1、基于對角隱式龍格庫塔法的新型電子式電流互感器數字積分算法的研究葉遠波1，黃太貴1，吳保文2，何紅星 2 1.國網安徽省電力有限公司 安徽合肥230022；2.安徽送變電工程公司 安徽合肥 230022； 摘要：數字積分器是基于空心線圈的電子式電流互感器的重要環節之一。對此文中基于對角隱式龍格庫塔法提出了一種新的拓展梯形數字積分算法。為提高新型數字積分算法的積分精度，采用復合積分并推導出了不同采樣頻率下的通用新型數字積分器的傳遞函數。由于新型數字積分器的傳遞函數中含有分數延遲項，因此采用FIR和IIR兩種濾波算法對其進行仿真分析。Matlab仿真結果表明，新型數字積分器在低頻段的性能要優于梯形數

2、字積分器，可為基于Rogowski線圈的電子式電流互感器的積分環節提供一種全新的設計方法。關鍵詞：數字積分器；對角隱式龍格庫塔法；分數延遲；電子式電流互感器New digital integrator schemes for electronic current transformer based on diagonally implicit Runge-Kutta methods YE Yuanbo 1，HUANG Taigui1 ,WU Baowen2 HE Hongxing2 XIANG Zhonghua3 ，CHEN Xiaodong3 (1.State Grid Anhui Elec

3、trical Power limited Company, hefei 230022, Anhui Province China;2.State Grid Anhui Electrical Power Transmission &Transportation Company, hefei 230022, Anhui Province China；)Abstract: The digital integrator is one of the important aspects of an electronic current transformer based on an air coi

4、l. In this paper, a new extended trapezoidal digital integration algorithm is proposed based on the diagonally implicit Runge-Kutta method. In order to improve the integration accuracy of the new digital integration algorithm, composite integration is used to derive the transfer function of a univer

5、sal new-type digital integrator at different sample frequencies. Since the transfer function of the new digital integrator contains a fractional delay term, it is simulated using FIR and IIR filter algorithms. The simulation results by Matlab show that the performance of the new digital integrator i

6、s better than that of the trapezoidal digital integrator in the low frequency range, which can provide a new design method for the integral part of the electronic current transformer based on Rogowski coil.Key words: digital integrator; diagonally implicit Runge-Kutta method; fractional delay; elect

7、ronic current transformer1 引言空心線圈電子式電流互感器因具有優良的傳變特性，近年來在電力系統的電能計量、測量和保護中得到廣泛的應用1-3。其積分環節則將空心線圈輸出的微分信號經過數字積分還原為與一次側電流成比例的電流信號1-2。常見的數字積分器多采用矩形積分、梯形積分和辛普森積分等數字積分算法實現。這些算法都比較成熟，基于這些數字積分算法也衍生出了一些改進的數字積分算法4-6。文中基于對角隱式龍格庫塔法推導得出一種具有一次代數精度的類梯形數字積分算法。由于新型數字積分算法的傳遞函數中含有分數延遲部分，故采用2種濾波算法以實現其具體功能。同時為提高新型數字積分算法的積

8、分精度，采用復合積分手段并導出了其通用的傳遞函數。據此新型數字積分算法設計的高精度數字積分器可為基于Rogowski線圈的電子式電流互感器的積分環節提供一種全新的設計方法。2 數字積分算法2.1 常用的積分算法考慮有限的積分區間，數值積分問題就是如何得到下述表達式的近似值7，即 (1)上式(1)中，設的數值解為，其值常用的計算方法包括牛頓科茨積分算法、龍貝格算法以及高斯算法等等。其中應用最多的是牛頓科茨積分公式，其典型幾種的積分規則如下8：1 梯形積分公式， (2)2 1/3辛普森公式， (3)3 3/8辛普森公式， (4)4 Boole公式(5)牛頓科茨積分算法可以達到很高的積分精度，但是由

9、于數值不穩定，在實際中高階數值牛頓科茨積分公式很少使用。相反，采用復合積分的手段，低次代數精度的積分公式得到了廣泛的應用9。2.2 新的積分算法在數值計算領域，有一類數值積分方法被稱為Runge-Kutta方法。通常s級Runge-Kutta積分算法10的通式如下 (6)上式(6)中，；稱為積分內節點；為內節點的積分權重。為了簡便及數值積分的需要，將式(6)用如下的Butcher表來表示 (7)上式(7)中，；。×表示省略的權系數矩陣。顯式RK方法由于穩定性不足，因而運用受到限制，全隱式RK方法通常穩定較好而被廣泛采用。對角隱式RK方法(DIRK)是一類比較特殊且有限的高精度、強穩定

