1、第十章第十章 微分方程微分方程 第七節(jié)第七節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 1.1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu): :定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個的兩個解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)

2、的解的解. .（21, CC是常是常數(shù)）數(shù)）問題問題: :一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy定定義義：設(shè)設(shè)nyyy,21為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的n個個函函數(shù)數(shù)如如果果存存在在n個個不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)，使使得得當(dāng)當(dāng)x在在該該區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有恒恒等等式式成成立立 02211 nnykykyk，那那么么稱稱這這n個個函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)線線性性相相關(guān)關(guān)否否則則稱稱線線性性無無關(guān)關(guān)例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)時，時，當(dāng)當(dāng)),( x特別地特別地: 若若在在 I 上上有有常常數(shù)

3、數(shù)， )()(21xyxy則則函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy在在 I 上上線線性性無無關(guān)關(guān).定理定理 2 2：如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個線的兩個線性無關(guān)的特解性無關(guān)的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu): :定定理理 3 3 設(shè)設(shè)*y是是二二階階非非齊齊次次線線性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一個個特特解解,

4、 , Y是是與與( (2 2) )對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二階階非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*(yYp)*(yqpyy )(YqYpY )(0)(xfxf)*(yYq)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解是非齊次方程的解, 又又Y 中含有中含有兩個獨(dú)立任意常數(shù)兩個獨(dú)立任意常數(shù), 因而因而 也是通解也是通解 .例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xx

5、CxCysincos21定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是幾個函是幾個函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的疊加原理解的疊加原理定理定理5 5 （LiouvilleLiouville公式）公式）dxeyyydxxp )(21121的非零解，那么的非零解，那么是該方程與是該方程與y1(x)y1(x)線性無關(guān)的解線性無關(guān)的解0)

6、()( yxQyxPy若若y1(x)y1(x)是方程是方程 （1 1） 證證12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降階法降階法的一階方程的一階方程 v.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對應(yīng)齊次方程一特解為對應(yīng)齊次方程一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對應(yīng)齊方通解為對應(yīng)齊方通解為.21xeCxCY 例例四、小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；降階法與常數(shù)變易法；降階法與常數(shù)變易法；補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容可觀察出可