地從當參數 ).1 (的方程為設曲線L , ) , ()( , , , )(1則且baCxybaxxyyxx2. 直角坐標方程形式下的計算直角坐標方程形式下的計算 d)(,(d),( )( baABLxxyxPxyxP d)()(,(d),( )( baABLxxyxyxPyyxQ.BAbax沿曲線變到終點從起點時，曲線上的點相應地變到單調地從當參數 ).2(的方程為設曲線 L , ) , ()( , , , )(1則且dcCyxdcyyx

7、xyy d)(),(d),( )( dcABLyyxyyxPxyxP d),(d),( )( dcABLyyyxPyyxQ.BAdcy沿曲線變到終點從起點時，曲線上的點相應地變到單調地從當參數到上從為沿計算) 1, 1 ( ,d2AxyLxxyL的定積分化為對x1001dd)(xxxxxx.54xy 2)1,1( A)1 ,1(BLxxyd例解法一解法一 .)1 , 1(的一段弧B01:,:xxyAOOBAOL:10:,:xxyOB到上從為沿計算) 1, 1 ( ,d2AxyLxxyL的定積分化為對y114d2yy.54xy 2)1,1( A)1 ,1(B例解法二解法二 .)1 , 1(的一段

8、弧B1122)(d yyyLxxyd11:,:2yyxAB 0, 01 , d d 2222yxyxLyxxyLL，：及求Lxy d2xyLLLd)(2321xyLd21,0d010 x1:222 yxL1L3LxyO10:, 0:1xyL.的邊界，逆時針方向例解解,32d)1 (012xx2d 2Lxy2d2Lxy202cosdsin;3222 Ldxy,321d1022yy1:222 yxL1L3LxyO20:,sin,cos:)3(2yxL10:,1:)2(22yyxL01:,1:) 1 (22xxyL 0, 01 , d d 2222yxyxLyxxyLL，：及求.閉路默認正向）的邊界

9、，逆時針方向（例3d2Lxy.32d 2xyL1:222 yxL1L3LxyO01:,0:3yxL 0, 01 , d d 2222yxyxLyxxyLL，：及求.閉路默認正向）的邊界，逆時針方向（例00d012yLyx d2yxLLLd)(2321320d)1(0102yy )1 ,2,3( ,dd3d 223ALzyxyzyxxL是從計算解解的方向向量 Lttttttttd)2()3()2(d)2(3)3(d)3(32301原式OA ),1 ,2, 3(: Ltztytx 2301:t.487例. )0 , 0 , 0( AOO的有向線段到分別為：其中積分路徑計算LyyxxyL ,dd 解

10、解例);0 , 1 (1),1 , 0()0 , 0() 1 (22到點再沿圓周開始到點軸從點沿 yxy).0 , 1 ()0 , 0()2(到點軸從點沿xoxy111L1:222 yxL所以,0d, 10:,0:1xyxL21) 1 (LLL12dd)(dd LLLyyxxyyyxxy.21ddd 101yyyyxxyL分別為：其中積分路徑計算LyyxxyL ,dd 解解例);0 , 1 (1),1 , 0()0 , 0() 1 (22到點再沿圓周開始到點軸從點沿 yxy).0 , 1 ()0 , 0()2(到點軸從點沿xoxy111L1:222 yxL02:,sin,cos:2yxLd c

11、ossin)sin(sincosdd 022Lyyxxy.61sind )sin(sin202.316121dd)(dd 12LLLyyxxyyyxxy分別為：其中積分路徑計算LyyxxyL ,dd 解解例);0 , 1 (1),1 , 0()0 , 0() 1 (22到點再沿圓周開始到點軸從點沿 yxy).0 , 1 ()0 , 0()2(到點軸從點沿xoxy111L1:222 yxL故,0d, 10:,0:)2(yxyL.0dd Lyyxxy分別為：其中積分路徑計算LyyxxxyL ,dd 22解解例的一段曲線；到點上從點) 1 , 1 ()0 , 0(0,) 1 (BOaxya.) 1

12、, 1 (1),0 , 1 ()0 , 0()2(的折線段到再沿直線到點軸從點沿BxAOxoxyAB, 0, 10:,:) 1 (axxyLaaxy 10121222d)(ddxaxxyyxxxyaaL.21,0d, 10:,0:)2(yxyOA.0dd22OAyyxxxy分別為：其中積分路徑計算LyyxxxyL ,dd 22解解例的一段曲線；到點上從點) 1 , 1 ()0 , 0(0,) 1 (BOaxya.) 1 , 1 (1),0 , 1 ()0 , 0()2(的折線段到再沿直線到點軸從點沿BxAOxoxyABaxy ,0d, 10:, 1:xyxABABOALyyxxxyyyxxxy

13、.21dd)(dd222210.21dyy10121222d)(ddxaxxyyxxxyaaL,dcosdsxlABLssysxPxyxP0)(dcos)(),(d),( ,dcosdsy.)cos,(cos0為曲線的單位切向量其中四四.兩類曲線積分的聯系兩類曲線積分的聯系的參數方程形式：)(ABLlssyysxx0:),(),(xdsdydlABLssysxQyyxQ0)(dcos)(),(d),( 設 (cos cos)為光滑有向曲線弧L上點(x y)處的單位切向量 那么yyxQxyxPABLd),(d),( )()(dcos),(cos),(ABLsyxQyxP)(dcos),(ABLs

14、yxPlssysxP0dcos)(),()(dcos),(ABLsyxQlssysxQ0dcos)(),(另一方面 類似地 設 (cos cos cos)為有向曲線弧上點(x y z)處的單位切向量 那么zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( cos),(cos),(zyxQzyxPszyxRdcos),(.) 1 , 1 ( ) 1, 1 ( d 2的曲線積分的一段弧）化為對弧長到上從為（將BAxyLxxyL解解,:2yxLLLsxyxxyd cosdxy 2)1, 1( A)1 , 1(B) 1 ,2( y0) 1 ,2(|1y) 1 ,2(1412yy Lsyyxyd1422Lsyxyd14222例1 1對坐標的曲線積分的概念與性質對坐標的曲線積分的概念與性質 路徑反向，積分反號路徑反向，積分反號2對坐標的曲線積分的計算對坐標的曲線積分的計算3兩類曲線積分之間可以相互轉化。兩類曲線積分之間可以相互轉化。基本方法基本方法化為對參數的定積分化為對參數的定積分注意：