10、性隱式RK方法10。因此，文中采用DIRK來設計高精度的數字積分器。3 數字積分器在z域的推導遵照數值積分的習慣，稱式(6)為s點RK求積公式。文中主要研究s點DIRK求積公式構造的數字積分器的性能。下面主要推導幾種常見的基于s點DIRK求積公式的數字積分傳遞函數。s點p次代數精度的DIRK求積公式以下簡記為s/p-DIRK。當s=2時，一種2/p-DIRK求積公式如下10：， (8)不難驗證型2/1-DIRK求積公式的代數精度p=1。將式(8)代入到式(6)中，并將離散時間序列f(t)用x(n)來表示，型2/1-DIRK積分器輸出記為y(n)，并記采樣周期T=h。則可得到如下的差分方程 (9

11、)設初始狀態為零，上式兩邊求z變換，經整理得到型2/1-DIRK求積公式的無限沖激響應(IIR)數字積分器的傳遞函數如下 (10)下面不經推導，直接給出另一種2/p-DIRK求積公式的IIR數字積分器的傳遞函數。當s=2時，另一種2/p-DIRK求積公式如下10：， (11)為了區別于式(8)，記式(11)為型2/1-DIRK求積公式，且其代數精度p=1次。型2/1-DIRK求積公式的IIR數字積分器的傳遞函數如下 (12)已知幾種典型IIR積分器的傳遞函數6：1 矩形積分器 (13)2 梯形積分器 (14)3 辛普森積分器 (15)將上述幾種典型積分器的傳遞函數式(15)(16)與式(10)

12、和(12)對比可知，2點DIRK求積器的傳遞函數分子中均含有一個分數延時項，d為純小數。為此，在式(10)兩邊同乘以一個整數延時項，得到一個新的傳遞函數如下 (16)同樣地，對式(12)有 (17)對于式(16)(17)，需要采用一定的數學工具來逼近分數延時項，其中。下文中將采取2種濾波算法來近似逼近，并在此基礎上研究型2/1-DIRK積分器和型2/1-DIRK積分器的頻率響應特性。當時，現有的DIRK求積公式均無實際應用價值。4 采用兩種濾波算法的數字濾波器4.1 FIR濾波算法為實現非整數延遲，采用下列截斷的Lagrange插值級數來逼近，有11 (18)上式(18)中，為濾波系數；濾波階

13、數滿足。的計算公式如下 (19)在式(10)中乘以一個整數延時項，其中用式(18)來近似。當N=5，L=11時，型2/1-DIRK積分器、梯形積分器以及理想積分器的幅值響應和相位響應對比曲線見圖12所示。圖3是此條件下型2/1-DIRK積分器和梯形積分器相對于理想積分器的絕對幅值誤差曲線。圖1 三種數字積分器的幅值響應曲線(FIR)Fig.1 The amplitude response curves of three digital integrators(FIR)圖2 三種數字積分器的相位響應曲線(FIR)Fig.2 Phase response curves of three digit

14、al integrators(FIR)圖3 二種數字積分器幅值響應誤差曲線(FIR)Fig.3 The amplitude response error curves of two digital integrators(FIR)從圖13可知，此條件下型2/1-DIRK積分器的幅值響應特性要好于梯形積分器，但是當歸一化奈奎斯特頻率大于0.5以后，其相位響應特性明顯要差于梯形積分器。4.2 IIR濾波算法下面采用IIR濾波算法來逼近分數延時項，則有11 (20)上式(20)中，的計算公式如下 (21)上式(21)中，為二項式系數；。在式(10)中乘以一個整數延時項，其中用式(18)來近似。當N=

15、5，時，型2/1-DIRK積分器、梯形積分器以及理想積分器的幅值響應和相位響應對比曲線見圖45所示。圖6是此濾波算法下型2/1-DIRK積分器和梯形積分器相對于理想積分器的絕對幅值誤差曲線。圖4 三種數字積分器的幅值響應曲線(IIR)Fig.4 The amplitude response curves of three digital integrators(IIR)圖5 三種數字積分器的相位響應曲線(IIR)Fig.5 Phase response curves of three digital integrators(IIR)圖6 二種數字積分器幅值響應誤差曲線(IIR)Fig.6 Th

16、e amplitude response error curves of two digital integrators(IIR)將圖46和圖13對比可知，對于型2/1-DIRK積分器而言，IIR濾波算法在歸一化奈奎斯特頻率區間的逼近效果要優于FIR濾波算法。但是，總體上看FIR濾波算法要優于IIR濾波算法。5 復合兩點DIRK數字積分器5.1 復合兩點DIRK求積公式顯然，若積分區間較大，采用式(8)或式(11)直接計算所得值的精度是不足的。為此將積分區間等分為等份，記分點為，。新步長。在每個小區間上應用式(8)，即 (22)將式(22)所求得近似值累加求和導出下式： (23)上式即為復合型

17、兩點DIRK求積公式。5.2 復合兩點DIRK求積公式在z域的推導取如圖所示的離散時間信號序列x(m)，將離散時間序列的采樣時間T減小為T，則信號x(m)變為。記復合型兩點DIRK求積公式的輸出信號為y(m)，則有 (24)對上式進行z變換得到 (25)從而可以得到復合型兩點DIRK求積公式在z域的傳遞函數如下 (26)上式(26)中，當n=1，同樣采用FIR濾波算法并取N=5，L=10。在此條件下，復合型兩點DIRK積分器的頻率響應特性如圖78所示。圖7 復合兩點DIRK積分器的幅值響應誤差曲線(型)Fig.7 The amplitude response error curve of co

18、mposite two-point DIRK integrator (type)圖8 復合兩點DIRK積分器的幅值響應誤差曲線(型)Fig.8 The phase response curve of composite two-point DIRK integrator (type)顯然，從圖7中可以看出采樣頻率加倍后型兩點DIRK積分器的幅值響應誤差顯著下降，可以預見當n繼續增加復合型兩點DIRK積分器的幅值響應曲線將非常接近于理想積分器的幅值響應曲線。但是從圖8中復合型兩點DIRK積分器的相位響應在高頻段依舊較差。6 兩點DIRK積分器的一點改進針對兩點DIRK積分器的頻率特性尤其是相頻特

19、性在高頻段較差，為此借鑒Al-Alaoui積分算法12，將型兩點DIRK積分和矩形積分的傳遞函數按照1:3的權重重新組合，得到下式 (27)將式(10)和(13)代入到上式中，則有 (28)為實現式傳遞函數(28)，采用FIR濾波算法，并取N=5，L=11。在此條件下，得到型Al-Alaoui積分算法的頻率特性如圖910所示。圖9 復合兩點DIRK積分器的幅值響應誤差曲線(改進型)Fig.9 The amplitude response error curve of composite two-point DIRK integrator (improvedtype) 圖10 復合兩點DIRK積

20、分器的相位響應曲線(改進型)Fig.10 The phase response curve of composite two-point DIRK integrator (improvedtype)從圖9種可以看出型Al-Alaoui積分器的幅值響應誤差在高頻段相對于型兩點DIRK積分器而言顯著降低；從圖10中可以看出型Al-Alaoui積分器在低頻段的相位響應幾乎是線性的。為改善相位響應，由于此時其標準的奈奎斯特頻率響應為，則對型Al-Alaoui積分算法設計一個分數延遲d應滿足13，則，即分數延遲改進后的型Al-Alaoui積分算法的傳遞函數如下： (29)經延遲改進后，新的傳遞函數在低頻

21、段的相位響應有所改善，但是高頻段依舊無法改善。究其原因在于FIR濾波算法中當N=5所帶來的逼近誤差，因而難以消除。7 仿真測試為了驗證型2/1-DIRK積分器和型2/1-DIRK積分器的積分效果，采用Matlab/Simulink軟件平臺搭建相應積分器的仿真模型。如圖11所示為根據式(10)設計的型數字積分器的仿真系統。其中，Sine Wave 模塊為一個離散的正弦時序信號，用它來模擬電子式電流互感器采集的離散電流信號；其幅值為A，初相位為，直流偏置為0，角頻率為100；Discrete-Time Integrator1 和2均為后向歐拉法積分器；Variable Fractional Del

22、ay1 為分數延遲環節；Add 為加法器；Scope為示波器。圖12所示為根據式(12)設計型數字積分器的仿真系統。圖12中Sine Wave 2模塊和圖11中Sine Wave 模塊參數設置保持一致，其它環節同圖11。仿真中，系統的采樣頻率為一個周波采集32點。理論上，此時2個系統的輸出的結果應為一個離散的正弦時序電流信號，其幅值為1A，角頻率為100；初相位為。圖11 型數字積分器的仿真示意圖Fig.11 A simulation diagram for digital integrator of -type 圖12 型數字積分器的仿真示意圖Fig.12 A simulation diag

23、ram for digital integrator of -type 為了比較兩種新型積分器的性能優劣，將它們輸出的積分結果與常用的梯形積分器(TR)相對比，仿真對比結果如圖13所示。進一步地，將這3種積分器輸出信號與真實的結果作絕對誤差，獲得的誤差曲線如圖14所示。從圖1314中可以看出，在低階插值分數延時的情況下，型2/1-DIRK積分器和型2/1-DIRK積分器的積分效果與梯形積分器保持精確地一致。圖13 三種數字積分器的仿真結果Fig.13 Simulation results of three digital integrators圖14 三種數字積分器的積分誤差曲線Fig.14

24、Numerical integration error curves of three digital integrators8 結論本文基于兩點DIRK積分算法提出了一種類梯形積分器特性的新型數字積分器。通過采用2類濾波算法具體實現單一或復合DIRK數字積分算法的分數延遲項。針對DIRK數字積分算法的相位響應在高頻段效果不佳，采用了Al-Alaoui積分算法和分數延遲進行改進。從文中不難得出如下的結論：1) 當采用低階的濾波算法(N=0)對DIRK數字積分算法進行實現時，所得到的傳遞函數與梯形數字積分算法是一致的。通過Matlab/Simulink進行仿真測試的結果驗證這一結論；2) 當采用

25、高階的濾波算法(例如N=5)對DIRK數字積分算法進行實現時，所得到的傳遞函數的幅值響應要明顯優于梯形數字積分算法，但其相位響應較差；3) 復合DIRK數字積分算法的低頻段的頻率特性較好，但高頻段的相位響應較差；4) 采用Al-Alaoui積分算法的思路改進DIRK數字積分算法所的新算法的幅值響應要明顯優于梯形數字積分算法，但采用分數延遲的改進手段難以奏效。5) 文中提出的新型積分器可為基于Rogowski線圈的電子式電流互感器的積分環節設計提供一種新的思路。參考文獻1 宋濤. Rogowski線圈電流互感器中的高精度數字積分器技術研究J.高電壓技術,2015,41(1):237-244.SO

26、NG Tao. Technical research of accurate digital integrators for Rogowski coil current transformerJ. High Voltage Engineering, 2015, 41(1):237-244. 2 張杰愷,李輝,鄧吉利,等.基于數字積分算法的電子式電流互感器傳變特性J.電測與儀表,2017,54(2):61-67.ZHANG Jiekai, LIU Hui, DENG Jili ,et al. Transfer characteristic of electronic current transd

27、ucer based on integration algorithmsJ. Electrical Measurement & Instrumentation, 2017, 54(2):61-67. 3 王曉明,周有慶,彭紅海,等.基于Rogowski線圈的數字積分器的研究與設計J.電力自動化設備, 2013, 33(2):155-159.WANG Xiaoming, ZHOU Youqing, PENG Honghai, et al. Research and design of digital integrator based on Rogowski coilJ. Electric

28、 Power Automation Equipment,2013,33(2):155-159.4 李振華,閆蘇紅,胡蔚中,等.一種基于改進數字積分的高精度電流互感器在線校驗系統J.電網技術, 2016,40(3):978-984.LI Zhenhua,YAN Suhong, HU Weizhong, et al. A high accuracy on-line calibration system for current Transformers based on improved digital integrator J. Power System Technology, 2016, 40(

29、3) : 978-984.5 李振華,張思球,孫婉楨,等.基于分數延時方法的高精度數字積分器研究J.高壓電器,2018,54(2):202-207.LI Zhenhua, ZHANG Siqiu, SUN Wanzhen, et al. Research of high accuracy digital Integrator based on fractional delay methodJ. High Voltage Apparatus, 2018 ,54(2) : 202-207.6 李振華,胡蔚中,閆蘇紅,等.電子式電流互感器中的高精度數字積分器技術J.高壓電器,2016,52(2):42-49.LI Zhenhua, HU Weizhong, YAN Suhong , et al. High accuracy digital integrator technology for electronic current transformerJ. High Voltage Apparatus, 2016 ,52(2):42-49.7 Al-Alaoui M A. A class of numerical integration with first order derivativesJ. Mohamad Adnan Newsletter, 1996 ,31(2) : 25